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2015-2016学年人教A版选修2-2 导数应用(二) 检测训练

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1．4.2导数应用(二)
1．会解决生活中的优化问题．
2．会利用导数解决某些实际问题．
基础梳理
1．优化问题．
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数求优化问题的步骤．
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小．最大(小)者为最大(小)值．
想一想：(1)求函数最值的常用方法有哪些？
(2)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________．
(1)解析：可以利用函数的单调性；可以利用基本不等式；可以利用导数．
(2)解析：设圆锥的高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，
其体积V ＝13
πx (202－x 2)(0<x <20)． V ′＝13
π(400－3x 2)，令V ′＝0， 解得x 1＝2033，x 2＝－203
3(舍去)． 当0<x <203
3时，V ′>0； 当203
3<x <20时，V ′<0， 所以当x ＝203
3时，V 取最大值． 答案：2033
cm 自测自评
1．在抛物线y ＝x 2上依次取两点，它们的横坐标分别为x 1＝1，x 2＝3，若抛物线上过点P 的切线与过这两点的割线平行，则点P 的坐标为(2，4)．
2．将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成a 2
和a 2
． 3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x (x ∈N *)的关系为y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运________年可使其营运年平均利润最大(C )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
基础巩固
1．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是(D)
A．6 B．9 C．9πD．6π
解析：因为S′＝2πr，所以S′(3)＝2π×3＝6π.
2．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为(B)
A．2 B．4
C．8 D．以上都不对
3．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，
如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝1
3x
3－x2＋8(0≤x≤5)，
那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)
A．8 B.20
3C．－1 D．－8
解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.故选C.
4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．
总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋
30(x ≥0)．
令L ′＝－0.3x ＋3.06＝0，得x ＝10.2.
∴当x ＝10时，
L 有最大值45.6.
答案：45.6万元 能力提升
5．有一边长分别为8与5的长方形，各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，则小盒的最大容积是(B )
A ．20
B ．18
C ．16
D ．14
解析：正方形边长为x ，则
V ＝(8－2x )·(5－2x )x ＝2(2x 3－13x 2＋20x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <52. V ′＝4(3x 2
－13x ＋10)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <52. V ′＝0得x ＝1，根据实际情况，小盒容积最大值是存在的， ∴当x ＝1时，容积V 取得最大值18.
6．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则高为(D )
A.33
B.1033
C.1633
D.2033
7．有长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地面积最大值为__________．
解析：设矩形长为x m ，则宽为(8－x )m ，矩形面积
S ＝x (8－x )(0＜x ＜8)，
令S ′＝8－2x ＝0得x ＝4.所以S max ＝16(m 2)．
答案：16 m 2
8．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0，4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为________．
解析：依题意知，存款额是kx 2，银行应支付的存款利息是kx 3，银行应获得的贷款利息是0.048kx 2，所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0＜x ＜0.048)，故y ′＝0.096kx －3kx 2.令y ′＝0，解得x ＝0.032或x ＝0(舍去)．
当0＜x ＜0.032时，y ′＞0；当0.032＜x ＜0.048时，y ′＜0. 因此，当x ＝0.032时，y 取得极大值，也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．
答案：3.2%
9．如下图所示，用铁丝弯成一个上面是半圆、下面是矩形的图形，其面积为100, 为使所用材料最省，矩形底宽应为多少？
解析：设圆的半径为r ，矩形的宽为b, 铁丝长为l ，
则100＝πr 22＋2br ，∴b ＝100－πr 222r
. ∴l ＝πr ＋ 2r ＋2b ＝πr ＋ 2r ＋100r －πr 2
.
∴l ′＝π＋2－100r 2－π2
. 令l ′＝0，得π＋2－100r 2－π2＝0，∴100＝⎝
⎛⎭⎪⎫2＋π2r 2 . 解得r ＝1024＋π.则底宽为2024＋π
时用料最省． 10．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改
造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额约为－13
x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)
解析：(1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )， 则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)， ∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，
则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)，
则g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，
∴g ′(x )＝－x 2＋4，
令g′(x)＝0，
解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2<x≤3时，g′(x)<0，
∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．。

