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第三讲 定点、定值、存在性问题本部分内容在备考时应注意以下几个方面： 1．掌握处理定点、定值的方法． 2．掌握解答存在性问题的处理方法．3．掌握函数与方程思想在处理定点、定值问题中的应用． 预测2019年命题热点为： (1)圆锥曲线中的定值问题． (2)圆锥曲线中的存在性问题．Z 知识整合hi shi zheng he1．定值、定点问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．2．圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．3．圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系．该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系．(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解．4．探究性问题：有关圆锥曲线中的探究性问题，一般假设满足条件的量存在，以此为基础进行推理．,Y易错警示i cuo jing shi1．求轨迹方程时要注意它的纯粹性与完备性．2．使用函数方法求解最值和范围时，需选择合适的变量．解题时易忽略变量的范围，导致结果的错误．3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，反之，直线与双曲线相切时，只有一个交点．4．在解决直线与圆锥曲线问题时，若需设直线方程，易忽略直线斜率不存在的情况.1．(文)(2018·北京卷，20)已知椭圆M ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． (1)求椭圆M 的方程． (2)若k ＝1，求|AB |的最大值．(3)设P (－2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，14共线，求k .[解析] (1)由题意得2c ＝22，所以c ＝2，又e ＝c a＝63，所以a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆M 的标准方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x23＋y 2＝1，消去y 可得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，则Δ＝36m 2－4×4(3m 2－3)＝48－12m 2>0，即m 2<4， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝6×4－m 22，易得当m 2＝0时，|AB |max ＝6，故|AB |的最大值为 6.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则x 21＋3y 21＝3 ①，x 22＋3y 22＝3 ②， 又P (－2,0)，所以可设k 1＝k PA ＝y 1x 1＋2，直线PA 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x23＋y 2＝1，消去y 可得(1＋3k 21)x 2＋12k 21x ＋12k 21－3＝0，则x 1＋x 3＝－12k 211＋3k 21，即x 3＝－12k 211＋3k 21－x 1，又k 1＝y 1x 1＋2，代入①式可得x 3＝－7x 1－124x 1＋7，所以y 3＝y 14x 1＋7， 所以C ⎝⎛⎭⎪⎫－7x 1－124x 1＋7，y 14x 1＋7， 同理可得D ⎝⎛⎭⎪⎫－7x 2－124x 2＋7，y 24x 2＋7. 故QC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋74，y 3－14，QD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋74，y 4－14，因为Q ，C ，D 三点共线，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋74⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4－14－⎝⎛⎭⎪⎫x 4＋74⎝ ⎛⎭⎪⎫y 3－14＝0，将点C ，D 的坐标代入化简可得y 1－y 2x 1－x 2＝1，即k ＝1.(理)(2018·北京卷，19)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)．过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围．(2)设O 为原点，QM ―→＝λQO ―→，QN ―→＝μQO ―→，求证：1λ＋1μ为定值．[解析] 将点P 代入C 的方程得4＝2p ，即p ＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ，(1)方法一(代数法)：显然l 斜率存在，设为k ，则l ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，(*)由已知，方程(*)有两个不同的根，且1不是方程的根(因为PA ，PB 都与y 轴有交点)， 所以Δ＝－16k ＋16>0且k 2＋(2k －4)＋1≠0， 即k <1，且k ≠－3，且k ≠1， 所以k <1，且k ≠－3，即直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,1)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线PA 方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)，令x ＝0得y ＝－y 1－2x 1－1＋2，即点M 为(0，－y 1－2x 1－1＋2)，所以QM ―→＝(0，－y 1－2x 1－1＋1)，又QO ―→＝(0，－1)，QM ―→＝λQO ―→，所以(0，－y 1－2x 1－1＋1)＝λ(0，－1)，所以λ＝y 1－2x 1－1－1＝y 1－x 1－1x 1－1，1λ＝x 1－1y 1－x 1－1， 又点A (x 1，y 1)在直线l ：y ＝kx ＋1上，所以1λ＝x 1－1kx 1－x 1＝x 1－1k －1x 1＝1k －1－1k －1x 1，同理1μ＝1k －1－1k －1x 2， 由(1)中方程(*)及根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2，所以1λ＋1μ＝1k －1－1k －1x 1＋1k －1－1k －1x 2＝2k －1－1k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k －1－1k －1·x 1＋x 2x 1x 2＝2k －1－1k －1·－2k ＋41＝2k －2k －1＝2，即1λ＋1μ为定值2. 2．(文)(2018·天津卷，19)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．[解析] (I)设椭圆的焦距为2c ，由已知得c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .又|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(II)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |， 从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4.由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意．所以，k 的值为－12.(理)(2018·天津卷，19)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝62.