第七章 实数完备性习题课一 叙述概念和定理1叙述实数完备性定理 1）．确界原理：设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必 有下确界．推论 有界数集必有上下确界．2）．单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．注 递增有上界的数列极限是上确界；递减有下界的数列极限是下确界．3）．区间套定理：若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得.,2,1],,[ =∈n b a n n ξ4）．有限覆盖定理：设H 闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限 个开区间来覆盖[]b a ,．5）．聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点． 注 （致密性定理） 有界数列必有收敛子列．6）．柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在0>N ，使得 对N n m >,有ε<-n m a a ．注 1） 单调有界定理与柯西收敛准则通常用于判断数列的收敛性． 2） 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点．在什么情况下应用确界定理呢？一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数（最大的下界或最小的上界），要使用确界定理，其作用类似闭区间套定理．3） 区间套定理是把区间上的整体性质收缩为某点的局部性质．在什么情况下应用闭区间套定理呢？一般来说，证明问题是需要找到具有某种性质P 的一个点，常常应用闭区间套定理将这个点“套”出来．怎样应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质P 的闭区间，其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质P ，然后继续使用二等分法，得到满足闭区间套定理条件的和具有性质P 的闭区间列．根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P 的点．（注：此性质P 是所找点的本质属性）4） 有限覆盖定理主要用于把局部性质扩展为整体性质．在什么情况应用有限覆盖定理呢？一般来说，如果我们已知在闭区间[],a b 的每一点的某个邻域内都具有性质P ，任一点的邻域所成之集()[]{}b a x x x S x x ,,∈+-=δδ覆盖[],a b ，为了将性质P 扩充到整个闭区间[],a b ，这时用有限覆盖定理能将覆盖[],a b 的无限个邻域转化为有限个邻域．总之，要想将闭区间每一点的局部性质扩充到整个闭区间，常常要用有限覆盖定理．5） 聚点定理（致密性定理）一般是将数列过渡到子列．首先需要构造有界数列，然后由致密性定理，存在收敛的子列． 2．叙述ξ为点集S 聚点的定义：1）设S 为数轴上的点集，ξ为定点（它可以属于S ，也可以不属于S ）．若ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．2) 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即∅≠S U);(εξ，则称ξ为S 的一个聚点．3)若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点．3．叙述ξ不是点集S 聚点的定义：设S 是数集，η不是S 的聚点⇔存在00>ε，在);(0εηU 中至多包含S 中有限多个点． 二 疑难问题注意事项1．区间套定理如果把闭区间改成开区间，结果成立吗？答： 不一定，如⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个110,0,1n n ⎛⎫⎛⎫⊂ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，且0)01(lim =-∞→nn ，但只有数01lim 0limn n n ξ→∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭可以作为ξ，但0不属于该区间10,n ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 注 对于开区间列有下列结果：设(){}n n b a ,是一个严格开区间套，即满足1221b b b a a a n n <<<<<< ，且0)(lim =-∞→n n n a b ．则存在唯一的一点ξ，使得.,2,1, =<<n b a n n ξ2．若11[,][,],1,2,n n n n a b a b n ++⊃= ，但0)(lim ≠-∞→n n n a b ，此时应有什么结论呢？答： 由11[,][,]n n n n a b a b ++⊃知{}n a 递增有上界1b ，依单调有界定理知，{}n a 有极限1ξ，且有1n a ξ≤．同理，递减有下界的数列{}n b 也有极限2ξ，且2n b ξ≤，又因为n n a b ≤，由极限保不等式性与0)(lim ≠-∞→n n n a b 知12ξξ<，则对任意的ξ，只要12ξξξ≤≤，就有ξ属于所有的闭区间[,]n n a b ．3．点集S 的聚点一定属于S 吗？答： 不一定，点集S 的聚点可以属于S ，也可以不属于S ，例如若S 为开区间(),a b ，则(),a b 内每一点以及端点,a b 都是S 的聚点，但,a b 不属于S ．