角与三角形的认识

三角形的认识和图形全等三角形的有关概念由3条不在同一条直线上的线段，首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形有3条边、3个顶点和3个内角．三角形的边和角称为三角形的基本元素．如图，线段BC、CA、AB是三角形的边，也可以分别用表示；点A、B、C是三角形的顶点．∠A、∠B、∠C是相邻两边所组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角．三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．三角形的分类三角形按角可以分成如下三类：三角形按边可以分成如下两类：三角形的三边之间的关系（1）三角形的任意两边之和大于第三边，若三角形的三边为a，b，c，则a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b;（2）三角形的任意两边之差小于第三边．若三角形的三边为a，b，c，则 a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b（3）三角形的边的不等关系的应用和作用．①判断三条线段a、b、c能否组成三角形，其判断方法有如下三种：1°当a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b都成立，即三条边都小于其它两条边之和时，能组成三角形；2°当|a－b|<c<a＋b时，即任意一条边大于其它两条边差的绝对值（即大边减小边），而小于其它两条边之和，可以构成三角形；3°当a最长，且有b＋c>a时，即最大边小于其它两条边之和时可以构成三角形．②确定三角形第三边的取值范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和如果三角形已知两边分别为a、b，第三边为c，则|a－b|<c<a＋b从而得到三角形的周长的取值范围，设a>b，则2a<a＋b＋c<2(a＋b)③说明线段的不等关系．三角形的特殊线段（1）三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线．一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这一点叫做三角形的内心．（2）三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线．如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点E，所得线段AE叫做△ABC的边BC上的中线．一个三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这一点叫三角形的重心．（3）三角形的高在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为F．那么线段AF叫△ABC的边BC上的高．三角形有三条高，且它们(或它们的延长线)相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心.注意：①锐角三角形的三条高，都在三角形的内部.②直角三角形的三条高，有一条在三角形的内部，另外两条在三角形的边上.③钝角三角形的三条高，有一条在三角形的内部，另外两条在三角形的外部.典型例题讲解例1、如图所示，图中三角形的个数共有（）A．1个B．2个C．3 个D．4个解析：由三条线段首尾顺次相连得到图形为三角形，所以图中三角形有△ABD，△ABC和△ADC，共有三个．答案：C例2、有四根长度分别为10cm、6cm、5cm、3cm的钢条，以其中三根为边，焊接成一个三角框架，问此三角形框架的周长可能是多少？分析：在四根钢条中任选3根，也就是在4根中去掉1根，共有四种情况，分类讨论在每种情况下能否构成三角形，即是否满足“三角形的任意两边之和大于第三边”.解：此三角形框架三边长有以下四种情况：⑴当三线段长分别为6cm、5cm、3cm时，周长为14cm；⑵当三线段长分别为10cm、5cm、3cm时，不能构成三角形；⑶当三线段长别为10cm、6cm、3cm时，不能构成三角形；⑷当三线段长别为10cm、6cm、5cm时，周长为21cm.所以此三角形框架的周长可能是14cm或21cm.例3、一个三角形的三条边中有两条边相等，且一边长为4，还有一边长为9，则它的周长是（）A．17 B．22 C．17或22 D．13分析：计算等腰三角形的边长或周长时，常要分类讨论谁是腰，谁是底，这时往往忽略三边关系是前提条件．若第三边长是4，由于4＋4<9，不符合三边关系定理，所以第三边只能为9，从而知周长为4＋9＋9=22，故选B．答案：B点评：分类讨论时应注意验证三边关系．例4、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长.分析：由题意可知，中线BD将的周长分为AB＋AD和BC＋CD两部分，故有两种可能：⑴⑵再由AB=AC=2AD=2CD，知⑴式成立，⑵式不成立.解：设AB=AC=2x，则AD=CD=x.⑴当AB＋AD=15，且BC＋CD=6时，有2x＋x=15，x=5，所以2x=10，BC=6－5=1．⑵当BC＋CD=15，AB＋AD=6时，有2x＋x=6，x=2，所以2x=4 ，AB=AC=4，BC=13，又因为4＋4=8<13，这与“三角形任意两边之和大于第三边”相矛盾，故不能组成三角形.答：这个三角形的腰长为10，底边长为1.点评：分类讨论是研究几何问题常用的数学思想方法，要求不重不漏;把线段长设为未知数，列方程解几何题是将问题化难为易的有效方法;要考虑求解结果是否满足三角形三边关系.全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．典型例题讲解例1．下列说法正确的是（）A．所有的等边三角形都是全等三角形B．全等三角形是指面积相等的三角形C．周长相等的三角形是全等三角形D．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形选：D．【点评】此题主要考查了全等图形的性质与判定，正确利用全等图形的性质得出是解题关键．例2．下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形D．全等三角形的对应边相等，对应角相等选：C．【点评】此题主要考查了全等图形的定义与性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．例3．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3=（）A．105°B．120°C．115°D．135°选：D．例4．下列四个图形中，全等的图形是（）A．①和②B．①和③C．②和③D．③和④选：D．【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．例5．图中所示的是两个全等的五边形，∠β=115°，d=5，指出它们的对应顶点•对应边与对应角，并说出图中标的a ，b ，c ，e ，α各字母所表示的值．【解答】解：对应顶点：A 和G ，E 和F ，D 和J ，C 和I ，B 和H ， 对应边：AB 和GH ，AE 和GF ，ED 和FJ ，CD 和JI ，BC 和HI ；对应角：∠A 和∠G，∠B 和∠H，∠C 和∠I，∠D 和∠J，∠E 和∠F； ∵两个五边形全等，∴a=12，c=8，b=10，e=11，α=90°．【点评】此题主要全等图形，关键是找准对应顶点，全等图形，对应边相等，对应角相等．测试11、两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根木棒，将它们订成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm 的范围是________.3cm<x<17cm2、如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且S △ABC =4cm 2，则S 阴影=________．1cm 23、已知△ABC 的三边长为5，12，3x －4，周长为偶数，求整数x 及周长．解:先求x 的取值范围，∴12－5<3x －4<12＋5，即113＜x ＜7，而x 为整数，∴x=4、5或6．若周长12＋5＋3x －4=13＋3x 是偶数，则x 为奇数， ∴x=5，从而周长为5＋12＋3x －4=28．4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AC 上的中线把三角形的周长分为24cm 和30cm 的两个部分，求三角形各边的长．解：因为BD 是中线，所以AD=DC ，造成所分两部分不等的原因就在于腰与底的不等，故应分情况讨论． 解：设AB=AC=2x ，则AD=CD=x ，（1）当AB ＋AD=30，BC ＋CD=24时，有2x ＋x=30，∴x=10，2x=20，BC=24－10=14，三边分别为：20cm ，20cm ，14cm ． （2）当AB ＋AD=24，BC ＋CD=30，有2x ＋x=24∴x=8，BC=30－8=22，三边分别为16cm ，16cm ，22cm ． 5、如图，P 是△ABC 内一点，试说明AB ＋AC>PB ＋PC 成立的理由．要添加辅助线，构造新的三角形．比较明显的辅助线可以作BP或CP的延长线．解答：延长BP交AC于D，解：（1）1；4；10（2）（3）平面上有n个点，过不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形，取第一个点A有n种取法，取67、设m，n，p均为自然数，满足，且m＋n＋p=15，试问以m，n，p为边长的三角形有多少个?分析：本题考查三角形三边之间的关系．A．全等三角形的大小相等B．两个等边三角形一定是全等三角形C．全等三角形的形状相同D．全等三角形的对应边相等选B．【点评】本题考查了全等三角形的定义与性质，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，即形状相同、大小相等两个三角形叫做全等三角形；全等三角形的对应边相等，对应角相等．2．下列说法：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等；（3）全等三角形的周长相等；（4）周长相等的两个三角形相等；（5）全等三角形的面积相等；（6）面积相等的两个三角形全等．其中不正确的是（）A．（4）（5） B．（4）（6） C．（3）（6） D．（3）（4）（5）（6）选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形，以及全等三角形的性质，关键是掌握能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．3．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（）A．∠1=∠2B．AC=CA C．AB=AD D．∠B=∠D选C．4．下列各组图形中，一定全等的是（）A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．两个等边三角形C．各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形选D．5．全等三角形用符号≌来表示；其对应边相等，对应角相等．6．如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于585°．7．找出全等图形．【解答】解：由图形可得出：（1）和（8）；（2）和（6）；（3）和（9）；（5）和（7）；（13）和（14）是全等图形．课后作业1、以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（）A．2a B．－2bC．2a＋2b D．2b－2c3、一个三角形三边之比为3︰4︰5，则这个三角形三边上的高线之比为（）A．3，4，5 B．4，5，6C．10︰7︰5 D．20︰15︰124、如图，ΔABC，ΔADE及ΔEFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点.若AB = 4时，则图形ABCDEFG 外围的周长是（）A．12 B．15C．18 D．215、若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）．A．2对B．3对C．4对D．6对6、设三角形三边之长分别为3，8，1－2a，则a的取值范围为（）A．－6<a<－3 B．－5<a<－2C．－2<a<5 D．a<－5或a>27、以7和3为两边长，另一边的长是整数，这样的三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8、下列判断正确的是（）（1）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线；（2）三角形的中线、角平分线都是线段；（3）一个三角形有三条角平分线和三条中线；（4）三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．（1）（2）（3）（4） C．（3）（4）B．（2）（3）（4） D．（2）（3）9、等腰三角形的各边长都是正整数，且周长为12，这样的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10、若自然数a、b、c为三角形的三边，且a≤b≤c，b=4，问这样的三角形有（）个．A．4 B．6C．8 D．10答案：CDDBB BDDCD11、观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．B．C．D．解析：第1个图形中有4个三角形；第2个图形中有8个三角形； 第3个图形中有12个三角形； ……由此规律，第n 个图形中有4n 个三角形． 答案：D12、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．1cm ，2cm ，3.5cmB ．4cm ，5cm ，9cmC ．5cm ，8cm ，15cmD ．6cm ，8cm ，9cm 解析：选项A 中1＋2<3.5不能组成三角形；选项B 中4＋5=9不能组成三角形；选项C 中5＋8<15不能组成三角形；而D 中6＋8>9，符合三角形三边关系，故选D.答案：D13、不等边△ABC 的两边高分别为4和12，若第三边上的高也是整数，试求它的长．分析：由两边上的高4和12可以求出这两边的关系，从而可以表示出第三边的取值范围，再用面积法可以求出第三边上的高．解答：设第三边c 边上高为h ，三角形面积为S ，高为4，12的两边为a ，b ，则有，∴a=2S 4，b=2S 12，c=2Sh ． 据三角形三边关系，得，∴．∵h 为整数，∴h=4或5.又∵三角形为不等边三角形，∴h=5.14、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，交AB 于点E ，DF∥AB，交AC 于点F.图中DA 是否平分∠EDF，为什么?解：图中DA 平分∠EDF.理由：由ED∥AC，得∠EDA=∠CAD. 同理，由DF∥AB， 得∠FDA=∠BAD.又由AD 是△ABC 的角平分线，得∠BAD=∠CAD. 所以∠EDA=∠FDA，即DA 平分∠EDF.点评：一个图形中，若具有“角平分线”与“平行线”的条件常常可以找到等角.。

