专题21 多边形内角和定理的应用(解析版)

初中数学 多边形的内角和精讲精练【考点精讲】1. 一般地，n 边形的内角和等于)3(180)2(≥⋅-n n 。

探究方法：由于从n 边形的一个顶点可引（n －3）条对角线，这些对角线把n 边形分成（n －2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n 边形的内角和为︒⋅-180)2(n ，而正n 边形的每个内角．．．．为()nn ︒⋅-1802。

2. 任何多边形的外角和都等于360°。

探究方法：由于n 边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°，n 个外角连同它们各自相邻的内角共有2n 个角，这些角的总和等于︒⋅180n ，所以外角和为()︒=︒⋅--⋅36018021800n n ，即多边形的外角和为360°【典例精析】 例题1 （1）已知多边形的每个内角都是135︒，求这个多边形的边数；（2）每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数。

思路导航：（1）题，可将“每个内角都是135︒”转化为“每个外角都是45︒”，从而利用=45︒，得出n 的值为8。

（2）若设边数为n ，则可分别表示出内角与外角的度数，从而利用题中的等量关系列方程求解。

答案：（1）∵ 多边形的每个内角都是135︒，∴ 它的每个外角度数为45︒。

根据多边形外角度数和为360︒可知，n =36045=8 ∴ 这个多边形的边数为8。

（2）设该多边形的边数为n ，依题意得(2)180n n-⋅=9⨯n360，∴ n =20。

点评：每个内角或外角都相等的多边形，它的每个内角为(2)180n n -⋅，每个外角为360n，利用这两点结合题意就可以列出关于边数n 的方程，从而求解。

例题2 如图，小亮从A 点出发前进10m ，向右转15°，再前进10m ，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了 m 。

第二十四讲 多边形的内角和与外角和【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形． 知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n-°；知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形 凹多边形【典型例题】类型一、多边形的概念例1．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形?【答案与解析】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。

第十一章三角形11.3.2多边形的内角和一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数为A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】设多边形边数有x条，由题意得：180（x−2）=1080，解得x=8，故选C．2．已知一个多边形的外角和是内角和的2倍，则这个多边形是A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】A3．如果一个正多边形的一个内角和它相邻外角的比是3∶1，那么这个多边形是A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形【答案】B【解析】设这个多边形的边数是n，则(2)180nn-⋅∶360n=3∶1，解得n=8．故选B．4．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是A．a>b B．a=b C．a<b D．b=a+180°【答案】B【解析】∵四边形的内角和等于a，∴a=（4-2）·180°=360°．∵五边形的外角和等于b，∴b=360°，∴a=b．故选B．学科&网二、填空题：请将答案填在题中横线上．5．若正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形是__________边形．【答案】九【解析】根据正多边形的外角和为360°，正多边形的每个外角都相等，可得360÷40=9，因此这个正多边形是正九边形．故答案为：九．6．若一个多边形的边数增加1，则它的内角和增加__________．【答案】180°【解析】设多边形边数为n，那么增加1条即为n+1，原来内角和：（n-2）×180°=n×180°-360°，现在内角和：（n+1-2）×180°=n×180°-180°，内角和增加了180°，故答案为：180°．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．7．某多边形的内角和与外角和的总和为2160°，求此多边形的边数．【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意得（n-2）·180+360=2160，解得x=12，所以此多边形的边数是12．8．某同学采用把多边形内角逐个相加的方法计算多边形的内角和，求得一个多边形的内角和为1520°，当他发现错了以后，重新检查，发现少加了一个内角．问：这个内角是多少度？他求的这个多边形的边数是多少？。