4．设S 是有界数集，则sup S ，inf S 是S 的聚点吗？答： 一般情况下，当sup S S ∈时，它可能不是数集S 的聚点，例如1S n=，sup 1S =，但它不是聚点．当sup S S ∉时，由36页的结论存在严格递增数列{}n x S ⊂，使得lim sup n n x S →∞=，依据聚点的等价定义，可知sup S 是S 的聚点．5．在有限覆盖定理中当[],a b 改为(),a b ，结论还成立吗？答：不一定成立，例如，开区间集合),2,1(1,11 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+n n 构成了开区间)1,0(的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住)1,0(． 1）分析 ()0,1x ∀∈，要使1,11x n ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，只要11x n >+，即需要11n x >-，当n 充分大时是成立．证 ()0,1x ∀∈，当n 充分大时（11n x >-时），就有11x n >+，即1,11x n ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭． 2）反证法，设),2,1(1,11 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+n n 中能选出有限个开区间（对应有限个n ）盖住)1,0(，在这有限个n 中选取最大的为N ，这些有限区间都含在1,11N ⎛⎫ ⎪+⎝⎭中，则1,11N ⎛⎫⎪+⎝⎭中能覆盖)1,0(，矛盾．6．若函数f 在(),a b 上连续，能保证f 在(),a b 上有界吗？ 答： 函数f 在(),a b 上连续f 在(),a b 上有界．反例：1()f x x =在()0,1连续，但1()f x x=在()0,1上无界． 注 函数f 在(),a b 上连续，lim ()x af x +→，lim ()x bf x -→存在⇒f 在(),a b 上有界．注 函数f 在(),a b 上连续f 在(),a b 上有最大值最小值．7．试总结确界定理的应用．答 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点． 在什么情况下应用确界定理呢？一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数（最大的下界或最小的上界），要使用确界定理．构造合适的点集E ，使得E 的确界即为需证命题中的数．(1)证明根的存在定理：)(x f 在[]b a ,上连续， ()0f a <， ()0f b >，若定义[]{}()0,,E x f x x a b =>∈E inf =ξ，则有0)(=ξf ．(2)证明有界性定理：设[]]}{b a x x a t f x E ,(,,)(∈=上有界在，若证得,sup b E =即得)(x f 在[]b a ,上有界．8．试总结区间套定理的应用．答 应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题，恰当地构造区间套．一方面，闭区间列[]{}n n b a ,满足（i ）;,2,1],,[],[11 =⊃++n b a b a n n n n (ii)0)(lim =-∞→n n n a b ，另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在区间套的每一个闭区间中．前者是区间套定理本身条件的要求，保证诸区间[,](1,2,)n n a b n = 唯一存在公共点ξ；后者则把证明整个区间[,]a b 上所具有某性质的问题归结为ξ点邻域(,)U ξδ的性质，完满实现“整体”向“局部”的转化．在什么情况下应用闭区间套定理呢？一般来说，证明问题是需要找到具有某种性质P 的一个点，常常应用闭区间套定理将这个点“套”出来．怎样应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质P 的闭区间，其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质P ，然后继续使用二等分法，得到满足闭区间套定理条件的和具有性质P 的闭区间列．根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P 的点．（注：此性质P 是所找点的本质属性）(1)证明柯西准则：对于柯西列{}n a 构造区间套[]{}n n a β,使得在每个[]n n a β,外只有数列{}n a 中有限项，区间套的公共占ξ即为{}n a 的极限．(2)证明聚点定理：设S 为有界无限点集，[]b a S ,⊂，把区间[]b a ,二等分，其中必有一子区间包含数集中无限多个点，继续上述步骤，可得区间套[]{}b a ,，其公共点ξ即为S 的聚点．(3)证明有限覆盖定理：用反证法．若闭区间不能用有限个区间覆盖，把区间二等分，其中必有一子区间不能用有限个开区间覆盖，由此可构造区间套，其公共点ξ属于某个开区间，从而导致区间套中某区间可以用一个开区间覆盖的矛盾．(4)证明根的存在定理：设()0,()0,f a f b <>用二等分区间的方法构造区间套[]{}n n a β,，使得()0,()0,n n f a f b <>即)(x f 在区间[]n n b a ,的两个端点上异号，区间套的公共点ξ必满足.0)(=ξf9．试总结有限覆盖定理的应用．答 有限覆盖定理的妙处在于将“无限”化为“有限”，把局部性质推广成整体性质，它的好处在以后的应用中我们会看到．