《三角形的认识》教学设计《三角形的认识》教学设计（精选8篇）作为一名教职工，时常需要编写教学设计，教学设计把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。

一份好的教学设计是什么样子的呢？以下是小编帮大家整理的《三角形的认识》教学设计，希望能够帮助到大家。

《三角形的认识》教学设计篇1教学目标：通常学习，使学生理解并掌握三角形的概念、特性，按角分三角形的分类，理解并掌握三角形高的意义，并会正确地作三角形的高。

教学重点：理解并掌握三角形的概念、特性和分类。

教学难点：掌握三角形高的意义和画法。

教学过程：一、教学三角形的概念和特性1、说一说：我们以前学过三角形，请你说说看，我们周围哪些物体的表面形状是三角形的？2、画一画：请你在纸上任意画几个三角形。

3、议一议：请你用自己的语言来说说什么样的`图形叫三角形？4、（在学生回答的基础上小结得到）：由三条线段围成的封闭图形叫做三角形。

重点理解：三条线段、围成、封闭这些词的意义。

看一看：三角形有（）个顶点，（）条边和（）个角。

出示：（1）用力拉一拉，你发现什么？（三角形不会变形）（2）说明：三角形的这种特性，叫做三角形的稳定性。

（3）请你说一说，在我们日常生活中哪些地方用到了三角形的稳定性。

二、教学三角形的分类和高出示一些三角形：（1）你能不能给上面的三角形分分类？并说一说你是根据什么来分的。

（如果学生分不出，可做适当的引导。

）（2）在学生回答的基础上得出：1、6一类：三个角都是锐角：叫锐角三角形；2、4一类：有一个角是钝角：叫钝角三角形；3、5一类：有一个角是直角：叫直角三角形。

（3）可用下面的图来表示这三种三角形的关系：直角三角形钝角三角形师画三角形的高。

说明：从三角形的顶点向它的对边（或对边延长线）画一条垂线，顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这个顶点的对边叫做三角形的底。

