绝对值习题及答案

例1求下列各数的绝对值：

(1)－38； (2)0.15；

(3)a(a＜0)； (4)3b(b＞0)；

(5)a－2(a＜2)； (6)a－b．

分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a与b的大小关系，所以要进行分类讨论．

解：(1)｜－38｜＝38；(2)｜＋0.15｜＝0.15；

(3)∵a＜0，∴｜a｜＝－a；

(4)∵b＞0，∴3b＞0，｜3b｜＝3b；

(5)∵a＜2，∴a－2＜0，｜a－2｜＝－(a－2)＝2－a；

说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．

例2判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：

(1)｜－a｜＝｜a｜； ( )

(2)－｜a｜＝｜－a｜； ( )

(4)若｜a｜＝｜b｜，则a＝b； ( ) (5)若a＝b，则｜a｜＝｜b｜； ( )

(6)若｜a｜＞｜b｜，则a＞b； ( )

(7)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜； ( )

(8)若a＞b，则｜b－a｜＝a－b． ( )

分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a＝1，则－｜a｜＝－｜1｜＝－1，而｜－a｜＝｜－1｜＝1，所以－｜a｜≠｜－a｜．同理，在第(6)小题中取a＝－1，b＝0，在第(4)、(7)小题中取a＝5，b＝－5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：

此题证明的依据是利用｜a｜的定义，化去绝对值符号即可．对于证明第(1)、(5)、(8)小题要注意字母取零的情况．

解：其中第(2)、(4)、(6)、(7)小题不正确，(1)、(3)、(5)、(8)小题是正确的．

说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便．

例3判断对错．(对的入“T”，错的入“F”)

(1)如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是0．

( ) (2)如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是1和0．

( )

(3)如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1．

( )

(4)如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的．

( )

(5)如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数．

( )

解：(1)T．

(2)F．－1的倒数也是它本身，0没有倒数．

(3)F．正数的绝对值都等于它本身，所以绝对值是它本身的数是正数和0．

(4)T．任何一个数的绝对值都是正数或0，不可能是负数，所以这句话是错的．

(5)F．0的绝对值是0，也可以认为是0的相反数，所以少了一个数0．

说明：解判断题时应注意两点：

(1)必须“紧扣”概念进行判断；

(2)要注意检查特殊数，如0，1，－1等是否符合题意．

例4 已知(a－1)2＋｜b＋3｜＝0，求a、b．

分析：根据平方数与绝对值的性质，式中(a－1)2与｜b＋3｜都是非负数．因为两个非负数的和为“0”，当且仅当每个非负数的值都等于0时才能成立，所以由已知条件必有a－1＝0且b＋3＝0．a、b即可求出．

解：∵(a－1)2≥0，｜b＋3｜≥0，

又(a－1)2＋｜b＋3｜＝0

∴a－1＝0且b＋3＝0 ∴a＝1，b＝－3．

说明：对于任意一个有理数x，x2≥0和｜x｜≥0这两条性质是十分重要的，在解题过程中经常用到．

例5填空：

(1)若｜a｜＝6，则a＝______；

(2)若｜－b｜＝0.87，则b＝______；

(4)若x＋｜x｜＝0，则x是______数．

分析：已知一个数的绝对值求这个数，则这个数有两个，它们是互为相反数．

解：(1)∵｜a｜＝6，∴a＝±6；

(2)∵｜－b｜＝0.87，∴b＝±0.87；

(4)∵x＋｜x｜＝0，∴｜x｜＝－x．

∵｜x｜≥0，∴－x≥0

∴x≤0，x是非正数．

说明：“绝对值”是代数中最重要的概念之一，应当从正、逆两个方面来理解这个概念． 对绝对值的代数定义，至少要认识到以下四点：

(家教4.0，复习辅导“有理数”例3 2结(1)—(4))

例6 判断对错：(对的入“T”，错的入“F”)

(1)没有最大的自然数． ( )

(2)有最小的偶数0． ( )

(3)没有最小的正有理数． ( )

(4)没有最小的正整数． ( )

(5)有最大的负有理数． ( )

(6)有最大的负整数－1． ( )

(7)没有最小的有理数． ( )

(8)有绝对值最小的有理数． ( )

解：(1)T．

(2)F．数的范围扩展后，偶数的范围也随之扩展．偶数包含正偶数，0，负偶数(－2，－4，…)，所以0不是最小的偶数，偶数没有最小的．

(3)T．

(4)F．有最小的正整数1．

(5)F．没有最大的负有理数．

(6)T．

(7)T．

(8)T．绝对值最小的有理数是0．

例7 比较下列每组数的大小，在横线上填上适当的关系符号

(“＜”“＝”“＞”)