在什么情况应用有限覆盖定理呢？一般来说，如果我们已知在闭区间[],a b 的每一点的某个邻域内都具有性质P ，任一点的邻域所成之集()[]{}b a x x x S x x ,,∈+-=δδ覆盖[],a b ，为了将性质P 扩充到整个闭区间[],a b ，这时用有限覆盖定理能将覆盖[],a b 的无限个邻域转化为有限个邻域．总之，要想将闭区间每一点的局部性质扩充到整个闭区间，常常要用有限覆盖定理．根据证明要求构造无限开覆盖，由有限覆盖定理选出有限开覆盖以达到需证的要求．(1)证明有界性定理：应用连续函数的局部有界性，[]b a x ,∈∀存在领域);(x x U δ，使得在此领域上，()x f x M ≤，其中x M 是与x 有关的常数，[]{}b a x x U H x ,);(∈=δ为[]b a ,的无限开覆盖．由H 中可选出有限个邻域覆盖[]b a ,，然后易证f 的有界性．(2)证明一致连续性定理：应用连续性，0ε∀>，[],,x a b ∀∈''0,(;),()().x x x U x f x f x δδε∃>∀∈-<取[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=b a x x U H x ,)2;(δ为[]b a ,的无限覆盖，然后利用有限覆盖定理证明一致连续性．10．试总结致密性定理的应用．答 聚点定理（致密性定理）一般是将数列过渡到子列．首先需要构造有界数列，然后由致密性定理，存在收敛的子列．经常在反证法中对选出的有界子列应用致密性定理．(1)证明有界性定理：用反证法，若)(x f 在[]b a ,上无界，则存在{}[],,b a x n ⊂使得()n f x n >，利用致密性定理在{}n x 中选出{}k n x ，使得[]lim ,k n k x a b ξ→∞=∈，由连续性lim ()()k n k f x f ξ→∞=，与上面不等式矛盾．(2)证明一致连续性定理：用反证法，若函数f 在[]b a ,上不一致连续，00ε∃>，+∈∀N n ，,,'''n n x x ∃尽管'''1n n x x n-<，但 0''')()(ε≥-n n x f x f ．然后由致密性定理在{}'n x ，{}''n x 中分别选取于子列{}'k n x ，{}''k n x ，它们收敛于同一实数，于是与上面不等式矛盾．11. 点列（或数列）的聚点和点集（或数集）的聚点有什么区别？答：点列（或数列）的聚点是指：a 的任一邻域内含有数列{}n x 的无限多项，但各项值可以相等．点集（或数集）的聚点是指：a 的任一邻域内含有点集的无限多个点，但各项值不相等（集合互异性）．三 重要例题(一)应用有限覆盖的例题有限覆盖定理它实现了无限的飞跃，而有限集具有最大，最小及排序等一系列的性质．使用有限覆盖定理的关键是构造开覆盖，使得每个小区间上具有某种属性，如函数在每个区间上有界，或每个小区间上符号相同，或每个小区间上仅含有限个某种特性的点等．1．若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界．分析 连续函数具有局部有界性，即在每个点的邻域上有界，即对[],i x a b ∀∈，在每个(),i i i x i x x x δδ-+上都有一个界i x M ，在[]b a ,上有无限个点，对应无限个界i x M ，为了找最大正数，需将无限转化为有限，这样将无限个i x M 转化为有限个i x M ，从而找到最大值就是我们所需找的界．证 ① 由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M '，使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ．② 考虑开区间集[]{}b a x x U H x ,);(∈''='δ，显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集()[]{}*;,,1,2,,i i i H U x x a b i k δ=∈=覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有().,,2,1,k i M x f i =≤③令,max 1i ki M M ≤≤=则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤⇒δ;．即证得f 在[]b a ,上有界．2．设函数)(x f 定义在[]b a ,上， []b a x ,0∈∀，极限0lim ()x x f x →都存在．证明)(x f 在[]b a ,上有界．分析 因为[],i x a b ∀∈，极限lim ()ix x f x →，则由极限的局部有界性，即在每个点的空心邻域上有界，即对[],i x a b ∀∈，在每个()0,i Ux δ上都有一个界ixM ，在[]b a ,上有无限个点，对应无限个界i x M ，为了找最大正数，需将无限转化为有限，这样将无限个i x M 转化为有限个i x M ，从而找到最大值就是我们所需找的界．证 ① 由极限的局部有界性，对每一点[],,b a x ∈'都存在空心邻域0(;)x U x δ''及正数x M '，使得[]0(),(;),.x x f x M x U x a b δ'''≤∈ ．② 考虑开区间集[]{}(;),x H U x x a b δ'''=∈，显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集()[]{}*0;,,1,2,,i i i H U x x a b i k δ=∈=覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]0;,i i x Ux a b δ∈ 有().,,2,1,k i M x f i =≤③令,max 1i ki M M ≤≤=则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()0;i i i U x f x M M δ⇒≤≤．