二次函数中的对称问题

初二数学二次函数的轴对称性

二次函数是数学中常见的一种函数形式，具有很多独特的性质。其中，轴对称性是二次函数最为显著的特征之一。本文将介绍二次函数的轴对称性及相关概念，并以数学实例来加深理解。

一、轴对称性的定义及性质

1. 轴对称性的定义：二次函数的图像关于某一条直线对称。

2. 轴对称性的性质：若二次函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则有以下性质：

- 对任意x，有f(a+x) = f(a-x)；

- 若(x1, y1)是f(x)的图像上的任意一点，则(a+x1, y1)也是f(x)的图像上的一点；

- 轴对称线的方程为x=a。

二、轴对称函数的图像

轴对称函数的图像是一种特殊的图形，具有左右对称的特点。以二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c （a≠0）为例，其轴对称线的方程为x = -b/2a。

当a>0时，二次函数的图像开口向上，形如“U”字形，轴对称线为对称图形的最低点； 当a<0时，二次函数的图像开口向下，形如倒置的“U”字形，轴对称线为对称图形的最高点。

三、轴对称性的证明

证明某一函数具有轴对称性可以采用以下两种方法。

1. 利用代数方法，求解f(x)与f(-x)的关系：

若f(x) = f(-x)，则二次函数具有轴对称性。

例如，对于二次函数f(x) = x^2 - 4，有f(x) = f(-x)，因此该函数具有轴对称性。

2. 利用几何方法，观察二次函数的图像关于x轴对称：

绘制二次函数的图像，并将图像沿x轴折叠。如果左右对称，则二次函数具有轴对称性。

例如，对于二次函数f(x) = (x-1)^2 - 2，绘制其图像后，可以发现图像相对于x轴呈左右对称的关系，因此该函数具有轴对称性。

四、轴对称性在数学问题中的应用

1. 轴对称性在函数图像的绘制中的应用：

在绘制二次函数的图像时，可以利用轴对称性简化计算。通过确定函数的最高点或最低点及其坐标，再结合对称性，可以得到更多其他点的坐标，从而绘制出准确的图像。

1 高中数学二次函数对称轴典型问题练习题

二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类：

①定区间，定轴； ②定区间，动轴，

③动区间，动轴．要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0.

第一类问题 二次函数中的动轴定区间

例一已知函数2142aaxxy在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a的值。

〖解答〗.3106,310,2)1(,]1,0[,2,12/;,20,32,2)2(,20,120;6,2)0(,]1,0[,0,02,2,42)2(maxmaxmax22或综上上单调递增函数在即时当故舍去矛盾与或得有即时当得有上单调递减函数在即时当对称轴为aafyaaaaafyaaafyaaaxaaaxy

第二类问题 二次函数中的定轴动区间

例二 函数f(x)＝142xx在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值记为g(t)．

(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值

(1)对区间[t，t＋1](t∈R)与对称轴x＝2的位置关系进行讨论：

①当t＋1<2，即t<1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上递增，

2 此时g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2；

②当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上先增后减，

此时g(t)＝f(2)＝3；

例三

已知f(x)＝)(2)34(2Raaxxaa∈R)，求f(x)在[0,1]上的最大

值

2222[1]4122(1)3(12)241(2)3.tfxttgtfttttttgtttttgt③当时，函数在区间，＋上递减，此时＝＝－＋－，综上，＝利用图象解得的最大值是maxmax4430342.30,140.34430341()43003430,10.12aafxxfxfxfaaaaxafxfxfa若－＝，则＝，所以＝－＋由于在上是减函数，所以＝＝若－，即，分两种情况讨论：ⅰ若－，即，因为对称轴＝，所以在上是减函数，所以＝【】＝解析maxmax41()4300343112043231221124<<<0.243330,1222()32()3aaxaaafxfaafxfaafxaaagaaaⅱ若－，即，因为对称轴＝，故又分两种情况讨论：①当，即时，＝＝－；②当，即时，＝＝综上所述，在上的最大值是关于的函数＝

二次函数在闭区间上的最值

一、 知识要点：

一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设fxaxbxca()()20，求fx()在xmn[]，上的最大值与最小值。

分析：将fx()配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba2

当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上fx()的最值：

（1）当bamn2，时，fx()的最小值是fbaacbafx2442，()的最大值是fmfn()()、中的较大者。

（2）当bamn2，时

若bam2，由fx()在mn，上是增函数则fx()的最小值是fm()，最大值是fn()

若nba2，由fx()在mn，上是减函数则fx()的最大值是fm()，最小值是fn()

当a0时，可类比得结论。

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1.轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1.函数yxx242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

图1图2

练习.已知232xx，求函数fxxx()21的最值。 2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2.如果函数fxx()()112定义在区间tt，1上，求fx()的最小值。

图1图2图8

例3.已知2()23fxxx，当[1]()xtttR，时，求()fx的最大值．

二次函数对称规律

1、 y1=ax2+bx+c关于x轴对称的函数是y2= -ax2-bx-c。

因为抛物线的形状未变，只是开口方向相反，所以a变为-a；对称轴未变，y1的对称轴是a2bx，y2的对称轴也应该是a2ba2bx；y1与y轴的交点坐标是（0，c），关于x轴对称后就是（0，-c）。

2、 y1=ax2+bx+c关于y轴对称的函数是y2= ax2-bx+c。

因为抛物线的形状未变，开口方向未变，所以a不变；对称轴改变，y1的对称轴是a2bx，y2的对称轴就应该是a2ba2bx；y1与y轴的交点坐标是（0，c），y2与y轴的交点坐标也是（0，c），所以c不变。

3、 y1=a（x-h）2＋k关于原点对称的函数是y2=-a（x+h）2-k。此时必须将抛物线化成顶点式研究。

因为y1=a（x-h）2＋k的顶点是(h,k)，关于原点对称后的顶点是（-h，-k），抛物线形状不变，开口方向相反，所以a变为-a。