1.5复合函数

5.1二次函数

1 广宇学校初三数学学案

课题§5.1二次函数主备人：审核人：

教学目标：

1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；

2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。

教学重点和难点：

体会二次函数意义，确定二次函数关系式中各项的系数

教学过程：

一、情景导入：

1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是。

2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大?

设长方形的长为x米，则宽为米，如果将面积记为y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为 .

3．要给边长为x米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y为多少元？

在这个问题中,地板的费用与有关,为元,踢脚线的费用与

有关,为元;其他费用固定不变为元,所以总费用y（元）与x（m）之间的函数关系式是。

二、新知探索：

上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？

。

一般地，我们称表示的函数为二次函数。其中

是自变量，函数。

一般地，二次函数cbxaxy2中自变量x的取值范围是，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？

§1-1复合函数与初等函数

教案首页

北京市工贸技师学院

专业：高计、高钳科目：高等数学授课人：

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课题 §1-1复合函数与初等函数

教学目的理解复合函数的定义和初等函数的定义，掌握复合函数

和初等函数的求解方法，并会求定义域。

主要教学

内容一、复合函数

二、初等函数

重点复合函数、初等函数的定义、定义域

难点复合函数的求解方法

教学方法讲授法、启发式、典型例题讲解

教具三角板

作业 P3练习 P5练习

所用教材高等教育出版社《数学》第五册

备注 P2~P5

编写日期：2010年 1月 25日教案纸

教学内容备注

板书设计:

§1-1 复合函数与初等函数

一、复合函数

XXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXX 二、初等函数

XXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXX

复习提问：（10分钟）

1．函数的定义、定义域、区间？

2．幂函数、指数函数、对数函数的概念？

导入新课：（5分钟）

在我们所学过的函数中，幂函数xy，指数函数)10.(aaayx且，对数函数)10.(logaaxya且，三角函数xyxyxytan,cos,sin是最常见的，也是最基本的函数。而在实际中遇到的函数远不止这些。例如：xxysin2是由常数x与2的乘积再与xsin求和后构成的函数。再如：由xuuysin，和又可以合成函数xysin，它们都是初等函数。下面我们从复合函数讲起，最后再来研究初等函数。

函数的基本初等函数与复合函数

函数作为数学中重要的概念，是数学研究的核心内容之一。本文将探讨函数的基本初等函数与复合函数，并介绍它们的定义、性质和应用。

1. 基本初等函数

基本初等函数是指一些常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。每个基本初等函数都有其独特的性质和特点。

1.1 常数函数

常数函数是指函数图像上所有的点都位于同一条水平线上，即对于任意的x值，函数的取值都是一个常数。常数函数的表达式为f(x) = C，其中C为常数。

1.2 幂函数

幂函数是指函数的定义域为全体实数，并且函数表达式为f(x) = x^a，其中a为实数指数。幂函数的图像呈现出平滑的曲线，且取决于指数a的不同而有不同的特征。

1.3 指数函数

指数函数是以常数e为底的幂函数，其定义域为全体实数。指数函数的表达式为f(x) = e^x，其中e约等于2.71828。指数函数具有快速上升的特点，是模型中常见的函数之一。 1.4 对数函数

对数函数是指以某个正实数为底的幂函数的反函数，其定义域为正实数集合。对数函数的表达式为f(x) = log_a(x)，其中a为底数。对数函数具有递增且变化逐渐减缓的特点。

1.5 三角函数与反三角函数

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，其定义域为全体实数。三角函数具有周期性和周期性平移的特点。反三角函数是指三角函数的反函数，其定义域和值域视情况而定。

2. 复合函数

复合函数是指多个函数的组合形成的新的函数。设有两个函数f(x)和g(x)，则其复合函数为f(g(x))。复合函数的性质取决于原函数之间的关系。

复合函数的定义要求满足两个函数的定义域和值域相互对应，且内层函数的值域必须是外层函数的定义域。复合函数的运算法则是由内到外进行运算。

3. 应用

基本初等函数和复合函数在数学和实际问题中有着广泛的应用。

在数学上，基本初等函数是构建更复杂函数的基础，通过组合使用这些基本函数，可以推导出其他函数的性质和特点。基本初等函数的研究为数学发展提供了坚实的基础。在实际生活中，函数的应用非常广泛。例如，指数函数可用于描述人口增长或物质衰变等自然现象；对数函数可用于解决与倍数关系相关的问题；三角函数可用于描述周期性变化的现象等等。复合函数则可以帮助我们解决更为复杂的问题，例如经济学中的成本函数与收益函数的复合运用。

高中数学求解复合函数方程的常用技巧和注意事项

在高中数学中，求解复合函数方程是一个常见且重要的题型。本文将介绍一些常用的技巧和注意事项，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和解决这类问题。

一、复合函数方程的基本概念

复合函数方程是指方程中含有复合函数的形式，例如f(g(x))=h(x)，其中f(x)、g(x)和h(x)都是函数。解这类方程的关键是找到合适的方法将复合函数进行拆解，从而将方程转化为简单的代数方程。

二、拆解复合函数的方法

1. 借助图像：观察函数图像可以帮助我们理解复合函数的性质和特点。例如，如果题目中给出了f(x)和g(x)的图像，我们可以通过观察图像来判断它们的交点，从而得到方程的解。

举例：已知f(x)=x^2，g(x)=2x+1，求解f(g(x))=4的解。

解析：首先，我们可以画出f(x)和g(x)的图像，然后观察它们的交点。由图像可知，f(g(x))=4的解对应于g(x)的图像与y=4的水平线的交点。通过观察图像，我们可以发现交点的横坐标大约是2，因此我们可以猜测g(x)=2的解是x=2。将x=2代入f(g(x))=4中，得到f(2)=4，进一步计算得到f(g(2))=f(5)=25。因此，方程f(g(x))=4的解是x=5。

2. 代数运算：利用代数运算的性质，我们可以对复合函数进行拆解，从而得到简单的代数方程。常用的代数运算包括函数的合并、分解、化简等。

举例：已知f(x)=2x，g(x)=x+1，求解f(g(x))=5的解。解析：我们可以将f(g(x))展开为f(g(x))=2(x+1)=2x+2，然后将方程f(g(x))=5转化为2x+2=5，进一步求解得到x=1.5。因此，方程f(g(x))=5的解是x=1.5。

三、注意事项

1. 注意定义域：在求解复合函数方程时，需要注意函数的定义域。如果定义域不满足方程要求，那么相应的解是无效的。

举例：已知f(x)=√x，g(x)=x+1，求解f(g(x))=2的解。

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5.1二次函数

§1-1复合函数与初等函数

函数的基本初等函数与复合函数

高中数学求解复合函数方程的常用技巧和注意事项

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