人教高二数学 选修2-1 第二章 2.3 经典双曲线教案

课题：双曲线的定义及其标准方程渠县琅琊中学 阳红梅教学目标1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义， 双曲线的标准方程的探索推导过程．2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力．3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度． 教学重难点重点：双曲线的定义和标准方程，用待定系数法求标准方程。

难点：双曲线的探索推导过程，定义中的“差的绝对值”，a 与c 的关系的理解． 教学过程一．情景引入1. 通过音乐引入双曲线。

2. 通过图片展示感受双曲线。

二．合作探究探究1：类比椭圆的定义，你能给出双曲线的定义吗？定义应注意什么？结合几何画板动画展示发现双曲线的运行轨迹并形成定量关系，归纳得出双曲线的定义。

探究2：如何建立适当的坐标系求双曲线标准方程？通过求曲线的方程的方法步骤推导双曲线方程（学生分成两组，分别自主探究焦点在x 轴上和y 轴上的标准方程。

练习：判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 ,,a b c 及焦点坐标。

()()222211214242x y x y -=-=- 思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？焦点跟着正项走。

探究3: 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何异同点?探究4: 如何求双曲线的标准方程?例1：已知两定点F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足||PF 1|-|PF 2||=6，求动点P 的轨迹方程。

变一变1：已知两定点F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足||PF 1|-|PF 2||=10，求动点P 的轨迹方程。

变一变2：已知两定点F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=6，求动点P 的轨迹方程。

例2：已知双曲线焦点在x 轴上，且经过两点 )2,315(),3,2(-- ，求它的标准方程。

变一变：已知双曲线且经过两点 )2,315(),3,2(--，求它的标准方程。

高二数学 第二章 第3节双曲线（理） 人教新课标A 版选修2-1一、学习目标：1、知识目标：掌握双曲线的定义，双曲线的标准方程和双曲线的几何性质。

2、能力目标：培养学生的解析几何观念；培养学生的观察、概括能力，以及类比的学习方法；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、重点、难点：重点：双曲线的定义、标准方程和几何性质，并会利用双曲线的几何性质解决一些问题。

难点：双曲线的定义和几何性质的灵活应用，会处理有关双曲线焦点三角形的问题并能与正余弦定理结合解题。

能用坐标法解决简单的直线与双曲线的位置关系等问题。

三、考点分析：学习完本节内容，我们要熟练掌握双曲线的定义及其两种标准方程的表达，会用待定系数法确定双曲线的方程，以及双曲线的简单几何性质的运用。

初步掌握用定义法和直接法求轨迹方程的一般方法，同时解决一些直线与双曲线的位置关系的问题。

1、对双曲线第一定义的理解在双曲线定义中，平面内的动点与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数，当这个常数小于|F 1F 2|时，动点的轨迹是双曲线；当这个常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是两射线F 1F 2，F 2 F 1；当这个常数大于|F 1F 2|时，动点不存在。

2、双曲线的第二定义：动点M 与一个定点F 的距离和它到一条定直线的距离的比是一个大于1的正常数，这个点的轨迹是双曲线。

定点是双曲线的焦点。

定直线叫双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

即dMF ||＝e （e ＞1）。

注意：（1）定点必须在直线外。

（2）比值必须大于1。

（3）符合双曲线第二定义的动点轨迹肯定是双曲线，但它不一定具有标准方程的形式。

（4）双曲线离心率的两种表示方法：到相应准线的距离点的距离到焦点点M F M a c e ==准线方程为：双曲线焦点在x 轴：c a x 2±=双曲线焦点在y 轴：ca y 2±=3、双曲线的标准方程与几何性质标准方程22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0） 22a y －22bx ＝1（a ＞0，b ＞0）简图中心 O （0，0）O （0，0）顶点 A 1（－a ，0），A 2（a ，0）B 1（0，a ），B 2（0，－a ）范围 |x|≥a|y|≥a焦点 F 1（－c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，－c ），F 2（0，c ）准线x ＝±c a 2y ＝±c a 2渐近线 y ＝±a b xy ＝±ba x4. 焦半径公式（1）当M （x 0，y 0）为22a x －22b y ＝1右支上的点时，则|MF 1|＝ex 0＋a ，|MF 2|＝ex 0－a 。

