立体几何基础知识
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立体几何基础知识
1. 平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性
2. 平面的画法及其表示方法：
①常用平行四边形表示平面 通常把平行四边形的锐角画成 45 ，横边画成邻边的两倍 画两个平面相交时，
当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画
②一般用一个希腊字母 、 、 来表示， 还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面 AC .
3. 空间图形是由点、线、面组成的 点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形 符号语言 文字语言（读法）
A a A a 点 A 在直线 a 上
A a A a 点 A 不在直线 a 上
A A 点 A在平面 内
A A 点 A 不在平面 内
A b
a b A 直线 a 、 b 交于 A点 a
a a 直线 a 在平面 内
a a // 直线 a 与平面 平行
a
A
a A 直线 a 与平面 交于点 A
l 平面 、 相交于直线 l
注意：直线与平面平行（ a // ）和直线与平面相交（ a A ）两种情形，统称为直线在平面外，记
为 a .
4. 平面的基本性质
(1) 公理 1: 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
符号表示： A , B a ． 如图示： A B
应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．
公理 1 说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平” ，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性” ，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
(2) 公理
2: 如果两个平面有一个公共点
, 那么它们还有其他公共点
, 且所有这些公共点的集合是一条过这
个公共点的直线
A
符号表示： l 且 A l 且 l 唯一 如图示： A
应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上
公理 2 揭示了两个平面相交的主要特征， 是判定两平面相交的依据，
提供了确定两个平面交线的方法．
(3) 公理 3: 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
推理模式： A, B, C 不共线 存在唯一的平面 ，使得 A, B, C
应用：①确定平面；②证明两个平面重合
注意 : “有且只有一个”的含义分两部分理解， “有”说明图形存在，但不唯一， “只有一个”说明图
形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在， “有且只有一个”既保证了图形的存
在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中， “确定一个” ，“可以作且只能作一个”
与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
(4) 推论 1 : 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面
推理模式： A a 存在唯一的平面 ，使得 A ， l
(5) 推论 2: 经过两条相交直线有且只有一个平面
推理模式： a b P 存在唯一的平面 ，使得 a ,b
(6) 推论 3 : 经过两条平行直线有且只有一个平面
推理模式： a // b 存在唯一的平面 ，使得 a ,b
5. 平面图形与空间图形的概念 : 如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则
称为空间图形 特别注意空间四边形是平面图形而不是平面图形 .
6. 空间两直线的位置关系
（ 1）相交——有且只有一个公共点；
（ 2）平行——在同一平面内，没有公共点； （ 3）异面——不在任何 一个平面内，没有公共点；
．．
7. 公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式： a // b, b // c a // c ．
8. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
9. 等角定理的推论 : 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 , 那么这两条直线所成的锐角 ( 或直角 ) 相
等
10. 空间两条异面直线的画法
a b
b
a
b
a
D1 C1
A1 B1
D C
AB
11. 异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
推理模式： A , B , l , B l AB 与 l 是异面直线
12. 异面直线所成的角：已知两条异面直线 a, b ，经过空间任一点 O 作直线 a // a, b // b ， a , b 所成的角的
大小与点 O 的选择无关，把 a , b 所成的锐角（或直角）叫异面直线 a, b 所成的角（或夹角） ．为了简便，
点 O 通常取在异面直线的一条上
注 : 异面直线所成的角的范围： (0, ]
2
13. 异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 a,b 垂直，
记作 a b．
14. 求异面直线所成的角的方法：通过平移，把两条异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角 .
15. 两条异面直线的公垂线、距离
和两条异面直线都垂直相交 的直线，我们称之为异面直线的公垂线
．．．．
理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的
距离．
注意 : 两条异面直线的公垂线有且只有一条
16. 直线和平面的位置关系
（ 1）直线在平面内（无数个公共点） ；符号表示为 : a ;
（ 2）直线和平面相交（有且只有一个公共点） ；符号表示为 : a A ，
（ 3）直线和平面平行（没有公共点） ; 符号表示为 : a // ．
17. 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推理模式： a ,b , a // b a // ．
18. 线面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行．
推理模式： a // , a , b a // b ．
19. 平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．
20. 图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．
21. 平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．
推理模式：： a ， b ， a b P ， a // ， b // // ．
22. 平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．
推理模式：
a //
a ' ,
b //
b ' , , ,
b ,
a '
b ' '
a ' ,
b ' //
． a b o a o
23. 平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
推理模式： // , a, b a // b ．
24. 面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
推理模式： // , a a // ．
25. 线面垂直定义： 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平 面互相垂直 其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥ α
26. 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
27. 直线和平面垂直的性质定理 :
如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行
28. 两个平面垂直的定义： 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面
29. 两平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
推理模式： a ? ， a ．
30. 两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
推理模式： , l , a , a l a
31. 异面直线所成的角：已知两条异面直线 a, b ，经过空间任一点 O 作直线 a // a, b // b ， a , b 所成的角的
大小与点 O 的选择无关，把 a , b 所成的锐角（或直角）叫异面直线 a, b 所成的角（或夹角） ．为了简便，
点 O 通常取在异面直线的一条上
注 : 异面直线所成的角的范围： (0, ]
2
32. 求异面直线所成的角的方法： a
b′
b O
33. 直线和平面所成角
（ 1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角
注: ①一直线平行于平面或在平面内，所成角为 0 角
②直线和平面所成角范围： 0， 2
（ 2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角
34. 二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个
半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 若棱
为 l ，两个面分别为 , 的二面角记为 l ；
35. 二面角的平面角：
（ 1）过二面角的棱上的一点 O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA, OB ，则 AOB 叫做二面角
l 的平面角
2
l 的棱 l
，且与两半平面交线分别为 OA, OB, O 为垂足，则 AOB
也 （ ）一个平面垂直于二面角
是 l 的平面角
说明：①二面角的平面角范围是 [0 ,180 ] ；
②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直
