考研数学三(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。

而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。

考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。

各科的考试时间均为3小时。

考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。

考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。

数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。

数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。

这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。

二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。

其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。

2023考研数学三真题试卷带答案解析(高清版)2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案2024年考研数学复习时间规划复习的阶段大致可以分为三个阶段：基础奠定，强化训练，模拟冲刺。

1、6月之前：夯实基础通过看老师的基础课程数，学习基础知识，有视频的可以结合视屏看，看完一节，知道里面讲的什么，公式、概念。

看完一章，结合之前做的笔记，复盘这一章的内容，主要将说明，各知识点都用在什么地方，然后刷一刷这一章的讲义。

看完一章视频或书籍之后，最后做一做三大计算+660题。

2、7-9月：强化训练方法同打基础阶段。

看完视频后做对应的习题330题。

3、10-11月20日：真题冲刺后期可以做一做近10年的真题了，从近往远做，越近的真题越要花时间研究，不懂的地方可以看看名师的知识点讲解。

真题的错题，尤其要弄懂。

4、11月20日-考前：模拟训练最后一两个星期，就需要持续的模拟考场做试卷的状态和题型，建议大家做一做模拟卷，网上就可以购买，一般12月初都出来了，挑自己喜欢的老师即可。

提示：不要看押题卷，知识点学就会后，以不变应万变。

考研必考科目政治、英语和专业课。

所有专业都会考查政治，虽然管理类联考初试不涉及，但复试会考查。

除小语种专业外，其他专业都会考查英语，主要有英语一和英语二。

考研专业分为13个学科大类，包含上百个专业，每一专业都会有自己的专业课考试。

考研初试科目：初试方式为笔试，共四个科目：两门公共课、两门业务课。

两门公共课：政治、英语一或英语二;业务课一：数学或专业基础;业务课二(分为13大类)：哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、理学、工学、农学、医学、军事学、管理学、艺术学等。

法硕、西医综合、中医综合、教育学、历史学、心理学、计算机、农学等属于统考专业课，其他非统考专业课都是各院校自主命题，具体考试科目请参照各大考研院校招生简章。

会计硕士(MPAcc)、图书情报硕士、工商管理硕士(MBA)、公共管理硕士(MPA)、旅游管理硕士、工程管理硕士和审计硕士只考两门，即：英语二和管理类联考综合能力。

数学三考研题目答案及解析数学三考研题目答案及解析：题目：设函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，且\( f(a) =f(b) \)，证明至少存在一点\( c \)在区间\( (a, b) \)内，使得\( f(c) = f(a) \)。

答案：根据罗尔定理（Rolle's Theorem），如果一个函数在闭区间\( [a, b] \)上连续，在开区间\( (a, b) \)内可导，并且两端的函数值相等，即\( f(a) = f(b) \)，那么至少存在一点\( c \)在开区间\( (a, b) \)内，使得\( f'(c) = 0 \)。

首先，我们构造一个新的函数\( g(x) = f(x) - f(a) \)。

显然，\( g(x) \)在\( [a, b] \)上连续，并且在\( (a, b) \)内可导，因为\( f(x) \)在这些区间上具有相应的性质。

由于\( f(a) = f(b) \)，我们有\( g(a) = g(b) = 0 \)。

现在，我们可以应用罗尔定理于函数\( g(x) \)在\( [a, b] \)上。

根据定理，存在至少一点\( c \)在\( (a, b) \)内，使得\( g'(c) = 0 \)。

计算\( g'(x) \)，我们得到\( g'(x) = f'(x) - 0 = f'(x) \)。

因此，\( g'(c) = f'(c) = 0 \)。

由于\( g(c) = f(c) - f(a) \)，并且我们已经知道\( g'(c) = 0 \)，我们可以得出\( g(c) = 0 \)。

这意味着\( f(c) - f(a) = 0 \)，即\( f(c) = f(a) \)。

这就证明了至少存在一点\( c \)在区间\( (a, b) \)内，满足\( f(c) = f(a) \)。

数三试题及答案1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x - 5，求f(2)的值。

答案：将x=2代入函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x - 5，得到f(2) =2*(2)^3 - 6*(2)^2 + 9*2 - 5 = 16 - 24 + 18 - 5 = 5。

2. 解方程：2x^2 - 5x + 3 = 0。

答案：使用求根公式，判别式Δ = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*2*3 =25 - 24 = 1，因为Δ > 0，所以方程有两个实根。

x = (-b ± √Δ) / 2a = (5 ± √1) / (2*2) = (5 ± 1) / 4。

因此，x1 = 3/2，x2= 1。

3. 计算极限：lim (x→0) [sin(3x) / x]。

答案：根据洛必达法则，分子分母同时求导，得到lim (x→0)[cos(3x) * 3 / 1] = 3 * cos(0) = 3。

4. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a3的值。

答案：根据递推关系，a2 = 2a1 + 1 = 2*1 + 1 = 3，a3 = 2a2 + 1= 2*3 + 1 = 7。

5. 求定积分：∫(0 to 1) (3x^2 - 2x + 1) dx。

答案：使用积分公式，∫(3x^2 - 2x + 1) dx = x^3 - x^2 + x + C。

计算定积分，[(1)^3 - (1)^2 + 1] - [(0)^3 - (0)^2 + 0] = 1 - 1 + 1 - 0 = 1。

6. 判断级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2)的收敛性。

答案：根据p-级数收敛定理，当p > 1时，级数收敛。

因为p = 2 > 1，所以级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2)收敛。

7. 求函数y = ln(x)的导数。

2021考研数学三考试历年真题及答案详解一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）1.当x→0时，是x7的（）。

A．低阶无穷小B．等价无穷小C．高阶无穷小D．同阶但非等价无穷小【答案】C【考点】常用等价无穷小；【解析】因为当x→0时，，所以是x7的高阶无穷小，故选C项。

2.函数，在x＝0处（）。

A．连续且取极大值B．连续且取极小值C．可导且导数为0D．可导且导数不为0【答案】D【考点】连续和可导的定义；【解析】因为故f（x）在x＝0处连续。

因为即f′（0）＝1/2，故选D项。

3.设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则b/a的取值范围为（）。

A．（e，＋∞）B．（0，e）C．（0，1/e）D．（1/e，＋∞）【答案】A【考点】函数单调性及极值；【解析】函数求导得f′（x）＝a－b/x，令f′（x）＝0，则有驻点x＝b/a，得在区间（b/a，＋∞）上，f′（x）＞0，f（x）单增；在区间（－∞，b/a）上，f′（x）＜0，f（x）单减。

即f（b/a）为函数f（x）的极小值，若f（x）有2个零点，则f（b/a）＝a·b/a －bln（b/a）＜0，从而ln（b/a）＞1，可得b/a＞e，故选A项。

4.设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，则df（1，1）＝（）。

A．dx＋dyB．dx－dyC．dyD．－dy【答案】C【考点】多元函数可微；【解析】记∂f/∂x＝f1′，记∂f/∂y＝f2′，则题给两式对x求导得将分别代入（1）（2）式有联立可得f1′（1，1）＝0，f2′（1，1）＝1，df（1，1）＝f1′（1，1）dx＋f2′（1，1）dy＝dy，故选C项。