(Ⅰ)求椭圆的方程．(Ⅱ)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值． [解析] (Ⅰ)设椭圆的焦距为2c ，由已知得c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(Ⅱ)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB ，而∠OAB ＝π4，故|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y24＝1，消去x ，可得y 1＝6k 9k 2＋4.易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2kk ＋1.由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128.所以，k 的值为12或1128.3．(2018·全国卷Ⅲ，20)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M ()1，m()m >0.(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP ―→＋FA ―→＋FB ―→＝0.证明：||FA ―→ ，||FP ―→ ，||FB ―→ 成等差数列，并求该数列的公差．[解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得0<m <32，故k <－12.(2)由题意得F (1,0)，设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP ―→|＝32.于是|FA ―→|＝x 1－12＋y 21＝x 1－12＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB ―→|＝2－x 22.所以|FA ―→|＋|FB ―→|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP ―→|＝|FA ―→|＋|FB ―→|，即|FA ―→|，|FP ―→|，|FB ―→|成等差数列． 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB ―→|－|FA ―→||＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128. 4．(2018·江苏卷，18)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫3，12，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程．(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程．[解析] (1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．又点⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.因为圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为x 2＋y 2＝3.(2)①设直线l 与圆O 相切于P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则x 20＋y 20＝3， 所以直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y 0，消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0.因为x 0，y 0>0，所以x 0＝2，y 0＝1.因此，点P 的坐标为(2，1)．②因为三角形OAB 的面积为267，所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1,2＝24x 0±48y 20x 20－224x 20＋y 20， 所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20y 20·48y 20x 20－24x 20＋y 202. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16x 20－2x 20＋12＝3249， 即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x20＝52(x20＝20舍去)，则y20＝12，因此P的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫102，22.综上，直线l的方程为y＝－5x＋3 2.命题方向1圆锥曲线中的定点、定值问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程．(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解析] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为(t ，4－t 22)，(t ，－4－t 22)，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t－4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)． 『规律总结』1．过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．2．求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．G 跟踪训练en zong xun lian已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为2，点(1，32)在C 上． (1)求C 的方程；(2)过原点且不与坐标轴重合的直线l 与C 有两个交点A ，B ，点A 在x 轴上的射影为M ，线段AM 的中点为N ，直线BN 交C 于点P ，证明：直线AB 的斜率与直线AP 的斜率乘积为定值．[解析] (1)由题意知，C 的焦点坐标为(±1,0)， 2a ＝22＋322＋0＋322＝52＋32＝4，b ＝3，所以，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，则B (－x 1，－y 1)，N (x 1，y 12)，由点A ，P 在椭圆C 上得，⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，两式相减得，y 21－y 22x 21－x 22＝－34，k BN ＝32y 12x 1＝34·y 1x 1， k BP ＝y 1＋y 2x 1＋x 2.因为B ，N ，P 三点共线，所以k BN ＝k BP ，即y 1x 1＝43·y 1＋y 2x 1＋x 2. 所以k AB ·k AP ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝43·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝43·y 21－y 22x 21－x 22＝－1.命题方向2 圆锥曲线中的最值、范围问题例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率． (2)求椭圆的方程．(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．[解析] (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2， 可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.