即证得f 在[]b a ,上有界．3．若连续函数)(x f 在[]b a ,上无界，则必存在[]b a ,上某点，使得)(x f 在该点的任意邻域内无界．证 用反证法，若[]b a x ,∈∀，存在0x δ>，使得)(x f 在);(x x U δ中有界，则令[]{}b a x x U H x ,);(∈=δ，它成为[]b a ,的一个无限开覆盖由有限覆盖定理，存在{}H k i x U H i x i ⊂≤≤=1);(*δ为[]b a ,的有限开覆盖．由于)(x f 在每上);(i x i x U δ内有界，因此)(x f 在[]b a ,上 界，这与)(x f 在[]b a ,上的无界性相矛盾．4．设f 在[]b a ,上连续，对任何[],,()0x a b f x ∈>．试用有限覆盖定理证明：必存在0c >，使得对任何[]b a x ,∈，满足.)(c x f ≥证[]b a x ,∈∀，因为()0f x >，由连续函数的局部保号性，于是0,'(;)x x x U x δδ∃>∀∈，()(')2f x f x >．现令 []{}b a x x U H x ,);(∈=δ，它是[]b a ,的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在{}H k i x U H i x i ⊂≤≤=1);(*δ为[]b a ,的有限开覆盖，取1()min 0,2i i k f x c ≤≤⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭[]b a x ,∈∀，∃某个（k i ≤≤1），使);(i x i x U x δ∈，于是()()2i f x f x c >≥． 5．设函数f 对),(b a 内的任何x ，存在0x δ> ，使得f 在),(x x x x δδ+-内递增，试证f 在整个),(b a 内亦递增．证 1212,,a a a a a b ∀<<<，设法证明[]1212()().,,f a f a x a a <∀∈ 由所设条件0x δ∃>，使得f 在),(x x x x δδ+-内递增，因此[]{}21,);(a a x x U H x ∈=δ是[]21,a a 的一个无限开覆盖，由有限覆盖定理，存在{}H k i x U H i x i ⊂≤≤=1);(*δ为[]21,a a 的有限开覆盖，为叙述方便起见，不妨设设);(),;(2121x x x U x U δδ就能覆盖[]21,a a ，且设12x x <．若);(112x x U a δ∈，则因);(111x x U a δ∈，f 在);(11x x U δ中递增，故)()(21a f a f ≤；若);(112x x U a δ∉，则);(222x x U a δ∈，且因1212(;)(;)x x V U x U x δδφ=≠ ，故V a ∈∃*，使*12a a a <<．于是又有).()()(2*1a f a f a f ≤≤对2k >的有限情形可类似地证明．由此可见， )(x f 在),(b a 上递增．6．若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上一致连续．分析 f 在I 上连续⇔0x I ∀∈，f 在0x 连续⇔0x I ∀∈，0ε∀>，0δ∃>，使得当0x x δ-<有()()0f x f x ε-<，注意这里δ不仅与ε有关，而且与0x 有关系，记()0,x δδε=．f 在I 上一致连续⇔0ε∀>，()0δδε∃=>（δ仅与ε有关），使得对I 中任意两点,x x '''，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<．由函数f 在I 上连续，则对I 中某一点0x 都能找出相应的()0,x δε，但是要证f 在I 上一致连续，则需要找一个仅与ε有关的δ，在前面已经说明δ越小越成立，那么如果能取()0,x δε的最小值作为()δε，就可以使其与0x 无关，但是区间I 中有无限多个点，对应无限多个正数()0,x δε，无限多个正数()0,x δε未必有最小值．但如果I 是闭区间[]b a ,，应用闭区间上的无限开覆盖有有限开覆盖，则将无限转化为有限，就可以取最小值了．证 ① 由f 在[]b a ,上的连续性⇒[],i x a b ∀∈，f 在i x 连续（若i x a =，考虑右连续，若i x b =，考虑左连续）⇒[],i x a b ∀∈，0ε∀>，20i x δ∃>，使得当2i i x x x δ-<，即当22,i i i x i x x x x δδ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭有()()2i f x f x ε-<．--------------------------------------------（2）（[]b a ,中有无限多个点i x ，对应无限多个正数2i x δ，无限多个正数2i x δ未必有最小值，不能取公共的δ）②考虑开区间集[]{}b a x x U H x ,);(∈''='δ，显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集()[]{}*;,,1,2,,i i i H U x x a b i k δ=∈=覆盖了[]b a ,．