教学设计2．3.2 双曲线的简单几何性质整体设计教材分析学生已经经历了根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法，并已学过了双曲线的定义及标准方程．类比椭圆的简单几何性质的推导过程，利用双曲线的标准方程，通过学生自我思考，得出结论，同学交流展示，得出与椭圆相近的几何性质．在整个过程中教师的作用仅是启发诱导，点拨释疑，补充完善．让学生不断地通过思考，动手，发现新知的同时，体会到学习中的成功感．课时分配本节内容分两课时完成. 第1课时讲解双曲线的简单几何性质，要求学生类比椭圆简单几何性质的研究方法来研究双曲线的简单几何性质；第2课时讲解运用双曲线的简单几何性质解题以及应用于实际生活中．第1课时教学目标知识与技能1．通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质．2．了解双曲线的中心、实轴、虚轴、渐近线、等轴双曲线的概念，以及a、b、c、e 的关系及其几何意义．过程与方法通过观察、类比、转化、概括等探究，提高运用方程研究双曲线的性质的能力．情感、态度与价值观使学生在合作探究活动中体验成功，激发学习热情，感受曲线美、数学美．重点难点教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．教学难点：渐近线的性质．教学过程引入新课提问：(1)双曲线是如何定义的？ (2)双曲线的标准方程是什么？(3)前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质？－a≤x≤a －b≤y≤b x 轴、y 轴、原点对称(±a,0)，(0，±b)设计意图：回顾旧知，为问题的引入做准备，有助于本节课所研究的问题顺利解决． 探究新知探究1.类比椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的几何性质，借助x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)图象探讨双曲线有哪些几何性质？提出探究要求：(1)先通过焦点在x 轴上的标准方程来研究．(2)类比椭圆的性质从范围、对称性、顶点、离心率四个角度思考． (3)要求先自己做一做，再在小组说一说，选出代表在班级讲一讲．设计意图：依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下， 学生沿着一定的目标去自主探究，深入思考， 感知数学， 并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导．全班交流后，及时点评．活动成果： 1.－a≤x≤a －b≤y≤b x≥a 或x≤－ax 轴、y 轴、原点对称轴、y 轴、原点对称2．双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点，坐标为(±a,0)．3．线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长为2a ，a 叫做实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长．探究2.双曲线的这些性质和椭圆有什么异同？ 从范围看，椭圆是封闭的，双曲线是“开放”的．从对称性看，都关于x 轴、y 轴、原点对称，这是缺一次项的二次方程的共性． 从顶点看，椭圆有四个，双曲线有两个，都是与坐标轴的交点，轴的概念的异同． 从离心率看：椭圆e ＝ca＝1－b 2a 2∈(0,1)，双曲线e ＝c a＝1＋b2a2∈(1，＋∞)． 设计意图：通过观察类比，形成知识的迁移，明确双曲线几何性质的研究过程和研究方法，进而培养学生观察问题、解决问题的能力．探究3. 渐近线的发现与论证： 思考：双曲线x 29－y24＝1：①在位于第一象限内的双曲线上找一点M ，点M 的横坐标x M 与它到直线 x 3－y2＝0的距离d 有什么关系？(几何画板演示，学生回答)②d 能否为0?若d ＝0，则双曲线与直线相交，设交点坐标为M(x 0，y 0)， 则x 03－y 02＝0，又x 209－y 204 ＝ (x 0 3 ＋ y 0 2)(x 03－y 02) ＝ 0≠1， ∴点M 不在双曲线上．∴d≠0.归纳总结：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线．(几何画板演示引导学生发现渐近线，明确渐近线与双曲线的关系)结论：①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为x a ±yb＝0.②画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线． 设计意图：通过具体事例让学生结合几何画板来主动发现，更直接、更容易接受，再结合讲授法“说明双曲线上的点越来越接近于直线y ＝ba x”，采用两种方法：一是定量描述，直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于0；二是通过电脑演示，直观反映“渐近”的特征．探究4.离心率的几何意义：思考：渐近线、e 、双曲线张口有什么关系？活动成果：借助信息技术的演示，以增强学生对双曲线离心率是如何影响双曲线张口大小的认识：e 越大，开口就越大．