注意：（1）高要用虚线表示，并且标上垂直符号；（2）底边的延长线也要用虚线表示。

《三角形的认识》教学设计《三角形的认识》教学设计1教材分析：本单元内内容是学生在学习了角、初步认识三角形的基础上安排的系统研究三角形特征的知识。

本课教学内容为第一课时，教材安排了两个例题：例1通过让学生从现实背景中找出三角形来初步感知，例2着重让学生通过操作活动去体验和了解三角形的两边之和大于第三边的特征，例2的内容是课程标准新增多的内容。

教材在编排上重视了与学生生活的联系，重视了学生思维能力的培养，不是把知识简单地呈现给学生，而是让学生在丰富的实践活动中发现现象、研究原因、探索规律，充分体现了让学生在数学活动中自主发现和主动建构的特点。

教学思路：“动手实践、自主探索、合作交流”是新课程倡导的学生学习的重要方式。

在本课教学中，我力主让学生从生活中了解的物体去感知三角形，在充分的操作活动中去体验、感悟，经历探索知识形成的全过程，以外在的动，推动他们思维内在的动，促使学生主动构建知识，培养学生探索数学问题的能力，发展数学思维。

在练习设计上除了课本习题外，作了适当补充，为学习能力较强的学生提供了一个自主探究的空间，使他们探索数学问题的能力得到提升。

教学目标：1.引导学生在通过观察、操作、实验等学学习活动中，感受并发现三角形的有关特征，了解三角形两边之和大于第三边。

2.在经历充分的探索过程中，提升学生的观察能力、推理能力，发展空间观念。

3.使学生体会三角形在日常生活中的普遍性，通过学习进一步激发其学习的兴趣好积极性。

教学重点：认识三角形的基本特征，知道三角形两边之和大于第三边。

教学难点：探究三角形两边之和大于第三边。

教学准备：学生每人准备小棒若干，4厘米、5厘米、6厘米、10厘米的彩色纸条各一根（颜色同课本），教学课件。

教学过程：一.创设情境，引入新课1.谈话：江阴长江大桥是我们泰州市在长江上架设的第一座大桥，是泰州人的骄傲，同学们见过吗？（出示江阴长江大桥图片）师：观察一下，你能在这座大桥上找到我们了解的图形吗？板书：三角形【设计意图】：由课本插图改为学生了解的江阴长江大桥引入，使学生感到亲切，能激发他们的学习兴趣。

第五单元角与三角形的认识
教学内容：
了解平角、周角，系统认识角，角的大小比较，角的度量和分类，画角；三角形的认识及其特性，三角形的分类，三角形内角和及三条边之间的关系。

教学目标
1经历从具体物体中抽象出角和三角形的过程，认识角和三角形，直到周角、平角和周角、平角、锐角、钝角、直角的大小关系。

通过观察、操作，了解三角形人两边之和大于第三边、三角形内角和事180度。

2 结合实例，学会用量角器量角的度数，会画制定度数的角，并能用三角板画30度、60度、90度的角。

能够按角的大小对三角形进行分类。

在探索三角形分类和验证三角形内角和的过程中，体验解决问题方法的多样性。

3 在观察、操作、验证学习活动中，学习与三角形有关的知识，发展空间观念，提高初步的推理能力。

4 主动参与各项学习活动，自觉运用角和三角形的有关知识解决生活中的简单问题，体验角与三角形知识与日常生活的密切联系。

教学重点：全面认识角和三角形
教学难点：建立图形的空间观念。

教具准备：有关课件、量角器、三角板、各种形状的三角形、小棒等。

教学措施：
1、灵活利用教材提供的素材，创设学生喜欢的现实情景
2、要重视操作活动，引导学生形成正确的图形表象，发展空间观念
3、沟通知识间的联系，建立良好的知识结构
课时安排：6课时。

主备人：邹临。

小学数学研课标说教材篇一：四年级数学研课标说教材四年级数学下册研说稿各位老师，大家好！今天我与大家交流的是青岛版小学数学四年级下册第三单元繁忙的工地——角与三角形的认识。

我的研说流程，包括三部分：说课标、说教材、说建议。

说课标包括教学目标；说教材包括教材编写体例和意图、教材特点、知识和技能的整合、单元教材分析；说建议包括教学建议、评价建议和课程资源的开发与利用。

一、教学目标：1、经历从具体物体中抽象出角和三角形的过程，知道周角、平角及周角直角、锐角的大小关系。

通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°2、结合实例，学会用量角器量角的度数，会画指定度数的角，并能用三角板画30°、45°、60°、90°的角。

3、在观察、操作、验证等学习活动中，学习角与三角形的知识，发展空间观念，提高初步的推理能力。

4、能够自觉运用角和三角形的有关知识解决生活中的简单问题，体验角和三角形知识与日常生活的密切联系。

二、教材分析：本单元教学内容包角的认识、角的分类、角的度量、三角形的认识及特征、三角形的分类、三角形的内角和等知识。

教学重点：由于本单元主要是概念教学，且概念比较多，所以重点也比较多。

角的度量、三角形的分类、三角形内角和的推导。

教学难点：角的度量、三角形内角和推导、三角形三边之间的关系三、本单元教材的编写特点。

（1）关注学生的已有经验，强调数学知识与现实生活的密切联系。

儿童有一种与生俱来，以自我为中心的探索性学习方式，他们的知识经验是在与客观世界的相互作用中逐渐形成的，这些知识与经验是他们进一步学习的基础。

为使儿童以一种积极的心态调动原有的知识经验，认识新问题，建构他们自己新的知识与经验，教材的编写注意从学生已有的经验出发，创设丰富多彩的与现实生活联系紧密的情境和动手实验活动，以帮助学生理解数学概念，构建数学知识。

例如：对“三角形的分类”这一内容，教材根据学生已懂得了角的分类，能区分锐角、钝角、直角、平角与周角这一基础，设计了“给三角形分类”活动，放手让学生自己在“给三角形分类”的探索活动中了解和把握各种三角形的特征。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------角与三角形的认识三、繁忙的工地角与三角形的认识信息窗１：角教学内容义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学四年级上册第３２～３３页。

