高考数学函数专题习题及详细答案

高考数学函数专题习题及详细答案

1 / 111 1.函数y ex 1(xR)的反函数是( )

A．y 1 lnx(x 0) B．y 1lnx(x 0)

．

y

1lnx(x 0) ．

y 1lnx(x 0) C D

2.f(x) (3a 1)x 4a,x1

是( , )上的减函数，那么a的取值范围是

loga x,x 1

(A) (0,1) ( B)(0,1) (C)[1,1) (D)[1,1)

3 7 3 7

3. 在以下四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2) 上的任意x1,x2(x1 x2)，

|f(x1) f(x2)| |x2 x1|恒成立〞的只有

() 1 (B)fx |x|( C) f(x)2 x (D) f(x) x 2

Af(x) x

4.f(x) 是周期为2 的奇函数，当0 x1时，f(x) lgx. 设

a f(6),bf(3),c f(5),那么

5 2 2

(A) abc (B)bac (C)cba (D)cab

5.函数f(x) 3x2 lg(3x 1) 的定义域是

1 x

A. 1 B 1 C 1 1 D 1

( , ) ( ,1) ( ,) , ) . .

3 .(

3 3 3 3

6、以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A. y x 3 ,x R B y sinx,x R C y x,x R D 1 x

y () ,x R . . .

y 2

7、函数y f(x)的反函数y f 1(x)的图像与y轴交于点 4 y f 1

(x)

P(0,2) (如右图所示)，那么方程f(x) 0 在[1,4] 上的根是x 2

B.3 C.2

8、设f(x)是R上的任意函数，那么以下表达正确的选项是 1 O 3 x

( Af(x)f(x) 是奇函数

( Bf(x)f(x)

是奇函数

) )

(C) f(x) f(x)是偶函数 ( D) f(x) f(x)是偶函数 高考数学函数专题习题及详细答案

2 / 112 9、函数y ex的图象与函数 y f x的图象关于直线 y x对称，那么

A．f 2x e2x(x R) B．f 2x ln2glnx(x 0)

C．

f 2

x 2 x(

x )

D．f 2x lnx ln2(x

0)

e R 高考数学函数专题习题及详细答案 3 / 113

2ex1,x＜2， 那么f(f(2))的值为

10、设f(x)

2

log3(x 1)，x 2.

(A)0 (B)1 ( C)2 ( D)3

11、对a，b a,a b x R)的最 R，记max{a，b}＝ ＜ ，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(

,

b

ba

小值是

(A)0 ( B)1 ( C)3 ( D)3

2 2

12、关于x的方程(x21)2 x21 k 0，给出以下四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有 2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有 4个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有 5个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有 8个不同的实根；

其中假命题的个数是

．

A．0 B．1 C．2 D．3

〔一〕 填空题(4 个)

1.函数f x对于任意实数x满足条件fx2 1 ，假设f 1 5,那么 f x

ff5 _______________。

2设g(x) ex,x 0.那么g(g(1)) __________

lnx,x 0. 2

3.函数 f x 1 ,，假设f x 为奇函数，那么a ________。

a

1

2x

4.设a0,a 1，函数f(x) loga(x2 2x 3)有最小值，那么不等式 loga(x 1) 0的解

集为 。

〔二〕 解答题(6 个)

1.设函数f(x) x2 4x 5 .

(1)在区间[ 2,6] 上画出函数 f(x)的图像；

(2)设集合A x f(x)5 , B( , 2] [0,4][6, ). 试判断集合 A和B之

间的关系，并给出证明；

(3)当k 2时，求证：在区间 [ 1,5]上，y kx 3k的图像位于函数 f(x)图像的上方. 高考数学函数专题习题及详细答案 4 / 114

2、f(x)＝3axb 2bx c.假设a b c 0，f(0)＞0，f(1)＞0，求：

(Ⅰ)a＞0且－2＜a＜－1； b (Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个根 .