5.二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2的正惯性指数和负惯性指数依次为（）。

考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题满分 15 分, 每小题 3 分. 把答案填在题中横线上 .)(1) 极限 lim( n 3nnn )_________.n(2) 设函数 f ( x) 有连续的导函数 , f(0) 0, f (0) b , 若函数f ( x) a sin x , x 0,F (x)xA, x 0在 x 0 处连续 , 则常数 A =___________.(3) 曲线 yx 2 与直线 yx 2 所围成的平面图形的面积为_________.x 1x 2 a 1 ,(4) x 2 x 3 a 2 ,若线性方程组x 4 有解 , 则常数 a 1 , a 2 , a 3 ,a 4 应满足条件 ________.x 3 a 3 ,x 4x 1 a 4(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击, 若至少命中一次的概率为80,则该射手的命中率为 ________.81二、选择题 ( 本题满分 15分,每小题 3 分 . 每小题给出的四个选项中 , 只有一项符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 .)(1)设函数 f ( x) x tan x e sin x , 则 f (x) 是( )(A)偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数(2) 设函数 f ( x) 对任意 x 均满足等式 f (1x)af ( x) , 且有 f (0)b, 其中 a, b 为非零常数 , 则()(A) f ( x) 在 x 1 处不可导 (B)f (x) 在 x 1 处可导 , 且 f (1) a(C)f ( x) 在 x 1 处可导 , 且 f(1) b(D)f (x) 在 x 1 处可导 , 且 f (1)ab(3) 向量组1,2 ,, s 线性无关的充分条件是( )(A) 1,2 ,, s 均不为零向量(B) 1, 2 ,, s 中任意两个向量的分量不成比例(C)1,2 ,, s 中任意一个向量均不能由其余s 1个向量线性表示(D)1, 2 , , s中有一部分向量线性无关(4) 设A, B 为两随机事件,且B A ,则下列式子正确的是( )(A)P A B P A(B)(C)P B A P B(D)(5) 设随机变量X和 Y 相互独立,其概率分布为PAB PAPB A P(B) PAm-11m-11P X m 11P Y m11 2222则下列式子正确的是()(A)X Y(B)P X Y0(C)P X Y 1(D)P X Y1 2三、计算题 ( 本题满分20 分, 每小题5 分.)(1)求函数 I (x)x ln t dt 在区间 [e, e2 ] 上的最大值.t 2e2t1(2)计算二重积分xe y2dxdy ,其中 D 是曲线y4x2和 y9x2在第一象限所围成的区D域 .(3)求级数(x3)n的收敛域 .n 1n2(4)求微分方程y y cos x (ln x)e sin x的通解.四、 ( 本题满分9 分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告, 根据统计资料, 销售收入R (万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式:R 15 14x132 x28x1 x22x1210x22.(1)在广告费用不限的情况下 , 求最优广告策略；(2)若提供的广告费用为 1.5 万元 , 求相应的最优广告策略 .五、 ( 本题满分 6 分)设 f ( x) 在闭区间[0, c] 上连续,其导数 f ( x) 在开区间(0, c) 内存在且单调减少；f (0)0 ,试应用拉格朗日中值定理证明不等式: f ( a b) f (a) f (b), 其中常数a、 b满足条件0a b a b c .六、 ( 本题满分8 分 )已知线性方程组x1x2x3x4x5a,3x12x2x3x43x50,x22x3 2 x46x5b,5x14x23x33x4x52,(1)a、 b 为何值时,方程组有解?(2)方程组有解时 , 求出方程组的导出组的一个基础解系；(3)方程组有解时 , 求出方程组的全部解 .七、 ( 本题满分5分 )已知对于 n 阶方阵A,存在自然数k,使得 A k0 ,试证明矩阵E A可逆,并写出其逆矩阵的表达式 ( E为n阶单位阵 ).八、 ( 本题满分6分 )设 A 是n阶矩阵,1和2是 A 的两个不同的特征值,X1, X2是分别属于1和2的特征向量 . 试证明X1X2不是A的特征向量.九、 ( 本题满分4分 )从 0,1,2,,9 十个数字中任意选出三个不同数字, 试求下列事件的概率：A1{ 三个数字中不含 0 和 5} ；A2{ 三个数字中不含 0 或 5}.十、 ( 本题满分 5 分)一电子仪器由两个部件构成, 以X和Y分别表示两个部件的寿命( 单位 : 千小时 ), 已知X 和 Y 的联合分布函数为:F ( x, y)1- e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y) ,若 x 0, y 0,0,其他 .(1)问 X 和Y是否独立?(2)求两个部件的寿命都超过100 小时的概率.十一、 ( 本题满分 7 分)某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩 ( 百分制 ) 近似服从正态分布 , 平均成绩为 72分 ,96分以上的占考生总数的 2.3%, 试求考生的外语成绩在60 分至 84 分之间的概率 .[附表]x00.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0( x)0.500 0.692 0.841 0.9330.9770.994 0.999表中(x) 是标准正态分布函数.1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 本题满分 15 分 , 每小题 3 分.) (1) 【答案】 2【解析】对原式进行分子有理化, 分子分母同乘以有理化因子n 3 n n n .lim(n 3 nnn ) lim ( n3 nn n ) ( n 3 nnn ) n1 nn3 n nnn3 n nnlim,n3 nnnn再分子分母同时除以n , 有原式 lim4.n3111nn因为 lima0 , 其中 a 为常数 , 所以原式4 2.nn1 1(2) 【答案】 b a【解析】由于 F ( x) 在 x0处连续 , 故 A F(0)lim F ( x) .x 0lim F ( x) 为“ 0”型的极限未定式 , 又 f (x) 在点 0 处导数存在 , 所以x 0f ( x) a sin x lim f (x) a cosxA lim b a .x 0xx 01【相关知识点】函数 yf (x) 在点 x 0 连续：设函数 yf ( x) 在点 x 0 的某一邻域内有定义 ,如果 limf (x) f ( x 0 ), 则称函数 f (x) 在点 x 0 连续 .x x 0(3) 【答案】 41y2【解析】先解出两条曲线在平面的交点, 即令 x 2x2 ,解得 x 1 和 x2 , 故所围成的平面图形如右图所示:所求面积为S2 x 2 x2dx 11 x 21 x 3 24 1.x2x 1 O22 3 12(4) 【答案】 a 1a 2a 3a 4【解析】由于方程组有解r ( A) r ( A) , 对 A 作初等行变换 ,第一行乘以1 加到第四行上 , 有1 1 0 0 a 1 1 1 0 0 a 10 1 1 0 a 2 0 1 1 0 a 2 ,0 0 1 1 a 3 0 0 1 1a 31 0 0 1 a 41 0 1 a 1 a 4第二行加到第四行上, 再第三行乘以1 加到第四行上 , 有1 1 0 0 a 1 1100 a 10 1 1 0 a 2 1 1 0a 2 .0 0 1 1a 31 1a 30 0 11 a 1 a2 a 40 a 1 a 2 a 3 a 4为使 r ( A)r ( A) , 常数 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 应满足条件 : a 1 a 2 a 3a 4 0 .【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设 A 是 m n 矩阵 , 线性方程组Ax b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵 A A b 的秩 , 即是 r ( A)r ( A) ( 或者说 , b 可由 A 的列向量 1,2 ,, n 线表出 ,亦等同于1,2 ,, n 与 1, 2 ,, n ,b 是等价向量组 ).设 A 是 m n 矩阵 , 线性方程组 Ax b , 则（1）有唯一解r ( A) r ( A)n.（ 2）有无穷多解（ 3）无解r ( A) r ( A) n.r ( A) 1 r ( A). b 不能由 A 的列向量1 ,2 ,,n 线表出 .(5) 【答案】 23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型 , 设试验的成功率即射手的命中率为p , 则进行四次独立的射击 , 设事件 Y 为“射手命中目标的次数”80的二项分, Y 服从参数 n 4, p81布 , 由二项分布的概率公式 , 事件“四次均不中”的概率为(1 p)4 , 它是至少命中一次的对立事件 . 依题意(1 p)41 801 p1 p2 .8133本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数 , p 表示一次射击的命中率 , 则 XB(4, p) , 依题意41P X0 1P X k,k181即 (1 p) 41p 2 .813【相关知识点】二项分布的概率公式：若 Y B(n, p) ,则P Y k C n k p k (1p)n k,k0,1, ,n .二、选择题 ( 本题满分15 分 , 每小题 3 分.)(1)【答案】 (B)【解析】由于 lim x e sin x e ,而 lim tan x, 所以,x2x22lim x tan x e sin x, 故f ( x)无界 .x22或考察 f (x) 在 x n 2n(n1,2, ) 的函数值,有 lim f (x n )lim x n e 2, 可见4n nf ( x) 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由 fsinf e sine 444 , 知 (A) 不正确；444由 f0, f0 ,而f00 ,知(D)不正确.44证明 (C) 不正确可用反证法.设 g x tan x e sinx,于是 g x 的定义域为D x | x k,k 0 , 1 , 2 ,,2且 g x 的全部零点为x n n ,n 0, 1, 2, . 若f x xg x 以 T T 0 为周期,则有x T g x T xg x , x D.令 x 0,有 Tg T0,即 g T0.从而 T k, 其中k为某一正数 . 于是2k也是xg x 的周期.代入即得,对x D 有x 2k g x 2k x 2k g x xg x .这表明 2k g x 0 在 x D 上成立,于是 g x 0 在 x D 上成立,导致了矛盾.故f x xg x 不可能是周期函数 .【相关知识点】极限的四则运算法则:若 lim f (x)A , lim g(x)B , 则有 lim f (x) g( x) AB .xx 0x x 0x x 0(2) 【答案】 (D)【解析】通过变量代换 t x 1f (1 x) af ( x) 将 f ( x) 在 x 1的可或按定义由关系式导性与 f (x) 在 x0 的可导性联系起来 .