教材分析本课是在学生初步认识角和三角形的基础上进行教学的，是今后进一步学习几何初步知识的基础。

该信息窗呈现的是一幅工地上挖掘机繁忙的作业景象。

观看的小朋友看到正在隆隆作业的机器，兴奋地交谈。

拟借此情境引导学生通过讨论铲斗臂在工作中可能形成什么样的角的问题，引入对角的知识的系统学习。

教学目标 1. 经历从具体物体中抽象出角的过程，认识平角、周角，知道平角和它们之间的关系，并能按一定标准分类。

2. 培养学生动手操作、合作学习与探究学习能力。

发展学生的空间观念。

３、体会身边处处有数学，感受数学与生活的密切联系，提高学习数学的兴趣，进一步体会通过探索解决问题的乐趣。

教学过程一、创设情境，激趣导课（课件）播放：繁忙的工地上，五台挖掘机在紧张的工作着，铲斗臂形成了各种各样的角师：仔细观察，你发现了什么？生 1：画面上有 5 台挖掘机。

1 / 15生 2：工人叔叔工作非常繁忙，非常辛苦。

生 3：铲斗臂上形成了很多角。

生 4：铲斗臂上的角不一样大。

师：我非常欣赏这位同学，她已经学会用数学的眼光来观察生活了！（课件演示：铲斗臂上形成的各种角）师：铲斗臂在工作的时候，能形成什么样的角呢？今天我们就来研究这个问题。

（板书课题：角的认识）二、探索新知（一）认识平角、周角 1、学生做各种活动角。

师：老师课前让大家准备了活动角，请大家把活动角的两边重合，一边不动，另一条边开始转动，就可以得到一个角。

然后把你得到的角沿边画下来。

小组同学说一说，你折的是什么角。

角与三角形的认识在数学中，角是一个重要的概念，它与三角形的形成有着密切的关系。

本文将通过介绍角的基本概念、角的分类以及三角形的性质和种类，来帮助我们更好地理解角与三角形的认识。

一、角的基本概念角是由两条射线共享一个公共端点而形成的两个部分。

这个公共端点称为角的顶点，而两条射线称为角的边。

角用希腊字母表示，通常用大写字母表示角的顶点，小写字母表示两条射线。

例如，用∠ABC 表示由射线AB和射线BC形成的角。

根据角的大小，可以将角分为三类：锐角、直角和钝角。

锐角是指小于90度的角，直角是指等于90度的角，而钝角则是指大于90度但小于180度的角。

根据这些分类，我们可以更加准确地描述和研究不同类型的角。

二、角的分类除了上述的按角的大小分类外，角还可以根据其位置和关系进行分类。

以下是几种常见的角的分类方式：1.顶角和辅助角：在一个凸多边形中，由两条相邻边形成的角称为顶角。

而与顶角互补的角称为辅助角。

2.对顶角：在两条交叉直线上，两个相对的角称为对顶角。

3.同位角：在两条平行线被一条横切线切割时，与切割线同位的对应角称为同位角。

4.内角和外角：在一个凸多边形中，由两条相邻边形成的角称为内角。

而与内角互补的角称为外角。

通过这些分类，我们可以更好地理解不同类型的角在几何形状中的作用和关系。

三、三角形的性质和种类三角形是由三条线段组成的多边形，其中每条线段都是三角形的一条边。

三角形有许多独特的性质和特点，以下是几个重要的例子：1.三角形的内角和为180度：无论三角形的形状如何，其三个内角的度数之和始终等于180度。

2.直角三角形：当一个三角形有一个角为90度时，它被称为直角三角形。

直角三角形的两边相互垂直。

3.等腰三角形：当一个三角形的两个边的长度相等时，它被称为等腰三角形。

等腰三角形的两个角度也相等。

4.等边三角形：当一个三角形的所有边的长度都相等时，它被称为等边三角形。

等边三角形的三个角度也相等。

除了上述的性质之外，三角形还可以根据边的长短和角的大小进行分类。

《认识三角形》教案《认识三角形》教案1一、教学目标：知识目标1．认识量角器，会用量角器量角，能正确地度量角的度数。

2．认识常见的几种角，知道各种角之间的大小关系。

3．会画指定度数的角，并能用三角板画30度、45度、60度、90度的角。

能力目标1．培养学生观察能力和动手操作能力。

2．培养学生的抽象概括能力，发展学生的空间观念。

3.通过师生、生生合作的形式让学生在互动中进行说话，在交流中引导学生用普通话表达，使学生的普通话表达能力获得充分训练，交际能力得到提高。

德育目标渗透事物之间相互联系、发展变化的辩证唯物主义观点。

二、教学重点：度量角的方法及角的分类三、教学难点：角的度量四、教具准备：三角板、小黑板、大板纸、量角器五、学具准备：纸板、三角板、量角器六、教学过程：一、激情导入同学们老师我们今天你去施工工地参观好吗？这是一幅施工工地忙碌的图片，想欣赏吗？（出示情境图）二、新授内容同学们仔细观察图你能够发现什么数学问题？1．提出问题解决问题：铲车臂在工作中可以形成什么样的角？小组讨论，并用准备的活动角演示，集体交流并演示，教师在黑板上画出不同的角，让学生判断各是什么角。

