如何应用一元二次方程解决实际问题

用一元一次方程解实际问题

一、和、差、倍、分问题：本类问题依具体题意，由和、差、倍、分列方程求解．

例1 某大型商场三个季度共销售DVD2800台，第一季度销售量是第二季度的31，第三季度销量是第二季度的2倍，问第三季度销售DVD多少台？

分析：列总量=各分量之和

解：

二、人数调配问题

本类问题依调动后列等量关系

例2 甲、乙两个工程队分别有80人和60人，为了支援乙队，需要从甲队调出一部分人进乙队，使乙队的人数比甲队人数的2倍多5人，问从甲队调出的人数应是多少？

解：

三、商品的销售问题

a) 商品利润=商品售价-商品进价（即商品成本）

b) 商品利润率=商品进价商品利润×100%

c) 折扣率：打n折，指按售价为10n售出，n折可以是小数（如8.5折）

例3 某商品的进价是1530元，按商品标价的9折出售时，利润率是15% ，商品的标价是多少元？

分析：本题由利润=进价×利润率=标价×折扣率-进价列方程

解：

四、数字型问题

解决这类问题关键在于如何巧妙设出未知数，从而化简计算，常用的设未知数方法是：①连续数设中间；②多位自然数设一位；③数字换位设部分；④小数点移动直接设；⑤数字成比例设比值；⑥特殊关系特殊设

例4 一个四位整数，其个位数字为2，若把末位数字移到首位，所得新数比原数小108，求这个四位数．

解：

五、 百分比问题

例5 某所中学现有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，问：这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数分别是多少？

分析：本题等量关系是：一年后初中在校生增加的人数+高中在校生增加的人数=全校在校生增加的总人数

解：

六、 工程问题

工程问题经常把总工作量看成1，存在等量关系：工作效率×工作时间=工作量，工作量的和=1

例1 某单位开展植树活动，由一人植树要80小时完成，现由一部分人先植树5小时，由于单位有紧急事情，再增加2人，且必须在4小时之内完成植树任务，这些人的工作效率相同，应先安排多少人植树？

一元二次方程的应用问题

一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，其一般形式为ax^2

+ bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，且a ≠ 0。它的求解方法可以使用因式分解、配方法以及求根公式等。

一元二次方程在数学中的应用非常广泛，涉及到许多实际问题的求解。在以下的篇幅中，我将详细介绍一元二次方程在几个具体问题中的应用。

应用问题一：抛物线的应用

抛物线是一种常见的曲线，其方程通常可以表示为y = ax^2 + bx

+ c。在实际问题中，抛物线的模型可以用来描述许多现象，如抛物线的运动轨迹、天然气的损耗、溅落物体的运动等。

举例来说，假设一枚炮弹沿着抛物线轨迹飞行，如果已知炮弹离地面一个点的高度（y轴坐标）、炮弹的初速度、抛射角度等信息，我们可以通过一元二次方程来计算出炮弹的落点、飞行时间、最高点的高度等相关信息。 应用问题二：最值问题

一元二次方程还可以用来解决一些求最值的问题。例如，假设我们要在一边长为L的正方形内构造一个面积最大的矩形，矩形的一边与正方形的一条边平行。我们可以用变量x表示矩形的宽度，那么矩形的长度可以表示为L - 2x（因为矩形的宽度占用了正方形的两条边），矩形的面积可以表示为A = x(L - 2x)。这个问题可以通过求解一元二次方程来找到最大的面积。

应用问题三：质量问题

一元二次方程还可以用来解决关于质量的问题。例如，假设我们有一瓶含有某种草药的溶液，溶液中含有一定浓度的草药。我们知道溶液中某一时间点的草药质量，但是我们想要知道溶液初始的草药质量。我们可以建立一个质量均匀变化的模型，用一元二次方程来解决这个问题。

这个问题可以描述为：初始时刻的草药质量为x，过了一段时间后，溶液中的草药质量变为y。假设溶液以等速率流出，流出的速率为a，草药的浓度为b，那么根据质量守恒定律，我们可以建立如下一元二次方程：y = bx + a(x - y)。 通过求解这个一元二次方程，我们可以得到溶液初始的草药质量x。

胥浦中学九年级导学案

课题:§4.3用一元二次方程解决问题（2） 课型：新授课 主备人：陈启忠

学习目标:

1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．

2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力。

学习重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题．

学习难点：如何找出形积问题中的等量关系

教学流程：1、学生预习； 2、教师导学 3、学生展示(点评讲解)； 4、反馈练习； 5、小结

一、预习导航

☆1、某林场第一年造林200亩，第二年造林比第1年增加10%，则第二年造林___________亩。

☆2、某工厂第一季度生产机床400台，如果每季度比上一季度增长的百分数为x，

结果第二季度生产_____台，第三季度生产_______台机床.

☆☆3、某厂1月份生产零件2万个，1、2、3月份共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同为x，

则本题中的等量关系为__________________________________________。

则 本 题 方 程 为：___________________________________________。

☆☆4、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅所图所示的矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽。

二、教师精讲：

例1 、小明有一块长方形铁皮，长是宽的2倍，现他在四角各截去一个正方形后，制成了高是5㎝，容积是5003cm的无盖长方体容器。你能求这块铁皮的长和宽吗？

教师讲解

例2 、某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月的月平均增长的百分率是多少？

教师小结

三、合作探究：

☆1、某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？

一元二次方程实际问题专项练习

一．传播问题练习：

1．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图

（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此

规律，图（7）比图（6）多出 个“树枝”。

2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传

染的人数为（ ）

A．8人 B．9人 C．10人 D．11人

3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感

染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效

控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

4.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?

二．握手问题练习：

1．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手。有人统计了一下，大家一共握了45次手，

参加这次聚会的同学共有 人。

2．足球世界杯预选赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场。

共举行比赛210场，则参加比赛的球队共有 支。

3．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．若某小组共有x个队，共赛了90场，则列出正确的方程是 。

4.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?

三．增长率问题练习：

一、填空题

1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．