所以直线FM 的斜率为33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33()x ＋c ，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ，233c .由||FM ＝c ＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233c －02＝433， 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为()x ，y ，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t ()x ＋1()x ≠－1，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t x ＋1，x 23＋y22＝1， 消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6. 又由已知，得t ＝6－2x 23x ＋12＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0，因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，233.②当x ∈()－1，0时，有y ＝t (x ＋1)＞0，因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，233.『规律总结』1．与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法(1)数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． (2)构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．2．解决圆锥曲线中范围问题的方法一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．G 跟踪训练en zong xun lian如图，已知抛物线x 2＝y ，点A (－12，14)，B (32，94)，抛物线上的点P (x ，y )(－12<x <32)．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．[解析] (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12， 因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32k 2＋1.因为|PA |＝1＋k 2(x ＋12)＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －1k ＋12k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3.因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间(－1，12)上单调递增，(12，1)上单调递减．因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.命题方向3 存在性问题例3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .(Ⅰ)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(Ⅱ)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P . 证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值．[解析] (Ⅰ)由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3， 此时方程①的解为x ＝2， 所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2,1)．(Ⅱ)由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m 3，y ＝1＋2m3.所以P 点的坐标为(2－2m 3，1＋2m 3)，|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0， 解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|PA |＝2－2m 3－x 12＋1＋2m 3－y 12＝52|2－2m 3－x 1|，同理|PB |＝52|2－2m 3－x 2|.所以|PA |·|PB |＝54|(2－2m 3－x 1)(2－2m3－x 2)|＝54|(2－2m 3)2－(2－2m 3)(x 1＋x 2)＋x 1x 2| ＝54|(2－2m 3)2－(2－2m 3)(－4m 3)＋4m 2－123| ＝109m 2.故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |.『规律总结』存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．G 跟踪训练en zong xun lian已知椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过椭圆C 左右两个焦点，A ，B 是椭圆C 的长轴端点．(1)求圆O 的方程和椭圆C 的离心率e .(2)设P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ，Q 位于y 轴两侧)，且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ，试判断MQ 与NQ 所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由．[解析] (1)由椭圆方程可得a ＝2，又以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过椭圆C 左右两个焦点，可得b ＝c 且b 2＋c 2＝a 2，解得b ＝c ＝2，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，椭圆C 的离心率e ＝ca ＝22.(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，Q (x Q ，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 202＝1，x 2Q ＋y 20＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝4－2y 20，x 2Q ＝2－y 20，又A (－2,0)，B (2,0)，由AP ：y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，得M (0，2y 0x 0＋2)．由BP ：y ＝y 0x 0－2(x －2)，得N (0，－2y 0x 0－2)． 所以QM →＝(－x Q ，2y 0x 0＋2－y 0)＝(－x Q ，－x 0y 0x 0＋2)，QN →＝(－x Q ，－2y 0x 0－2－y 0)＝(－x Q ，－x 0y 0x 0－2)，所以QM →·QN →＝x 2Q ＋x 20y 20x 20－4＝2－y 20＋4－2y 20y 20－2y 22＝0，所以QM ⊥QN ，即MQ 与NQ 所在的直线互相垂直．A 组1．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( A )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线[解析] 设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y＝5，所以点C 的轨迹为直线．故选A ． 2．