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导数练习题(含答案)

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导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题:1 已知32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于A193B ﻩ103C163ﻩ D133２ 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A ﻩ3ﻩﻩ ﻩB -3ﻩC ﻩ5 ﻩＤ －53 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A ﻩ222()x a -ﻩﻩ ﻩＢ 223()x a +ﻩﻩﻩC ﻩ223()x a -D 222()x a +4 曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A ﻩ19ﻩﻩ Ｂ29ﻩ C 13 ﻩ Ｄ 23５ 已知二次函数2y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数ｘ,有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 A ﻩ３ﻩ ﻩB52ﻩﻩﻩC ﻩ2 ﻩﻩＤ 326 已知函数()f x 在1x =处的导数为３,则()f x 的解析式可能为 Ａﻩ2()(1)3(1)f x x x =-+-ﻩ Ｂ()2(1)f x x =- ﻩﻩC2()2(1)f x x =-ﻩD ()1f x x =-７ 下列求导数运算正确的是 A211()1x x x '+=+ ﻩ ﻩﻩ B ﻩ21(log )ln 2x x '=ﻩﻩ C ﻩ3(3)3log x xe '=⋅ﻩD 2(cos )2sin x x x x '=-8 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A ﻩ6πB 34π ﻩC ﻩ4π ﻩﻩD 3π9 曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 Ａﻩ34y x =-ﻩB32y x =-+ﻩﻩＣ 43y x =-+ ﻩD 45y x =-10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k,若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为11 一质点的运动方程为253s t =-,则在一段时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为 A ﻩ36t ∆+ﻩ B ﻩ36t -∆+ﻩC36t ∆- ﻩﻩD 36t -∆-１２ 曲线()ln(21)f x x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是Aﻩ BﻩCﻩＤ 01３ 过曲线32y x x =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐标为 Ａ (0,1)(1,0)-或ﻩ Ｂ (1,4)(1,0)--或 ﻩC(1,4)(0,2)---或D (2,8)(1,0)或１4 点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是 Ａ[0,]2πﻩﻩ Ｂ 3[0,)[,)24πππ ﻩﻩC ﻩ3[,)4ππ D 3(,]24ππ二、填空题1５ 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等实根，且()22f x x '=+,则()y f x =的表达式是_＿____________1６ 函数2sin x y x=的导数为___＿_＿＿______＿___＿_____＿＿_____＿＿_17 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+,则(1)(1)f f '+=＿______＿＿18 已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则ｋ的最大值为___＿＿_＿___＿___________＿____ 三、解答题19 求下列函数的导数(１)1sin 1cos x y x -=+(２) y= (3）y = （4) tan y x x =⋅ 20 已知曲线21:C y x =与22:(2)C y x =--，直线l 与12,C C 都相切，求直线l 的方程２１ 设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=（１）求()f x 的解析式(2）证明:曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