③记02min 1>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤i k i δδ，这个δ仅与ε有关与i x 无关，下证此δ就是一致连续定义中的δ．对任何x '，[]b a x ,∈''，δ<''-'x x ，x '必属于*H 中某开区间，设⎪⎭⎫⎝⎛∈'2;i i x U x δ即2ii x x δ<-'．此时有i iiii i x x x x x x δδδδδ=+≤+<-'+'-''≤-''222故由(2)式同时有()()2ε<-'i x f x f 和()()2ε<-''i x f x f由此得()()ε<''-'x f x f ．所以f 在[]b a ,上一致连续． （二）应用致密性定理1．证明若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界．证 倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >．依次取 ,2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,⊂．（f 在[]b a ,上无上界⇒0M ∀>，[],x a b ∃∈，使()f x M >（这里x 与M 有关，有一个M 就有一个对应的x 存在．我们用M x 表示这种依赖关系．即0M ∀>，[],M x a b ∃∈，使()f x M >取1M =，[]1,x a b ∃∈，使1()1f x >； 取2M =，[]2,x a b ∃∈，使2()2f x >；取M n =，[],n x a b ∃∈，使()n f x n >．即任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >） 则{}n x 是有界数列．由致密性定理，它含有收敛子列{}k n x ，记ξ=∞→k n k x lim ．由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ．利用f 在点ξ连续，推得()()+∞<=∞→ξf x f k n k lim另一方面，由n x 的选取方法又有()()+∞=⇒+∞→≥>∞→k k n k k n x f k n x f lim与(1)式矛盾．所以f 在[]b a ,有上界．类似可证f 在[]b a ,有下界，从而f 在[]b a ,上有界．2．若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上一致连续．证 用反证法．倘若f 在[]b a ,上不一致连续，则存在某00>ε，对任何0>δ，都存在相应的两点x '，[]b a x ,∈''，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f ．（这里x '，x ''与δ有关，有一个δ，就有一个与之对应的x '，x ''，即对任何0>δ，都存在相应的两点δx '，[]b a x ,∈''δ，尽管x x δδδ'''-<，但有()()0f x f x δδε'''-≥， 取1δ=，存在相应的两点[]11,,x x a b '''∈，尽管111x x '''-<，但有()()110f x f x ε'''-≥； 取12δ=，存在相应的两点[]22,,x x a b '''∈，尽管2212x x '''-<，但有()()220f x f x ε'''-≥；令n1=δ，与它相应的两点记为[]b a x x n n,,∈'''，尽管n x x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f ．(3) 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}[]b a x n ,⊂''．由致密性定理，存在{}n x '的收敛子列{}kn x '，设[]()∞→∈→'k b a x x kn ,0．同时由()∞→→-'+'-''≤-''⇒<''-'k x x x x x x n x x k k k k k k n n n nkn n0100又得()∞→→''k x x k n0．最后，由(3)式有()()0ε≥''-'k k n nx f x f ，在上式中令+∞→k ，由f 的连续性及数列极限的保不等式性，得到()()∞→=-=k x f x f lim 000()()0ε≥''-'k k n nx f x f ， 这与00>ε相矛盾．所以f 在[]b a ,上一致连续．3．设()f x 在[,]a b 上连续，{}[,]n x a b ⊂，且lim ()n n f x A →∞=，证明0[,]x a b ∃∈使0()f x A =．证： {}[,]n x a b ⊂故有界．根据致密性定理，知{}n x 必有收敛子列{}k n x ．不妨设0()k n x x k →→+∞．因{}[,]k n x a b ⊂，故0[,]x a b ∈．又lim ()n n f x A →∞=，知lim ()k n k f x A →∞=．而()f x 在[,]a b 上连续，从而在0x 点连续，0lim ()()k n k f x f x →∞∴=． 据极限的唯一性知0()f x A =．4． 设{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列趋向于不同的极限．分析 由致密性定理， {}{}1,lim k k n n n k x x x ξ→∞∃⊂=，为了得到另一个收敛子列，必须利用数列{}n x 本身不收敛于1ξ的条件．证 因为{}n x 是有界数列，由致密性定理，存在收敛子列{}{},n n x x k ⊂∃记1lim k n k x ξ→∞=由于{}n x 不收敛于1ξ，因此在1ξ的某一领域);(1δξU 之外必有{}n x 中的无穷多项，对这无穷多项再次应用致密性定理，在其中又存在另一收敛子列{}{},k nn x x '∃⊂记 1lim k nk x ξ→∞'=． 