过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( B )A ．10B ．13C ．16D ．19[解析] 由题意可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM |2－|PN |2＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13.故选B ．3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，则△PF 1F 2面积的最大值是( B )A ．1B ．43C ．53D ．2[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 设∠F 1PF 2＝θ，∴cos θ＝16a 2＋4a 2－42×4a ×2a ＝5a 2－14a 2，∴S 2△PF1F 2＝(12×4a ×2a ×sin θ)2＝16a 4(1－25a 4－10a 2＋116a 4)＝169－9(a 2－59)2≤169，当且仅当a 2＝59时，等号成立，故S △PF 1F 2的最大值是43.故选B ．4．已知双曲线M 的焦点F 1，F 2在x 轴上，直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且PF 1→·PF 2→＝0，如果抛物线y 2＝16x 的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么|PF 1→|·|PF 2→|＝( B )A ．21B ．14C ．7D ．0[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线，∴ba ＝73，① 又抛物线的准线为x ＝－4，∴c ＝4② 又a 2＋b 2＝c 2.③ ∴由①②③得a ＝3.设点P 为双曲线右支上一点， ∴由双曲线定义得|||PF 1|－|PF 2|＝6④ 又PF 1→·PF 2→＝0， ∴PF 1→⊥PF 2→，∴在Rt △PF 1F 2中|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝82⑤ 联立④⑤，解得|PF 1→|·|PF 2→|＝14.5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 的值为( D )A ．13B ．23 C ．23D ．223[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0， ∴|FA |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，∴x 1＋2＝2x 2＋4， ∴x 1＝2x 2＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＝k x ＋2，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，∴x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝8－4k 2k 2＝8k2－4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 2＋2x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0，∴x 2＝1，∴x 1＝4，∴8k 2－4＝5，∴k 2＝89，k ＝223. 6．已知斜率为12的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于位于x 轴上方的不同两点A ，B ，记直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2的取值范围是(2，＋∞).[解析] 设直线l ：x ＝2y ＋t ，联立抛物线方程消去x 得y 2＝2p (2y ＋t )⇒y 2－4py －2pt ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝16p 2＋8pt >0⇒t >－2p ，y 1＋y 2＝4p ，y 1y 2＝－2pt >0⇒t <0，即－2p <t <0.x 1x 2＝(2y 1＋t )(2y 2＋t )＝4y 1y 2＋2t (y 1＋y 2)＋t 2＝4(－2pt )＋2t ·4p ＋t 2＝t 2， k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝2y 2＋t y 1＋2y 1＋t y 2x 1x 2＝t y 1＋y 2＋4y 1y 2x 1x 2＝4pt －8ptt 2＝－4pt.－2p <t <0，－4pt>2，即k 1＋k 2的取值范围是(2，＋∞)．7．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为x ＝－2.[解析] 将双曲线方程化为标准方程得x 2a2－y 23a 2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ⇒x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ，又易知F 2为抛物线的焦点，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.8．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，M 为抛物线C 的准线与x 轴的交点，若tan ∠AMB ＝22，则|AB |＝8.[解析] 依题意作出图象如图所示，设l ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1得，y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝y 214·y 224＝1，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2.∵tan ∠AMB ＝tan(∠AMF ＋∠BMF )， ∴y 1x 1＋1＋－y 2x 2＋11－y 1x 1＋1·－y 2x 2＋1＝22，y 1my 2＋2－y 2my 1＋2x 1＋1x 2＋1＋y 1y 2＝22，y 1－y 2＝42m 2，∴4m 2＋1＝42m 2，m 2＝1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝4m 2＋4＝8.9．(2018·抚州一模)已知动圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0外切，与圆x 2＋y 2－2x －24＝0内切．(1)试求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)过定点P (0,2)且斜率为k (k ≠0)的直线l 与(1)中轨迹交于不同的两点M ，N ，试判断在x 轴上是否存在点A (m,0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由x 2＋y 2＋2x ＝0得(x ＋1)2＋y 2＝1，由x 2＋y 2－2x －24＝0得(x －1)2＋y 2＝25，设动圆C 的半径为R ，两圆的圆心分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则|CF 1|＝R ＋1，|CF 2|＝5－R ，所以|CF 1|＋|CF 2|＝6，根据椭圆的定义可知，点C 的轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，所以c ＝1，a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以动圆圆心C 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1.(2)存在．直线l 的方程为y ＝kx ＋2，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为E (x 0，y 0)．