(1)｜－0.01｜______－｜100｜；

(2)－(－3)______－｜－3｜；

(3)－[－(－90)]_______0；

(6)当a＜3时，a－3______0；｜3－a｜______a－3．

分析：比较两个有理数的大小，需先将各数化简，然后根据法则进行比较．

解：(1)｜－0.01｜＞－｜100｜；

(2)－(－3)＞－｜－3｜；

(3)－[－(－90)]＜0；

(6)当a＜3时，a－3＜0，｜3－a｜＞a－3．

说明：比较两个有理数大小的依据是：

①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，正数大于0，大于一切负数，负数小于0，小于一切正数，两个负数，绝对值大的反而小．

②两个正分数，若分子相同则分母越大分数值越小；若分母相同，则分子越大分数值越大；也可将分数化成小数来比较．

例8 比较大小：

分析：比较两个负分数的大小，按法则，先要求出它们的绝对值，并比较绝对值的大小．

(1)这两个数的绝对值是两个异分母的正分数，要比较它们的大小，需通分；

(2)用(1)的方法比较这两个负数绝对值的大小是非常麻烦的，此法不可取．通过比较它们的倒数，可以快捷的达到目的．

说明：两个有理数比较大小，当它们都是负数时，必须通过比较绝对值的大小来确定它们的大小．(1)一定要注意，因为是两个负数，所以它们的绝对值越大，对应点在数轴的左边离原点的距离就越远，因此它的值就越小．(2)比较两个异分母正分数的大小时，如果通分很麻烦，可以考虑通过比较它们倒数大小的方法间接达到目的．理论依据

例9 在数轴上画出下列各题中x的范围：

(1)｜x｜≥4；(2)｜x｜＜3；(3)2＜｜x｜≤5．

分析：根据绝对值的几何意义画图．例如，｜x｜≥4的几何意义是：数轴上与原点的距离大于或等于4个单位长度的点的集合；｜x｜＜3的几何意义是：数轴上与原点的距离小于3个单位长度的点的集合．

解：(1)｜x｜≥4，即数轴上x对应的点到原点的距离大于或等于4，如图1．

∴当x＞0时，有x≥4；当x＜0时，有x≤－4．

(2)｜x｜＜3，即数轴上x对应的点到原点的距离小于3，如图2．

即有－3＜x＜3．

(3)2＜｜x｜≤5，即数轴上x所对应的点到原点的距离比2大且小于或等于5，如图3．

即－5≤x＜－2或2＜x≤5．

说明：在数轴上表示含绝对值的不等式时，最容易错的是忘记或画错原点左边(负半轴上)符合条件的点的范围．应当认真研究负数部分符合条件的点的范围的画法，并真正做到“理解”．

例10 (1)求绝对值不大于2的整数；

(2)已知x是整数，且2.5＜|x|＜7，求x．

分析：

(1)求绝对值不大于2的整数，就是求数轴上与原点的距离小于或等于2个单位长度的整数点．

(2)因为2.5＜｜x｜＜7中的x表示的是绝对值小于7同时绝对值又大于2.5的整数，所以，依绝对值定义应该是满足－7＜x＜－2.5，或2.5＜x＜7的所有整数．

解：(1)先画出数轴上与原点的距离小于或等于2的点的范围．

由图看出，绝对值不大于2的整数是：

－2，－1，0，1，2

(2)符合2.5＜|x|＜7的所有整数，就是符合－7＜x＜－2.5或2.5＜x＜7的所有整数．

由图看出，符合2.5＜｜x｜＜7的整数是：

x＝±3，±4，±5，±6．

说明：因为绝对值概念课本上从几何与代数两个角度都给出了定义，所以在解含绝对值的问题时要注意灵活运用这两个定义．此题也可以用代数定义求解．根据绝对值的几何定义，用数形结合的思想，把有关绝对值的问题转化为数轴上的点与原点的距离问题来解决，是经常采用的方法．

例11已知a、b、c所表示的数如图所示：

(1)求｜b｜，｜c｜，｜b＋1｜，｜a－c｜；

*(2)化简｜a－b｜－｜－a｜＋｜c－1｜＋｜c－b｜．

分析：由图知a＜－1＜b＜0，0＜c＜1．

根据以上条件，先确定绝对值符号内的数是正数还是负数，然后再化简．

解：由图知a＜0，b＜0，c＞0，

且b＞－1，a＜c，a＜b，c＜1，c＞b，

∴b＋1＞0，a－c＜0，a－b＜0，c－1＜0，c－b＞0