令 t x1 , 则 f (t ) af (t 1) . 由复合函数可导性及求导法则 , 知 f (t) 在 t 1可导,且f (t) t 1 af (t 1)(t 1) t1af (0) ab ,因此 , 应选 (D).【相关知识点】 复合函数求导法则 : 如果 u g ( x) 在点 x 可导 , 而 y f (x) 在点 ug (x) 可导 , 则复合函数 yf g( x) 在点 x 可导 , 且其导数为dy (u) g ( x) 或dy dy duf dxdu .dxdx(3) 【答案】 (C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论, 以及充分必要性条件的概念 .(A)(B)(D) 均是必要条件 , 并非充分条件 . 也就是说 , 向量组1,2,,s 线性无关 , 可以推导出 (A)(B)(D) 选项 , 但是不能由 (A)(B)(D) 选项中的任意一个推导出向量组1 , 2,,s线性无关 .例 如 : (1,0),(0,1),(1,1) 显 然 有 (1,0) (0,1) (1,1)(0,0) , 该向量组线性相关.但(A)(B)(D) 均成立 .根据“1,2 ,, s 线性相关的充分必要条件是存在某 i (i 1,2, , s) 可以由1 ,i 1,i 1 ,, s 线性表出 . ”或由“ 1, 2 , , s 线性无关的充分必要条件是任意一个i (i1,2,, s) 均不能由 1 ,i 1, i 1 , , s 线性表出 . ”故选 (C).(4) 【答案】 A【解析】由于 B A ,所以 A B A , 于是有 P A B P A .故本题选 A.对于 B 选项,因为 BA ,所以事件B 发生,则事件 A 必然发生 ,所以 P AB P B ,而不是 P AB P A ,故B 错.对于 C选项 ,因为B A ,由条件概率公式P B A P( AB), 当B, A是相互独立的事P( A)件时,才会有P B A P B ；所以C错.对于 D 选项,因为B A,所以事件 B 发生事件 A不发生是个不可能事件,故P B A 0,所以(D)错.(5)【答案】 (C)【解析】由离散型随机变量概率的定义, 有PXYPX1,Y 1 PX 1,Y 1P X1} P{Y 1 PX 1}P{Y111111 2222.2故本题选 (C). 而 (B) 、 (D) 选项是错误的 .对于 (A) 选项 , 题目中只说了随机变量X 和 Y 相互独立,且他们的概率分布相同, 但是二者是不同的事件 , 并不能说事件X 与事件 Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题 ( 本题满分 20 分 , 每小题 5 分.)(1) 【解析】在x[e,e2 ] 上,I ( x)x2ln x1ln x20 ,故函数I (x)在[ e, e2]上单2x x 1调增加 , 最大值为I (e2) .由dx d (1 x)1, 有(1 x)2(1 x) 2dx)(1e2ln te21I (e2 )2dteln tde t1t1e2e2e2e2ln t dt ln tt 1 e e t t 1t 1 e e11()dt21ln(e2 1) 2 ln( e 1) 1e2 1 e11lne 1.e 1e【相关知识点】 1. 对积分上限的函数的求导公式：若 F (t )(t )f (x)dx ,(t),(t )均一阶可导,则(t )F (t)(t ) f (t)(t ) f (t ) .2. 假定 uu(x) 与 vv( x)均具有连续的导函数, 则uv dxuvu vdx,或者udvuvvdu.(2) 【解析】区域 D 是无界函数 , 设D b D0 y b { x, y 0 y b,yx y yy 9x 223} , y 4x2不难发现 , 当 b时有 D bD ,从而xe y 2xe y 2be y 2yOxdxdylimdxdylimdy2xdxDbD bby31limb 1 y 1 y)e y 2(4 9dy2 b 05 limbye y 2dy ty2 5b 2tdtlime72b144 b5 lim (1 e b 2 ) 5 . 144 b 1144 (3) 【解析】因系数 a (n 1,2, ) , 故n n 2122a n 1n1nlim limlim1 ,12na nnnn1n 2这样 , 幂级数的收敛半径R11. 因此当 1 x3 1,,即2 x4 时级数绝对收敛 .当 x 2时 , 得交错级数( 1)n12 ；当 x4 时, 得正项级数12 , 二者都收敛 , 于是原级n 1nn 1 n数的收敛域为 [2,4] .【相关知识点】 1. 求收敛半径的方法： 如果lim a n 1 , 其中 a n , a n 1 是幂级数a n x n 的na n n 0相邻两项的系数 , 则这幂级数的收敛半径1 ,,R,0,0,.2. 交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数( 1)n 1 u 满足：nn 1(1) u nu n 1 ,n1,2, ; (2)lim u n 0.n则( 1)n 1 u n 收敛 , 且其和满足 0( 1)n 1 u n u 1,余项r nu n 1 .n 1n 13． p 级数：1 当 p 1 时收敛；当 p1时发散 .n 1 n p(4) 【解析】 方法 1: 所给方程为一阶线性微分方程, 可直接利用通解公式求解 .y cosxdxe sin xcosxdxdx Celn xee sin xln xdxCe sin x [ x ln x x C ] .方法 2:用函数 e P ( x) dxcos xdxe sin x 同乘方程两端 , 构造成全微分方程 .e方程两端同乘 e sin x , 得 e sin x yye sin x cos x ( ye sin x )( ye sin x ) ln x , 再积分一次得ye sin xC ln xdx C x ln xx .最后 , 再用 e sin x 同乘上式两端即得通解 y e sin x [ x ln x x C ] .【相关知识点】一阶线性非齐次方程yP(x) y Q (x) 的通解为P (x )dxP ( x) dxy eQ (x)edx C , 其中 C 为任意常数 .四、 ( 本题满分 9 分 )【解析】 (1) 利润为销售收入减去成本 , 所以利润函数为15 14 x 1 32 x 2 8x 1 x 2 22x 2 )2x 1 10x 2 ( x 115 13x 1 31x 2 8x 1 x 2 2 x 12 10 x 22.由多元函数极值点的必要条件, 有x 14x 1 8x 213 0,x 1 0.75, x 2 1.25.x 28x 1 20 x 2 310,因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值 , 故投入电台广告费用 0.75 万元 , 报纸广告费用 1.25 万元可获最大利润.(2)若广告费用为 1.5 万元 , 则应当求利润函数 ( 与 (1) 中解析式相同 )15 13x131x2 8x1x22x1210x22 ,在x1x2 1.5 时的条件最大值.拉格朗日函数为L (x1, x2 , ) 1513x131x2 8x1x22x1210x22( x1 x2 1.5),L4x18x2130,x1由L8x120x2310,x2Lx2 1.50x1x10, x2 1.5.因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值 , 故应将广告费 1.5 万元全部用于报纸广告 , 可使利润最大 .【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数 z f ( x, y) 在附加条件( x, y) 0 下的可能极值点, 可以先作拉格朗日函数L( x, y) f (x, y)( x, y),其中为参数. 求其对x与y 的一阶偏导数, 并使之为零, 然后与附加条件联立起来：f x ( x, y) f y ( x, y)x ( x, y) ( x, y)y0,0,由这方程组解出x, y 及, 这样得到的( x, y ) 就是函数 f (x, y)在附加条件( x, y)0 下的可能极值点.五、 ( 本题满分 6 分 )【解析】方法1: 当a0 时, f (a b) f (b) f ( a) f (b), 即不等式成立；若 a0,因为f (a b) f (a) f (b) f (0)[ f (a b) f (b)][ f (a) f (0)]f ( 2 )a f (1) a a[ f ( 2 ) f (1)],其中01 a b2 a b .又 f ( x) 单调减少, 故f ( 2 ) f (1).从而有f (a b) f (a) f (b) f (0)0,即 f (a b) f (a) f (b) .方法2: 构造辅助函数, 将式子移到不等式右边, 再将b视为变量x ,得辅助函数令 F (x) f ( x) f (a) f (a x), x[0, b] ,由于 f (0)0,所以 F (0)0,又因为F (x) f (x) f (a x),且 a0 , f ( x) 在(0, b)单调减少, 所以F (x)0,于是 F ( x)在[0, b]上单调递增, 故F (b) F (0)0 ,即c .f (a b) f (a) f (b), 其中0 a b ab【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数 f ( x) 满足在闭区间 [ a, b] 上连续；在开区间a,b 内可导,那么在a, b 内至少有一点 (a b) ,使等式 f (b) f (a) f ()(b a) 成立.六、 ( 本题满分8 分 )【解析】本题中 , 方程组有解r ( A)r ( A) .(相关定理见第一题 (4))对增广矩阵作初等行变换, 第一行乘以3、5分别加到第二、四行上, 有11111a11 1 11a321130012263a,01226b01226b5433120122625a第二行乘以 1、1分别加到第三、四行上, 第二行再自乘 1 ,有11111a12263a.b3a22a(1) 当b 3a0 且 22a0 ,即a1,b3时方程组有解.(2)当 a 1,b 3 时,方程组的同解方程组是x1x2x3 x4x51,x22x32x46x53,由 n r ( A) 5 2 3 ,即解空间的维数为 3. 取自变量为x3 , x4 , x5,则导出组的基础解系为(1, 2,1,0,0) T ,2(1,2,0,1,0) T ,3 (5, 6,0,0,1) T.1(3)令 x 3 x 4 x 5 0 , 得方程组的特解为( 2,3,0,0,0) T . 因此 , 方程组的所有解是k 1 1 k 2 2 k 3 3 , 其中 k 1, k 2 , k 3 为任意常数 .【相关知识点】 若 1 、 2 是对应齐次线性方程组Ax 0 的基础解系 , 则 Ax b 的通解形式为 k 11k22,其中 1,2 是Ax0的基础解系 ,是 Ax b 的一个特解 .七、 ( 本题满分 5 分 )【解析】若A 、B 是 n 阶矩阵 , 且 ABE, 则必有 BA E. 于是按可逆的定义知 A 1B .如果对特征值熟悉 , 由 A k0 可知矩阵 A 的特征值全是 0, 从而 EA 的特征值全是1,也就能证明 EA 可逆.由于 A k0 , 故EA(EAA 2A k 1 ) E kA kE .1EAA 2A k 1 .所以 E A 可逆,且 E A八、 ( 本题满分 6 分 )【解析】 (反证法 ) 若 X 1X 2 是 A 的特征向量 , 它所对应的特征值为, 则由定义有：A( X 1 X 2 ) ( X 1 X 2).由已知又有 A( X 1 X 2 ) AX 1 AX 2 1X1 2X 2.