假设存在点A (m,0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AE ⊥MN ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 29＋y28＝1，得(8＋9k 2)x 2＋36kx －36＝0，x 1＋x 2＝－36k 9k 2＋8，所以x 0＝－18k9k 2＋8，y 0＝kx 0＋2＝169k 2＋8， 因为AE ⊥MN ，所以k AE ＝－1k，即169k 2＋8－0－18k9k 2＋8－m ＝－1k，所以m ＝－2k9k 2＋8＝－29k ＋8k，当k >0时，9k ＋8k ≥29×8＝122， 所以－212≤m <0； 当k <0时，9k ＋8k ≤－122， 所以0<m ≤212. 因此，存在点A (m,0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，且实数m 的取值范围为[－212，0)∪(0，212]． B 组1．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.[解析] (Ⅰ)由题意知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以，椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (Ⅱ)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k k －11＋2k 2，x 1x 2＝2k k －21＋2k 2. 从而直线AP 与AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2 ＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2 ＝2k ＋(2－k )×x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )×4k k －12k k －2＝2k －2(k －1)＝2.2．设点P 是曲线C ：x 2＝2py (p >0)上的动点，点P 到点(0,1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为54. (1)求曲线C 的方程；(2)若点P 的横坐标为1，过P 作斜率为k (k ≠0)的直线交C 于点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意知1＋p 2＝54，解得p ＝12. 所以曲线C 的方程为x 2＝y .(2)由题意直线PQ 的方程为：y ＝k (x －1)＋1，则点M (1－1k，0)． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1＋1y ＝x2， 消去y 得x 2－kx ＋k －1＝0，得Q (k －1，(k －1)2)． 所以得直线QN 的方程为y －(k －1)2＝－1k (x －k ＋1)．代入曲线方程y ＝x 2中，得 x 2＋1k x －1＋1k－(1－k )2＝0. 解得N (1－1k －k ，(1－k －1k)2)． 所以直线MN 的斜率k MN ＝1－k －1k 21－1k －k －1－1k＝－1－k －1k 2k .过点N 的切线的斜率k ′＝2(1－k －1k)． 由题意有－1－k －1k 2k ＝2(1－k －1k)． 解得k ＝－1±52. 故存在实数k ＝－1±52使命题成立．。
高考数学解析几何范围最值、定点定值问题难题好题一、范围最值问题：1、已知平面内一动点P 到点F(1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． (1)求动点P 的轨迹C 的方程．(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线21l l 、，设l 1与轨迹C 交于A 、B 两点，l 2 与轨迹C 交于D 、E 两点，求||||||||FD FC FB FA ⋅+⋅的最小值．2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线x y 162=的焦点P 为其一个焦点，以双曲线191622=-y x 的焦点Q 为顶点。
(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点)0,1(),0,1(B A -，且C ，D 分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M 是线段CD 上的动点，求BM AM ⋅的取值范围。
解：(1)抛物线x y 162=的焦点P 为(4，0)，双曲线191622=-y x 的焦点Q 为(5，0) ∴可设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，由已知有a>b>0，且a=5，c=4 ……3分916252=-=∴b ，∴椭圆的标准方程为192522=+y x …………………5分 (2)设),(00y x M ，线段CD 方程为135=+yx ，即353+-=x y )50(≤≤x ……7分点M 是线段CD 上，∴35300+-=x y )50(0≤≤x),1(00y x AM +=，),1(00y x BM -=，12020-+=⋅∴y x AM ，………10分将35300+-=x y )50(0≤≤x 代入得BM ⋅1)353(2020-+-+=x x BM AM ⋅⇒85182534020+-=x x 34191)3445(253420+-=x ........... 12分500≤≤x ，BM AM ⋅∴的最大值为24，BM AM ⋅的最小值为34191。
BM AM ⋅∴的取值范围是]24,34191[。
{{定值与最值问题}}
1.定值问题
解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决。
证明过程可总结为“标量-函数-定值”，具体操作程序如下：
（1）选择适当的量为变量
（2）把要证明为定值的量表示成上述变量的函数
（3）把得到的函数解析化简，消去变量得到定值
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手、求出定值，再证明这个值与变量无关。
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。
2.求最值问题常见的两种方法：
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图像性质来解决，这是几何法。
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值。
求函数的最值常见的方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单调法、三角换元法等。
3.求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视：
（1）重视定义在解题中的作用
（2）重视平面几何只是在解题中的作用
（3）重视根与系数的关系在解题中的作用
（4）重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用。