理解新知学生独立完成焦点在y 轴上的双曲线的几何性质、完善表格：x≥a 或x≤－a x 轴、y 轴、原点对称(±a,0)运用新知1求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程． 解：把方程化为标准方程y 242－x232＝1.可得实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3; 半焦距c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5. 焦点坐标是(0，－5)，(0,5); 离心率：e ＝c a ＝54；渐近线方程：y ＝±43x.2求双曲线x 2－y 2＝a 2的实轴和虚轴长、离心率、渐近线方程． 解：把方程化为标准方程x 2a 2－y2a2＝1.可得实半轴长为a ，虚半轴长为a; 实轴长为2a ，虚轴长为2a. 半焦距c ＝a 2＋a 2＝2a ; 离心率：e ＝c a ＝2；渐近线方程：y ＝±x.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．变练演编提出问题：已知双曲线的焦点在y 轴上，焦距为16，____________，求双曲线的标准方程．(在横线上填上一个条件，并做出相应解答．)活动设计：学生分组献计献策，本组内就形成多个小题进行解答，允许互相交流成果．然后，每组选出代表进行解答，并要求各组出的题目不相同．设计意图：本题为开放性问题，意在增加问题的多样性，使知识得到充分的巩固，各组之间无形中形成良性竞争，增加学习新知的主动性，趣味性，锻炼学生的发散思维．达标检测课堂小结1．知识点x2 a2－y2b2＝1(a>b>0) －x2b2＝1(a>0，b>0)x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈x轴、y轴、原点对称2.渐近线是双曲线特有的性质，其发现与给出过程蕴含了重要的数学方法．3．渗透了类比、数形结合等重要的数学思想．作业布置课本习题2.3 A组第3、4题．补充练习基础练习1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y24＝1 2．双曲线与椭圆x 216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．x 2－y 2＝80 D ．y 2－x 2＝24 3．双曲线x 25－y24＝1的( )A ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±255xB ．实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为y ＝±55x C ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±25x D ．实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为y ＝±52x 4．曲线x 2－y 2＝－3的( )A ．顶点坐标是(±3，0)，虚轴端点坐标是(0，±3)B ．顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)C ．顶点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y ＝±xD ．虚轴端点坐标是(0，±3)，渐近线方程是x ＝±y 答案：1.B 2.D 3.A 4.B 拓展练习求以椭圆x 28＋y25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程．解：椭圆x 28＋y25＝1的焦点坐标为(±3，0)，长轴上的顶点为(±22，0),由题可知焦点在x 轴上，所以方程可设为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)．∵a＝3，c ＝22， ∴b 2＝8－3＝5.∴所求双曲线方程为x 23－y25＝1.点评：有些学生会考虑过多，认为椭圆长轴和短轴上的顶点都可以作为双曲线的焦点，却忽略了“以椭圆x 28＋y25＝1的焦点为顶点”这句话所隐含的内容，因为双曲线的顶点与焦点在一条直线上，所以这句话实质已经交代了焦点位置，不必再分类讨论了．设计说明本节为双曲线性质的第一节，内容在设计上以基础为主．从椭圆的简单几何性质类比过度，让学生学得更为轻松，且较容易体会到成就感，但在双曲线的渐近线这一性质的讲解中，我们要从特殊到一般，充分借助几何画板这一有利工具，让学生更充分、更直观地体会渐近线这一性质，让它在今后的解题、绘图上发挥更大的作用．备课资料备选例题：求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P ( 1, －3 ) 且离心率为2的双曲线标准方程．分析：此题仅是知道“对称轴为坐标轴”，所以在解答的过程中首先对双曲线“定位”．但从离心率马上可以发现，此双曲线为等轴双曲线，所以方程简单地设为x 2m －y 2m ＝1(m≠0)，再代入点P 的坐标进行计算，非常简单，且将两种标准方程合二为一． 解：∵c a ＝2，∴c＝2a.∴c 2＝2a 2.则b 2＝c 2－a 2＝2a 2－a 2＝a 2.∴双曲线方程可设为x 2m －y2m ＝1(m≠0)．