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高中数学导数及其应用(二)新人教A版选修2-2

高中数学导数及其应用(二)新人教A版选修2-2


1
A.
B. 1
C .0
2
2、函数 f ( x ) ( x 3 )e x 的单调递增区间是
1 D.
2
()
A. ( ,2 ) B.(0,3) C.(1,4) D.
(2, )
3、函数 y f ( x ) 在一点的导数值为 0 是函数 y f ( x ) 在这点取极值的 ( )
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 必要非充分条件
2.D
x
x
f ( x) ( x 3) e ( x 3) e
(x
2)
x
e
,
令
f
( x)
0 , 解得 x
2
3.C 对于 f ( x )
3
x , f (x)
2
3 x , f (0)
0, 不能推出 f ( x ) 在 x 0 取极值 , 反之成立
(1) 设直线 l 与抛物线 C 交于两点 A ( x1, y 1 ), B ( x 2 , y2 ) , 且
x1 x2 , 直线 l 的斜率为 k , 试用 k 表示 x2 x1 ; (2) 求 S 的最小值 .
1.B f '( x )
a 1 , f '(1)
0
x
参考答案 a 1 0 ,∴ a 1.
2
已知 f ( x)
x log 3
ax b , x (0,
x
) , 是否存在实数 a、 b , 使 f ( x ) 同时满足下列
两个条件 :(1) f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数 , 在 1, 存在 , 求出 a、 b , 若不存在 , 说明理由 .
上是增函数 ;(2) f ( x ) 的最小值是 1 , 若
高二数学选修22导数及其应用测试题

高二数学选修22导数及其应用测试题

高二数学选修 2-2 导数及其应用测试题一、 选择题 ( 本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 )1．设 y1 x2 ，则 y' （）．sin xA ．2x sin x (1x 2 ) cos xB．2x sin x (1 x 2 ) cos xsin 2xsin 2xC ．2x sin x (1x 2 )D．2xsin x(1 x 2 )sin xsin x2．设 f ( x) ln x 2 1 ，则 f ' (2) （ ）．A ．453．已知 f (3)A ． 44．曲线 yx 3B．2C．1D．355 52, f ' (3)2 ，则 lim2x3 f (x) 的值为（ ）．x 3x3B． 0C ． 8D ．不存在在点 ( 2,8) 处的切线方程为（）．A ． y 6x 12 B． y 12x 16C ． y8x 10D． y 2x 325．已知函数 f ( x)ax 3 bx 2 cxd 的图象与 x 轴有三个不一样交点，，(0,0), ( x 1,0) (x 2 ,0)且 f ( x) 在 x1， x2 时获得极值，则 x 1 x 2 的值为（）A ． 4B． 5C． 6D．不确立6．在 R 上的可导函数f ( x) 1 x 3 1 ax 2 2bxc ，当 x (0,1) 获得极大值， 当 x(1,2)3 2获得极小值，则 b2的取值范围是（）．a 1A ． (1,1)B． (1,1)C． ( 1,1)D． (1,1) 42242 27．函数 f ( x)1 x (sin x cos ) 在区间 [0, ] 的值域为（）．ex2 2A ． [ 1 , 1 e 2 ]B． ( 1 , 1 e 2 )C． [1,e 2 ]D． (1, e 2 )2 22 28. 2x 36x 2 70 在区间 (0,2) 内根的个数为（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 39． 1.已知函数 y f (x) 在 x x0处可导，则 lim f (x0 h) f (x0 h)等于h 0h（）A ．f/( x0)B．２f / (x0 )C．－２ f / ( x0 )D．０10．如图是导函数y f /(x) 的图象，那么函数 y f ( x) 在下边哪个区间是减函数 ()A. ( x1, x3)B.( x2 , x4 )C. ( x4, x6)D. ( x5, x6)第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题（每题 4 分，共 16 分。