22 已知定义在正实数集上的函数221()2,()3ln 2f x x axg x a x b =+=+,其中0a >,设两曲线(),()y f x y g x ==有公共点,且在公共点处的切线相同(1）若1a =，求b 的值(２)用a 表示ｂ，并求b 的最大值导数概念及其几何意义、导数的运算答案二、填空题：15、 2()21f x x x =++ ﻩ16、222sin cos sin x x x xy x-⋅'=ﻩ１7、 3ﻩ ﻩﻩﻩ18、1e三、解答题: １9、解：(１）22cos (1cos )(1)sin (1cos )cos 1sin (1cos )x x xinx xy x x x x -⋅++-'=+-++=+(2）332252232sin 33cos 2sin 2x y x xx y x x x x x x----=++'∴=-+-(3)2(1)(01)1y x x x x=+=≥≠-且 22(1)(1)(1)(1)2(1)4(01)(1)x x x x y x x x x ''+---+'∴=-=≥≠-且（4）222sin (tan )()cos (sin )cos sin (cos )1cos cos tan (tan )tan cos xx xx x x x x x y x x x x x x x''=''-=='''∴=+=+20、解：设直线l 斜率为ｋ,且与曲线12,C C 相切于点11122(,)(,)P x y x y 2，P 由 22(),()(2)f x x g x x ==-- 得 ()2,()24f x x g x x ''==-+∴11()2k f x x '== （1）22()24k g x x '==-+ （2) 又2221122121(2)y y x x k x x x x -+-==--- （3) 由 (1)（2)(3）式得:11220220x x x x ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 ∴ 04k k ==或且1(0,0)(2,0)P 2且P 或1(2,4)(0,4)P -2且P∴ 所求直线l 的方程为 044y y x ==-或21、解：（1)方程74120x y --=可化为734y x =- 当2x =时,12y =又 2()b f x a x'=+于是 1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得 13a b =⎧⎨=⎩故 3()f x x x=-（2）设00(,)P x y 为曲线上任一点,由23()1f x x '=+,知曲线在点00(,)P x y 处的切线方程为 0023(1)()y y x x x-=+- 即 002233()(1)()y x x x x x --=+- 令 060,x y x ==-得： 从而得切线与直线0x =的交点坐标为06(0,)x -令 y x = 的 02y x x ==从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(2,2)x x所以点00(,)P x y 处的切线与直线y x =0x =所围成的三角形面积为0016262S x x =-⋅= 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线y x =0x =所围成的三角形面积为定值，此定值为６.２２、解：(1）1a =∴ 21()2,()3ln 2f x x xg x x b =+=+ ∴ 3()2,()f x x g x x''=+=设两曲线的交点为00(,)P x y∴ 0000()()()()f x g x f x g x =⎧⎨''=⎩∴ 200000123ln 232x x x b x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得: 03x =-（舍去)，或01x = 所以 52b = (２)0000()()()()f x g x f x g x =⎧⎨''=⎩∴ 22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得:03x a =-，或0x a =00,a x a >∴=所以222123ln 2a a a ab +=+ 即 2253ln (0)2b a a a a =-> 设 225()3ln (0)2h a a a a a =-> ∴ ()56ln 32(13ln )h a a a a a a a '=--=-令 13()0,h a a e '==又当 13(0,)a e ∈时，()0h a '>,当13(,)a e ∈+∞时,()0h a '<∴ 当 13a e =时，()h a 取最大值2223335322e e e -=即 b 的最大值为2332e。

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导数的运算专项练习(含答案)

导数的运算专项练习(含答案)