又∵双曲线经过点P( 1, －3 )， ∴1m －9m ＝1，解得m ＝－8. ∴所求双曲线方程为y 28－x28＝1.点评：对于双曲线方程，我们一定要注意先“定位”再“定量”．(设计者：刘薇)第2课时教学目标 知识与技能1．能应用双曲线的几何性质求双曲线方程；2．应用双曲线知识解决生产中的实际问题. 过程与方法培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力，培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力．情感、态度与价值观激发学生学习新知，运用新知的热情；体会数学的魅力；从解题的过程体会成功感，培养良好的数学学习品质．重点难点教学重点：利用双曲线的性质求双曲线的标准方程． 教学难点：由渐近线求双曲线方程．教学过程引入新课 复习回顾(1)9y 2－16x 2＝144；(2) y 225－x2144＝－1.方程(1)的焦距为______；虚轴长为______；渐近线方程是________________；方程(2)的焦点坐标为__________；实半轴长为______；渐近线方程是________________．活动设计：学生独立完成．活动成果：10 6 y ＝±43x (±13,0) 12 y ＝±512x设计意图：由题带出相应的知识点，既可以复习相关知识，又可以增加学生的成就感．达到了检测的目的，节省了时间，提高了课堂效率．例题研讨，变式精析1双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m ．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．解：如图，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上下口的直径CC′，BB′都平行于x 轴，且|CC′|＝13³2, |BB′|＝25³2.设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，令点C 的坐标为(13，y)，则点B 的坐标为(25，y －55)．因为点B ，C 在双曲线上，所以由方程②得y ＝5b12(负值舍去)，代入方程①，得252122－5b 12－552b2＝1， 化简得19b 2＋275b －18 150＝0.③ 用计算器解方程③，得b≈25. 所以，所求双曲线方程为x 2144－y2625＝1.点评：此题既说明了双曲线的应用，同时又学习了如何根据条件确定双曲线标准方程中的a ，b ，从而得到双曲线的标准方程．2点M(x ，y)与定点F(5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的距离的比是常数54，求点M的轨迹．解：设d 是点M 到直线l ：x ＝165的距离，根据题意，点M 的轨迹就是集合P ＝{M||MF|d ＝54}，由此得x －5＋y 2|165－x|＝54.将上式两边平方，并化简，得9x 2－16y 2＝144， 即x 216－y29＝1. 所以，点M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线．变式：动点M(x ，y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和它到定直线l ：x ＝a2c 的距离的比是常数c a (ca>1)，求点M 的轨迹方程． 解：∵点M(x ，y)到定直线l ：x ＝a 2c 的距离d ＝|x －a2c |，|MF|＝x －c 2＋y 2，依题意|MF|d ＝c a ，∴x －c 2＋y 2|x －a 2c|＝ca.① 方程①两边平方化简整理得x 2a 2－y2c 2－a2＝1②令c 2－a 2＝b 2，方程②化为x 2a 2－y2b2＝1，这就是所求的轨迹方程．∴点M 的轨迹是实轴长为2a 、虚轴长为2b 的双曲线．点评：与课本2.2.2节例6对应，此题是通过一个具体的例题说明双曲线的另一种定义，通过变式得以升华推广，教学过程可以与椭圆的例6类比．3如图所示，过双曲线x 23－y26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，求|AB|.分析：求弦长问题有两种方法：法一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公式代入求弦长； 法二：为了简化计算，常设而不求，运用韦达定理来处理． 解：法一：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)， 与双曲线方程联立解得A 、B 的坐标分别为(－3，－23)，(95，－235)．由两点间的距离公式得|AB|＝165 3.法二：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)． 与双曲线方程联立消去y 得5x 2＋6x －27＝0. 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1) 、(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－65，x 1²x 2＝－275.