谁能够告诉大家（1）是锐角，（2）是直角，（3）是钝角，（4）和（5）是什么角？2．认识平角和周角（1）教师在黑板上画出平角和周角并用活动角进行演示。

（2）总结：从一点起，画两条射线，就组成一个角。

通常用符号表示。

如图（1）可以记作1，读作角一。

（3）师出画出两个角1和2大家观察两个角，谁大谁小？可以采用哪些方法进行比较？学生回答。

角2比角1大多少？要知道角2比角1大多少，就要知道角2和备注：角1各有多大，那就要对这两个角进行度量，我们就来学习角的度量（板书：角的度量）。

3．角的度量（1）认识量角器和1的角教师：同学们知道，度量线段的长度要用直尺和常用的长度计量单位米、厘米等。

同样，度量角的大小也要用到一种工具，那就是量角器。

（学生看一下量角器）常用的计量角大小的单位是度，用符号表示。

认识三角形教案(优秀8篇)《三角形认识》教案篇一教学目标(一)使学生理解三角形的意义，掌握三角形的特征，学会按角的特征给三角形分类．(二)培养学生观察能力、识图能力和归纳概括能力．教学重点和难点使学生理解三角形的意义和特征，会按角的特征给三角形进行分类，既是教学的重点，也是学习的难点．教学过程设计(一)复习准备1．指出下面各是什么图形？(投影)说出长方形、正方形的边是直线、射线还是线段？2．指出下面各是什么角？说出什么叫直角、锐角、钝角？组成角的两条边是什么线？3．请大家在本子上画出直角(用三角板)、锐角、钝角各一个．小结：我们已经学习了线段和角，如果把角的两条边改为线段，把角的两个端点连起来会出现什么图形？(三角形)我们今天就来研究和认识三角形．(板书课题：三角形的认识)(二)学习新课1．理解三角形的意义．(1)我们已学过三角形，你能举例说出哪些物体的面是三角形吗？(红领巾、三角板、小红旗等)(2)结合复习题，思考讨论：①三角形是几条线段围成的？②什么样的图形叫三角形？在讨论的基础上，引导学生概括：三角形是由三条线段围成的，由三条线段围成的图形叫做三角形．(3)巩固概念．①找一找，哪些是三角形？(投影)②用三条线段组成的图形叫做三角形．这句话对不对？为什么？在学生回答的基础上，教师强调，看一个图形是不是三角形，要从两方面看：一是看只有三条线段，二是要看是否围成的封闭图形．2．掌握三角形的特征．刚才大家找出这么多三角形，它们的形状各不相同，进一步观察一下，这些三角形有没有共同的地方？启发学生明确：它们都是三条线段围成的，它们都有三个角，都有三个顶点．再引导学生概括：围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点．3．教学三角形的特性．我们学习的三角形在日常生活中有很多地方要用到，像自行车的车架、房梁架等．为什么要用三角形的呢？我们来做一次实验．教师用事先准备好的木框，让同学们拉一拉．先拉五边形木框．(变形)再拉四边形木框．(变形)后拉三角形木框．(拉不动，三角形不变)．提问：通过三角形木框拉不动，你明白了什么道理？可以得出什么结论？引导学生明确：三角形的三条边长度固定，三角形的形状和大小就固定不变了．因而三角形具有稳定性．这就是三角形的特征．你能举出生活中有哪些用到三角形的特性吗？(椅子腿松动了，可以固定一个三角形铁架)4．教学三角形的分类．三角形是多种多样的，我们可以根据三角形中角的不同进行分类．怎样分？(1)出示投影片，观察每个三角形内角的度数．(2)比较这三个三角形的三个角，它们有什么相同点和不同点？引导学生明确：相同点是每个三角形都至少有两个锐角；不同点是还有一个角分别是锐角、钝角和直角．(3)分类．根据上边三个三角形三个角的特点的分析，可以把三角形分成三类．图①，三个角都是锐角，它就叫锐角三角形．(板书)提问：图②、图③只有两个锐角，能叫锐角三角形吗？(不能)引导学生根据另一个角来区分．图②还有一个角是直角，它就叫直角三角形，图③还有一个钝角，它就叫钝角三角形．请同学再概括一下，根据三角形角的特征可以把三角形分成几类？分别叫做什么三角形？教师板书：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形．(4)三角形的关系．我们可以用集合图表示这种三角形之间的关系．把所有三角形看作一个整体，用一个圆圈表示．(画圆圈)好像是一个大家庭，因为三角形分成三类，就好象是包含三个小家庭．(边说边把集合图补充完整．)每种三角形就是这个整体的一部分．反过来说，这三种三角形正好组成了所有的三角形．(5)怎样判断三角形的类型呢？填表后观察．(投影)由上表可以看出，三角形中至少要有两个锐角，所以判断三角形的类型，应看它最大的内角．……(三)巩固反馈1．说说三角形的意义、特征．2．三角形有什么特性？3．三角形按角分，可以分为哪几类？4．判断题．(1)由三条线段组成的图形叫三角形．(2)锐角三角形中最大的角一定小于90°．(3)看到三角形中一个锐角，可以断定这是一个锐角三角形．(4)三角形中能有两个直角吗？为什么？(四)作业练习三十一第1～3题．课堂教学设计说明三角形是常见的一种图形，也是最基本的多边形，是学习研究其它几何图形的基础，在实践中有着广泛的应用．因此这部分内容很重要．本课教学既重视概念教学，又重视学生实践，不仅教知识，还要注意培养学生能力．新课第一部分，首先让学生理解三角形的概念．通过学生自己举例，观察，讨论后引导学生概括出什么样的图形叫做三角形．第二部分，让学生通过对各种形状三角形的观察、比较、找出它们的共同点，从而概括出三角形的特征，有三条边、三个角、三个顶点．第三部分，学习三角形的特性．让学生自己动手拉一拉五边形、四边形、三角形的木框，从而发现三角形的特性，即具有稳定性．第四部分，学习三角形的分类．学生在观察比较各种不同的三角形中的相同点和不同点的基础上，把三角形按角分类，可以分成锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，概括出各种三角形的定义，并掌握它们之间的关系．通过不同形式的练习，让学生在思维中分辨，在观察中思维，使学生进一步理解概念，提高观察、概括能力．板书设计由三条线段围成的图形叫做三角形．三条边、三个角、三个顶点特性：稳定性按角分类三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形．《三角形认识》教案篇二【教材分析】本课是苏教版四年级下册第七单元第一课时的内容。

认识三角形教案12篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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小班数学《认识三角形》PPT课件目录CONTENCT •三角形基本概念•三角形图形识别•三角形边长与角度关系•三角形面积计算及应用•三角形变换与操作实践•总结回顾与拓展延伸01三角形基本概念三角形定义及性质三角形的定义由三条线段首尾顺次连接而成的图形。

三角形的基本性质三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的三个内角之和等于180度。

三角形分类与特点按角分类锐角三角形（三个角都小于90度）、直角三角形（有一个角等于90度）、钝角三角形（有一个角大于90度）。

按边分类等边三角形（三边相等）、等腰三角形（有两边相等）、不属于以上两种的其他三角形。

生活中三角形应用举例建筑结构在建筑设计中，三角形结构常被用于增强稳定性，如桥梁的支撑结构、房屋的屋顶等。

交通工具部分交通工具的设计中融入了三角形元素，如自行车的车架、飞机的机翼等，以提供稳固的支撑和减少风阻。

物品设计许多日常用品也采用了三角形设计，如三脚架、三角形的桌子和椅子等，这些设计往往具有稳定性和美观性。

02三角形图形识别01 02 03 04 05等边三角形三边长度相等，三个内角均为60度。

等腰三角形有两边长度相等，两个内角相等。

直角三角形有一个内角为90度，其余两个内角之和为90度。

锐角三角形三个内角均小于90度。

钝角三角形有一个内角大于90度，其余两个内角为锐角。

常见三角形图形展示相似与全等三角形判断方法相似三角形判断方法如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