导数的运算一、单选题（共33题；共66分）′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为（）A. 0B.3 C.4 D. －2.函数的导数为（）A. B.C. D.3.设函数，若，则等于（）A. B.C.D.4.设则等于( )A. B.C. D.5.已知函数的导函数,且满足，则＝( )A.B.C. 1D.6.已知函数的导函数为，且，则（）A. 2B. 3C. 4D. 57.下列求导运算的正确是（）A. 为常数B. C. D.8.已知函数的值为（）A.B. C .D.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数f（x）=sinx-cosx，则f'（）=（）A. B.C. D .11.若函数f（x）=2+xcos2x，则f'（x）=（）A. cos 2x-xsin 2xB. x-sin2x C. 1-2sin2x D. cos2x-2sin2x12.函数的导数为（）A. ＝2B. ＝C. ＝2D.＝13.设函数的导函数为，且，则＝( )A. 0B.－4 C. －2 D. 2 14.设，若，则（）C.D.15.已知函数，则其导数（）A. B.C.D.16.若函数，则的值为（）A. 0 B . 2 C.1 D.－117.已知函数，且，则的值为（）A. B.C.D.18.已知函数，为的导函数，则的值为（）A.B.C.D.19.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B . C.21.若，则函数的导函数（）A. B.C. D.22.函数的导数为（）A. B.C.D.23.下列导数式子正确的是（）A. B.C. D.24.已知，则等于（）A. -2B. 0C. 2D. 425.已知函数，则（）A. B.C.D.26.已知，则（）A.B.C.D.27.设，，则x0＝( )A. e2B.e C.D. ln 228.下列求导数运算正确的是（）A. B.C. D.29.若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为（）A. (0，＋∞)B. (－1，0)∪(2，＋∞) C. (－1，0) D. (2，＋∞)30.下列求导运算正确的是( )A. B. C.D.31.已知，则( )A. B.C.D. 以上都不正确32.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )A. e2B.e C.D. ln 233.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.二、填空题（共11题；共11分）34.已知函数的导函数为，若，则的值为________.35.若函数,则的值为________．36.已知，则________．37.若函数，则________．38.已知函数，则________．39.已知函数，是的导函数，则________．40.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．41.已知在上可导，，则________．42.已知函数的导函数为，且，则________．43.已知f（x）=2x+3xf′（0），则f′（1）=________．44.已知函数f（x）＝2e x﹣x的导数为，则的值是________．三、解答题（共6题；共60分）45.求下列函数的导函数.①②③④⑤⑥46.求下列函数的导函数①②③④⑤⑥47.求下列函数的导数：（1）；（2）.48.求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）．49.求下列函数的导数．（1）；（2）.50.求下列函数的导数．（1）y＝3x2＋xcos x；（2）y＝lgx－；答案解析部分一、单选题1.【答案】 B【考点】导数的运算【解析】【解答】解：因为，则，所以，故答案为：B.【分析】先由函数，求得导函数，再求即可得解.2.【答案】 D【考点】导数的运算【解析】【解答】因为,则函数的导函数,故答案为：D.【分析】先根据完全平方公式对展开，再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解.3.【答案】 D【考点】导数的运算【解析】【解答】，，，解得，故答案为：D,【分析】对函数求导，再由可求出实数的值.4.【答案】 D【考点】导数的运算【解析】【解答】由，得.故答案为：D.【分析】由已知利用导数的运算性质进行计算，即可得结果.5.【答案】 B【考点】导数的运算【解析】【解答】对函数进行求导，得把代入得，直接可求得。

导数的计算练习题及答案

导数的计算练习题及答案

导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。

解答：根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。

f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式：f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开：f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。

化简结果：f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。

2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。

导数练习题 (含答案)

导数练习题 (含答案)