由弦长公式得|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2x 1x 22－4x 1x 2＝1＋13－652－4－275＝1633. 提出问题：你能求出△AF 1B 的周长吗？ 解：|AF 1|＝－3＋32＋－232＝23， |BF 1|＝95＋32＋－2532＝1453，又|AB|＝1653， 所以△AF 1B 的周长是|AB|＋|AF 1|＋|BF 1|＝1653＋23＋1453＝8 3.变练演编1．8＜k ＜17，双曲线x 217－k ＋y28－k＝1的焦点坐标为__________．2．与双曲线y 216－x29＝1有相同渐近线，且经过点A(－3,23)的双曲线方程为______________．3．双曲线的离心率为52，且与椭圆x 29＋y24＝1有公共焦点，则双曲线方程为______________．答案：1.(±3,0) 2.x 294－y 24＝1 3.x 24－y 2＝1达标检测1．过双曲线x 29－y 216＝1的左焦点F 1作倾角为π4的直线与双曲线交于A 、B 两点，则|AB|＝__________.2．双曲线的两条渐近线方程为x±2y＝0，且截直线x －y －3＝0所得弦长为833，则该双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 24－y 2＝13．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64有公共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，双曲线的方程为____________．4．已知双曲线 x 2－y24＝1，过点P(1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的斜率为____________．答案：1.1927 2.D 3.x 236－y212＝1 4.±2课堂小结1．求双曲线方程要根据具体条件具体对待，确定焦点的位置很重要． 2．由例2及其变式可以简单给学生介绍第二定义．3．注意解决实际问题时条件的转化，建立好适当的数学模型． 作业布置 课本习题2.3 B 组第4题． 补充练习 基础练习1．过点P(2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 22－x 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.x 22－y24＝1 2．过双曲线x 2－y22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．双曲线x 2m 2＋12－y24－m2＝1的焦距是________________．4．双曲线x 2－y24＝1截直线y ＝x ＋1所得弦长是________________________．答案：1.A 2.C 3.8 4.83 2拓展练习当渐近线的方程为y ＝±b a x 时，双曲线的标准方程一定是：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)吗？如果不一定，举出一个反例．解析：不一定是．反例：双曲线x 22a 2－y 22b 2＝1的准线方程为y ＝±bax.点评：本题反例很多，可以让学生任意举出，然后分组讨论举出例子的共性，教师结合备选例题，归纳出共渐近线的双曲线系问题．设计说明本节主要还是解决课本上的例题，结合练习，重实际，重归纳，重提升，例题和练习的设计循序渐进注重提升．由于高考考纲对这部分的要求较低，对于直线与双曲线牵涉较少，只是课本上的例6涉及弦长．后续的习题课应以求双曲线方程及相应的几何性质，尤其是离心率为主．备课资料备选例题求与双曲线x 29－y216＝1有共同渐近线，且焦点在x 轴上，过点(－3,23)的双曲线方程．解：法一：因为焦点在x 轴上，所以所求双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)．又因为双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程为：y ＝±43x.所以b a ＝43，即b ＝43a.则所求双曲线方程为x 2a 2－y243a 2＝ 1.又因为双曲线过点(－3,23)，所以，9a 2－12169a 2＝1.解得a 2＝94，所以b 2＝4.即所求双曲线方程为x 294－y24＝1.法二：与双曲线x 29－y 216 ＝ 1有共同渐近线的方程可设为x 29－y216＝λ(λ≠0)．又因为双曲线过点(－3,23)， 所以99－1216＝λ，解得λ＝14.即所求双曲线方程为x 294－y24＝1.点评：两种方法相比较，明显法二要简单，这就需要先了解与x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程的设法为x 2a 2－y2b2＝λ(λ≠0)．形如x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的双曲线渐近线方程是x a ±yb ＝0；反之，若已知双曲线的渐近线方程是x a ±yb ＝0；则可设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．x 2a 2－y 2b 2＝1与x 2a 2－y2b 2＝λ具有相同的渐近线．(设计者：姜华)。

