巧用二次函数对称性解题

二次函数最值问题解题技巧

二次函数是高中数学中一个重要的章节，其中最值问题是必然要涉及到的。二次函数最值问题是指在二次函数中，寻找函数取得最大值或最小值的过程。解决这类问题需要掌握一些技巧：

1. 将二次函数转化为标准形式：y = a(x - h)^2 + k。这样可以清晰地看到顶点坐标(h, k)。

2. 根据二次函数的开口方向来确定最值。如果a > 0，图像开口朝上，最小值就是顶点坐标；如果a < 0，图像开口朝下，最大值就是顶点坐标。

3. 利用平移的性质，将二次函数平移，使得顶点落在坐标轴上，这样最值就可以直接读取。

4. 利用最值的对称性，求出函数在顶点两侧的取值情况，从而得到最值。

5. 对于一些特殊的二次函数，如y = ax^2 + bx + c，可以通过求导数来解决最值问题。求出导数为0的解即可得到最值点。

掌握这些技巧，就能够快速求解二次函数最值问题。在解决问题的过程中，也应该注重数学思维的培养和训练，提高自己的数学能力。

初二数学二次函数的轴对称性

二次函数是数学中常见的一种函数形式，具有很多独特的性质。其中，轴对称性是二次函数最为显著的特征之一。本文将介绍二次函数的轴对称性及相关概念，并以数学实例来加深理解。

一、轴对称性的定义及性质

1. 轴对称性的定义：二次函数的图像关于某一条直线对称。

2. 轴对称性的性质：若二次函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则有以下性质：

- 对任意x，有f(a+x) = f(a-x)；

- 若(x1, y1)是f(x)的图像上的任意一点，则(a+x1, y1)也是f(x)的图像上的一点；

- 轴对称线的方程为x=a。

二、轴对称函数的图像

轴对称函数的图像是一种特殊的图形，具有左右对称的特点。以二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c （a≠0）为例，其轴对称线的方程为x = -b/2a。

当a>0时，二次函数的图像开口向上，形如“U”字形，轴对称线为对称图形的最低点； 当a<0时，二次函数的图像开口向下，形如倒置的“U”字形，轴对称线为对称图形的最高点。

三、轴对称性的证明

证明某一函数具有轴对称性可以采用以下两种方法。

1. 利用代数方法，求解f(x)与f(-x)的关系：

若f(x) = f(-x)，则二次函数具有轴对称性。

例如，对于二次函数f(x) = x^2 - 4，有f(x) = f(-x)，因此该函数具有轴对称性。

2. 利用几何方法，观察二次函数的图像关于x轴对称：

绘制二次函数的图像，并将图像沿x轴折叠。如果左右对称，则二次函数具有轴对称性。

例如，对于二次函数f(x) = (x-1)^2 - 2，绘制其图像后，可以发现图像相对于x轴呈左右对称的关系，因此该函数具有轴对称性。

四、轴对称性在数学问题中的应用

1. 轴对称性在函数图像的绘制中的应用：

在绘制二次函数的图像时，可以利用轴对称性简化计算。通过确定函数的最高点或最低点及其坐标，再结合对称性，可以得到更多其他点的坐标，从而绘制出准确的图像。

二次函数（对称性、增减性）

一、 对称性、增减性

1、（2021.北京26题）在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线20yaxbxa上.

(1)若m=3，n=15，求该抛物线的对称轴；

(2)已知点123()()()124yyy，，，，，在该抛物线上，若mn<0，比较123yyy，，，的大小，并说明理由

【答案】（1）1x;（2）213yyy

解析：二次函数综合，考察点和对称轴的位置判断函数值的大小.

①当m<0,n>0时，由二次函数恒过（0，0）点知此时抛物线开口向下，a<0,与a>0矛盾；

②当m>0,n<0时，对称轴为13,22x故351357(1),2,4.222222xxx

∴214xxx

∵0a

∴213yyy

2、（2020.北京26题）在平面直角坐标系xOy中，11,Mxy，22,Nxy为抛物线20yaxbxca上任意两点，其中12xx．

（1）若抛物线的对称轴为=1x，当1x，2x为何值时，12yyc；

（2）设抛物线的对称轴为=xt．若对于123xx．都有12yy，求t的取值范围．

【解析】：(1)当12yyc时

令yc时，代入20yaxbxca

20caxbxca

0xaxb

120,bxxa

1,22bxbaa又对称轴即

222axa

(2)作点M关于xt的对称点,M设点M31,xy

132xxt

1212,3yyxx

1232,2xxttt即23,

注：此时，是可以取等值的，一定要特别注意。

3、（2017.北京27）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求直线BC的表达式；

(一)、教学内容

1. 二次函数得解析式六种形式

① 一般式 y＝ax2 +bx+c(a≠0)

② 顶点式 （a≠０已知顶点)

③ 交点式 (a≠0已知二次函数与X轴得交点）

④ y=ax２ (ａ≠0） （顶点在原点）

⑤ y=ax２＋c (a≠0) (顶点在y轴上)

⑥ ｙ= ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点)

2. 二次函数图像与性质

对称轴:

顶点坐标:

与y轴交点坐标(0,c)

增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大

ﻩ 当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小

☆ 二次函数得对称性

二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴:

与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于 y轴对称得函数解析式:y=ａx２ -bｘ+c(a≠0)

与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于 x轴对称得函数解析式:y=-ax2 –bx-c(a≠0）

当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大；

当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大;

【典型例题】

题型 1 求二次函数得对称轴

1、 二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。

2、 二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A)

(Ｂ） (C) (D)

3、 y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。

4、 如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求它与x轴得另一个交点得坐标( , )

5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( )