两式相减得(1) X 1 (2)X 2 0 .由 1 2 , 知1,2 不全为 0, 于是 X 1, X 2 线性相关 , 这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾 . 所以 , X 1X 2 不是 A 的特征向量 .【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 A 是 n 阶矩阵 , 若存在数 及非零的 n 维列向量 X 使得 AX X 成立,则称是矩阵 A 的特征值 , 称非零向量 X 是矩阵 A 的特征向量 .九、 ( 本题满分 4 分 )【解析】样本空间含样本点总数为C 103 ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件 A 1 的样本点数为 C 83 ；十个数字除去 0 和 5 任意选三个有多少种选择方案 .有利于事件 A 2 的样本点数为 2C 93 C 83 ；十个数字除去 0 任意选三个的选择方案和十个数字 除去 5 任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数 , 即是事件 A 1 被加了两次 , 所以应该减去 C 83 .由古典型概率公式 ,C 8372C 93 C 8314P(A 1)15; P( A 2).C 103C 10315P(A i ) 有利于事件 A i 的样本点数【相关知识点】古典型概率公式：.样本空间的总数十、 ( 本题满分 5 分 )【解析】 (1) 由连续型随机变量边缘分布的定义, 且 lim e ax0, ( a 为常数 ) 有xX 和 Y 的边缘分布函数分别为F X ( x) F ( x,)1 e 0.5 x , 若 x0,lim F (x, y)0,若 x0;yF Y ( y) F (, y)1 e 0.5 y , 若 y0,lim F ( x, y)0,若 y0.x由于对任意实数x, y 都满足 F ( x, y)F X (x) F Y (x) . 因此 X 和 Y 相互独立 .(2) 因为 X 和Y 相互独立 ,所以有P X 0.1, Y 0.1 PX 0.1 PY 0.1[1 F X (0.1)][1 F Y (0.1)]e 0.05 e 0.05e 0.1.十一、 ( 本题满分 7 分)【解析】若已知正态分布的期望和方差 , 在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率 , 通过(x) 表计算 . 但是正态分布的参数与2未知时 , 则应先根据题设条件求出与 2 的值 , 再去计算有关事件的概率 .设X 为考生的外语成绩 ,依题意有 X ~ N( ,2),且72,但 2 未知 . 所以可标准化得X72~ N (0,1) . 由标准正态分布函数概率的计算公式, 有PX 961 PX96196 72240.023,1240.0230.977.1查表可得242,12,即X ~ N(72,122),P60 X84X72P 1 2 (1) 1 0.682 .121990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 本题满分15 分 , 每小题 3 分.)(1)【答案】 2【解析】对原式进行分子有理化, 分子分母同乘以有理化因子n 3 n n n .lim(n 3 nnn ) lim ( n3 nn n ) ( n 3 nnn ) n1 nn3 n nnn3 n nnlim,n3 nnnn再分子分母同时除以n , 有原式 lim4.n13 11n n因为 lima0 , 其中 a 为常数 , 所以原式42.nn1 1(2) 【答案】 b a【解析】由于 F ( x) 在 x0处连续 , 故 A F(0)lim F ( x) .x 0lim F ( x) 为“ 0”型的极限未定式 , 又 f (x) 在点 0 处导数存在 , 所以x 0f ( x) a sin x lim f (x) a cosxA lim b a .x 0xx 01【相关知识点】函数 yf (x) 在点 x 0 连续：设函数 yf ( x) 在点 x 0 的某一邻域内有定义 ,如果 limf (x) f ( x 0 ), 则称函数 f (x) 在点 x 0 连续 .x x 0(3) 【答案】 41y2【解析】先解出两条曲线在平面的交点 , 即令 x 2x2 ,解得 x 1 和 x2 , 故所围成的平面图形如右图所示:所求面积为S2 x 2 x2dx 11 x 21 x 3 24 1.x2x 1 O22 3 12(4) 【答案】 a 1 a 2a 3a 4 0【解析】由于方程组有解r ( A) r ( A) , 对 A 作初等行变换 ,第一行乘以1 加到第四行上 , 有1 1 0 0 a 1 1 1 0 0 a 10 1 1 0 a 2 0 1 1 0 a 2 ,0 0 1 1 a 3 0 0 1 1a 310 0 1 a 41 0 1 a 1 a 4第二行加到第四行上, 再第三行乘以1 加到第四行上 , 有1 1 0 0 a 1 1100 a 10 1 1 0 a 2 1 1 0a 2 .0 0 1 1a 31 1a 30 0 11 a 1 a2 a 40 a 1 a 2 a 3 a 4为使 r ( A)r ( A) , 常数 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 应满足条件 : a 1 a 2 a 3a 4 0 .【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设 A 是 m n 矩阵 , 线性方程组Ax b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵 AA b 的秩 , 即是 r ( A) r ( A) ( 或者说 , b 可由 A 的列向量1,2 ,, n 线表出 ,亦等同于1,2 ,, n 与 1, 2 , , n ,b 是等价向量组 ).设 A 是 m n 矩阵 , 线性方程组 Ax b , 则（4）有唯一解r ( A) r ( A)n.（ 5）有无穷多解（ 6）无解r ( A) r ( A) n.r ( A) 1 r ( A).b 不能由 A 的列向量1 ,2 ,,n 线表出 .(5) 【答案】 23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型, 设试验的成功率即射手的命中率为p , 则进行 四次独立的射击 , 设事件 Y 为“射手命中目标的次数”, Y 服从参数 n 4, p80的二项分81布 , 由二项分布的概率公式 , 事件“四次均不中”的概率为(1p)4 , 它是至少命中一次的对立事件 . 依题意(1 p)41 80 1 p1 p2 .81 33本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数, p 表示一次射击的命中率, 则 XB(4, p) , 依题意41 ,P X 01P X kk 181即 (1 p) 41p2.813【相关知识点】二项分布的概率公式：若 Y B(n, p) ,则P Y k C n k p k(1 p)n k, k 0,1, ,n .二、选择题 ( 本题满分15 分 , 每小题 3 分.)(1)【答案】 (B)【解析】由于 lim x e sin x e ,而 lim tan x, 所以,x2x22lim x tan x e sin x, 故f ( x)无界 .x22或考察 f (x) 在 x n 2n(n1,2, ) 的函数值,有 lim f (x n )lim x n e 2, 可见4n nf ( x) 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由f sin f e sine 444 , 知 (A) 不正确；444由 f0, f0 ,而f00 ,知(D)不正确.44证明 (C) 不正确可用反证法.设 g x tan x e sinx, 于是g x的定义域为 D x | x k,k0,1,2,,2且 g x 的全部零点为x n n,n0, 1, 2,.若f x xg x 以 T T0为周期 ,则有x T g x T xg x,x D.令 x0,有 Tg T0,即 g T0.从而 T k,其中 k 为某一正数.于是 2k 也是xg x 的周期.代入即得,对x D 有x 2k g x 2k x 2k g x xg x .这表明 2k g x 0 在 x D 上成立,于是 g x 0 在 x D 上成立,导致了矛盾.故f x xg x 不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则 :若lim f (x) A , lim g(x) B , 则有lim f (x) g( x) AB .x x 0x x 0x x 0(2) 【答案】 (D)【解析】通过变量代换 t x 1或按定义由关系式f (1 x) af ( x) 将 f ( x) 在 x 1的可导性与 f (x) 在 x0 的可导性联系起来 .令 t x1 , 则 f (t ) af (t 1) . 由复合函数可导性及求导法则 , 知 f (t) 在 t 1 可导,且f (t) t 1 af (t 1)(t 1) t1af (0) ab ,因此 , 应选 (D).【相关知识点】 复合函数求导法则 : 如果 u g ( x) 在点 x 可导 , 而 y f (x) 在点 u g (x) 可导 , 则复合函数 yf g( x) 在点 x 可导 , 且其导数为dy (u) g ( x) 或dy dy duf dxdu .dxdx(3) 【答案】 (C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论, 以及充分必要性条件的概念 .(A)(B)(D) 均是必要条件 , 并非充分条件 . 也就是说 , 向量组1,2,,s 线性无关 , 可以推导出 (A)(B)(D) 选项 , 但是不能由 (A)(B)(D) 选项中的任意一个推导出向量组1 ,2,,s线性无关 .例 如 : (1,0),(0,1),(1,1) 显 然 有 (1,0) (0,1) (1,1)(0,0) , 该向量组线性相关.但(A)(B)(D) 均成立 .根据“1, 2 ,, s 线性相关的充分必要条件是存在某 i (i 1,2, , s) 可以由1 ,i 1,i 1 ,, s 线性表出 . ”或由“ 1, 2 , , s 线性无关的充分必要条件是任意一个i (i 1,2, , s) 均不能由1 ,i 1,i 1 ,,s 线性表出 . ”故选 (C).(4) 【答案】 A【解析】由于B A ,所以 A B A ,于是有 P A B P A .故本题选 A.对于 B 选项,因为 B A , 所以事件 B 发生 , 则事件 A 必然发生 , 所以 P ABP B ,而不是 P ABP A ,故B 错.对于 C 选项 ,因为 B A , 由条件概率公式 P B AP( AB), 当 B, A 是相互独立的事P( A)件时,才会有P B A P B ；所以C错.对于 D 选项,因为B A,所以事件 B 发生事件 A不发生是个不可能事件,故P B A 0,所以(D)错.(5)【答案】 (C)【解析】由离散型随机变量概率的定义, 有PXYPX1,Y 1 PX 1,Y 1P X1} P{Y 1 PX 1}P{Y111111 2222.2故本题选 (C). 而 (B) 、 (D) 选项是错误的 .对于 (A) 选项 , 题目中只说了随机变量X 和 Y 相互独立,且他们的概率分布相同, 但是二者是不同的事件 , 并不能说事件X 与事件 Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题 ( 本题满分 20 分 , 每小题 5 分.)