《双曲线及其标准方程》教学设计一、教材内容解析（一）课标要求：《双曲线及其标准方程》是人教A版普通高中课程选修2-1第二章的第三节内容课程标准对本节内容的要求是：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想（二）教材地位双曲线与科研、生产以及人类生活有着密切的关系，因此，研究它的几何特征及其性质有着极其现实的意义。

学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步巩固、深化和提高如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质以及进一步学习抛物线，解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础二、学习目标依据教材的地位与作用，以及新课改对教学目标的要求，确定本节课的教学目标为：1、理解双曲线的定义并能推导标准方程；2、通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；3、通过教师指导下的学生交流探索活动，让学生体会数学的理性和严谨，培养学生实事求是和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度三、重点难点教学重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程突出重点的手段：通过信息技术手段揭示出双曲线上的点所满足的条件，归纳得出双曲线的定义；对于双曲线的方程，可类比椭圆方程的推导得出方程并加以比较，加深认识教学难点：双曲线定义的得出和标准方程的建立突破难点的策略：始终以“类比”作为主线，利用计算机模拟作图，引导学生动手实验、观察、交流、归纳定义；回顾坐标法求椭圆方程的步骤，亲自体验建立双曲线标准方程的过程四、学情分析从知识方面来说，学生从必修“平面解析几何初步”到选修“圆锥曲线”，已经学习直线、圆和椭圆，较为系统地研究了他们的性质，对解析几何的基本思想方法有了一定的认识，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，并对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会从能力方面来说，作为高二年级的学生，其学习能力与理性思维都达到了一定的水平具备一定的计算、推理、知识迁移、归纳概括和分析问题、解决问题的能力等能力，并对数形结合、类比等思想方法有了一定的感悟五、教学策略本节课采用了“实验操作”、“启发探究”、“类比教学”的教学方式，重点突出以下两点：1、以类比思维作为教学的主线2、以自主探究作为学生的学习方式六、教学过程（一）问题探究、概念学习（高中数学人教A 版选修2-1第49页习题第7题及第62页习题第5题）问题：圆1F 的半径为定长r ，2F 是圆内一个定点，P 是圆上任意一点，线段2F P 垂直平分线l 和半径2F P 相交于点M ，当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹是什么？为什么？提出问题：如果定点2F 在圆外时，M 的轨迹又是怎样？探究结果：2F 在圆外时，通过计算机模拟M 的轨迹，发现得了两条新的曲线，当M 在新曲线的左支时，满足()211MF MF MP MF r -=-=常数，当M 在新曲线右支上时，满足()211MF MF MP MF r -=-=-常数引导同学们将两个等量关系变成21MF MF -=常数，此时我们把满足该定义的点的轨迹称之为双曲线，类比椭圆，212MF MF a -=，定点1F 、2F 为焦点，12F F 的距离称之为焦距，记为2c 进一步通过图象判断12||r F F <，即022a c <<趁热打铁，探究当22a c =时，点M 的轨迹是怎样的？当22a c >时，是否存在点的轨迹？当20a =时，动点的轨迹是什么？如果是212MF MF a -=（不含绝对值）时，点M 的轨迹是怎样的？【设计意图】通过教材上椭圆的习题，复习椭圆的定义，通过问题引导，激发学生的求知欲，也教会学生主动发现问题、探究问题的方法在此基础上引入双曲线定义，增加学生对知识的熟悉感向学生展示双曲线形成过程，让学生更深刻的理解这双曲线的定义及注意事项练习 已知两定点()15,0F -，()25,0F ,且动点P 满足128PF PF -=，请判断P 的轨迹变式1 128PF PF -=变式2 1210PF PF -=【设计意图】 学双曲线的定义之后，马上让学生应用，能加深学生的记忆和理解，通过两个变式，提醒学生要注意绝对值以及2a 与2c 的关系（二） 合作交流，导出方程1、类比：类比椭圆标准方程的建立过程（用屏幕显示图形），让学生思考最合适的建系位置（力求使其方程形式最简单）2、合作：师生合作共同推导双曲线的标准方程（学生推导，然后教师归纳）按下列六步骤进行：建系、设点、列式、代入、化简、检验从而得出了焦点在x 轴上的双曲线的标准方程双曲线标准方程：焦点在x 轴上22221(0,0)x ya b a b-=>>3、探究：在建立椭圆的标准方程时，选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程那么双曲线的标准方程还有哪些形式？焦点在y 轴上 ()222210,0y x a b a b-=>> 其中：222c a b =+【设计意图】这一过程在教师指导下由学生自主完成，使学生成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取通过双曲线标准方程的建立过程，训练学生的运算能力、推理论证能力、探究能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生严谨的学习态度（三） 对比分析，记忆知识 双曲线的标准方程对比焦点在x 轴上焦点在y 轴上22221x y a b -= 22221y x a b-= 222b c a =- 焦点看正负椭圆和双曲线的方程对比椭圆双曲线图像方程22221x y a b += 22221y x a b += 22221x y a b -= 22221y x a b -= 连接符号 号连接- 号连接焦点位置看分母的大小看系数的正负,,a b c 关系 222a b c =+，a 最大222c b a =+，c 最大【设计意图】通过双曲线焦点在不同轴的标准方程的对比，找出两种情况下双曲线的相同点和不同点通过椭圆和双曲线标准方程的对比，明确椭圆和双曲线的同与不同便于学生能更好的通过类比方法掌握所学知识（三）练习反馈，巩固提高例题：已知两定点()15,0F -，()25,0F ,且动点P 满足128PF PF -=，求动点P 的轨迹方程变式：已知双曲线两焦点12,F F 在坐标轴上且12||10F F =，双曲线上一点P 满足12||||8PF PF -= ，求双曲线的标准方程【设计意图】此题意在写方程利用刚才所学知识判断曲线的轨迹，在焦点明确的情况下直接写出方程即可，当焦点不确定时应分两种情况讨论练习2：说出下列双曲线方程所表示的焦点位置及,,a b c 的值（1）22149x y -= （2）22194x y -=（3）224936x y -= （4）224x y -=-【设计意图】此题意在识方程让学生了解双曲线方程的多种形式，能从中找出焦点位置、焦点坐标、及,,a b c拓展：方程22113x y m m+=+-表示双曲线（圆，椭圆），求实数m 的取值范围【设计意图】强调双曲线方程系数的范围，并用2个变式将双曲线，椭圆，圆的方程联系起来，让学生对这三者标准方程的区别有更深刻的认识 四 小结与回顾 诗歌结尾：解析研究双曲线，类比椭圆灵光显定义方程差相连，焦点位置正负辨勾股关系C最大，绝对对应图两边双曲应用处处有，努力学习开新篇【设计意图】用郎朗上口的诗句，总结本堂课的主要知识要点，思想方法及核心素养，引领学生体会数学与文学之美八、课后记_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________。

