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平面曲线的弧长与曲率

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《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 河西学院数学系

1

§3 平面曲线的弧长与曲率

教学目标：掌握平面曲线的弧长与曲率

教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式．

(1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式．

(2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式．

教学建议：

(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式．

(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式．

教学过程：

一、曲线弧长的概念

设平面曲线),(BAC，在其上从A到B依次取分点得曲线的一个分割T：

BPPPPAn,,,,210

用线段联结相邻的点得：niPPii,,2,1,1。记

niiiTiiniPPsPPT1111,max

分别表示最长弦的长度和折线的总长度。

定义1 对于平面曲线C的无论怎样的分割T，若极限

ssTT0lim

存在，则称曲线C是可求长的，并称s为曲线C的弧长。

二、参数形曲线的弧长的计算公式

定义2 设平面曲线].,[),(),(:ttyytxxC若)(tx与)(ty在],[上连续可微，且)('tx与)('ty不同时为零，则称C为一条光滑曲线。

定理1 设平面曲线],[),(),(:ttyytxxC为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长为 《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 河西学院数学系

2 .)(')('22dttytxs

证： 对C作任意分割T： BPPPPAn,,,,210，并设nPP,0分别对应t与x，且.1,2,1)),(),((),(nitytxyxPiiiii于是与T对应地得到区间],[的一个分割.:'110nnttttT在],[1iiixx上应用微分中值定理得

;,)(')()(1iiiiiiitxtxtxx

.,)(')()(1iiiiiiitytytyy

从而有

.)(')('122122iniiiniiiTtyxyxs

由C为一光滑曲线知，0T与0'T是等价的。又由)(')('22tytx在],[上连续从而可积，因此由定义1，只需证明

iniiiTTTtyxs1220'0)(')('limlim.)(')('22dttytx （*）

记,)(')(')(')('2222iiiiiyxyx则有

.])(')('[122iiniiiTtyxs

由三角不等式易证

.,2,1,)(')(')(')('niyyyyiiiii

又因)('ty在],[上连续，从而一致连续，故,0,0当'T时，只要iii,，就有

..,2,1,nii

于是有

.)(')('11122iniiniiiniiiiTtttyxs 《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 河西学院数学系

3 由此及（*）式知，所证公式成立。

例1、求摆线)0)(cos1(),sin(atayttax一拱的弧长。

解： ,sin)('),cos1()('tatytatx由公式 得

dttadttytxs2022022)cos1(2)(')('=.82sin220adtta

三、直角坐标形曲线的弧长的计算公式

若曲线C：],[),(baxxfy，则当)(xf在],[ba上连续可微时，此曲线为一光滑曲线，它的弧长公式为

.)('12dxxfsba

例2、求悬链线2xxeey从0x到0ax一段的弧长。

解： ,4)('1,2'22xxxxeeyeey由公式得

.22)('1002aaaxxaeedxeedxxfs

四、极坐标形曲线的弧长的计算公式

设曲线C：].,[),(rr将其化为参数形C：

].,[,sin)(,cos)(ryrx

当)('r在],[上连续，且)(r与)('r不同时为零时，此极坐标曲线是一光滑曲线，其弧长的计算公式为

.)(')(22drrs

例3、求心形线)0)(cos1(aar的周长。

解： 由公式得

dadrrs2022022)cos1(22)(')( 《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 河西学院数学系

4 .82cos40ada

注意：若定理1中公式的上限改为变量t，则有

.)(')('22dyxst

由于被积函数 连续，所以有

)(')(')('22tytxts

ds=dttytx)(')('22

后式称为弧微分。

作业：P246 : 1.