全等三角形判断方法如果两个三角形的三边及三个内角分别相等，则这两个三角形全等。

观察法拆分法标记法利用已知条件复杂图形中三角形识别技巧通过观察图形的形状和特征，寻找可能存在的三角形。

将复杂图形拆分成简单的图形，再寻找其中的三角形。

在图形上标记出可能的三角形，以便后续分析和计算。

如果已知某些线段或角度的信息，可以利用这些信息来辅助识别三角形。

03三角形边长与角度关系010203三角形两边之和大于第三边三角形两边之差小于第三边等腰三角形两腰相等，等边三角形三边相等三角形边长关系定理介绍角度和定理及其推论三角形内角和为180°等腰三角形底角相等，等边三角形三个角均为60°直角三角形中，两锐角互余，且其中一个锐角的度数为90°减去另一个锐角的度数1 2 3短直角边等于斜边的一半，长直角边等于短直角边的√3倍30°-60°-90°三角形两直角边相等，斜边等于直角边的√2倍45°-45°-90°三角形两直角边相等，斜边等于直角边的√2倍，且两个锐角均为45°等腰直角三角形特殊角度下三角形性质探讨04三角形面积计算及应用海伦公式介绍海伦公式表达式海伦公式应用举例海伦公式求解任意三角形面积假设三角形三边长度分别为a 、b 、c ，半周长p=(a+b+c)/2，则三角形面积S=√[p(p -a)(p-b)(p-c)]。

1专题4.3 认识三角形-三角形的内角和（知识讲解）【知识回顾】1、平角的定义：一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。