圆锥曲线中的定值与最值问题一.圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征．解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．例1：过抛物线m ：2y ax =（a ＞0）的焦点F 作直线l 交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ，则11p q --+的值必等于（ ）． A.2a B.12aC.4aD.4a解法1：（特殊值法）令直线l 与x 轴垂直，则有l ：14y a=12p q a ⇒==，所以有114p q a --+=解法2：（参数法）如图1，设11(,)P x y ，22(,)Q x y 且PM ，QN 分别垂直于准线于,M N ．114p PM y a ==+，214q QN y a ==+抛物线2y ax =（a ＞0）的焦点1(0,)4F a，准线14y a =-． ∴ l ：14y kx a =+又由m l ⋂，消去x 得222168(12)10a y a k y -++=∴212122121,216k y y y y a a ++==， ∴221212221111,()4164k k p q pq y y y y a a a a +++==+++=∴114p q a --+=． 例2：过抛物线22y px =（p ＞0）上一定点000(,)(P x y y ＞0），作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB 的斜率为非零常数．【解析】设直线PA 的斜率为PA K ，直线PB 的斜率为PB K ．由2112y px = 2002y px =相减得，101010()()2()y y y y p x x -+=- 故1010102PAy y p K x x y y -==-+ 10()x x ≠同理可得，2020202PB y y p K x x y y -==-+ 20()x x ≠由,PA PB 倾斜角互补知：PA PB K K =-∴102022p p y y y y =-++∴ 1202y y y +=-由2222y px = 2112y px =相减得，212121()()2()y y y y p x x -+=-∴ 21211200222AB y y p p p K x x y y y y -====--+-∴直线AB 的斜率为非零常数． 例3：已知定点0,0()M x y 在抛物线m ：22y px =（p ＞0）上，动点,A B m ∈且0=•MB MA ．求证：弦AB 必过一定点．【解析】设AB 所在直线方程为：x my n =+．与抛物线方程22y px =联立，消去x 得2220y pmy pn --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y 则122y y pm +=① 122y y pn =-②由已知0=•MB MA 得，1MA MB K K =-．即102010201y y y y x x x x --=---g ③∵221010101011()()()22x x y y y y y y p p -=-=-+ 222020202011()()()22x x y y y y y y p p-=-=-+∴③式可化为1020221p py y y y =-++g ，即221201204[()]p y y y y y y =-+++．将①②代入得，002n p my x =++．直线AB 方程化为：00002()2x my p x my m y y x p =+++=+++．∴直线AB 恒过点00(2,)x p y +-．【例4】(2012·湖南)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．[审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解，或者转化为根据抛物线的定义求解均可；(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系，其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积，最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证．(1)解 法一 设M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝x －52＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以x －52＋y 2＝x ＋5.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .法二 由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .(2)证明 当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.①设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04.②由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x 得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以y 1y 2＝20y 0＋4k 1k 1.④同理可得y 3y 4＝20y 0＋4k 2k 2.⑤于是由②，④，⑤三式得y 1y 2y 3y 4＝400y 0＋4k 1y 0＋4k 2k 1k 2＝400[y 20＋4k 1＋k 2y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝400y 20－y 20＋16k 1k 2k 1k 2＝6 400.所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400. 【例5】已知椭圆C 的离心率3e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。
第2课时 定点、定值、范围、最值问题一、选择题1.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.[－2，2] C.[－1，1]D.[－4，4]解析 Q (－2，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1. 答案 C2.(2017·石家庄模拟)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.5解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125，故选B. 答案 B3.已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( ) A.2B.2 2C.8D.2 3解析 根据已知条件得c ＝16－m 2，则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x216＋y 2m 2＝1(m ＞0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2. 答案 B4.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[3，＋∞)B.(3，＋∞)C.(1，3]D.(1，3)解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y ＝±ba x ，与抛物线方程联立消去y 得x 2±b a x ＋2＝0.∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝b 2a 2－8≥0，求得b 2≥8a 2，∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝ca ≥3. 答案 A5.(2016·丽水一模)斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A.2B.455C.4105D.8105解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4（t 2－1）5＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 答案 C 二、填空题6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________. 解析 由条件知双曲线的焦点为(4，0)，所以⎩⎨⎧a 2＋b 2＝16，b a ＝3，解得a ＝2，b ＝23，故双曲线方程为x 24－y 212＝1. 