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弧线的长度和曲率的关系及其在物理学中的应用

弧线的长度和曲率的关系及其在物理学中的应用

弧线的长度和曲率的关系及其在物理学中的应用

弧线是曲线的一种特殊形式，它具有一定的长度和曲率。本文将探讨弧线的长度和曲率之间的关系，并介绍在物理学中这种关系的应用。

一、弧线的长度和曲率的概念

弧线是指在平面上不同点之间的连续曲线。弧线的长度是指这条曲线所覆盖的实际距离。曲率是指在曲线上某一点处的切线与该点附近曲线的弯曲程度，曲率的大小与曲线的弯曲程度成正比，可以用弧长来表示。

二、弧线的长度和曲率之间的关系

在微积分中，弧长可以通过积分来计算。设曲线方程为y=f(x)，x从a到b，弧线的长度可以表示为：

L = ∫[a,b] √(1+(dy/dx)^2) dx

其中，dy/dx为曲线斜率的导数。而曲率可以通过求导数来计算，即：

k = |dy/dx| / (1+(dy/dx)^2)^3/2

可以观察到，曲率与弧线的长度之间并没有直接的数学关系。曲率的计算只与称为“二阶导数”的概念相关，而弧线的长度则需要通过积分来求解。

三、弧线长度和曲率的物理学应用 弧线长度和曲率的关系在物理学中有广泛的应用。以下是其中的几个例子：

1. 光学系统中的透镜设计

在光学系统中，透镜的曲率决定了光线的聚焦效果，而弧长则影响光线的传输距离。通过研究弧线的长度和曲率之间的关系，可以设计出更加精确的透镜，提高光学系统的成像效果。

2. 电子学中的电路板设计

在电子学中，电路板的设计通常需要考虑电子元件之间的布局和连接。弧线的长度和曲率可以影响电路板的布线长度和连接的可靠性。通过优化弧线的长度和曲率，可以减少电路板的空间占用，提高电子设备的性能和可靠性。

3. 车辆运动的轨迹规划

在机器人或自动驾驶系统中，车辆需要根据预定的路径进行运动。弧线的长度和曲率可以影响车辆的转弯半径和行驶距离。通过研究弧线的长度和曲率之间的关系，可以优化车辆的轨迹规划，提高运动效率和安全性。

4. 引力场中的物体运动

在物理学中，弧线的长度和曲率对于描述物体在引力场中的运动轨迹非常重要。例如，行星围绕太阳运动的轨迹可以近似看作椭圆弧线，弧线的长度和曲率可以通过引力定律和牛顿力学的公式进行计算，从而描述行星运动的特性。 结论

平面曲线曲率半径的运动学探究

平面曲线曲率半径的运动学探究

平面曲线曲率半径的运动学探究

以曲线和曲面为代表的几何特征在现代生活中随处可见，研究者对其在现代大型建筑设计、工业生产制造、物体运动学规律等诸多领域进行了广泛深入的探究。本文详细分析了平面曲线曲率几何学特征以及其对应的运动学规律，试图从多个角度对曲线曲率问题进行全方位的解读与探索，同时利用电脑编程求解，进一步研究了椭圆曲线在不同长短半轴比下的曲率半径变化规律。

标签：平面曲线；曲率半径；运动学分析；椭圆曲线曲率；程序求解

一、概述

在现今社会生活中，以曲线和曲面为代表的几何特征处处可见。建筑设计中的直曲结合、汽车外形流线型曲面的制造加工以及各种物体的曲线运动等，都是生活中对曲线、曲面的应用。因此，在现实生活应用的基础上对各种曲线曲面几何特征的研究具有重要意义。其中，平面曲线的曲率半径在数学和物理学中具有相通之处，由此又激发了我们从不同的学科角度对一个概念进行深入理解的灵感。

平面曲线在各种领域得到广泛应用。在综合地质勘探的编录中，[1]地质学家利用曲率圆的某一段圆弧来近似地代表岩层的一段走向，即“以曲代直”；利用曲率半径来编录岩层走向变化大、有褶皱构造的坑道，并用这一编录结果与实际情况作比较。勘测结果显示，这种方法具有一定的实用价值。

另外，科研人员根据平面曲线曲率半径的运动学规律制造各种机器零件。例如，数控车床加工时，常常利用刀具切割多曲率圆弧面；在数控车床上加工多曲率圆弧面工件时，[2]不同曲率圆弧交接点的坐标值、加工工艺和刀具的应用非常重要，它不仅具备加工程序的简洁性，还会影响工件的加工质量和加工效率。在工业制造中，加工特殊管道时，也需要对刀具的曲线加工路径以及刀具自身曲率半径进行深入的研究，用于工厂生产。