1平角=180度 平角不是一条直线，而是在一条直线上的两条射线。

2、平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等。

2.两直线平行，内错角相等。

3.两直线平行，同旁内角互补。

【学习目标】1．通过平行线性质和平角定义理解三角形内角和；2．掌握三角形内角和及三角形的外角与内角的关系；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关角的计算及相关证明问题.【知识点梳理】要点一、三角形的内角和定理1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．0++=180.A BC A B C ∆∠∠∠几何语言：如上图，在中，特别说明：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.200=90+=90.A BC C A B ∆∠⇔∠∠几何语言：如上图，在中，特别说明：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角和1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角.特别说明：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．=+.A BC ACD A BC ACD AB ACD A ACD B∆∠∆⇒∠∠∠∠>∠∠>∠几何语言：如上图，在中，为一个外角，3特别说明：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.0++=360.DAB EBC FCA DAB EBC FCA ∠∠∠∆∠∠∠如上图：、、为ABC 三个外角，则特别说明：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．可以理解为一周为360°，所以外角和为360°【典型例题】类型一、三角形的内角和1．（2021·山西八年级期末）阅读感悟：如下是小明在学习完“证明三角形内角和定理”后对所学知识的整理和总结，请仔细阅读，并完成相应的任务．三角形内角和定理的证明今天，在老师的带领下学习了三角形内角和定理证明的多种方法，我对这些方法进行了梳理，主要分为两大类：一、动手实践操作类①量角器测量法：通过引导同学们画出任意三角形，每人都用量角器测量并将所测得的角度相加，得到结论；①折叠法：如图1，将①所画的三角形剪下并折叠，使每个角都落到三角形一边的同一点处，发现三个角正好可拼为一个平角，进而得到相关结论；①剪拼法：如图2，将方法①用过的三角形展开之后，随意的将某两个角撕下之后，拼到第三个角处，发现三个角正好可拼为一个平角，故而得到相应的结论．4二、证明类（思路：由实际操作的后两种方法得到的启发，我们可以通过构造辅助线，将所证明的三个角通过某些特殊的方法转化到一条直线上，利用所学相关数学知识来证明三角形内角和）：①如图3，过三角形的某个顶点作对边的平行线，利用平行线性质来证明；①如图4，延长三角形的某一条边，并过相应的点做一条平行线，进而利用平行线性质来证明；……任务：（1）“折叠法”和“剪拼法”中得到相应结论的根据是：_________．（2）“证明类”的方法中主要体现了_______的数学思想；A ．方程B ．类比C ．转化D ．分类（3）结合以上数学思想，请在图5中画出一种不同于以上思路的证明方法，并证明三角形内角和定理．【答案】（1）平角为180︒；（2）C ；（3）见解析【分析】（1）分析题意，即可得到“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为180︒进行证明；（2）由题意，证明类主要是通过角度的转化，从而进行证明；5（3）过点D 作//DE AC 交AB 于,//E DF AB 交AC 于F ，由角度的关系，得到A EDF ∠=∠，然后根据平角的定义，即可得到结论成立．解：（1）根据题意，“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为180︒进行证明；故答案为：平角为180︒；（2）根据题意，“证明类”的方法中主要体现了角度的转化，从而进行证明结论成立；故选：C ；（3）证明：如图，过点D 作//DE AC 交AB 于,//E DF AB 交AC 于F ，,,180,180FDC B EDB C A AED EDF AED ∴∠=∠∠=∠∠+∠=︒∠+∠=︒．A EDF ∴∠=∠，180A B C EDF FDC EDB CDB ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠=︒．∴三角形的内角和为180︒．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理的证明，解题的关键是掌握证明三角形内角和等于180°的方法．举一反三：【变式】（2020·河北石家庄市·九年级其他模拟）在学习“三角形的内角和外角”时，老师在学案上设计了以下内容：6下列选项正确的是（ ）A ．①处填ECD ∠B ．①处填ECD ∠C ．①处填A ∠D ．①处填B【答案】B【分析】延长BC 到点D ，过点C 作CE∴AB ．依据平行线的性质以及平角的定义，即可得到∴A ＋∴B ＋∴ACB ＝180°．【详解】延长BC 到点D ，过点C 作CE∴AB， ∴CE∴AB ．∴∴A ＝∴ACE （两直线平行，内错角相等）．∴B ＝∴ECD （两直线平行，同位角相等）．∴∴ACB ＋∴ACE ＋∴ECD ＝180°（平角定义）．∴∴A ＋∴B ＋∴ACB ＝180°（等量代换）．故选：B ．【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．2.（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在①ABC 中，①A①①ABC①①ACB=3①4①5，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的高，BD，CE 相交于H ，求7①BHC 的度数．【答案】135°【分析】先设∴A=3x ，∴ABC=4x ，∴ACB=5x ，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x 的一元一次方程，求出x ，从而可分别求出∴A ，∴ABC ，∴ACB ，在∴ABD 中，利用三角形内角和定理，可求∴ABD ，再利用三角形外角性质，可求出∴BHC ．解：∴在∴ABC 中，∴A ：∴ABC ：∴ACB=3：4：5，故设∴A=3x ，∴ABC=4x ，∴ACB=5x ．∴在∴ABC 中，∴A+∴ABC+∴ACB=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∴A=3x=45°．∴BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的高，∴∴ADB=90°，∴BEC=90°，∴在∴ABD 中，∴ABD=180°-∴ADB -∴A=180°-90°-45°=45°，∴∴BHC=∴ABD+∴BEC=45°+90°=135°．【点拨】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．举一反三：【变式】 如图，在△ABC 中，∠A=50°，E 是△ABC 内一点，∠BEC=150°，∠ABE 的平分线与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠BDC 的度数为多少？8【答案】100°.解：∵△ABC 中∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵△BCE 中∠E=150°，∴∠EBC+∠ECB=180°﹣150°=30°，∴∠ABE+∠ACE=130°﹣30°=100°，∵∠ABE 的平分线与∠ACE 的平分线相交于点D ，∴∠DBE+∠DCE=（∠ABE+∠ACE）=×100°=50°，∴∠DBE+∠DCE=（∠DBE+∠DCE）+（∠EBC+∠ECB）=50°+30°=80°，∴∠BDC=180°﹣80°=100°．类型二、三角形的外角3.（2020·安徽省桐城市白马初级中学八年级期中）如图，已知①A ＝60°，①B ＝20°，①C ＝30°，求①BDC 的度数．【答案】110°【分析】延长BD 交AC 于H ，根据三角形的外角的性质计算即可．解：延长BD 交AC于H ，9∴BDC=∴DHC+∴C ，∴DHC=∴A+∴B∴∴BDC=∴A+∴B+∴C=60°+20°+30°=110°．【点拨】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·河南南阳市·七年级月考）如图，123∠=∠=∠，且60BFE ︒∠=，70BAC ︒∠=，求ABC ∠的度数．【答案】50°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和用∴2和∴BCF 表示出∴BFE ，再根据∴2=∴3整理可得∴ACB=∴BFE ，然后利用三角形的内角和等于180°求解即可．解：在∴BCF 中，∴BFE=∴2+∴BCF ，∴∴2=∴3，∴∴BFE=∴3+∴BCF ，即∴BFE=∴ACB ，∴∴BAC=70°，∴BFE=60°，∴在∴ABC 中，∴ABC=180°-∴BAC -∴ACB=180°-70°-60°=50°．【点拨】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记10 性质，并准确识图，找出图中各角度之间的关系是解题的关键．【变式2】 （2019·内蒙古八年级期末）如图，在ABC ∆中，45B C ==∠∠，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且ADE AED ∠=∠，连接DE ，当60BAD ∠=时，求CDE ∠的度数．【答案】30°【分析】根据三角形的外角的性质求出∴ADC ，由三角形内角和定理求出∴BAC=90°，得出∴DAE 的度数，求出∴ADE=∴AED=75°，即可得出答案．解：∴ADC ∠是ABD ∆的外角，∴6045105ADC BAD B ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴45B C ∠=∠=︒，∴90BAC ∠=︒，∴30DAE BAC BAD ∠=∠-∠=︒，∴75ADE AED ∠=∠=︒，∴1057530CDE ∠=︒-︒=︒．【点拨】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．类型三、三角形的内角外角综合训练4.．如图（1）所示，①ABC 中，①ABC ，①ACB 的平分线交于点O ，求证：①BOC=90+12①A ． 变式1：如图（2）所示，①ABC ，①ACD 的平分线交于点O ，求证：①BOC=12①A ． 变式2：如图（3）所示，①CBD ，①BCE 的平分线交于点O ，求证：①BOC=90-12①A ．11【答案】见解析【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到∴BOC=180°-∴OBC -∴OCB ，则2∴BOC=360°-2∴OBC -2∴OCB ，再根据角平分线的定义得∴ABC=2∴OBC ，∴ACB=2∴OCB ，则2∴BOC=360°-∴ABC -∴ACB ，易得∴BOC=90°+12∴A ； 变式1：根据BD 为∴ABC 的角平分线，CD 为∴ABC 外角∴ACE 的平分线，由三角形外角性质可得；∴2=∴1+∴O ，∴ACO=∴2=12∴ACD=12(∴A+∴ABC)=12(∴A+2∴1) =12∴A+∴1，两式联立可得 ∴1+∴O = 12∴A+∴1，即∴BOC=12∴A ． 变式2：根据三角形外角平分线的性质可得∴BCO= 12（∴A+∴ABC ）、∴OBC= 12（∴A+∴ACB ）；根据三角形内角和定理可得∴BOC=90-12∴A.. 解：（1）证明：在∴BOC 中，∴∴BOC=180°-∴OBC -∴OCB ，∴2∴BOC=360°-2∴OBC -2∴OCB ，∴BO 平分∴ABC ，CO 平分∴ACB ，∴∴ABC=2∴OBC ，∴ACB=2∴OCB ，∴2∴BOC=360°-（∴ABC+∴ACB ），∴∴ABC+∴ACB=180°-∴A ，∴2∴BOC=180°+∴A ，∴∴BOC=90°+12∴A ； 变式1：∴BD 为∴ABC 的角平分线，CD 为∴ABC 外角∴ACE 的平分线，12∴ ∴1= 12∴ABC ∴ACO=∴2=12∴ACD ∴∴2、∴ACO 分别是∴BCO 、∴ABC 的外角 ∴∴2=∴1+∴O ，∴ACO=∴2=12∴ACD=12(∴A+∴ABC)=12(∴A+2∴1) =12∴A+∴1，∴ ∴1+∴O =12∴A+∴1， ∴∴BOC=12∴A ． 变式2：∴BO 、CO 为∴ABC 中∴ABC 、∴ACB 的外角平分线. ∴∴BCO=12（∴A+∴ABC ）、∴OBC= 12（∴A+∴ACB ）， 由三角形内角和定理得，∴BOC=180°-∴BCO -∴OBC ，=180°-12[∴A+（∴A+∴ABC+∴ACB ）]， =180°- 12（∴A+180°）， =90°- 12∴A ； 【点拨】本题考查三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．举一反三：【变式】 ．如图，①CBF ，①ACG 是①ABC 的外角，①ACG 的平分线所在的直线分别与①ABC ，①CBF 的平分线BD ，BE 交于点D ，E ．（1）若①A=70°，求①D 的度数；（2）若①A=a ，求①E ；（3）连接AD ，若①ACB= ，则①ADB=．13【答案】（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β 【分析】 （1）由角平分线的定义得到∴DCG=12∴ACG ，∴DBC=12∴ABC ，然后根据三角形外角的性质即可得到结论； （2））根据角平分线的定义得到∴DBC=12∴ABC ，∴CBE=12∴CBF ，于是得到∴DBE=90°，由（1）知∴D=12∴A ，根据三角形的内角和得到∴E=90°-12α； （3）根据角平分线的定义可得，∴ABD=12∴ABC ，∴DAM=12∴MAC ，再利用三角形外角的性质可求解．解：（1）∴CD 平分∴ACG ，BD 平分∴ABC ，∴∴DCG=12∴ACG ，∴DBC=12∴ABC ， ∴∴ACG=∴A+∴ABC ，∴2∴DCG=∴ACG=∴A+∴ABC=∴A+2∴DBC ，∴∴DCG=∴D+∴DBC ，∴2∴DCG=2∴D+2∴DBC ， ∴∴A+2∴DBC=2∴D+2∴DBC ，∴∴D=12∴A=35°； （2）∴BD 平分∴ABC ，BE 平分∴CBF ，∴∴DBC=12∴ABC ，∴CBE=12∴CBF ， ∴∴DBC+∴CBE=12（∴ABC+∴CBF ）=90°， ∴∴DBE=90°，∴∴D=12∴A ，∴A=α， ∴∴D=12α， ∴∴DBE=90°，∴∴E=90°-12α； （3）如图，14∴BD 平分∴ABC ，CD 平分∴ACG ，∴AD 平分∴MAC ，∴ABD=12∴ABC， ∴∴DAM=12∴MAC ， ∴∴DAM=∴ABD+∴ADB ，∴MAC=∴ABC+∴ACB ，∴ACB=β，∴∴ADB=12∴ACB=12β． 故答案为：12β． 【点拨】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．。