(1) 【解析】在x[e,e2 ] 上,I ( x)x2ln x1ln x20 ,故函数I (x)在 [ e, e2 ] 上单2x x 1调增加 , 最大值为I (e2) .由dx d (1 x)1, 有(1 x)2(1 x) 2dx)(1e2ln te21I (e2 )2dteln tde t1t1ln te2dte2e2ln t e2t 1 e e t t 1t 1 e e11()dtt 1 t21ln(e2 1) 2 ln( e 1) 1e2 1 e11lne 1.e 1e【相关知识点】 1. 对积分上限的函数的求导公式：若 F (t )(t )(t ) 均一阶可导,则f (x)dx ,(t),(t )F (t)(t ) f (t)(t ) f (t ) .2. 假定u u(x) 与 v v( x) 均具有连续的导函数, 则uv dx uv u vdx, 或者udv uv vdu.(2) 【解析】区域D 是无界函数 , 设yyy y9x 22D bD0 y b{ x, y 0 y b,xy 4x3} ,2不难发现 , 当 b时有D bD ,从而xe y 2xe y 2be y 2yOxdxdylimdxdylimdy2xdxbbyDD b31b 1 y 1 y)e y 2lim (49dy2 b5b ye y 2dy ty 25 b 2e t dtlimlim72b144b5lim (1 e b 2 )5 .144 b1 144(3) 【解析】因系数 a n(n1,2,) , 故2n1a nn2n 2lim 1lim1lim1 ,a n12nnn n 1n 2这样 , 幂级数的收敛半径R 11 . 因此当 1 x3 1,,即2 x4 时级数绝对收敛 .当 x 2时 , 得交错级数( 1)n 1 ；当 x 4 时, 得正项级数1 , 二者都收敛 , 于是原级n 1n 2 n1 n2 数的收敛域为 [2,4] .【相关知识点】 1. 求收敛半径的方法： 如果lim a n 1 , 其中 a n , a n 1 是幂级数a n x n 的na n n 0相邻两项的系数 , 则这幂级数的收敛半径1 ,,R,0,0,.2. 交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数( 1)n 1 u 满足：nn 1(1) u nun 1,n 1,2, ; (2) lim u n 0.n则( 1)n 1 u n收敛,且其和满足0( 1)n 1 u n u1, 余项r n un 1 .n 1n13．p级数：1当 p 1 时收敛；当 p1时发散.n 1n p(4)【解析】方法 1: 所给方程为一阶线性微分方程, 可直接利用通解公式求解 .ycosxdx cosxdxe e sin x ln xe dx Ce sin x ln xdx C e sin x[ x ln x x C ] .P ( x) dx cos xdxe sin x同乘方程两端 , 构造成全微分方程 .方法 2: 用函数e e方程两端同乘 e sin x,得 e sin x y ye sin x cos x( ye sin x )( ye sin x ) ln x ,再积分一次得ye sin x C ln xdx C x ln x x .最后 , 再用e sin x同乘上式两端即得通解y e sin x[ x ln x x C ] .【相关知识点】一阶线性非齐次方程y P(x) y Q (x) 的通解为P (x )dx P ( x) dxy e Q (x)edx C ,其中C为任意常数.四、 ( 本题满分 9 分)【解析】 (1) 利润为销售收入减去成本 , 所以利润函数为1514 x132 x28x1 x22x1210x22( x1x2 )1513x131x28x1 x2 2 x1210 x22.由多元函数极值点的必要条件, 有x14x18x2130,x10.75, x2 1.25.x28x120 x2310,因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值, 故投入电台广告费用 0.75万元 , 报纸广告费用 1.25 万元可获最大利润 .(2)若广告费用为 1.5 万元 , 则应当求利润函数 ( 与 (1) 中解析式相同 )15 13x131x28x1x22x1210x22 ,在 x1x2 1.5 时的条件最大值. 拉格朗日函数为L (x1, x2 , ) 1513x131x28x1x22x1210x22( x1 x2 1.5), L4x18x2130,x1由L8x120x2310,x2Lx2 1.50x1x10, x2 1.5.因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值 , 故应将广告费 1.5 万元全部用于报纸广告 , 可使利润最大 .【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数 z f ( x, y) 在附加条件 ( x, y) 0下的可能极值点 , 可以先作拉格朗日函数L( x, y) f (x, y)( x, y),其中为参数 . 求其对x与y的一阶偏导数, 并使之为零 , 然后与附加条件联立起来：f x ( x, y)f y ( x, y) ( x, y)0.x ( x, y)0, y ( x, y)0,由这方程组解出x, y 及, 这样得到的( x, y ) 就是函数 f (x, y) 在附加条件( x, y)0 下的可能极值点 .五、 ( 本题满分 6 分)【解析】方法 1: 当a0 时, f (a b) f (b) f ( a) f (b) ,即不等式成立；若 a 0,因为f (a b) f (a) f (b) f (0)[ f (a b) f (b)] [ f (a) f (0)]f ( 2 )a f ( 1) a a[ f ( 2 ) f ( 1)],其中 01 a b2 a b .又 f ( x) 单调减少,故 f ( 2 ) f ( 1 ) .从而有f (a b) f (a) f (b) f (0) 0,即 f (a b) f (a) f (b) .方法 2: 构造辅助函数, 将式子移到不等式右边, 再将b视为变量x , 得辅助函数令 F (x) f ( x) f (a) f (a x), x [0, b] ,由于 f (0) 0 ,所以 F (0)0 ,又因为F (x) f (x) f (a x), 且a0 , f ( x)在(0, b)单调减少,所以F (x)0 ,于是 F ( x) 在[0, b]上单调递增, 故F (b) F (0)0 ,即f (a b) f (a) f (b), 其中0 a b a b c .【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数 f ( x)满足在闭区间[ a, b] 上连续；在开区间a,b内可导, 那么在a, b内至少有一点(a b), 使等式 f (b) f (a) f ( )(b a) 成立.六、 ( 本题满分8 分 )【解析】本题中 , 方程组有解r ( A) r ( A) .(相关定理见第一题 (4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以 3 、5分别加到第二、四行上, 有11111a11 1 11a321130012263a,01226b01226b5433120122625a第二行乘以 1、1分别加到第三、四行上, 第二行再自乘 1 ,有1 1111a12263a.b3a22a(1) 当b 3a0 且22a0, 即a1,b3时方程组有解.(2)当 a 1,b 3 时,方程组的同解方程组是x1x2x3 x4x51,x22x32x46x53,由 n r ( A)52 3 ,即解空间的维数为 3. 取自变量为x3 , x4 , x5,则导出组的基础解系为1(1, 2,1,0,0) T , 2(1, 2,0,1,0) T ,3 (5, 6,0,0,1) T.(3)令 x3x4x50 ,得方程组的特解为( 2,3,0,0,0) T.因此,方程组的所有解是k1 1k2 2k33 , 其中k1, k2, k3为任意常数 .【相关知识点】若 1 、2是对应齐次线性方程组Ax 0 的基础解系,则 Ax b 的通解形式为 k 1 1 k 2 2 , 其中1 ,2 是 Ax0 的基础解系 , 是 Ax b 的一个特解 .七、 ( 本题满分 5 分 )【解析】若A 、B 是 n 阶矩阵 , 且 AB E, 则必有 BAE. 于是按可逆的定义知 A 1B .如果对特征值熟悉 , 由 A k0 可知矩阵 A 的特征值全是 0,从而EA 的特征值全是1,也就能证明 EA 可逆.由于 A k0 , 故EA(EAA 2A k 1 ) E kA k E .1EAA 2A k 1 .所以 E A 可逆,且 E A八、 ( 本题满分 6 分 )【解析】 (反证法 ) 若 X 1X 2 是 A 的特征向量 , 它所对应的特征值为, 则由定义有：A( X 1 X 2 ) ( X 1 X 2).由已知又有 A( X 1 X 2 ) AX 1 AX 21X1 2X 2.两式相减得 (1) X1(2)X20 .由 12 , 知1,2 不全为0, 于是 X 1, X 2 线性相关 , 这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾 . 所以 , X 1 X 2 不是 A 的特征向量 .【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 A 是 n 阶矩阵 , 若存在数 及非零的 n 维列向量 X 使得 AX X 成立,则称是矩阵 A 的特征值 , 称非零向量 X 是矩阵 A 的特征向量 .九、 ( 本题满分 4 分 )【解析】样本空间含样本点总数为C 103 ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件 A 1 的样本点数为 C 83 ；十个数字除去 0 和 5 任意选三个有多少种选择方案 .有利于事件 A 2 的样本点数为 2C 93 C 83 ；十个数字除去0 任意选三个的选择方案和十个数字除去 5 任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数, 即是事件 A 1 被加了两次 , 所以应该减去 C 83 .由古典型概率公式,P(A )C837;P(A)2C93 C8314.1C3152C3151010P(A i )有利于事件 A的样本点数【相关知识点】古典型概率公式：i.样本空间的总数十、 ( 本题满分 5 分 )【解析】 (1) 由连续型随机变量边缘分布的定义, 且lim e ax0, (a为常数)有xX 和 Y 的边缘分布函数分别为F X ( x) F ( x,)1e 0.5 x ,若 x0, lim F (x, y)0,若 x0; yF Y ( y) F (, y)1e 0.5 y ,若 y0, lim F ( x, y)0,若 y0. x由于对任意实数x, y 都满足F ( x, y)F X (x) F Y (x) .因此X和Y相互独立.(2)因为 X和Y相互独立,所以有P X 0.1, Y0.1 P X 0.1 PY0.1[1F X (0.1)][1F Y (0.1)]e 0.05 e 0.05e 0.1.十一、 ( 本题满分7 分)【解析】若已知正态分布的期望和方差, 在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率, 通过(x)表计算.但是正态分布的参数与 2 未知时, 则应先根据题设条件求出与2的值 , 再去计算有关事件的概率 .设X 为考生的外语成绩,依题意有X ~ N( ,2),且72,但2未知 . 所以可标准化得X72~ N (0,1) .由标准正态分布函数概率的计算公式, 有PX961PX9619672240.023,1240.0230.977.1查表可得242,12,即X ~ N(72,122),X 72P60 X 84P1 2 (1)1 0.682.12。