显然δξξ≥-21，即21ξξ≠．5．设)(x f 为定义在限区间I 上的函数，对I 内任何柯西列{}n x ，{}n x f (也是柯西列．试证f 是I 上的一致连续函数．证 用反证法．若f 在I 上不一致连续函数，于是{}{}010,,,nn n n x x I x x nε''''''∃>⊂-<但0()()nn f x f x ε'''-≥． 由致密性定理，对有界数列{}{}{},,lim ;k k nn n n k x x x x ξ→∞''''∃⊂=因为 0()k k nn x x k '''-→→∞，于是lim ;k n k x ξ→∞''=．这样，数列 1122,,,,,,k k nn n n n n x x x x x x ''''''''' 也收敛于ξ，因而是柯西列；但因为0()()k k nn f x f x ε'''-≥，使得 ()()()()()()1122,,,,,,k k nn n n n n f x f x f x f x f x f x ''''''''' 不是柯西列，这与假设相矛盾．6．若)(x f 在()b a ,上一致连续,则)(x f 在()b a ,上有界．证１设)(x f 在()b a ,上一致连续,则0>∀ε,0>∃δ,当()b a x x ,,21∈且δ<-21x x 时, 有()()21x f x f -ε<．取1=ε,令自然数n 满足δ<n1．将区间()b a ,进行n 等分,分点为()a b nia x i -+=(1,,2,1-=n i )．任取()b a x ,∈,则当],[1i i x x x -∈时,有()()1<-i x f x f ．从而()()1+<i x f x f (1,,2,1-=n i )．令(){}1m a x 11+=-≤≤i n i x f M 则()b a x ,∈∀有()M x f <,所以)(x f 在()b a ,上有界．证２若)(x f 在()b a ,上无界,则存在{}(),n x a b ⊂使得()()11+>+n n x f x f ( ,2,1=n )．由 致密性定理, {}n x 存在收敛子序列{}k n x ．由柯西收敛准则,知0>∀δ,0>∃N , 当N k >时,有δ<--1k k n n x x ．但是另一方面又有()()()()111>-≥-++kk k k n n n n x f x f x f x f ．由此可知)(x f 在()b a ,上非一致连续,矛盾． （三）区间套定理闭区间定理的使用时寻找具有一定的性质的点．一般需要寻找具有一定特征的点时可考虑使用闭区间套定理，其关键是构造区间套，常用的区间套的构造方法是使每个闭区间的端点具有不同的属性，或者是去想个小区间上具有某种性质．１．证明数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在0>N ，使得对N n m >,有ε<-n m a a ．分析 由数列收敛定义易证得必要性；要使用区间套定理证明充分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限．首先要找出{}n a 收敛的本质属性：{}n a 收敛于a ⇔0ε∀>，存在0>N ，使得对n N >有n a aε-<⇔0ε∀>，存在0>N ，使得对n N >有n a a a εε-<<+ ⇔0ε∀>，存在0>N ，使得对n N >有();n a U a ε∈即从N 项向后的所有的();n a U a ε∈，也就是{}n a 中除了有限项（至多是的1a 到n a 这些项）外的所有项都含在();U a ε中，这就是本质属性．然后对柯西列{}n a 构造一个区间套[]{},n n αβ，套出公共点ξ，恰为{}n a 的极限，其中每个区间套[],n n αβ应包含{}n a 除有限项外的所有项．最后用推论：{}n a 除有限项外的所有项[],(,)n n U αβξε⊂⊂，即(,)U ξε包含{}n a 除有限项外的所有项，即ξ就是极限点．证： （必要性） 设.lim A a n n =∞→由数列极限定义， 对任给的0>ε，存在0>N ，当N n m >,时有,2,2εε<-<-A a A a n m因而εεε=+<-+-≤-22A a A a a a n m n m ．（充） 按假设，对任给的0>ε，存在()0N ε>，使得对一切N n ≥，（取m N =）有n N a a ε-<，即从N 项向后的所有的[],n N N a a a εε∈-+，也就是{}n a 中除了有限项（至多是的1a 到n a 这些项）外的所有项都含在[],N N a a εε-+中，即在区间[]εε+-N N a a ,内含有{}n a 中除有限项外的所有项．（构造区间套的方法：有一个ε，就存在一个与之相关的N 存在，这样取一个ε，就有一个对应区间）据此，令,21=ε则存在1N ，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-21,2111N N a a 内含有{}n a 中除有限项外的所有项，记这个区间为[].,11βα 再令221=ε，则存在)(12N N >在区间内含有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2221,2122N N a a 内含有{}n a 除有限项外的所有项．