ax2+bx+c的图象和性质(第4课时)课件 (新版)湘教版

（3） 4a+b=0；
x
（4）当y=–2时，x的值只能取0； –1 O
3
其中正确的是 （2） .
–2
直线x=1
情境引入 新知探索 例题辨析 练练习巩固固 总结归纳 作业布置
当练习堂
4.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=
-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；
4
课堂学习总结感悟与知识提升
导导入入新课课 新知探索 例题辨析 练习巩固 总结归纳 作业布置
复习 引 入
y=a(x-h)2+k 开口方向 顶点坐标 对称轴
增 减 性
a>0
向上
(h ,k)
x=h
当x<h时，y随着x的增 大而减小； 当x>h时，y随着x的增 大而增大.
a<0
向下
(h ,k)
x=h
当x<h时,y随着x的增 大而增大； 当x>h时，y随着x的增 大而减小.
a3_＜__ 0 b3_＝__ 0
c3_＞__ 0
a4_＜__ 0 b4_＞__ 0 c4_＜__ 0
x=0时，
y=c.
O
x
x b1 =0 x b2 ＞0
对称轴是y轴， 2a1
2a2
开口向下，a＜0
x=0
对称轴在y轴
右侧，x＞0
导入新课 新新知探索索 例题辨析 练习巩固 总结归纳 作业布置 探究归纳 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x

和开口方向.【教材P37页】
y
3
1 y 1 x2
3
2
y 1 x 22
4
1
2 y 1 x 22
4
–4 –3 –2 –1 –1
x
1 23 4 5
–2
–3
y 1 x2
–4
3
2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标
y
和开口方向.【教材P37页】
5
3 y2x32 2
4
小结与复习
知识结构
二次函数
二次函数的概念 二次函数的图象与性质 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的应用
y
y = ax2（a>0）的图象与性质
沿 x 轴翻折
y = -ax2（a>0）的图象与性质
x O
y
y = ax2（a>0）的图象与性质
当h < 0时， 向左平移 |h| 个单位
3
3
y
x
7 2
2
2
4
y
x
7 2
2
2
2 1
–1 –1
–2
x
123456
y 2 x 32 2
3
2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标
和开口方向.【教材P37页】
y
3
y x2 10x 21
5yx27x11 2
1
6yx210x21
x
1 23 4 5 6 78
3
yax2x1
2
将点（0，-1）代入，得 a 1 2
y 1x2x1
2
顶点坐标

O
x
1 23 4
–1
–2
–3
–4
–5
y ＝ -0.3x2
–6
–7 y ＝ -8x2
1. 下列关于抛物线 y＝－x2 的说法,错误的是（ D ） A．关于 y 轴对称 B．与抛物线 y＝x2 关于原点对称 C．画抛物线 y＝－x2 时,只要先画出 y 轴右边的部分,
然后利用对称性,再画出图象在y 轴左边的部分即可 D．抛物线有一个最低点,其坐标为（0,0）
湘教·九年级下册
二次函数 y = ax²（a＞0）的
y 8 6 4 2
–3 –2 –1 O
123
图象与性质
x
用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
①列表；②描点；③连线
我们学过的一次函数的图象是什么图形？
一条直线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课 我们来学习最简单的二次函数 y = ax2 的图象.
1
量取值的增大而＿增＿大＿＿．
–3 –2 –1
y ＝ 6x2
1 2 3x
2. 在同一直角坐标系中画出二次函数 y ＝ 3x2 及 y ＝
1 4
x2
的图象， 并比较它们的共同点与不同点.
y
7
y ＝ 3x2
6
5
4
y＝
1
4 x2
3
2
1
–4 –3 –2 –1
1234x
1. 二次函数 y ＝ x2 不具有的性质是（ D ） A．对称轴是 y 轴 B．开口向上 C．当x＜0时, y 随 x 的增大而减小 D．有最大值
–3 –2 –1 O
123
的图象与性质
x
把二次函数 y 1 x2 的图象 E 向右平移 1 个单位， 得到图形 F.

M1(x1，0),M2(x2,0).则 线段
M1M 2 x1 x2
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：一般式平移
（1） y=ax2+bx+c沿对称轴平移:向上（下） 平移m个单位，变成 y=ax2+bx+c+m（或 y=ax2+bx+c-m）.
(2) y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移 m个单位，变成y=a（x+m)2+b(x+m)+c （或y=a（x-m)2+b(x-m)+c）.
用函数图像回答：
(1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
分析：(1)用顶点坐标公式，可求出顶点 为(2，2)，对称轴是x＝2.
(2) 当x＝1时，y＝0，即图象与x轴交于点 (1，0)，根据轴对称，很容易知道(1 ，0) 的轴对称点是点(3，0) ．又当x＝0时，y ＝－6，即图象与y轴交于点(0，－6)，根 据轴对称，很容易知道(0，－6)的轴对称 点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个点(2， 2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6) 连结起来，就是 y 2x2 8x 6 的0图象。
2. 2抛' 当物线a y 0 a时x2， b图x 象c 的落图在象x与轴y的轴下一方定，相无交论，交x 为点任坐何标为实(数0 ，，c都) ；有 y 0 ．
抛物线y=axax2+bx+c=0 的 根的判别式判定：
Δ
抛物线 与x轴 的交点
抛物线
解：列表 y 2x2 8x 6 0
x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …

大而减小；当 x > 6 时，函数
值随 x 的增大而增大.
O
（6,3）
5 10 x
归纳总结 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是：
b 4ac b2
( ,
).
2a 4a
对称轴是：直线 x b . 2a
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
y
x b 2a
O (1)
如果 a＞0，当 x＜ b 时，y 随x
的增大而减小；当
2a
x＞
b
时，
2a
y 随 x 的增大而增大；当 x = b
x
2a
时，函数达到最小值，最小值
为 4ac b2 .
4a
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
y x b
2a
O (2)
如果 a < 0，当 x< b 时，y 随 x
(2) y 5x2 80x 319; 直线 x = 8
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线 x = 1.25
(4) y x 12 x.
直线 x = 0.5
3, 5
8, 1
5 4
,
9 8
1 2
,
9 4
2. 把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长
度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式为
那么现在你会画这个二次函2 数的图象吗?2
根据顶点式 y 1 (x 6)2 3 确定对称轴，顶点坐标.

配方
(1)二次函数
( a≠0)的图象是一条 抛物线；
(2)直线 顶点坐标是(
是二次函数 ).
的对称轴；
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
对称轴
位置
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
最值
由a,b和c的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
随堂训练
1.抛物线
的顶点坐标为（ ）
A.(3,-4) B.(3,4) C.(-3,-4) D.(-3,4)
2.如图，二次函数
的图象开口向上，
图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于 负半轴.
合作探究
问题1：如何画出
的图象呢?
我们知道,像y =a(x-h)2+k 这样的函数,容易确定 相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 也能化成这样的形式吗？
怎样把函数
式?
用配方法
解：
提取二次项系数 配方
整理
化简:去掉中括号
转化成y=a(x-h）2+k的形
你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次顶点坐标
y=2(x+3)2+5
zxxk
y = -3(x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7
y = -5(2-x)2 - 6

题型六 二次函数图像与a, b, c之间的关系
例题6 [衡阳中考]图1-2-6为二次函数y=ax2 +bx+c的图像, 则下列
说法：①a>0；②2a+b>0；③a+b+c>0；④当-1<x<3时, y>0.
其中正确的个数为( B ).
A．1
B．2
C．3
D．4
1.2 二次函数的图像与性质
分析 ∵二次函数图像的开口向下, ∴a<0,①错误；
1.2 二次函数的图像与性质
题型三 利用二次函数的性质比较函数值的大小
例题3 [河南中考]已知点A(4, y1 ), B( , y2 ),C(－2, y3 )都在二次 函数y=(x-2)2 -1的图像上, 则y1 ,y2 , y3 的大小关系是 __y_2 _＜__y_1_＜__y_3_ (用“＜”连接).
1.2 二次函数的图像与性质
解: (1)∵二次函数y=-x2 +2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3, 0), ∴-9+2×3+m=0, 解得m=3. (2)由(1), 得二次函数的表达式为y=-x2 +2x+3.当y=0时, -x2 +2x+3=0, 解得x=3或x=-1, ∴点B的坐标为(-1, 0).
1.2 二次函数的图像与性质
解: ∵y=x2 +2x-1=x2 +2x+1-2=(x+1)2 -2, ∴函数图像的顶点坐标为(-1, -2), 对称轴为直线x=-1, 当x=-1时, y最小值 =-2.
1.2 二次函数的图像与性质
锦囊妙计
求二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像的顶点坐标、对称轴 及函数的最值时, 将表达式化成y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式, 可快 速求解.

4．【中考·上海】下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧部分是下降的
【点拨】A.∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B．∵
，∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，选项B不正确；
b 1 1 C．当x＝0时，y＝x2－x＝0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
【答案】D
6．【2021·江西】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx ＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
D
7. (易错题)若二次函数y＝ax2＋bx＋a2－4(a，b为常数)的图象如图所示，则a的值 为________． －2
【点拨】根据函数图象经过坐标原点可以确定a2－4＝0，解得 a＝±2.再利用图象开口向下进一步确定a＜0，∴a＝－2.本题 易错点是根据图象经过坐标原点求出a＝±2后忽略图象开口 向下的限制，不能进一步判断a的符号．
【答案】A
13．【原创题】若抛物线y＝－2x2－qx＋2q＋5中不论q为何值时都通过定点，
则定点坐标为__________．
(2，－3)
【点拨】∵y＝－2x2－qx＋2q＋5可化为y＝－2x2－q(x－2)＋5，当x＝2时， y＝－3且与q的取值无关．故不论q为何值时都通过定点(2，－3)．
14．定义：若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点和顶点构成直角三角形， 则称这条抛物线为“直角抛物线”．
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
解：由题意知，函数y1的图象的对称轴为直线x＝ .
1
∴点Q(1，n)关于直线x＝ 对称的点为点(0，n)．

明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选