人教A版选修2-2高二数学测试(2-2,导数及其应用)答案.docx

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东至三中2007-2008学年度高二数学单元试题（1）（选修2-2）导数及其应用测试题答案一、选择题：1-5：AABBD 6-10：DDCDC 11-12：CB二、填空题13.递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（13-，1）（注：递增区间不能写成：（-∞，13）∪（1，+∞））14. 6 15.),2()1,(+∞⋃--∞ 16. 16 三、解答题17. 解；（1）∵曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 处的切线方程为31y x =+，∴(1)3,(1)4f f '==。

而2()32f x x ax b '=++且函数()y f x =在2x =-时取极值，有(2)1240(1)323(1)14f a b f a b f a b c '-=-+=⎧⎪'=++=⎨⎪=+++=⎩，得2,4,5a b c ==-= （2）由题意知2()3f x x bx b '=-+，又函数()y f x =在区间[-2，1]上单调递增，所以()0f x '>在（-2，1）上恒成立。

即：163[(1)]1b x x >++--在（-2，1）上恒成立。

而1163[(1)]62(1)011x x x x++-≤-⨯⋅-=--，因此0b ≥18. 解：由函数的定义域可知， 210x -> 即11x -<<又222211()ln [ln(1)ln(1)]12x f x x x x +==+---，2222122()()21111x x x x f x x x x x -'=-=++-+- 令()0f x '>，得1x <-或01x <<综上所述，()f x 的单调递增区间为（0，1） 19．32500120075y x x =-+-（x N ∈）当x =产量为25件时，总利润最大。

人教A版选修2-2《导数及其应用》训练题.docx

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《导数及其应用》训练题一、选择题（每小题5分, 共50分）1．设函数()y f x =可导，则0(1)(1)lim 3x f x f x∆→+∆-∆等于（ ）． A ．'(1)f B ．3'(1)f C ．1'(1)3f D ．以上都不对 ２．已知物体的运动方程是43214164S t t t =-+（t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度为0的时刻是（ ）．A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒３．若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）．A．6 B．6- C ．23 D ．23或0 ４．若点P在曲线3233(34y x x x =-++上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）．A ．[0,]πB ．2[0,)[,)23πππU C ．2[,)3ππ D ．2[0,)(,)223πππU ５．设'()f x 是函数()f x 的导数，'(y f x =()y f x =的图像最有可 能的是（ ）． ６．函数3()2f x x ax =+-在区间[1,)+∞ ）． A ．[3,)+∞ B ．[3,)-+∞．(,3)-∞-７．已知函数32()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值、极小值分别为（ ）． A ．427 ，0 B ．0，427 C ．427- ，0 D ．0，427- 8．由直线21=x ，2=x ，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积是（ ）． A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 9．函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（ ）．A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <10．21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a 的值为（ ）． '()f xA ．18 B ．14 C ．12D ．1 二、填空题（每小题5分，共20分） 11．由定积分的几何意义可知⎰--2224x =___________．12．函数)0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是 ．13．已知函数()ln f x ax x =-，若()1f x >在区间(1,)+∞内恒成立，则实数a 的范围为_______________．14．设函数()m f x x ax =+的导数为'()21f x x =+，则数列*1{}()()n f n ∈N 的前n 项和是______________． 三、解答题（共6题，共80分）15. （本题12分）求经过点(2,0)且与曲线1y x=相切的直线方程. 16．（本题12分）已知1x >，求证：ln(1)x x >+．17．（本题14分）已知函数32()39f x x x x a =-+++，（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．18．（本题1４分）已知函数432()41f x x x ax =-+-在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减，（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设2()1g x bx =-，若方程()()f x g x =的解集恰有3个元素，求b 的取值范围．19．（本题1４分）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格。