知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。

凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

分类2：多边形非正多边形：1、n边形的内角和等于180°（n-2）。

多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于360°。

3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6/。

镶嵌拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。

知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。

多边形外角和的应用多边形内角和是随边数的变化而变化的，而多边形的外角和恒为360°,不随边数的变化而变化，这一结论在解题中具有重要的作用.一、求多边形内角的度数例1 正十二边形的每个内角是多少度？分析：正十二边形的内角和可以求出，由于正十二边形的所有内角都相等，因此可以求出每个内角的度数.我们还可以从外角出发，正十二边形的所有内角都相等，而每个外角都与内角互补,可知它的所有外角也都相等．解法1: 因为n=12，所以十二边形的内角和为（12-2）×180°=1800°.因为正十二边形的所有内角都相等，所以每个内角为1800°÷12=150°．解法2：因为多边形的外角和是360°，又正十二边形的所有内角都相等，所以正十二边形的所有外角也都相等，每个外角为360°÷12=30°，所以正十二边形的每个内角为180°—30°=150°．点评：两种方法都可以求解，但解法2的计算量较小.关于求正多边形内角度数问题往往从外角着手更方便.例2 小明在求一个正多边形的内角的度数时，求出的值是145°。

请问他的计算正确吗?如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，说明理由．分析：我们知道这道题是在问是否存在一个正多边形,它的内角为145°.由于正多边形的所有外角也都相等，设这个多边形为n 边形，则有n×35°=360°，而满足上述等式的n 的值若是整数，则这样的正多边形就存在．解:假设小明计算正确,设这个正多边形是正n 边形，n 为整数．因为正多边形的所有外角都相等,且它们的和是360°,所以（180°—145°）×n=360°。

即35°×n=360°,所以 n=727，求得的n 值不为整数，所以不存在内角是145°的正多边形．小明计算不正确．二、求多边形的边数例3 已知一个多边形的每一个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20º,试求这个多边形的边数．分析:由已条件知这个多边形的每一个内角都相等，因此它的每一个外角也都相等，所以只要求出外角度数，然后用360º除以这个度数即得多边形的边数．解:设此多边形的外角为xº，由题意得180－x=3x+20,解得x=40．从而多边形的边数为360º÷40º=9，所以这个多边形的边数为9．点评:任意多边形的外角和都为360º，本题是根据相邻的内角与外角互补列方程,先求出外角的度数，再利用多边形的外角和性质来解决．例4 凸多边形的内角中，锐角的个数最多有（）。

多边形内角和计算与应用多边形是指由多个直线段首尾相连而成的图形，其中的直线段被称为边，连接边的点被称为顶点。

根据多边形的顶点数量可以分为三角形、四边形、五边形等等。

在研究多边形性质时，我们经常需要计算多边形的内角和，以及将其应用于实际问题中。

一、多边形内角和计算对于任意n边形来说，其内角和可以通过以下公式进行计算：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n代表多边形的边数。

通过这个公式，我们可以方便地得出任意多边形的内角和。

以三角形为例，根据公式计算可得：内角和 = (3 - 2) × 180° = 180°因此，三角形的内角和始终为180°。

同样地，对于四边形来说：内角和 = (4 - 2) × 180° = 360°对于五边形来说：内角和 = (5 - 2) × 180° = 540°由此可见，随着边数的增加，多边形的内角和也在增加。

二、多边形内角和的应用多边形的内角和在几何学中具有广泛的应用。

以下列举了一些常见的应用场景。

1. 判断多边形类型通过计算多边形的内角和，我们可以判断多边形的类型。

例如，如果内角和为180°，则该多边形为三角形；如果内角和为360°，则为四边形；以此类推。

这种方法可以用于识别不规则多边形，并辅助我们进行几何形状的分类和命名。

2. 求解缺失的角度在解决几何问题时，有时候我们已知部分角度，需要求解其他缺失的角度。

通过利用多边形的内角和公式，我们可以计算出缺失的角度值。

例如，已知一个五边形中4个角度的数值，我们可以通过四个已知角度的和与五边形的内角和相减，得到缺失角度的数值。

3. 查找多边形的对角线数量对角线是将多边形两个非相邻顶点连接起来的线段。

多边形中的对角线数量可以通过以下公式计算：对角线数量 = (n × (n - 3)) / 2其中，n代表多边形的边数。

多边形和内角和练习题温故而知新：1.多边形多边形的内角和：n边形内角和等于＿（n-2)·180°＿＿多边形的外角和：任意多边形外角和等于＿＿360°＿多边形的对角线：凸n边形共有＿1(3)2n n-＿条对角线.2.平面镶嵌定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌）问题.说明：正三角形、正方形和正六边形可以镶嵌平面图案,正五边形不能镶嵌平面图案.多边形的对角线例 1 今年暑假，佳一学校安排全校师生的假期社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导教师，为了加强同学间的联系，学校要求该班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校七（1）班共有50名学生,那么该班师生之间每周至少要通几次电话?为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通话次数s之间的关系用下列模型表示，如图。