高二数学 第二章 第3节 双曲线 人教实验B 版（理）选修2－1【本讲教育信息】一、教学内容：选修2－1：双曲线二、教学目标：1、掌握双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲线的几何性质，了解双曲线的初步应用。

2、了解双曲线的参数方程，能根据方程讨论双曲线的性质，掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。

三、知识要点分析： （一）双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF 1|－|PF 2||＝2a （2a ＜|F 1F 2|）。

此定义中，“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|，不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

（二）双曲线的标准方程及几何性质1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的双曲线方程中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在y 轴上 标准方程22221(0,0)x y a b a b -=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 图形顶点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦距 )0(2||21>=c c F F 222b a c +=离心率 )1(>=e a ce （离心率越大，开口越大）准线c a x 2±=ca y 2±=渐近线 x ab y ±= x bay ±= 焦准距cb c a c p 22=-=2、判断椭圆方程中焦点位置的不同，是通过比较x 2，y 2系数的大小，而双曲线是看x 2，y 2的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”3、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。

高二数学双曲线的简单几何性质说课搞说课课题是人教A版选修2—1第二章2.3.1双曲线的简单几何性质（一），下面对本节课进行分析：一、教材分析1、教材的地位与作用本节课是学生在已掌握双曲线的定义和标准方程后，在此基础上，由标准方程研究其几何性质。

而根据曲线的方程，研究曲线的几何性质并正确作图，是解析几何的基本问题之一，也可以说是解析几何的目的。

因此，本节是非常重要的，它是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质，为学生进一步学习数学、物理、化学等打下良好基础。

2、教学目标高考大纲明确要求：学生要知道双曲线的简单几何性质，了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合思想。

根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了以下将要完成的教学目标。

知识与技能：1、知道双曲线的简单几何性质。

2﹑能够根据双曲线方程求出双曲线的顶点坐标、实、虚轴长，渐近线方程和离心率。

3、能够根据双曲线的性质得出相应的双曲线方程。

4、理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律。

过程与方法：培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，和逻辑推理能力，以及类比的学习方法。

情感、态度与价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念。

3、重点、难点依据教学经验使我认识到，学生对渐近线的接受、理解以及离心率对双曲线的影响有一定的困难。

因此，我把双曲线的离心率对双曲线的刻画，渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系作为本节课的难点。

根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线，离心率这两个性质作为本节课的重点。

二、教材处理1、范围、对称性、顶点的探究，让学生类比椭圆的性质得出双曲线的相关性质，并结合方程加以验证并说出与椭圆的不同。

其中，在顶点中应特别提醒虚轴与短轴不要混淆。

人教高二数学选修21第二章经典双曲线教案教学目的:1、掌握双曲线的定义，规范方程，几何性质，离心率，通径，最值。

2、熟练地运用待定系数法求规范方程，学会求最值的方法和焦点三角形的解法。

重点：双曲线的定义、几何图形和规范方程，以及复杂的几何性质。

难点：双曲线的规范方程，双曲线的渐进线。

【教学内容】1、引入：太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。

在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。

在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。

问这牛群是怎样组成的？ 〔阿基米德分牛效果〕2、双曲线的基本概念1.双曲线的定义：双曲线的定义在平面内，到两个定点21,F F 的距离之差的相对值等于常数)2,0(221F F a a a <>且的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点21,F F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.留意：1. 双曲线的定义中，常数a 2应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质〝两边之差小于第三边〞来了解； 2. 假定去掉定义中的〝相对值〞，那么仅能表示双曲线的一支；3. 假定常数a 满足约束条件：21212F F a PF PF ==-，那么动点轨迹是以21F F 、为端点的两条射线〔包括端点〕；4．假定常数a 满足约束条件：21212F F a PF PF >=-，那么动点轨迹不存在； 5．假定常数0=a ，那么动点轨迹为线段21F F 的垂直平分线。