3.定域 R的函数f(x) 2x b是奇函数。

2x 1 a

(Ⅰ)求a,b的；

(Ⅱ)假设任意的t R，不等式f(t2 2t)f (2t2 k)0恒成立，求k的取范；

4.函数f(x)＝ c2

,其中a数.

x2axa

(Ⅰ)假设f(x)的定域R，求a的取范;

(Ⅱ)当f(x)的定域R，求f(x)的减区.

5.定在正数集上的函数 f(x) 1x2 2ax，g(x)3a2lnx b，其中a0．

2

两曲y f(x)，yg(x)有公共点，且在点的切相同．

(I)用a表示b，并求b的最大； (II)求：f(x)≥g(x)(x 0)．

6.函数f(x) x2 x1，, 是方程f(x)＝0的两个根( )，f'(x)是f(x)的数；

a1 1，an1an f(an)(n＝1，2，⋯⋯)

f'(an)

(1) 求,的；

(2) 明：任意的正整数 n，都有an＞a；

(3) bnlnan (n＝1，2，⋯⋯)，求数列{bn}的前n和Sn。

an a

解答： 一、 高考数学函数专题习题及详细答案 5 / 115

1解：由y ex 1得：x 1 lny,即x=-1+lny ，所以y 1lnx(x0) 为所求，应选D。

２解：依题意，有0 a 1且3a－1 0，解得0 a 1，又当x 1时，(3a－1)x＋4a 7a

3

－1，当 x 1时， logx 0，所以 7－1 0解得 x 1 应选 C

a 7

３解： 1 － 1 |＝| x2－x1 |＝ 1 |x1－x2 |Qx 1，x2〔1，2〕 x1x2 1 1 |

x1x2 1

x1 x2 |x1x2| x1x2

|1－1| |x1－x2|应选A

x1 x2

４解：f(x) 是周期为2的奇函数，当0x 1时，f(x) lgx. 设

a 6 f( 4 4 3 f( 1 1 5 1

f() ) f()，b f() ) f()，c f() f()＜0，∴

5 5 5 2 2 2 2 2

c a b，选D.

５解：由 1 x 0 1 x 1 B.

，应选

3x 1 0 3

６解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数 ;C在其定义域内既是奇函数又是增函数 ;D在

其定义域内不是奇函数，是减函数 ;应选.

A

７解：f(x) 0的根是x 2，应选C

８解：A中F(x) f(x)f( x)那么F( x) f( x)f(x) F(x)，

即函数F(x) f(x)f( x)为偶函数，B中F(x) f(x) f( x)，F(x) f(x) f(x)此

时F(x)与F( x)的关系不能确定，即函数 F(x) f(x)f( x)的奇偶性不确定，

C中F(x) f(x)f( x)，F( x) f( x) f(x) F(x)，即函数F(x) f(x) f(x)为

奇函数，D中F(x) f(x) f(x)，F( x) f(x)f(x)F(x)，即函数

F(x)f(x) f(x)为偶函数，应选择答案 D。

９解：函数y ex的图象与函数y f x的图象关于直线 y x对称，所以f(x)是y ex

的反函数，即 f(x)＝lnx，∴ f 2x ln2x lnx ln2(x 0)，选D.

１０解：f(f(2)) ＝f(1) ＝2，选C

１１解：当x －1时，|x＋1|＝－x－1，|x－2|＝2－x，因为(－x－1)－(2－x)＝－3 0，

所以2－x －x－1；当－1 x 1时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝2－x，因为(x＋1)－(2－ 2 高考数学函数专题习题及详细答案 6 / 116

x)＝2x－1 0，x＋1 2－x；当1 x 2，x＋1 2－x；当x 2，|x＋1|＝x＋1，|x

2 －2|＝x－2，然x＋1 x－2；

2 x(x ( , 1)

2 x(x [ 1 ))

1, 3

故f(x) 2 据此求得最小 C

1 。

x 1(x ,2)) 2

[

2

x 1(x [2, ))

１２解：关于 x的方程 2 2 2 1 0可化2 2 2 ⋯

x 1

x k 1

x 〔x－1〕k 〔0x1或x－1〕(1)

2

0(－1 x1)⋯⋯⋯⋯(2)

或x21＋〔x2－1〕k