解析：师生53人看作是53边形的53个顶点，n边形的对角线条数公式为：1(3)2n n-。

答案：解：将七（1）班师生53人看作是53边形的53个顶点,由多边形对角线条数公式1(3)2n n-得1⨯⨯-=53(533)13252所以1325+53=1378次。

答：该班每周师生之间至少要通1378次电话小结：(1)建立数学模型是解决实际问题的基本方法;（2）n边形的对角线的条数公式是1(3)n n-2多边形的内角和与外角和例2 已知一个多边形的外角和等于内角和的1/3，求这个多边形的边数。

解析：多边形的外角和为360°，根据多边形的内角和及外角和列方程。

答案：解:设这个多边形的边数为n，根据题意,得1n-⨯=(2)1803603解得 n=8答：这个多边形的边数是8.小结：利用方程求解是解决此类问题的一般方法.例3 如图,小陈从O点出发,前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A。

专题20 多边形内角和定理的应用一、单选题1．（2022·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（ ）A ．每个内角都相等的多边形是正多边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D ．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分2．（2022·四川眉山·）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ） A ．1：3 B ．1：2 C ．2：1 D ．3：1 3．（2022·湖南岳阳·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）A ．五边形的内角和是720︒B ．三角形的任意两边之和大于第三边C ．内错角相等D ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点4．（2022·辽宁）若正多边形的一个内角是144︒，则这个正多边形的边数为（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．7 5．（2022·浙江）正六边形的每个内角的度数是（ ）A ．120︒B ．135︒C ．135︒D ．以上都不正确 6．（2022·山东济宁·中考真题）如图，正五边形ABCDE 中，CAD ∠的度数为（ ）A ．72︒B ．45︒C ．36︒D ．35︒ 7．（2022·台湾）如图，四边形ABCD 中，1∠、2∠、3∠分别为A ∠、B 、C ∠的外角．判断下列大小关系何者正确？（ ）A ．1+3=+ABC D ∠∠∠∠B ．1+3ABCD ∠∠<∠+∠ C ．123360∠+∠+∠=︒ D ．123360∠+∠+∠>︒8．（2022·石家庄市第四十中学九年级）如图，五边形ABCDE 中，80B ∠=︒，110C ∠=︒，1∠、2∠、3∠分别是BAE ∠、AED ∠、EDC ∠的外角，则123∠+∠+∠等于（ ）A ．90︒B ．190︒C ．210︒D ．180︒9．（2022·厦门市第九中学九年级）一个n 边形的内角和为360︒，则n 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．（2022·湖南新田县·九年级期中）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍还多180°，则这个多边形是（ ）A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形二、填空题11．（2022·四川雅安·中考真题）如图，ABCDEF 为正六边形，ABGH 为正方形，连接CG ，则∶BCG +∶BGC =______．12．（2022·福建省同安第一中学九年级）一个多边形的每一个内角都是144︒，那么这个多边形是_____边形．13．（2022·浙江温州·九年级期中）如果一个正n 边形的每个内角是140°，则n ＝________． 14．（2022·山东济南·中考真题）如图，正方形AMNP 的边AM 在正五边形ABCDE 的边AB 上，则PAE ∠=__________︒．15．（2022·福建厦门双十中学思明分校）已知正n 边形的一个内角为135︒，则n 的值是_____________．三、解答题16．（2022·广东）若一个多边形的内角和的14比一个四边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是多少？ 17．（2017·揭西县第三华侨中学九年级月考）如图，在四边形ABCD 中，∶A ＝∶BCD ＝90°，BC ＝DC ，延长AD 到E ，使DE ＝AB ．（1）求证：∶ABC ＝∶EDC ；（2）求证：∶ABC∶∶EDC ．18．（2018·浙江九年级月考）若n 边形的内角和等于它外角和的3倍，求边数n. 19．（2019·河北邢台三中九年级月考）如图，以正六边形ABCDEF 的边AB 为边，在形内作正方形ABMN ，连接MC ．求∶BCM 的大小．20．（2020·福建九年级月考）如图，已知点O 是正六边形ABCDEF 的对称中心，,G H 分别是边,AF BC 上的点，且.AG BH =求证：OG OH =．21．（2022·全国九年级专题练习）探索归纳：（1）如图1，已知∶ABC 为直角三角形，∶A=90°，若沿图中虚线剪去∶A ，则∶1+∶2等于______；（2）如图2，已知∶ABC 中，∶A=40°，剪去∶A 后成四边形，则∶1+∶2=______；（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∶1+∶2与∶A 的关系是______；（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∶1+∶2与∶A 的关系并说明理由．22．（2020·浙江嘉兴市·九年级学业考试）定义：每个内角都相等的八边形叫做等角八边形．容易知道，等角八边形的内角都等于135°．下面，我们来研究它的一些性质与判定：（1）如图1，等角八边形ABCDEFGH中，连结BF．∶请直接写出∶ABF＋∶GFB的度数．∶求证：AB∶EF．∶我们把AB与EF称为八边形的一组正对边．由∶同理可得：BC与FG，CD与GH，DE与HA这三组正对边也分别平行．请模仿平行四边形性质的学习经验，用一句话概括等角八边形的这一性质．（2）如图2，等角八边形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，则其余两组正对边CD与GH，DE与HA分别相等吗？证明你的结论．（3）如图3，八边形ABCDEFGH中，若四组正对边分别平行，则显然有∶A＝∶E，∶B＝∶F，∶C＝∶G，∶D＝∶H．请探究：该八边形至少需要已知几个内角为135°，才能保证它一定是等角八边形？23．（2022·全国）（1）如图∶，求∶A+∶B+∶C+∶D+∶E+∶F的度数；（2）如图∶，求∶A+∶B+∶C+∶D+∶E+∶F+∶G+∶H的度数；（3）如图∶，求∶A+∶B+∶C+∶D+∶E+∶F+∶G的度数．。