数学三考研试题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1，求f'(x)。

A. 6x^2 - 6xB. 6x^2 + 6xC. -6x^2 + 6xD. -6x^2 - 6x答案：A2. 求极限lim(x→0) [sin(x)/x]。

A. 0B. 1C. ∞D. -1答案：B3. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：B4. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的行列式值。

A. 2B. -2C. 5D. -5答案：C5. 已知等比数列的前三项分别为2，4，8，求第四项。

A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 6x + 8的最小值是______。

答案：22. 已知等差数列的前三项分别为3，7，11，求公差d。

答案：43. 计算二阶导数f''(x)，若f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x。

答案：6x - 64. 求矩阵A = [2 1; 3 4]的逆矩阵。

答案：[2 -1; -3 2]5. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，求圆心坐标。

答案：(3, 4)三、解答题（每题10分，共60分）1. 证明：若a，b，c为实数，且a^2 + b^2 + c^2 = 0，则a = b =c = 0。

证明：由题意可知，a^2 + b^2 + c^2 = 0。

由于平方和为0，那么每一项都必须为0，即a^2 = 0，b^2 = 0，c^2 = 0。

因此，a = 0，b = 0，c = 0。

2. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将第一个方程乘以2得到2x + 2y = 10，然后将第二个方程加到第一个方程的两倍上，得到3y = 9，解得y = 3。

2023 考研数学三真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．已知函数 f( ,x y ) = ln ( y + x sin y )，则（ ）.（A ）()0,1f x ∂∂不存在，()0,1fy∂∂存在（B ）()0,1f x∂∂存在，()0,1fy ∂∂不存在（C ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均存在（D ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均不存在【答案】（A ）【解析】 本题考查具体点偏导数的存在性，直接用定义处理，()0,10f =()()()()0,1000ln 1sin1sin1,10,1sin1,0lim lim limsin1,0x x x x x f x f x fx x x x x +−→→→+ −→∂=== ∂−→ 故()0,1f x∂∂不存在()()()0,1110,0,1ln lim lim 111y y f y f f y y y y →→−∂===∂−−，()0,1f y∂∂存在，选（A ）2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A)), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤=+−>(C)), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤=++> 【答案】(D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C==+∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln , 1.x x f x x x −< = ≥则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<= −≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=+−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= ++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A ）00a b <>， （B ）00a b >>， （C ）00a b =>， （D ）00a b =<， 【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin axy x c x c x ββ−=+． 只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.4.已知()1,2,n n a b n <=，若1nn a∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛.则1nn a∞=∑绝对收敛是1n n b ∞=∑绝对收敛的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件（D ）既非充分也非必要条件 【答案】（A ） 【解析】由题设条件知()1nn n ba ∞=−∑为收敛的正项级数，故()1n n n b a ∞=−∑也是绝对收敛的若1nn a∞=∑绝对收敛，则n n n n n n n b b a a b a a =−+≤−+，由比较判别法知，1n n b ∞=∑绝对收敛；若1n n b ∞=∑绝对收敛，则则nn n n n n n aa b b a b b =−+≤−+，由比较判别法知，1n n a ∞=∑绝对收敛；故应选（A ）【评注】本题考查正项级数的比较判别法，及基本不等式放缩.关于上述不等式《基础班》第一讲在讲解数列极限定义时就反复强调过.5.设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（ ） （A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B OB A（C ）****−B A B A OA B （D ）****−B A A B OA B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− −==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B 选（D ）【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B6.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）. （A ）2212y y + （B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ）【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143 =− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+ 222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+−()22231237222x x x x x +=+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )．(A)21y (B) 2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++7．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（ ）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ） 【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β= − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出，又可21,ββ线性表出的向量。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。

