简谐运动位移公式推导资料讲解
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简谐运动位移公式推导
问题:质量为m的系于一端固定的轻弹簧(弹簧质量可不计)的自由端。如图
(a)所示,
将物体略向右移,在弹簧力作用下,若接触面光滑,m物体将作往复运动,试求
位移x与时间t的函数关系式。
图(a)
分析:m物体在弹力F的作用下运动,显然位移X与弹力F有关,进而由弹簧联想起胡克定律,但结果只有位移与时间,故要把弹力F替换成关于X与t的量, 再求解该微分方程。
推导:取物体平衡位置0为坐标原点,物体运动轨迹为X轴,向右为正。设弹力为F,
由胡克定律息4K为劲度系数,负号表示力与位移方向相反。
d2x
根据牛顿第二定律,m物体加速度a=必=肿=m=-m x
可令m=co 代入(a),得
dt 2 显然,想求出位移X 与时间t 的函数关系式,须解出此微分方程
⑷
(4)式属可将阶的二阶微分方程,
若设X'=u ,消去t,就要把把X”转化为关于X 与t 的函数,那么 du
dx +^ X =0, u dx
udu - 6? J Xdx
n n —
u=x :x'=4 …=4
•…⑹
dx
d2x
再 次 分 离 变 量,
=dt X=0.
dt 2 X=0 ,即 X'+'」
X=0 X '
du F 面分离变量再求解微分方程, 然后两边积分,得
-u 2
2 +C, 即/ 7 2
• x +C1