导数练习题班级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D．与x 轴相交但不垂直7．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋ 2D ．y ＝－x －28．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116) D ．(12，14) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－ 1D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ． 6D ．9 12．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.19C ．－14D ．－1913．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x ?x ＋3?2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x ?x ＋3?2D.3x 2＋6x?x ＋3?2 14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ． 1D．215．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤018．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞) D ．(1，＋∞) 19．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件20．设x 0为可导函数f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )A ．必有f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 22．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 23．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 24．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( ) A ．2 B ．2，－ 1 C ．－1 D ．－3 25．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3) 26．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4 27．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15 D ．－22 28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1秒末 B．0秒 C．4秒末D．0,1,4秒末二、填空题1．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.2．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.3．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.4．令f(x)＝x2·e x，则f′(x)等于________．5．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.6．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.7．一物体的运动方程是s(t)＝1t，当t＝3时的瞬时速度为________．8．设f(x)＝ax2－b sin x，且f′(0)＝1，f′(π3)＝12，则a＝________，b＝________.9．y＝x3－6x＋a的极大值为________．10．函数y＝x e x的最小值为________．11．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．12．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x ＋10，求：(1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝12x .4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．5．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．导数练习题答案班级姓名一、选择题1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数答案：A2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x ＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40B ．0.41C．0.43D ．0.44解析：选 B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A． 4B ．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D ．4x解析：选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以ΔyΔx＝4＋2Δx，故选B.4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )A． 6B ．18C．54D ．81解析：选B.ΔsΔt＝3?3＋Δt?2－3×32Δt，s′＝li mΔt→0ΔsΔt＝li mΔt→0(18＋3Δt)＝18，故选B.5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( )A． 3B ．－3C． 2D ．－2解析：选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B ．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D ．与x轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．7．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－ 2B ．y＝xC．y＝x＋ 2D．y＝－x－2解析：选 A.f′(1)＝li mΔx→0－11＋Δx＋11Δx＝li mΔx→011＋Δx＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )A． 4B．16C．8D．2解析：选C.9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A．(0,0)B ．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)故选D.10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝ 1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－ 1D．a＝－1，b＝－1解析：选A.11．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( ) A．0 B．2xC．6 D．9解析：选C.∵f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6.12．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)＝( )A ．4 B.19 C ．－14 D ．－19解析：选 D.∵f ′(x )＝－1x2，∴f ′(－3)＝－19. 13．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( ) A.x 2＋6x ?x ＋3?2 B.x 2＋6x x ＋3 C.－2x ?x ＋3?2 D.3x 2＋6x ?x ＋3?2 解析：选A14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选 B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2.∴f ′(－1)＝－1. 15．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A. 16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞解析：选 D.f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ≥13 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ≤0解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数， 所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立， 即3ax 2≤1恒成立． 当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若a ≤13x2恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0.18．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，C ．(12，＋∞)D ．(1，＋∞解析：选 C.∵y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，∴x >12. 即函数的单调递增区间为(12，＋∞)． 19．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x ＝0处取极值，反之成立．故选B. 20．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0答案：A22．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.23．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．24．函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2x取极小值时，x的值是( )A．2 B．2，－1C．－1 D．－3解析：选C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如图所示：∴x＝－1时取极小值．25．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A．f(2)，f(3)B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．26．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A．－2 B．0C．2 D．4解析：选 C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.27．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A．－10 B．－71C．－15 D．－22解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71. 28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－1 3x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：选C29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝14t4－53t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( )A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末解析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.二、填空题1．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.答案：12．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.答案：33．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.答案：24．令f(x)＝x2·e x，则f′(x)等于________．解析：f′(x)＝(x2)′·e x＋x2·(e x)′＝2x·e x＋x2·e x＝e x(2x＋x2)．答案：e x(2x＋x2)5．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.解析：2＝li mΔx→0 ?x0＋Δx?2＋4?x0＋Δx?－x20－4x0Δx＝2x0＋4，∴x0＝－1.答案：－16．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.解析：∵y′＝10x ln10，∴y′|x＝1＝10ln10.答案：10ln107．一物体的运动方程是s(t)＝1t，当t ＝3时的瞬时速度为________．解析：∵s′(t)＝－1t2，∴s′(3)＝－132＝－19.答案：－198．设f(x)＝ax2－b sin x，且f′(0)＝1，f′(π3)＝12，则a＝________，b＝________.解析：∵f′(x)＝2ax－b cos x，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f′(π3)＝23πa＋12＝12，得a＝0.答案：0 －19．y＝x3－6x＋a的极大值为________．解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝± 2.当x<－2或x>2时，y′>0；当－2 <x<2时，y′<0.∴函数在x＝－2时，取得极大值a＋4 2.答案：a＋4 210．函数y＝x e x的最小值为________．解析：令y′＝(x＋1)e x＝0，得x ＝－1.当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0.∴y min＝f(－1)＝－1 e .答案：－1 e11．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．解析：设底面边长为x，则高为h＝256x2，其表面积为S＝x2＋4×256x2×x＝x2＋256×4x，S′＝2x－256×4x2，令S′＝0，则x＝8，则高h＝25664＝4 (dm)．答案：412．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析：设矩形的长为x m，则宽为16－2x2＝(8－x) m(0<x<8)，∴S(x)＝x(8－x)＝－x2＋8x∴S′(x)＝－2x＋8，令S′(x)＝0，则x＝4，又在(0,8)上只有一个极值点，且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，x∈(4,8)时，S(x)单调递减，故S(x)max＝S(4)＝16.答案：16三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x；(2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.解：(1)y′＝6x＋cos x－x sin x.(2)y′＝1＋x－x?1＋x?2＝1?1＋x?2.(3)y′＝(lg x)′－(e x)′＝1x ln10－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎨⎧y＝x2＋4，y＝x＋10，得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0，∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝limΔx→0?x＋Δx?2＋4－?x2＋4?Δx＝limΔx→0?Δx?2＋2x·ΔxΔx＝limΔx→0(Δx＋2x)＝2x.∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝12x.解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y′＝1－1x.令1－1x>0，解得x>1；再令1－1x<0，解得0<x<1.因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，函数的单调减区间为(0,1)．4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x ＝－1时，取得极大值7；当x ＝3时，取得极小值，求这个极小值及a 、b 、c的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可知－1,3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，则有⎩⎨⎧－1＋3＝－23a ，－1×3＝b3，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－9，∴f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c .由f (－1)＝7，得－1－3＋9＋c ＝7，∴c ＝2.∴极小值为f (3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.5．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化数有极大值，且极大值为283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.(2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f (4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.。