A ．()0,1fx ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在B ．()0,1fx ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在C ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均存在D ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y∂∂均不存在【答案】A【解析】f （0，1）＝0，由偏导数的定义()()()()0000,1ln 1sin1,10,1lim lim sin1lim x x x x x f x f fx x xx →→→+-∂===∂，因为0lim 1x x x+→=，0lim 1x x x-→=-，所以()0,1fx ∂∂不存在， ()()()1110,10,0,1ln 1lim lim lim 1111y y y f y f f y y y y y y →→→-∂-====∂---，所以()0,1f y∂∂存在.2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。

A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D【解析】当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。

试卷及解2024考研数学（三）真题析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设函数21()lim1nn xf x nx →∞+=+，则()f x A．在1x =，1x =-处都连续．B．在1x =处连续，在1x =-处不连续．C．在1x =，1x =-处都不连续．D．在1x =处不连续，在1x =-处连续．1．【答案】D【解析】当21 1lim11nn xx x nx →∞+<=++时,，当211lim01nn xx nx →∞+>=+时,，当21,lim01n x n →∞==+时，当01lim01n x n→∞=-=+时,，故()1,11,0,x x f x +-<<⎧=⎨⎩其他.故在1x =-时，连续；1x =时不连续．选D.2.设sin d a k aI x x π+=⎰，k 为整数，则I 的值A．只与a 有关B．只与k 有关C．与,a k 均有关D．与,a k 均无关2．【答案】B 【解析】π|sin |d a k a I x x+=⎰ππ0|sin |d sin d 2.k x x k x x k ===⎰⎰选B.3.设(,)f x y 是连续函数，则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰A.1arcsin 126d (,)d .yy f x y x π⎰⎰B.121arcsin 2d (,)d .yy f x y x π⎰⎰C.1arcsin 206d (,)d .yy f x y x π⎰⎰D.122arcsin d (,)d .yy f x y x π⎰⎰3．【答案】A【解析】11arcsin 21sin 266d (,)d d (,)d .yxx f x y y y f x y x πππ==⎰⎰⎰⎰选A.4.幂级数nnn a x∞=∑的和函数为ln(2)x +，则20nn na∞==∑A.16-B.13-C.16D.134．【答案】A【解析】()112ln 2ln 1ln 2ln 2(1)2nn n x x x n ∞-=⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭+=++=+- ⎪⎝⎭∑23462222ln 222346x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-+-+ ⎪⎝⎭224680246357320234111 2322242111 2221114182 .138361624nn naa a a a ∞==+++++⎛⎫=-+⋅--+ ⎪⋅⋅⎝⎭⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-=-=-⨯=-⎢⎢⎥-⎣⋅⎦∑ 5.设二次型()T123,,f x x x =x Ax 在正交变换下可化成22212323y y y -+，则二次型f 的矩阵A 的行列式与迹分别为.6,2A --.6,2B -.6,2C -.6,2D 5．【答案】C【解析】()T123,,f x x x =x Ax 正交变换下化为22212323y y y -+⇒A 的特征值为1,2,3-()()()1236,tr 1232⇒=⋅-⋅=-=+-+=A A .6.设A 为3阶矩阵，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 若T 2200020a c c b c c +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P AP 则=AA.0000.00c a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.0000.00b c a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C.0000.00a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.0000.00c b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.【答案】C【解析】()3T 212010000, 010120101a c c b c c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且AP B P E P 故()()()11112233T11T (1)(1)----⎡⎤==⎣⎦PA B P E B E 11131313131T3T131(1)(1)(1)(1)(1)(1)---⎡⎤==---⎣⎦E BE E E BE E 0 10120100100010001001000120101101a c c b c c -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0001001000000010010002010110100 a b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设矩阵131,2112ij a b b aM +⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 表示A 的行j 列元素的余子式,若1||2=-A .且2122230M M M -+-=.则3.02A a a ==-或3.02B a a ==或1.12C b b ==-或1.12D b b =-=或7.【答案】B【解析】120101322211111222112121bba bbbba a a-+===A 1211(1)122a b +⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭111(21)22b a ⎛⎫=-⋅--=-⎪⎝⎭11(21)22b a ⎛⎫⇒--=⎪⎝⎭12122b ab a ⇒--+=又2122232122230M M M A A A =-+-=++13131111111101111201a b a b a b a b +++====+-=，1b a ⇒=+代入(1)中,得11(1)2022a a a a ++--+=0a ⇒=或312ab =⇒=或52.8.设随机变量X 的概率密度为()()61,01,0,x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他，则X 的三阶中心矩()3E X EX -=A.132-B.0C.116D.128．【答案】B 【解析】1211116(1)d 6634122EX x x x ⎛⎫=-=⋅-=⨯= ⎪⎝⎭⎰3311321021211116(1)d 6d 022 22 x t E X x x x xt t t t --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰令.9.随机变量,X Y 相互独立，且~(0,2),~(1,1)X N Y N -，设{}{}122,21p P X Y p P X Y =>=->，则121A.2p p >>211B.2p p >>121C.2p p <<211D.2p p <<9．【答案】B【解析】(2)2011E X Y EX EY -=-=+=，(2)44219D X Y DX DY -=+=⨯+=，所以2~(1,9)X Y N -；(2)2022E X Y EX EY -=-=+=，(2)4246D X Y DX DY -=+=+=，所以2~(2,6)X Y N -；121011113333X Y p P ΦΦ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫=>=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭21p P ΦΦ⎛⎛=>=--= ⎝⎝，所以2112p p >>，故选B.10.设随机变量,X Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z X Y =-,则下列随机变量中与Z 同分布的是A.X Y + B.2X Y+C.2X D.X10．【答案】D【解析】X 与Y 的联合概率密度为2()e ,0,0(,)()()0,x y Y X x y f x y f x f y λλ-+⎧>>=⋅=⎨⎩其他设Z 的分布函数为()Z F z ，则{}{}()Z F z P Z z P X Y z=≤=-≤1当0z <时，()0Z F z =；2当0z ≥时，{}{}()20Z F z P z X Y z P X Y z =-≤-≤=≤-≤02e d e d y z y x yy x λλλλ+∞+--=⎰⎰.()()02202e e e d 2e d 2e e d 1e .y y y z y z y z y y yλλλλλλλλλλ+∞---++∞+∞----=-=-=-⎰⎰⎰所以()1Z E ，从而Z 与X 服从相同的分布，选D.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.当0x →时，()2221sin d 1cos xt tt t++⎰与k x 是同阶无穷小，则k =.11．【答案】3【解析】当0x →时，()22221sin ~1cos 2x xx x++，则()223201sin d ~1cos xt tt Ax t++⎰.从而3k =.12.4225d 34x x x +∞=+-⎰.12．【答案】1πln 328-【解析】()()42222255d d 3414x x x x x x +∞+∞=+--+⎰⎰222211d d 14x x x x +∞+∞=--+⎰⎰222111d d 114x x x x x +∞+∞⎛⎫=-- ⎪-++⎝⎭⎰⎰222111ln arctan 2122x x x +∞+∞⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭111ππ1π0ln ln 32322428⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13.函数()324,2961224f x y x x y x y =--++的极值点是.13．【答案】()1,1【解析】23618120,24240,x y f x x f y ⎧'=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩解得(1,1) ，(2,1).1218xx A f x ''==-,0xy B f ''==,272yy C f y ''==-，代入(1,1)得24320,6AC B A -=>=-,故(1,1)是极大值点，(1,1)23f =.代入(2,1)得24320AC B -=-<,不是极值.14．某产品的价格函数是250.25,20,350.75,20Q Q p Q Q -≤⎧=⎨->⎩(p 为单价，单位：万元；Q 为产量，单位：件)，总成本函数为215050.25C Q Q =++（万元），则经营该产品可获得的最大利润为（万元）.14．【答案】50【解析】()()()22(250.25)15050.25,20,350.7515050.25,20.Q Q Q Q Q L PQ C Q Q Q Q Q ⎧--++≤⎪=-=⎨--++>⎪⎩整理得：220.5(20)50,20,(15)75,20.Q Q L Q Q ⎧--+≤=⎨--+>⎩所以20Q =时，50L =为最大利润.15.设A 为3阶矩阵，*A 为的A 伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵，若(2)1,()2r r -==E A E +A ，则*A =.15．【答案】16【解析】() 132r <-=E A ，() 23r =<E +A ⇒A 有特征值2,1-.又()3222r λ-=-⇒=E A 有 2个线性无关的特征向量2λ⇒=至少有两重根.()311r λ-=⇒=-E +A 有1个线性无关特征向量1λ⇒=-至少有一重根.又A 为3阶⇒A 的特征值为22,1-，，故()*122214,||16n -=⋅⋅-=-===A A A A .16.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =.16．【答案】23p =【解析】A ：全成功，B ：至少成功一次.()33()()4()()1(1)13P AB P A p P A B P B P B p ====--,331344(1)p p =--整理得(32)(3602)3p p p p -+=⇒=.三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设平面有界区域D 位于第一象限由曲线1,33xy xy ==与直线1,3y x =3y x =围成，计算()1d d Dx y x y +-⎰⎰.17.【解】令yu xy v x==，，（1）x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）12x xuv J y y v uv∂∂∂∂==∂∂∂∂故3113331d 1d 2u v v⎛=+⋅ ⎝⎰⎰原式38ln 3=.18．设函数(,)z z x y =由方程2e ln(1)0xz y z +-+=确定，求22(0,0)22z z x y ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭.18．【解】将0y =代入得e xz =-，则22e xz x ∂=-∂，代()220,001z x x∂=⇒=-∂.将0x =代入得()21ln 1z y z+=+，得()222ln 11z yz zz y z y∂∂=++⋅∂+∂.代0,0,1x y z ===-得()0,0ln2zy ∂=∂.又22222122 211z z z y z z z z z y y z y z y y ⎡⎤⎛⎫∂∂⋅⎢⎥ ⎪+∂∂∂∂⎝⎭⎢=⋅+⋅+⋅⎢⎥∂+∂+∂∂⎢⎥⎣⎦，代0,0,1,ln2zx y z y∂===-=∂得()220,02ln2z y ∂=-∂.故原式为12ln2--.19.设0t >，平面有界区域D 由曲线-2e xy x =与直线x t =，2x t =及x 轴围成，D 的面积为()S t ，求()S t 的最大值.19．【解】()22ed txt S t x x -=⎰，()()42424e e e 4e t t t t S t t t t ---=-=-'则，42 4e e 0ln2.t t t ---=⇒=令()() 0ln20;ln20.t S t t S t <<'>><'当时,当时,故ln2t =时，()S t 取最大值，有()ln 4ln 4222ln 2ln 21113 ln2e d e ln2.221664x x x S x x x ---⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭⎰20.设函数()f x 具有2阶导数，且()()()01, 1.f f f x ''''=≤证明：（1）当()0,1x ∈时，()()()()()1011;2x x f x f x f x ----≤（2）()()()1011d .212f f f x x +-≤⎰20.证明：（1）()12()(0)(0)2f f x f f x x ξ'''=++①()()22()(1)(1)1(1)2f f x f f x x ξ'''=+-+-②()1x x⋅-+⋅①②()()()()()12221()(0)(1)(1)(0)1(1)1(1)22f f f x f x f x f x x f x x x x x x ξξ''''''⇒=-++-+-+--+，21111()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).222 2f x f x f x x x x x x x x x x x ----+-=-+-=- （2）[]02111(1)1()(0)(1)(1)d ()d (0)(1)22x f x f x f x x f x x f f ----=-⋅-⋅⎰⎰1100(0)(1)(1)1()d d .22 12f f x x f x x x +-=-=⎰⎰ 21.设矩阵11011103,2126--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A 1012111,2322a a ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B 向量023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，α10.1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭β（1）证明：方程组=Ax α的解均为方程组=Bx β的解；（2）若方程组=Ax α与方程组=Bx β不同解，求a 的值.21.证明：（1）(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x x A A αα(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x Bx βB β又11010110101103202042212630328310121011311110000232210121a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫=→⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭A αB β1101011010010210102100220001100011000000000000000022000000a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()3r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A αB βA ,α.即(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0x A α的解是(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0B βx 的解.即=Ax α的解是=Bx β的解(2)=Ax α与方程组=Bx β不同解,即=Ax α与=Bx β不等价又=Ax α的解是=Bx β的解，故=Bx β的解不是=Ax α的解.即(,)3r r ⎛⎫≠=⎪⎝⎭A αB βB β，故1012110121,1110011312322103063a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→---- ⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭B β101211012101021010210113100110a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故10a -=即1a =.22.X 服从[]0,θ上的均匀分布，()0θ∈+∞，为未知参数，12,,,n X X X 为总体X 的简单随机样本，记为(){}()12max ,,,,.n c n n X X X X T cX == （1）求c 使得();c E T θ=（2）记()()2,c h c E T θ=-求c 使得()f c 最小.22．【解】（1）{}()()12max ,n n n E cX cEX cE X X X θ⎡⎤===⎣⎦ 10()0X x f x θθ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他00(),01,X x x F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ {}()120,0max ~(),01,,n n n n X x xX X X F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ ()10()0. X n n n n xx f x θθ-⎧⋅<<⎪=⎨⎪⎩其他{}1110,1max ,d 1n n n n nnx n E X X x x n θθθθθθ-+==⋅+⎰1nn θ=+，所以1n c n+=.（2）()2222()22c c c ch c E T T ET E ET θθθθ=+-=++()()()()222n n E cX E cX θθ=+-()()2222n n c EX c EX θθ=+-因为()221201d 2n n n n n nx n EX x x x n θθθθ-+=⋅=+⎰22nn θ=⋅+()11001d 11n n n n n nxn nEX x x x n n θθθθθ-+=⋅⋅=⋅=++⎰所以22222 ()21221=21n n nc n h c c c c n n n n θθθθθ⎛⎫=+-⋅+-⋅ ⎪++++⎝⎭令2()1221n n f x x x n n =+-++，22()021n n f x x n n '=-=++解得21n x n +=+，即21n c n +=+时，()h c 取最小值.。