第三章三角形3.1.1 •认识三角形（三角形内角和定理）教学目标1 •知识目标1）能在三角形内角的基础上了解三角形的外角，掌握三角形内角和，掌握三角形外角与其邻角的关系。

2）通过学习可以发展学生的思维品质，提高动手能力，培养学生自住学习能力，合作探究，推理论证，学以致用的能力。

2.技能目标1）通过观察操作，推理等活动，利用拼图让学生猜想，启发学生添加辅助线验证三角形内角和定理，进而再验证外角性质。

2）通过老师耐心指点，学生猜想，然后合作探索，添加辅助线，运用转化思想进而验证定理。

3）学习到了人胆猜想，动手操作，积极探索，一步步推理论证的能力，同时也学会了转化思想。

3.情感态度与价值观1）通过教材知识和实际生活相联系，感受数学的实用性，体验数学的魅力, 还可以与各科知识相联系，有效激发学牛学习兴趣。

2）通过老师提出问题，学生自主思考，互动研讨，经历观察，分析，猜想,论证的过程，推导结论，同时借助多媒体的直观演示，加深学习对知识的理解，再通过习题练习，巩I古I重点内容，最后进行变式训练，从而熟练应用并突破难点。

3）在本节学习中，让学生体验到数学的逻辑，严密，科学美，对学生培养严谨认真的态度有积极意义；同时通过解决牛活中的实际问题，增强数学的牛活味，促使学生在生活中用数学眼光看待世界，用数学大脑去认识世界，学会用数学思考问题，并大胆提问，善于发现问题，并从屮发现的乐趣，同时培养了学生的创新能力。

教学重点、难点教学重点：验证三角形内角和定理，能运用三角形内角和定理进行推理和计算；动手操作，探索发现，验证三角形外角性质。

教学难点：添加辅助线证明三角形内角和定理和外角性质，运用三角形外角性质进行计算时能准确表达推理过程和方法，并运用到实际中去。

教学过程一、知识回顾1.师：展示课件图片，地板可以用正方形密铺而成，蜂巢可以用正六边形密铺而成，那么形状、大小完全相同的任意三角形能否镶嵌成平面图形呢？生：能师：通过课件展示形状、大小完全相同的任意三角形镶嵌成平面图形的过程, 其依据是什么？生：三角形三个内角的和等于180°师：小学和初一阶段又是如何验证三角形三个内角的和等于180度的呢？生：通过度量和撕角验证三角形三个内角的和等于180°师：展示课件，演示三角形撕角（即搬角）形成平角的过程，师：利用几何画板演示任意三角形的三个内角和等于180°师：用几何画板验证很多个三角形的内角和为180度，能不能作为三角形内角和定理的证明依据？生：不能。

认识三角形边长和角度的关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。

在研究三角形时，我们需要了解三角形的边长和角度之间的关系。

本文将深入探讨三角形边长和角度的相关性，并且给出一些具体的例子来加深理解。

一、三角形的内角和定理三角形的内角和定理是我们了解三角形的基础。

根据这个定理，三角形的三个内角之和始终等于180度。

这意味着，只要我们知道了三角形的两个角度，就可以求出第三个角度。

例如，假设我们已知一个三角形的两个内角分别为60度和70度，那么可以通过180度减去这两个角的和来计算出第三个角度的大小：180度 - 60度 - 70度 = 50度。

因此，这个三角形的第三个内角为50度。

二、三角形的边长之间的关系在了解了三角形的内角和定理之后，我们可以进一步研究三角形的边长之间的关系。

根据三角形的边长关系，我们可以分为以下几种情况：1. 等边三角形：等边三角形的三条边长度相等。

由于三角形的内角和定理，我们可以得出等边三角形的每个角度都是60度。

2. 等腰三角形：等腰三角形的两条边长度相等。

根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角（与底边相对的两个角）相等。

3. 直角三角形：直角三角形的一个角为90度。

在直角三角形中，勾股定理成为重要的边长关系定理。

勾股定理表明，在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边上的两条边长的平方之和。

除了特殊的三角形，一般情况下，我们需要使用三角形的三边之间的关系来计算三角形的角度。

三、三角形角度计算的代数方法对于一般的三角形，如果我们已知三边的长度，如何计算三个角的大小呢？我们可以使用三角函数来解决这个问题。

1. 正弦定理：正弦定理是三角形边长和角度之间的重要关系之一。

根据正弦定理，对于一个三角形，边长a、b、c和对应的角度A、B、C之间有以下关系：a / sinA =b / sinB =c / sinC通过正弦定理，我们可以根据已知的边长和角度来计算其他未知边长或角度。