人教B版数学高一版必修1学案集合的概念

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精心校对完整版 数学人教B必修1第一章1.1.1 集合的概念

1．了解集合的含义，会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系．

2．理解集合中元素的特性，重点理解其确定性与互异性．

3．熟悉常用数集的符号，尤其要注意空集的含义及表示．

1．集合的有关概念

一般地，把一些能够____的____的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的____(或____)，常用英语大写字母A，B，C，…表示．构成集合的每个对象叫做这个集合的____(或____)，常用英语小写字母a，b，c，…表示．

集合是现代数学中不加定义的基本概念，学习这个概念应注意以下两点：

(1)集合是一个“整体”；

(2)构成集合的对象必须是“确定”且“不同”的．

【做一做1】下列各组对象不能构成集合的是( )

A．著名的中国数学家

B．所有的负数

C．清华大学招收的2011级新本科生

D．2011年11月第十九届APEC(亚太经合组织)会议将在夏威夷檀香山举行，所有APEC的成员国

2．元素与集合的关系

知识点 关系 概念 记法 读法

元素与集合的关系 属于 如果____________，就说a属于A ____ a属于A

不属于 如果____________，就说a不属于A ____ a不属于A

元素与集合的联系与区别如下表：

【做一做2】已知集合M只含有两个元素2 011a，2 013－a，且2 011∈M，求a的值．

3．集合中元素的性质特征

(1)______，(2)______，(3)______．

在处理集合中有关元素的问题时，求得其中元素(或字母)的值以后，要充分考虑集合元高中数学-打印版

精心校对完整版 素的互异性与分类讨论思想的应用，要进行代入检验，舍去不符合要求的值．

【做一做3－1】若a，a，b，b，a2，b2构成集合M，则M中的元素最多有( )

A．6个 B．5个 C．4个

D．3个

【做一做3－2】方程x2－2x＋1＝0的解集中有__________个元素．

4．集合的分类

【做一做4】指出下列集合是有限集还是无限集．

(1)满足2 011＜x＜2 013的整数构成的集合；

(2)平面α内所有直线构成的集合．

5．常用数集及表示符号

名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

符号 ____ ______ __ __ __

【做一做5】下列关系表示正确的是( )

A．0∈N＋ B．π∉R C．1∉Q D．0∈Z

一、集合中元素的特性

剖析：确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准．

互异性：一个给定集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一个元素，这一点很容易被大家忽视，在解题中要切记这一性质．

无序性：集合中的元素没有顺序，在表示集合时先写哪个元素都可以．

二、特殊集合——空集

剖析：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.空集是一个实实在在的集合，只不过此集合中无任何元素，故称之为空集．如“方程x2＋2＝0的实数根”组成的集合，因为没有适合该集合的元素，故它是空集．

要谨防①0＝{0}，②{0}＝，③{}＝的错误，实际上，

①0是集合{0}的一个元素，可记为0∈{0}；

②表示空集，而{0}表示含一个元素0的集合；

③{}表示含有一个元素的集合．

三、教材中的“思考与讨论”

1．你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由．

剖析：不能构成集合．原因是对高个子同学高的程度没有确定的标准，所以无法判定哪些同学符合要求，因此不能构成集合．

2．你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？

剖析：能构成集合．因为班里最高的3位同学是确定的(只要按身高从高到低取前三名即可)，将他们作为元素放在一起即构成所要求的集合．

题型一 集合中元素的确定性

【例1】下列各组对象能构成集合吗？ 高中数学-打印版

精心校对完整版 (1)你所在班级的男生；

(2)参加2010年广州亚运会的高大运动员；

(3)关于x的方程ax2＋1＝0的实数解；

(4)从1988年到2012年举办奥运会的城市；

(5)所有小的正数；

(6)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．

分析：“高大”和“小”没有确定的标准，因此(2)(5)的对象不能构成集合，(3)中的方程可能有实数解，也可能没有实数解，当a给定后，其方程解的情况就是确定的．

反思：看一组对象能否构成一个集合，只要看这组对象是否是确定的，即任何一个对象，要么在这一组对象中，要么不在这组对象之中，而没有第三种情况出现．

题型二 集合中元素的互异性

【例2】由元素3，x，x2－2x构成集合M，则x应满足的条件是__________．

反思：互异性是集合中元素的重要性质，在解决集合中有关元素的问题时，一定要注意利用互异性进行验证．

题型三 元素与集合的关系

【例3】已知集合P中有三个元素a－3,2a－1，a2＋4，且－3∈P，求实数a的值．

分析：利用－3是集合P中的元素，可列方程求a的值，最后需验证集合中元素的互异性．

反思：在根据元素与集合的关系解题时，一定要注意最后代入检验，看是否符合题意及元素的互异性等性质．

1下列各组对象，能构成集合的是( )

A．平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点

B．平面内两边之和小于第三边的三角形

C．新华书店中有意义的小说

D．π(π＝3.141…)的近似值的全体

2由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )

A．1 B．－2 C．6 D．2

3集合A是由点(2 011,2 012)和点(2 012,2 011)构成的，则A中有__________个元素．

4设L(A，B)表示直线AB上所有点组成的集合，“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单地写成P__________L(A，B)．

5判断下列说法是否正确，并说明理由．

(1)1，32，64，－12，12这些数组成的集合有5个元素；

(2)方程(x－3)(x－2)2＝0的解组成的集合有3个元素．

答案：

基础知识·梳理

1．确定 不同 集合 集 元素 成员

【做一做1】A 因为选项B，C，D中所给的对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项A中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能构成集合．

2．a是集合A的元素 a∈A a不是集合A的元素 a∉A

【做一做2】解：∵2 011∈M， 高中数学-打印版

精心校对完整版 ∴2 011a＝2 011或2 013－a＝2 011.

解得a＝1或a＝2.

∴a的值为1或2.

3．(1)确定性 (2)互异性 (3)无序性

【做一做3－1】C 由集合元素的互异性，知集合M中的元素最多为a，b，a2，b2，且4个元素互不相等．

【做一做3－2】1

4． 有限集 无限集

【做一做4】解：(1)满足2 011＜x＜2 013的整数仅有2 012一个，故此集合是有限集．

(2)无限集．

5．N N＋或N* Z Q R

【做一做5】D

典型例题·领悟

【例1】解：(1)(3)(4)(6)可以构成集合；(2)(5)不能构成集合．

【例2】x≠3且x≠0且x≠－1 由集合中元素的互异性可得出3，x，x2－2x互不相等，由此可求出x应满足的条件．即由 x≠3，x2－2x≠3，x2－2x≠x，解得x≠3且x≠0且x≠－1.

【例3】解：∵－3∈P，a2＋4≥4，

∴a－3＝－3或2a－1＝－3，

解得a＝0或a＝－1.

经检验a＝0时，P中三个元素为－3，－1,4，满足集合中元素的互异性；

a＝－1时，P中三个元素为－4，－3,5，也满足集合中元素的互异性．

综上，a的值为0或－1.

随堂练习·巩固

1．B 选项A，C，D中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B为，故能构成集合．

2．C 代入验证如下：当a＝1时，a2＝2－a；

当a＝－2时，a2＝2－a＝4；

当a＝2时，a2＝4，

所以1，－2,2均不能满足集合A中元素的互异性，而a＝6时，a2＝36,2－a＝－4，故选C.

3．2 因为点的坐标是有顺序性的，所以集合A中有2个点，即A中有2个元素．

4．∈

5．解：(1)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，而32与64相同，－12与12相同，故此集合是由3个元素组成的集合．

(2)不正确．方程(x－3)(x－2)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝2，因此此集合只有3和2两个元素．