专题03 多边形的内角和一、单选题1．（2020·重庆市第二十九中学校八年级月考）某多边形的内角和是其外角和的4倍，则此多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．7【答案】A【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是4×360°．n边形的内角和是(n﹣2)•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意，得(n﹣2)•180＝4×360，解得n＝10．则这个多边形的边数是10．故选：A．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解答本题的关键是根据多边形内角和公式与外角和定理，利用方程法求边数．2．（2021·四川七年级期末）某校新建的科技馆准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是（）A．正方形和正六边形B．正三角形和正六边形C．正五边形和正八边形D．正方形和正十边形【答案】B【分析】正多边形的组合能否铺满地面，看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°进行判定即可．【详解】解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；B、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，显然能构成360°的周角，故能铺满；C、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．D、正方形和正十边形内角分别为90°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．故选B．【点睛】本题主要考查了平面几何图形镶嵌，解题的关键是明确围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．3．（2021·全国八年级课前预习）下列叙述正确的是（ ）A ．每条边都相等的多边形是正多边形；B ．如果画出多边形某一条边所在的直线，这个多边形都在这条直线的同一侧，那么它一定是凹多边形；C ．每个角都相等的多边形叫正多边形；D ．每条边、每个角都相等的多边形叫正多边形【答案】D 【详解】由题意可知，A 、B 、Cj 均不正确，只有D 是正确的。