记[][],,21,21,11222222βαβα ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=N N a a它也含有{}n a 除有限项外的所有项，且满足[][].21,,222211≤-⊃αββαβα及继续依次令 ,21,,213n=ε，照以上方法得一闭区间列[]{},,n n βα其中每个区间都含有n a 中除有限项外的所有项，且满足[][],,2,1,,,11 =⊃++n n n n n βαβα(),0211∞→→≤--n n n n αβ即[]{}n n βα,是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数[]).,2,1(, =∈n n n βαξ．现在证明数ξ就是数列{}n a 的极限．事实上，由定理7．1的推论，对任给的0>ε，存在,0>N 使得当N n >时有[]).;(,εξβαU n n ⊂因此在);(εξU 内含有{}n a 中除有限项外的所有项，这就证得ξ=∞-n n a lim ．２．实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点．分析 聚点的本质特点是ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点．所构造的区间套应该含这本质特点．S 为有界点集，],[b a S ⊂，把区间],[b a 二等分，其中必有一子区间内包含S 中无限多个点，继续上述步骤，可得一区间套，再证其公共点即为S 的聚点．证 因S 为有界点集，故存在,0>M 使得],[M M S -⊂，记],[],[11M M b a -=． 现将],[11b a 等分为两个子区间．因S 为无限点集，故两个区间中至少有一个含有S 中 无穷多个点，记此子区间为],[22b a ，则],[],[2211b a b a ⊃，且M a b a b =-=-)(211122再将],[22b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S 中无穷多个点，取出这样 的一个子区间，记为],[33b a ，则],[],[3322b a b a ⊃，且2)(212233M a b a b =-=-将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足),(022,,2,1],,[],[111∞→→=-=⊃-++n Ma b n b a b a n n n n n n n 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区都含有S 中无穷多个点．由区间套定理，存在唯一的一点[].,2,1,, =∈n b a n n ξ于是由定理7．1的推论，对任给的0>ε，存在0>N ，当N n >时有);(],[∈⊂ξU b a n n ．从而);(∈ξU 内含有S 中无穷多个点，按定义２，ξ为S 的一个聚点．３．设()f x 在[,]a b 上无界，证明()f x 在[,]a b 至少存在一点，使()f x 在该点的邻域无界．证：由于()f x 在[,]a b 上无界，将[,]a b 等分得两个区间[,],[,]22a b a ba b ++则()f x 至少在其中一个区间上无界，记其为11[,]a b ，再将11[,]a b 等分，则()f x 至少在其中一个闭区间上无界，记其为22[,]a b ，如此下去，则得一闭区间到{[,]}n n a b 满足：（1）[,]n n a b ⊇11[,]n n a b ++ n N ∀∈ （2）2n n nb ab a --=0()n →→∞ （3）()f x 在[,]n n a b 上无界则由（1），（2）及闭区间套定理，存在唯一的0x ∈[,]n n a b ，且()f x 在0x 的任一个邻域内无界．假设()f x 在0x 的某邻域0(,)U x δ内有界，则∃N ，当N n >时，有[,]n n a b ⊆0(,)U x δ．由[,]n n a b 的选取知，()f x 在[,]n n a b 上无界，所以，在0(,)U x δ内无界矛盾．（四）应用确界原理１．试用确界原理证明：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界． 分析 设{f x S =在[]x a ,上有界，]}b a x ,(∈．因为由f 在点a 的局部有界性，可知S 是非空数集，且以b 为上界，由确界原理，存在S sup ．关键在于证明S b sup =，并证S b ∈，以使[]b a S ,=，即f 在[]b a ,上有界．证： 设{f x S =在[]x a ,上有界，]}b a x ,(∈．由分析可知，S 为非空有上界数集，于是由确界原理，存在S sup =ξ．现用反证法证明b =ξ．若b ξ<，由连续函数的局部有界性00δ∃>，)(x f 在),(00δξδξ+-内有界，即0x ξ∃>，使S x ∈0，而这与S sup =ξ相矛盾，所以b =ξ．再证函数f 在[]b a ,上有界．因为f 在点b 连续，于是00δ∃>，f 在]b b ,(δ-上有界；再由S b sup =，可知f 在,2a b δ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦中有界，于是f 在[]b a ,上有界． ２.证明：单调减少有下界的数列必有极限．证：设{}n x 单调减少且有下界，据确界存在原理必有下确界inf{}n x α=．于是对0ε∀>，存在N x ，使N x αεααε-<≤<+．而{}n x 单调减少且是α下确界，故当n N>时有n N x x αεααε-<≤<<+即n x αε-<，所以lim n n x α→∞=． （五）证明确界原理１. 试利用区间套定理证明确界原理．证 设S ⊆R 为一非空有上界的无穷点集，M 为S 的一个上界，取0x S ∈，若0x 为S 的最大数，则0x 即为S 的上确界，结论成立．