2.双曲线的规范方程：1．当焦点在x 轴上时，双曲线的规范方程：)0,0(12222>>=-b a b y a x ，其中222b a c +=；2．当焦点在y 轴上时，双曲线的规范方程：)0,0(12222>>=-b a bx a y ，其中222b a c +=.留意： 1．只要当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴树立直角坐标系时,才干失掉双曲线的规范方程；2．在双曲线的两种规范方程中，都有222b ac +=；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.3.双曲线的复杂几何性质:〔1〕对称性：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

2.3.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1.掌握双曲线的几何性质，能利用几何性质解决实际问题；2.掌握直线与双曲线的位置关系的判断.（二）学习重点1.双曲线的几何性质；2.双曲线各元素之间的相互依存关系.（三）学习难点1.双曲线的离心率、渐近线问题；2.直线与双曲线位置关系.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第59页至第61页.（2）想一想：直线与双曲线的问题关系有哪些？如何判定？（3）写一写：与22221(0,0)x y a b a b-=>>共焦点的双曲线方程：22221()()x y a b λλ-=+-. 与22221(0,0)x y a b a b-=>>共渐近线的双曲线方程：2222x y a b λλ-=≠（0）. 2.预习自测1.下面说法正确的是（ ）A.若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切.B.过点(1,0)A 作直线l 与双曲线221x y -=只有一个公共点，这样的直线可作2条.C.直线:l y x =与双曲线22:12y C x -=有两个公共点.D.过双曲线外一点可以作双曲线的两条不同切线.答案：C解析：【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】直线与双曲线交于一点，两者可能是相切，也可能是相交，故A 错误；过(10)A ，且与渐近线平行的直线也与双曲线221x y -=只有一个交点，故B 错误；过原点不能作任何直线与双曲线相切，故D 错误.点拨：直线与双曲线问题需注意考虑特殊情况，比如与渐近线平行的直线等等.（二）课堂设计1.知识回顾复习双曲线的几何性质：（1）范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥.这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；（2）对称性：由以-x 代x ，以-y 代y 和-x 代x ，且以-y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；（3）顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；（4）渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线； （5）离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（e >1）. 【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.2.新知讲解探究一：方程与几何性质●活动① 师生互动，深入理解问题1：椭圆22464x y +=的焦点是？问题2：双曲线的一条渐近线方程是0x =，则可设双曲线方程为？ 问题3：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是。

2. 3 双曲线课时分配:1.第一课双曲线及其标准方程1个课时2.第二课或双曲线的简单几何性质1个课时2. 3.1 双曲线及其标准方程【学情分析】再此学习之前学生已经学习了椭圆，对学习曲线方程已经有了一定基础和方法，运用类比的学习方法得到双曲线的定义及标准方程不太困难。

本节课教学对象是普通班学生，根据班级的整体水平以及对新课标的解读，双曲线标准方程的推导过程不在课堂完成，而是设计为课前以小组为单位在导学案中完成。

【教学目标】1、类比椭圆，用规范的术语说出双曲线定义，并推导出标准方程；2、记忆方程形式，识别焦点所在的轴，区分椭圆与双曲线；3、利用所给条件写出双曲线的标准方程。

4、在交流探索活动中，体验类比及数形结合思想方法的运用，养成用联系的观点认识问题的习惯。

【教学重难点】双曲线的定义及其标准方程，对双曲线定义中“绝对值”的理解【学前准备】：多媒体，预习例题（3）定义在此基础时，无轨迹．2．双曲线的标准方程现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导．（1）建系设点取过焦点1F 、2F 的直线为x 轴，线段F F 1的垂直平分线为y 轴建立在直角坐标系（如图）．设()y x M ，为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为()02>c c ，则()01，c F -、()02，c F ，又设点M 与1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数()c a a 222<． （2）点的焦合由定义可知，双曲线上点的集合是{a MF MF M P 221=-=2.3．2双曲线的简单几何性质【教学目标】1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质。

2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义。

3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题。

【教学重难点】教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程。