第七讲多边形的内角和【学习目标】1.能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.2.会应用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算.【新课讲解】知识点1：多边形的内角和问题1：三角形内角和是多少度？三角形内角和是180°.问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度？都是360°.问题3：猜想任意四边形的内角和是多少度？猜想：四边形ABCD的内角和是360°.证明：方法1 如图，连接AC,所以四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.【例题1】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF+∠EBF=90°，∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，∴∠CDF+∠CFD=90°，故△DCF为直角三角形．问题4 根据下列表格探究n边形内角和公式多边形的内角和公式：n边形内角和等于(n-2)×180 °.【例题2】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？【答案】内角是135°，九边形．【解析】多边形的内角的度数在0°—180°之间.设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．知识点2：多边形的外角和如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？答：互补问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？答：5×180°=900°问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？答：五边形外角和=5个平角－五边形内角和=5×180°－(5－2) × 180°=360 °结论：五边形的外角和等于360°.探究：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和 =n个平角-n边形内角和= n×180 °－(n－2) × 180°=360 °结论：n边形的外角和等于360°.【例题3】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．【答案】见解析。

人教版八年级数学上册教材知识点变式提高培训系列11.3 多边形及其内角和（2）基础强化作业解析一、选择题1．若一个多边形的边数增加1，它的内角和（）A．不变 B．增加1 C．增加180° D．增加360°【考点】多边形内角与外角．【分析】设原来的多边形是n，则新的多边形的边数是n+1．根据多边形的内角和定理即可求得．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（n+1﹣2）•180°．则（n+1﹣2）•180°﹣（n﹣2）•180°=180°．故选C．【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．2．当多边形的边数增加时，其外角和（）A．增加 B．减少 C．不变 D．不能确定【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和定理即可判断．【解答】解：任何多边形的外角和是360°，因而当多边形的边数增加时，其外角和不变．故选C．【点评】任何多边形的外角和是360°，不随边数的变化而变化．3．某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（）A．180° B．540° C．1900° D．1080°【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的内角和公式可知，多边形的内角和一定是180的整数倍，由此即可找出答案．【解答】解：∵n（n≥3）边形的内角和是（n﹣2）180°，所以多边形的内角和一定是180的整数倍．∴在这四个选项中不是180的倍数的是1900°．故选C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．4．如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是（）A．6 B．9 C．14 D．20【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．【专题】计算题．【分析】首先根据多边形的内角和计算公式：（n﹣2）×180°，求出多边形的边数；再进一步代入多边形的对角线计算方法：求得结果．【解答】解：多边形的边数n=720°÷180°+2=6；对角线的条数：6×（6﹣3）÷2=9．故选B．【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．5．如果一个多边形的内角和是它的外角和的n倍，则这个多边形的边数是（）A．n B．2n﹣2 C．2n D．2n+2【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和是360度，即可求得多边形的内角的度数，然后利用多边形的内角和定理即可求解．【解答】解：设多边形的边数为m，根据题意列方程得，（m﹣2）•180°=n×360°，m﹣2=2n，m=2n+2．故选D．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．6．一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，所形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是（）A．19 B．17 C．15 D．13【考点】多边形内角与外角．【分析】一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，则多边形的角增加了一个，求出内角和是2520°的多边形的边数，即可求得原多边形的边数．【解答】解：设内角和是2520°的多边形的边数是n．根据题意得：（n﹣2）•180=2520，解得：n=16．则原来的多边形的边数是16﹣1=15．故选C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，理解新多边形的边数比原多边形的边数增加1是解题的关键．7．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形【考点】多边形内角与外角．【分析】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，根据多边形的内角和是外角和的4倍，列方程求解．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，依题意得（n﹣2）×180°=360°×4，解得n=10，∴这个多边形的边数是10．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形内角和定理与外角和定理，多边形内角和=（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数），而多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和始终为360°．8．一个多边形中，除一个内角外，其余各内角和是120°，则这个角的度数是（）A．60° B．80° C．100° D．120°【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用960°÷180°所得商的整数部分加1就是多边形的边数．【解答】解：∵一个内角外，其余各内角和是120°，∴这个角的度数是60°．故选A．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．同时要注意每一个内角都应当大于0°而小于180度．二、填空题9．n边形的内角和=（n﹣2）×180度，外角和=360度．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和定理和外角和特征即可求出答案．【解答】解：任意n边形的内角和是（n﹣2）×180度，外角和是360度．故答案为：（n﹣2）×180，360．【点评】本题考查了多边形的外角和定理和内角和定理，这是一个需要熟记的内容．10．从n边形（n＞3）的一个顶点出发，可以画n﹣3条对角线，这些对角线把n边形分成n﹣2三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和相等．【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；多边形的对角线．【分析】多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有n﹣3个，因而从n边形（n＞3）的一个顶点出发的对角线有n﹣3条，把n 边形分成n﹣2个三角形，根据三角形内角和定理即可求得n边形的内角和与分得三角形内角的总和相等，都等于（n﹣2）•180°．【解答】解：从n边形（n＞3）的一个顶点出发的对角线有n﹣3条，可以把n边形划分为n﹣2个三角形，由此，可得n边形的内角和与分得三角形内角的总和相等，故答案为：n﹣3，n﹣2，相等．