否则记0[,]x M 为[,]a b ，则a 点不是S 的上界，b 是S 的一个上界，考察(),a b 的中点=c 2a b+,若c 不是S 的上界，则记11[,]a b =[,]c b ，若c 是S 的上界，则记11[,]a b =[,]a c ，对11[,]a b 仿上讨论，如此下去，则得一闭区间到{}[,]n n a b 满足：（1）[,]n n a b ⊇11[,]n n a b ++ ，n N ∀∈， （2）n n b a -=02nb a-→，（n →∞） （3）n ∀∈N ,n a 不是S 的上届，n b 为S 的上界.由（1）（2）及闭区间套定理，∃！η∈[,]n n a b .下证η即为S 的上确界，若∃1x ∈S ，使1x η>，则由n b η→（n →∞），知N ∃，当N n >时，有1n b x <，这与n b 为S 的上界矛盾，所以，η为S 的一个上界，0ε∀>，由于ηεη-<，及n a η→，故1N ∃,当>n 1N 时，有n a ηε>-，而n a 不是S 的上界，故n x S ∃∈，使n n x a >，故有n x ηε>-，ηε-即不是S 的上界，由确界的定义知，η为S 的上确界.２. 用有限覆盖定理证明确界原理.、证：设S 为一非空有上界数集，M 为S 的一个上界，取0x S ∈，若0x 为S 的上界，则0x 为S 的最大数，也为上确界，结论成立，否则记0[,][,]a b x M =，假设[,]a b 中的每个数x 均不是S 的上确界，若x 不是S 的上界，即1x S ∃∈，使1x x >，所以10x x δ∃=->，使(,)U x δ中的每个数均不是S 的上界，若x 是S 的上界，但不是上确界，故2x x ∃<，使2x 也是S 的上界，所以，可取2x x τ=-，使(,)U x τ中的每个数均是S 的上界．令O ={}(,)[,]U x x a b δ∈，则O 覆盖[,]a b ，由有限覆盖定理从中可选出有限个，设为()1,1U x δ，……(),n n U X δ，且123....n x x x x <<<,它们也能覆盖[,]a b ，设()11,a U x δ∈,由于a 不是S 的上界，(,)U x δ的选取知()1,1U x δ中的每个数均不是上界，又()111,1x U x δδ+∉，不妨设()1122,x U x δδ+∈，则()1,1U x δ⋂()22,U x δ≠∅.而()1,1U x δ中的每个点均不是上界，故()22,U x δ中的每个点也均不是上界，如此下去，n 次以后，设(),,1,2,,i i U x i n δ=⋅⋅⋅,中的每个点均不是S 的上界，这与b 为S 的上界，且b 属于某个(),i i U x δ矛盾.所以，在[,]a b 中有一个数为S 的上确界.（六） 实数完备性基本定理的等价性至此，我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即 1．确界原理(定理1．1)；设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界． 推论 有界数集必有上下确界．2．单调有界定理(定理2．9)；在实数系中，有界的单调数列必有极限．注 递增有上界的数列极限是上确界；递减有下界的数列极限是下确界．3．区间套定理(定理7．1)；若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得.,2,1],,[ =∈n b a n n ξ4．有限覆盖定理(定理7．3)；设H 闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,． 5．聚点定理(定理7．2)；实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点．6．柯西收敛准则(定理2．10)．数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在0>N ，使得对N n m >,有ε<-n m a a ．在本书中，我们首先证明了确界原理，由它证明单调有界定理，再用单调有界定理导出区间套定理，最后用区间套定理分别证明余下的三个定理．事实上，在实数系中这六个命题是相互等价的，即从其中任何一个命题都可推出其余的五个命题．对此，我们可按下列顺序给予证明：1654321⇒⇒⇒⇒⇒⇒ 其中32,21⇒⇒与43⇒分别见定理2．9，7．1，与7．3；54⇒ 用有限覆盖定理证明聚点定理．反证法①设S 为实数轴上任一有界无限点集，则存在0M >使[],S M M ⊂-，假设[],M M -中任何一点都不是S 的聚点，则[],x M M ∀∈-，因为x 不是S 的聚点，所以存在x 的一个邻域(),(,)U x x x δδδ=-+，使(),U x δ中只含有S 的有限多个点．②()[]{}M M x x x H x x ,,-∈+-=δδ是[],M M -的一个无限开覆盖． ③根据有限覆盖定理，H 中存在有限个开区间(){}ni x x i ix i x i2,1,=+-δδ覆盖了[],M M -，由于在每一个邻域(),iii x i x x x δδ-+上只含有S 的有限多个点，故S 为有限点，矛盾．65⇒ 用聚点定理证柯西收敛准则（类似于用致密性定理证柯西收敛准则） 16⇒ 用数列的柯西收敛准则证明确界原理．证 设S 为非空有上界数集．由实数的阿基米德性，对任何正数a ，存在整数a K ，使得a k a a a )1(-=-λ不是S 的上界，即存在S a ∈'，使得a k a a )1(->' 分别取,,2,1,1==n na 则对每一个正整数n 存在相应的n λ，使得n λ为S 的上界，而nn 1-λ不是S 的上界，故存在S a ∈'，使得。