2017～2019年考研数学三真题及答案2017考研数学三真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】000112lim ()lim lim2x x x xf x ax a +++→→→===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂，2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k nn ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）T E αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵T αα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2TTTTE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）． 7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则AB 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布 解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-+==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为 ．【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =；设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=． 三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，xtx u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 3txuu x x x x dt edu du ++++--→→→→==== 16．（本题满分10分）计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域．【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)111141128Dy y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-= ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<． 19．（本题满分10分）设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数（1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑1lim1!n n n n ρ=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．20．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥． 假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z z F z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=2018考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0lim lim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim lim x x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x xx x =在 0x =处可导对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()111.0.22f x dx f f⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。

数3考研试题及答案试题：一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项不是自然数？A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 5，求 f(2) 的值。

A. 7B. 8C. 9D. 103. 以下哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 34. 圆的周长公式为C = 2πr，其中 r 是圆的半径。

如果一个圆的周长为12π，那么它的半径是多少？A. 3B. 4C. 6D. 125. 以下哪个选项是 2 和 3 的最小公倍数？A. 1B. 2C. 3D. 6二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个长方形的长是 10 厘米，宽是 5 厘米，它的周长是_________厘米。

7. 一个数的 60% 等于 18，那么这个数是_________。

8. 一本书的价格是 x 元，打 8 折后的价格是 0.8x 元，如果打 8折后的价格是 48 元，那么书的原价是_________元。

9. 一个数的 1/4 加上 1/4 的和等于 1，这个数是_________。

10. 一个等差数列的前三项分别是 3，7，11，那么它的第五项是_________。

三、解答题（共25分）11. 已知等式 ax + b = c，如果 a = 2，b = 3，c = 7，求 x 的值。

12. 一个长方体的长、宽、高分别是 8 厘米、6 厘米和 5 厘米，求它的表面积和体积。

13. 一个工厂生产的产品总数是 1000 个，其中有 10% 是次品。

如果工厂决定只出售合格品，并且合格品的售价是每个 50 元，那么工厂从销售合格品中可以获得多少收入？答案：一、选择题1. A2. B3. B4. B5. D二、填空题6. 307. 308. 609. 110. 19三、解答题11. 解：将 a = 2，b = 3，c = 7 代入等式 ax + b = c，得到 2x + 3 = 7。

移项得：2x = 7 - 3，即 2x = 4。

考研数学三测试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为：A. 1B. -1C. 0D. 不存在答案：B2. 以下哪个选项是 \( e^x \) 的原函数？A. \( e^x \)B. \( \ln(x) \)C. \( \frac{1}{x} \)D. \( x^2 \)答案：A3. 求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)答案：B4. 设 \( A \) 是一个 \( 3 \times 3 \) 的矩阵，且 \( \det(A) =2 \)，则 \( \det(2A) \) 等于：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int x^2 dx \) 的积分结果？A. \( \frac{x^3}{3} \)B. \( \frac{x^2}{2} \)C. \( x^3 \)D. \( 2x^2 \)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) dx = 2 \)，则 \( \int_{0}^{2} f(x) dx \) 等于 _______。

答案：42. 设 \( a \) 和 \( b \) 是方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的两个根，则 \( a + b \) 等于 _______。

答案：53. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的极值点为 _______。

答案：\( \pm 1 \)4. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3 \)，则 \( f(0) \) 等于 _______。