【点评】本题考查多边形的对角线与三角形内角和定理，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题解决，是转化思想在多边形中的应用．11．已知一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，则这个多边形是四边形．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】根据多边形的外角和为360°，由一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，得到内角和，再根据多边形的内角和定理即可得到多边形的边数．【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，设这个多边形为n边形，∴（n﹣2）•180°=360°，∴n=4，故答案为：四．【点评】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和=（n﹣2）•180°；多边形的外角和为360°．12．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，那么此多边形的边数为12．【考点】多边形内角与外角．【分析】一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，任何多边形的外角和是360度，因而这个正多边形的内角和为5×360度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180=5×360，解得：n=12．所以此多边形的边数为12．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决．13．若n边形的每个内角都是150°，则n=12．【考点】多边形内角与外角．【分析】由题可得，该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，根据n边形的每个内角都是150°，可得该正多边形的内角和为n×150°，再列方程求解．【解答】解：依题意得，（n﹣2）×180°=n×150°，解得n=12故答案为：12【点评】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形内角和=（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数）．14．一个多边形的每一个外角都为36°，则这个多边形是十边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解答】解：这个多边形是360÷36=10边形．故答案为：十．【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．15．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，那么这个边形的每个内角是120度，其内角和等于720度．【考点】多边形内角与外角．【分析】设多边形的外角为n度，则根据内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，可求出n的值，进而求出多边形的内角度数，根据多边形外角和为360度，可求出多边形的边数，然后求出其内角和即可．【解答】解：设多边形的外角为n度，则根据内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，可得：n+2n=180°，解得：n=60°，∴2n=120°，根据多边形外角和为360度，可求出多边形的边数为：360÷60=6，∵多边形的每个内角都相等，∴多边形内角和为：120×6=720°．故答案为：120，720．【点评】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和定理与多边形外角和为360度．16．一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是12边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设这个多边形是n边形，然后根据题意得：（n﹣2）×180=1800，解此方程即可求得答案．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：（n﹣2）×180=1800，解得：n=12．∴这个多边形是12边形．故答案为：12．【点评】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．17．n边形的内角和等于（n﹣2）•180度．任意多边形的外角和等于360度．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （（n≥3）且n为整数），且多边形的外角和等于360度，进行求解即可．【解答】解：根据多边形内角和定理可得n边形的内角和为：（n﹣2）•180，任意多边形的外角和等于360度．故答案为：（n﹣2）•180，360．【点评】本题考查了多边形内角和外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和定理和多边形的外角和等于360度．18．若一个多边形的外角和是它的内角和的，则此多边形的边数是10．【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的外角和是360度，外角和是它的内角和的，则内角和是1440度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180=1440，解得：n=10．则此多边形的边数是10．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．19．如果十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角都等于144度，每个外角都等于36度．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出每个内角的度数．【解答】解：∵十边形的每个内角都相等，∴十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10=36°．∴每个内角的度数为180°﹣36°=144°．故答案为：144，36．【点评】本题主要考查了多边形的外角性质及内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．边形的内角与它的外角互为邻补角．20．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形8边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=1080，解此方程即可求得答案．【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）=1080，解得：n=8，故答案为：8．【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．21．外角和等于内角和的多边形一定是四边形．对．（判断对错）【考点】多边形内角与外角．【分析】任意多边形的外角和为360°，然后依据多边形的内角和公式求得多边形的边数，从而可作出判断．【解答】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n﹣2）×180°=360°．解得：n=4．所以该多边形为四边形．故答案为：对．【点评】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．22．如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是十二边形；如果一个n边形每一个内角都是135°，则n=8；如果一个n边形每一个外角都是36°，则n=10．【考点】多边形内角与外角．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】解：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1800°，解得：n=12，则这个正多边形是12．如果一个n边形每一个内角都是135°，∴每一个外角=45°，则n= =8，如果一个n边形每一个外角都是36°，则n= =10，故答案为：十二，8，10．【点评】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．三、解答题23．若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之和为1440°，求这两个多边形的边数．【考点】多边形内角与外角．【分析】本题根据等量关系“两个多边形的内角之和为1440°”列方程求解，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．【解答】解：设多边形较少的边数为n，则（n﹣2）•180°+（2n﹣2）•180°=1440°，解得n=4．2n=8．故这两个多边形的边数分别为4，8．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，考查多边形的内角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式．。