导数练习题及答案

导数练习题及答案

导数练习题及答案一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )A．6 B．18C．54 D．81[答案] B[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B.3．y＝x2在x＝1处的导数为( )A．2x B．2C．2＋Δx D．1[答案] B[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2∴ΔyΔx＝2＋Δx当Δx→0时，ΔyΔx→2∴f′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为( ) A．37 B．38C．39 D．40[答案] D[解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D.5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率C．f(x)在x0处的导数记为y′D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答案] C[解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C.6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( ) A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)ΔxD．f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D正确．故应选D.7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( )A．4a B．2a＋bC．b D．4a＋b[答案] D[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－cΔx ＝4a＋b＋aΔx，∴y′|x＝2＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (4a＋b＋aΔx)＝4a＋b.故应选D.8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A．圆 B．抛物线C．椭圆 D．直线[答案] D[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的.图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为( )A．0 B．3C．－2 D．3－2t[答案] B[解析] ∵ΔsΔt＝3(0＋Δt)－(0＋Δt)2Δt＝3－Δt，∴s′(0)＝limΔt→0 ΔsΔt＝3.故应选B.10．设f(x)＝1x，则limx→a f(x)－f(a)x－a等于( )A．－1a B.2aC．－1a2 D.1a2[答案] C[解析] limx→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a 1x－1ax－a＝limx→a a－x(x－a)xa＝－limx→a 1ax＝－1a2.二、填空题11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.[答案] －11，－112[解析] limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－f′(x0)＝－11；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝－12f′(x0)＝－112.12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy＝1＋Δx＋11＋Δx－1＋11＝Δx－1＋1Δx＋1＝(Δx)2Δx＋1，∴ΔyΔx＝ΔxΔx＋1.∴y′|x＝1＝limΔx→0 ΔxΔx＋1＝0.13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．[答案] 2[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)＋4－2a－4Δx＝a，∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝a.∴a＝2.14．已知f′(x0)＝limx→x0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→3 2x－3f(x)x－3的值是________．[答案] 8[解析] limx→3 2x－3f(x)x－3＝limx→3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3＝limx→3 2x－3f(3)x－3＋limx→3 3(f(3)－f(x))x－3.由于f(3)＝2，上式可化为limx→3 2(x－3)x－3－3limx→3 f(x)－f(3)x－3＝2－3×(－2)＝8.三、解答题15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．[解析] 由导数定义有f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0 (x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0 Δx(2x0＋Δx)Δx＝2x0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 位移公式为s＝12at2∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)ΔyΔx (2)f′(1)．[解析] (1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－12－3Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0 f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．[解析] f(x)＝x＋x2 (x≥0)－x－x2 (x<0)Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)＝Δx＋(Δx)2 (Δx>0)－Δx－(Δx)2 (Δx<0)∴limx→0＋ΔyΔx＝limΔx→0＋ (1＋Δx)＝1，limΔx→0－ΔyΔx＝limΔx→0－ (－1－Δx)＝－1，∵limΔx→0－ΔyΔx≠limΔx→0＋ΔyΔx，∴Δx→0时，ΔyΔx无极限．∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x →0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)。