答案 x 24－y 212＝17.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________. 解析 ∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3. 答案38.(2017·平顶山模拟)若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b 2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝1＋b 2≤4，∵e ＞1，∴1＜e ≤2. 答案 (1，2] 三、解答题9.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b ). 又点P 的坐标为(0，1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2.解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1. (2)当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1， A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 所以，x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x2＝－22k 2＋1.从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝（－2λ－4）k 2＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2. 所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3. 此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝ －2－1＝－3，故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.10.(2016·浙江卷)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1).(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0.故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k 2，因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a 得，所求离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，22.11.(2016·湖南师大附中月考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0＞1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，62B.(2，＋∞)C.(1，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞ 解析 不妨联立y ＝b a x 与y 2＝x 的方程，消去y 得b 2a 2x 2＝x ，由x 0＞1知b 2a 2＜1，即c 2－a 2a 2＜1，故e 2＜2，又e ＞1，所以1＜e ＜2，故选C. 答案 C12.(2017·河南省八市质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若△AOB 的面积为3，则抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－2B.x ＝2C.x ＝1D.x ＝－1解析 因为e ＝ca ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，又抛物线的准线方程为x ＝－p2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，在△AOB 中，|AB |＝3p ，点O 到AB 的距离为p 2，所以12·3p ·p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的准线方程为x ＝－1，故选D. 答案 D13.(2017·绵阳诊断)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为________.解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1，0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP→＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254，∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12，故最小值为6. 答案 614.(2017·衡水中学高三联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标； (3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值.解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，|4b ＋6|5＝a ，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，即C ：x 24＋y 2＝1.(2)由题意得直线l 1，l 2的斜率存在且不为0. ∵A (－2，0)，设l 1：x ＝my －2，l 2：x ＝－1m y －2， 由⎩⎨⎧x ＝my －2，x 2＋4y 2－4＝0，得(m 2＋4)y 2－4my ＝0， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－8m 2＋4，4m m 2＋4. 同理，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8m24m 2＋1，－4m 4m 2＋1. ①m ≠±1时，k MN ＝5m4（m 2－1），l MN ：y ＝5m 4（m 2－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65.此时过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. ②m ＝±1时，l MN ：x ＝－65，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.∴l MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.(3)由(2)知S △AMN ＝12×45|y M －y N |＝25⎪⎪⎪⎪⎪⎪4mm 2＋4＋4m 4m 2＋1＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 3＋m 4m 4＋17m 2＋4 ＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m 4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m 2＋9＝84⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ＋9⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m .令t ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号，∴S △AMN ≤1625，且当m ＝±1时取等号. ∴(S △AMN )max ＝1625.。