多边形内角和定理在解题中的应用在已掌握知识“三角形的内角和为”的基础上,通过探究我们可得出边形内角和定理,即n 边形的内角和为.这个定理阐明了多边形的边数与多边形内角和之间的关系,这个结论既简单,又易记.下面就多边形内角和定理在解题中的一些应用例举如下:应用一:求多边形的内角和.例1已知多边形的每个内角都等于,求这个多边形的内角和.分析要求这个多边形的内角和,只需求出这个多边形的边数即可.因此,由题意可从多边形的内角入手,得出关于边数n的方程.解设此多边形的边数为n.根据题意,得,解这个方程,得.即这个多边形的边数为8,所以这个多边形的内角和为:.应用二:求多边形的边数.例2已知两个多边形的内角总和为,且两多边形的边数之比为2:5.试求这两个多边形的边数.分析可根据多边形的内角和与边数的关系,利用已知条件列出关于边数的一元一次方程,最后求出边数.解设这两个多边形的边数分别为根据题意,得, 解这个方程,得.从而即这两个多边形的边数分别为4和10.应用三:结合图形求角度的大小.例3如图,已知,,,.试求的度数.分析G∠是五边形的一个内角,要求G∠的度GFEDCBA数,由题可知关键在于求出五边形CDEFG 的内角和及的度数. 解 在中,.所以.又五边形CDEFG 的内角和为:,所以.应用四:解一些简单的综合题.例4 多边形每一个内角都等于120,则从此多边形一个顶点出发可作几条对角线?分析 解答本题的关键是求出此多边形的边数.在知道这个多边形的边数后,画出草图即可数出从此多边形一个顶点出发可作几条对角线.解 设此多边形的边数为n . 根据题意,得解这个方程,得所以从六边形的一个顶点出发可作3条对角线.例5 一个多边形除了一个内角外,其余各内角的和为,则这个内角是多少度?这个多边形的边数是几?分析 此题可用代数化的方法求解,注意到:一个多边形的内角必须大于,小于180.解 设这个多边形的边数为n ,这个内角为,则,即.因为等式左边是180的整数倍,所以等式右边也应是180的整数倍, 又因为,所以,则,此时.即这个内角为,这是个18边形.通过归纳,你应对多边形的内角和定理的在解题中的运用有了更深一步的理解吧!那么请你练一练:1.已知一个多边形的内角和与外角和之比为9:2,则这个多边形的内角和为 .2.如果一个多边形的内角都相等,且每个内角都比外角大60 ,试求这个多边形的边数.3.如图,的大小为 ( )D.不能确定具体的度数(第3题)ED CB A4.已知两个多边形的内角和为1800,且这两个多边形的边数均为偶数,求这两个多边形的边数.(参考答案: 1.. 2.6. 3.A. 4.四边形,十边形或六边形,八边形.)内容总结。

