_ Q
_ G _ P_ O 二次函数与三角形的存在性问题
一、预备知识
1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（x1，y），Q（x2，y）
(1)线段对称轴是直线2x21xx
(2)AB两点之间距离公式：221221)()(yyxxPQ
中点公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则线段PQ的中点M为222121yy,xx。
2、两直线的解析式为11bxky与 22bxky
如果这两天两直线互相垂直，则有121kk
3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2
（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2
（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交
（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直
二、三角形的存在性问题探究：
三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形
（一）三角形的性质和判定：
1、等腰三角形
性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形
性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形
性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形
4、等边三角形
性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 总结：（1）已知A、B两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上
4二次函数与三角形存在性问题(2-3次课)(总17页)
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一、等腰三角形的存在性问题
例1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形若存在，请求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由。
3 巩固练习
1、如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知A(3,0)，且M(1,38)是抛物线上另一点。连接，设点是轴上任一点，若以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标。
4 2、如图1，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形为等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）当
（图2、图3供画图探究）
5 二、直角三角形存在性
例2、如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）
（1）求抛物线的解析式；
（2）y轴上是否存在一点N，恰好使得△PNB为直角三角形若存在，直接写出满足条件的所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6 巩固练习
1、如图，抛物线＝－x2＋2x＋3与x轴交于B、E两点，与y轴交于A点．点P是直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，是否存在点P，使△PAE为直角三角形若存在，求出t的值；若不存在，说明理由
2、如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点为抛物线的顶点,点B在x轴上.若点Q是y轴上一点,且为直角三角形,求点Q的坐标.
8 三、等腰直角三角形存在性
例3、在平面直角坐标系中,抛物线32y2xx与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)请直接写出点A,C,D的坐标;
1 二次函数函数的存在性问题（相似三角形）
1、）如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。
（1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
2、）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，AC、两点的坐标分别为(60)A，，(03)C，，
直线34yx与BC边相交于D点．
（1）求点D的坐标； （2）若抛物线294yaxx经过点A，试确定此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以POM、、为顶点的三角形与OCD△相似，求符合条件的点P的坐标．
y
O
3 C D B 6 A
x
34yx
2
ABxyOQHPC3、）如图，已知抛物线y＝34x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0）过点C的直线y＝34tx－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，
且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是_ _，b＝ _，c＝_ _；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；
若不存在，说明理由．
4、）已知，如图1，过点01E，作平行于x轴的直线l，抛物线214yx上的两点AB、的横坐标分别为1和4，直线AB交y轴于点F，过点AB、分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CFDF、．
（1）求点ABF、、的坐标； （2）求证：CFDF；
（3）点P是抛物线214yx对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQPO⊥交x轴于点Q，是否存在点P使得OPQ△与CDF△相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
中考压轴题解析
二次函数的存在性问题
【典例分析】
【考点 1】二次函数与相似三角形问题
例 1】已知抛物线 y ax2 bx 3与 x轴分别交于 A( 3,0)， B(1,0)两点，与 y轴交于点 C．
2)点 F 是线段 AD 上一个动点．
1
AD .
2
ABC 相似？若相似，求出点 F 的坐标；若不相似，请说明 理由．
变式 1-1】如图，抛物线 y ax2 2x c经过 A( 1,0)， B两点，且与 y轴交于点 C(0,3) ，抛物线与 直线 y x 1交于 A， E 两点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 坐标轴上是否存在一点 Q，使得 AQE是以 AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q的 坐标；若不存在，说明理由．
(3) P点在 x轴上且位于点 B的左侧，若以 P， B， C为顶点的三角形与 ABE相似，求点 P的坐AF
①如图 1，设 k ，当 k 为何值时，
CF
AD 1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； 标．
1
【变式 1-2】如图，已知抛物线 y m（x 2）（x m） （m > 0）与 x 轴相交于点 A，B，与 y轴相交于点 C， 且点 A 在点 B 的左侧 .
（ 1）若抛物线过点（ 2， 2），求抛物线的解析式；
（2）在（ 1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点 H ，使 AH+CH 的值最小，若存在，求出点 H 的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点 M ，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与 △ACB 相似？若存
在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 .
考点 2】二次函数与直角三角形问题
BC交于点 D，连接 AC 、 AD ，求 VACD的面积；
3 点 E为直线 BC上的任意一点， 过点 E作x轴的垂线与抛物线交于点 F ，问是否存在点 E使VDEF 为 直角三角形？若存在，求出点 E 坐标，若不存在，请说明理由． 例 2】如图， 抛物线 y ax2 bx c a 0 的顶点坐标为 2, 1 ，图象与 y 轴交于点 C 0,3 ，与 x轴