本文系统地从数学几何定理以及物理学物体曲线运动的角度探讨了平面曲线曲率的数学物理意义，从而全面认识平面曲线的几何特征的数学和运动学规律。然后进一步以椭圆曲线为例，探讨了这一广泛存在于天体运动以及工业曲线加工领域的特征曲线的曲率半径变化规律，并通过数值程序的求解得到了不同位置的曲率半径，研究了椭圆曲线在不同位置的曲率半径大小。

高斯曲率

高斯曲率

曲率曲率说明

表示曲线弯曲程度的量.

平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。

K=lim|Δα/Δs|，Δs趋向于0的时候，定义K就是曲率。

曲率的倒数就是曲率半径。

圆弧的曲率半径，就是以这段圆弧为一个圆的一部分时，所成的圆的半径。 曲率半径越大，圆弧越平缓，曲率半径越小，圆弧越陡。曲率半径的倒数就是曲率。曲率 k = (转过的角度/对应的弧长）。当 角度和弧长同时趋近于0时，就是关于任意形状的光滑曲线的曲率的标准定义。而对于圆，曲率不随位置变化。

高斯曲率 曲面论中最重要的内蕴几何量。设曲 面在P点处 的两个主曲率为k1，k2，它们的乘积k＝k1·k2称为曲面 于该点的总曲率或高斯曲率。它反映了曲面的一股弯曲程度。高斯曲率k的绝对值有明显的几何意义。设Δб是曲面上包含P点的一小片曲面（其面积仍用Δб表示），把Δб上的每点的单位法向量n平移到E3的原点O处，那么n的终点 的轨迹是 以O为中心的单位球面 S2上的一块区域 Δб* 。这个对应称为高斯映射。曲面在P点邻近弯曲程度可用Δб*( 其面积仍用Δб*表示）与Δб的面积比刻画。曲面在P点的 高斯曲率的 绝对值正是这个比值当Δб收缩成P点时的极限。

数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率

数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率

第十章 定积分的应用

3 平面曲线的弧长与曲率

一、平面曲线的弧长

设平面曲线C=⌒AB . 如图所示，在C上从A到B依次取分点：

A=P0,P1,P2,…,Pn-1,Pn=B，它们成为曲线C的一个分割，记为T. 用线段联结T中每相邻两点，得到C的n条弦Pi-1Pi(i=1,2,…,n)，这n条弦又成为C的一条内接折线，记：T=ni1max|Pi-1Pi|，sT=n1ii1-i|PP|，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。

定义1：对于曲线C的无论怎样的分割T，

如果存在有限极限：0TlimsT=s，

则称曲线C是可求长的，

并把极限s定义为曲线C的弧长.

定义2：设平面曲线C由参数方程x=x(t), y=y(t), t∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x’(t)与y’(t)不同时为零

(即x’2(t)+y’2(t)≠0, t∈[α,β])，则称C为一条光滑曲线.

定理：设曲线C由参数方程x=x(t), y=y(t), t∈[α,β]给出. 若C为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长为：s=βα22(t)y(t)xdt.

证：对C作任意分割T={P0,P1,…,Pn}，并设P0与Pn分别对应t=α与t=β,

且Pi(xi,yi)=(x(ti),y(ti)), i=1,2,…,n-1.

于是，与T对应得到区间[α,β]的一个分割T’： α=t0< t1

△x i=x(ti)-x(ti-1)=x’(ξi)△t i, ξi∈△i；△y i=y(ti)-y(ti-1)=y’(ηi)△t i, ηi∈△i.

从而C的内接折线总长为sT=n1i2i2iyx=n1ii2i2)(ηy)(ξx△t i.

记σi=)(ηy)(ξxi2i2-)(ξy)(ξxi2i2，则sT=n1iii2i2σ)(ηy)(ξx△t i.