多边形内角和在图形面积中计算中的应用在小学图形问题中，经常会遇到关于扇形面积的计算问题，除了扇形基本公式的应用之外，经常还会利用多边形的内角和进行计算。

1.求下列图形阴影部分的周长和面积。

【解答】观察图形，阴影周长为4条弧长之和，也就是1个圆的周长，即
2×3.14×2=12.56（cm）
阴影面积为正方形面积减掉4个扇形（四分之一圆）形成的，由于半径为2，所以阴影面积为
4×4－3.14×22=3.44（cm2）
2.求下列图形阴影部分的周长和面积。

【解答】阴影周长为3条弧长与6条半径之和，而3条弧长正好可以拼成圆周长的一半，即
3.14×3+3×6=27.42（cm）
阴影面积可以看成3个扇形拼成的半圆面积，由于半径为2，所以阴影面积为
3.14×32÷2=1
4.13（cm2）。

专题21 多边形内角和定理的应用一、三角形1.三角形的内角和：三角形的内角和为180°2.三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

二、多边形1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。

4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

6．多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

8.多边形对角线的条数：(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分成(n-2)个三角形。

(2)n边形共有23)-n(n条对角线。

【例题1】(2020•济宁)一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是()A．9B．8C．7D．6【答案】B【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°，依此列方程可求解．【解析】设所求正n边形边数为n，则1080°＝(n﹣2)•180°，解得n＝8．【对点练习】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【答案】D．【解析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．设内角和为1080°的多边形的边数是n，则(n﹣2)•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．【例题2】(2020•湘西州)若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是．【答案】6【解析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是(n﹣2)•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．设该多边形的边数为n，根据题意，得，(n﹣2)•180°＝720°，解得：n＝6．故这个多边形的边数为6．【对点练习】(2019江苏徐州)如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝．【答案】140°【解析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得多边形的边数为：，∴∠OAD＝．一、选择题1．(2020•北京)正五边形的外角和为()A．180°B．360°C．540°D．720°【答案】B【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．2．(2020•无锡)正十边形的每一个外角的度数为()A．36°B．30°C．144°D．150°【答案】A【分析】根据多边形的外角和为360°，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数．【解析】正十边形的每一个外角都相等，因此每一个外角为：360°÷10＝36°，3．(2020•德州)如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为()A．80米B．96米C．64米D．48米【答案】C【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．．【解析】根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，所以一共走了8×8＝64(米)．4.若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是( )A．7 B．10 C．35 D．70【答案】C．【解析】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入中即可得出结论．∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144°n=180°×(n﹣2)，解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是： ==35．5．六边形的内角和是( )A．540° B．720° C．900° D．1080°【答案】B．【解析】此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：(n﹣2)•180°(n≥3，且n为整数)多边形内角和定理：n变形的内角和等于(n﹣2)×180°(n≥3，且n为整数)，据此计算可得．由内角和公式可得：(6﹣2)×180°=720°6．内角和为540°的多边形是( )A B C D【答案】C．【解析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°列式进行计算即可求解．设多边形的边数是n，则(n﹣2)•180°=540°，解得n=5．7．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于( )A．108° B．90° C．72° D．60°【答案】C．【解析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180°(n﹣2)=540°，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．设此多边形为n边形，根据题意得：180(n﹣2)=540，解得：n=5，故这个正多边形的每一个外角等于： 360°/5=72°．8．如图的七边形ABCDEFG中，AB、DE的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？( )A．40 B．45 C．50 D．60【答案】A．【解析】延长BC交OD与点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论．延长BC交OD与点M，如图所示．∵多边形的外角和为360°，∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°﹣220°=140°．∵四边形的内角和为360°，∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，∴∠BOD=40°．9.(2019贵州铜仁)如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是( )A．360°B．540°C．630°D．720°【答案】C．【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．10.(2019湖南湘西州)已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是( )A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。