【易错题】高中三年级数学下期末第一次模拟试题(附答案)(6)

【易错题】高中三年级数学下期末一模试卷(及答案)一、选择题1．若43i z =+，则zz=（ ）A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 2．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ）A ．110B ．310C ．35 D ．254．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{1,3,5}5．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示,已知4B C ''=,3AC ''=,//'''B C y 轴,则ABC V 中AB 边上的中线的长度为( )A 73B 73C ．5D ．527．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒> B ．22a b a b >⇒> C ．33a b a b >⇒>D ．22a b a b >⇒>8．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)9．已知ABC V 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=uu u r uu u r，()()1AQ AC λλ=-∈R u u u r u u u r ，若32BQ CP ⋅=-uu u r uu r ，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．322± 10．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 12．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4B ．16C ．8D ．32二、填空题13．复数()1i i +的实部为 ．14．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC V 的面积为______．15．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45︒，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30°，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则ACB =∠______________.16．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C 是锐角，且27a =，1cos 3A =，则ABC △的面积为______． 18．已知1OA =u u u r ，3OB =u u u r ，0OA OB •=u u u r u u u r，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=o ，设OC mOA nOB=+u u u r u u u r u u u r ，(,)m n R ∈，则mn=__________． 19．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 20．设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 三、解答题21．已知直线352:{132x tl y t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点的直角坐标为3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB ⋅的值.22．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．23．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ; （Ⅱ）若AB 6=APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积． 24．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()0,5，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在[],1x t t ∈+上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式.25．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1- （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 26．已知函数2()sin()sin 32f x x x x π=-.(1)求()f x 的最小正周期和最大值； (2)求()f x 在2[,]63ππ上的单调区间【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【详解】 由题意可得：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.2．A解析：A 【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系3．C解析：C 【解析】 【分析】设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525⨯=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：543213()255P x y ++++≤==，故本题选C .【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.4．B解析：B 【解析】 【分析】先求出A B ⋃，阴影区域表示的集合为()U A B ⋃ð，由此能求出结果． 【详解】Q 全集{1,U =3，5，7}，集合{}1,3A =，{}3,5B =，{1,A B ∴⋃=3，5}，∴如图所示阴影区域表示的集合为：(){}7U A B ⋃=ð．故选B ． 【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．5．A解析：A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可. 【详解】由斜二测画法规则知AC BC ⊥,即ABC V 直角三角形,其中3AC =,8BC =,所以AB =所以AB. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了斜二测画法前后的图形关系,属于基础题型.7．C解析：C 【解析】 【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例． 【详解】选项A ，当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2＞bc 2，故错误； 选项B ，当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2＜b 2，故错误； 选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2＞b 2，但却有a ＜b ，故错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得2ba=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】2222222215c a b b e a a a+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：22322nm mn n pm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 10．B解析：B 【解析】 【分析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．B解析：B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.解析：B 【解析】等比数列的性质可知226416a a a ⋅==,故选B .二、填空题13．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.14．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定【解析】 【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】2b =Q ，3c =，2C B =，∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23sin sin B C=，可得：233sin sin22sin cos B B B B==，∴可得：3cos 4B =，可得：sin B ==，∴可得：sin sin22sin cos 8C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=，()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=+=，11sin 2322S bc A ∴==⨯⨯=．．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.15．【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据 解析：30°【解析】 【分析】作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解cos ACB ∠即可. 【详解】如图所示,在Rt ACD V 中,∵10,45AC m DAC =∠=︒,∴10DC m = 在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=︒,∴103BC m =. 在ABC V 中,)22210103103cos 2210103ACB +-∠==⨯⨯,∴30ACB ∠=︒.故答案为：30° 【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.16．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞B 在打篮球∵③C 在散步是A 在跳舞的充分条件∴C 在散步则D 在画画故答案为画画解析：画画 【解析】以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞，B 在打篮球，∵③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件，∴C 在散步，则D 在画画，故答案为画画17．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理 解析：2【解析】【分析】 由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C C B=，故sin2sin2B C =，于是得到B C =或2B C π+=，再根据1cos 3A =可得BC =，从而b c =，然后根据余弦定理可求出b c ==【详解】 由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22sin cos 2cos sin cos 2cos B C C C B B=， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠， ∴sin cos sin cos B C C B=， ∴sin2sin2B C =，又,B C 为三角形的内角，∴B C =或2B C π+=， 又1cos 3A =， ∴BC =，于是b c =． 由余弦定理得2222cos ,a b c b A =+-即(222223b b b =+-，解得b =，故c =∴11sin 223ABC S bc A ∆===故答案为．【点睛】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．18．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以则解析：3【解析】 因为30AOC ∠=o，所以cos cos30OC OA AOC OC OA⋅∠===⋅o u u u r u u u r u u u r u u u r，从而有22=u u u r u u u r u u u r．因为1,0OA OB OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r2=，化简可得222334m m n =+，整理可得229m n =．因为点C 在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则3m n = 19．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为解析：660【解析】【分析】【详解】第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有4012480⨯= 种；第二类，先选2女2男，有226215C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有1512180⨯=种，根据分类计数原理共有480180660+=种，故答案为660.20．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同解析：－34 【解析】因为3sin sin αα＝()2sin sin ααα+ ＝22sin cos cos sin sin ααααα+ ＝()22221sin cos cos sin sin ααααα+-＝24sin cos sin sin αααα- ＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45. 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34. 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．三、解答题21．（1）；（2）.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）在方程=2cos ρθ两边同乘以极径ρ可得2=2cos ρρθ，再根据222=,cos x y x ρρθ+=，代入整理即得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到MA MB ⋅的值.试题解析：（1）=2cos ρθ等价于2=2cos ρρθ①将222=,cos x y x ρρθ+=代入①既得曲线C 的直角坐标方程为 2220x y x +-=，②（2）将5212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入②得2180t ++=， 设这个方程的两个实根分别为12,,t t则由参数t 的几何意义既知，1218MA MB t t ⋅==.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.22．（1）见解析（2（3【解析】【分析】（1）连接OC ，由BO ＝DO ，AB ＝AD ，知AO ⊥BD ，由BO ＝DO ，BC ＝CD ，知CO ⊥BD ．在△AOC中，由题设知AO 1CO ==，AC ＝2，故AO 2+CO 2＝AC 2，由此能够证明AO ⊥平面BCD ；（2）取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，故直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME中，11EM AB OE DC 1222====，由此能求出异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦；（3）设点E 到平面ACD 的距离为h ．在△ACD中，CA CD 2AD ===，ACD 1S 2==V ，由AO ＝1，知2CDE 1S 2242=⨯=V ，由此能求出点E 到平面ACD 的距离．【详解】（1）证明：连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ，∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD ．在△AOC中，由题设知1AO CO==，AC＝2，∴AO2+CO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC．∵AO⊥BD，BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD．（2）解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，111222EM AB OE DC====，∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴112OM AC==，∴1112cos OEM+-∠==∴异面直线AB与CD（3）解：设点E到平面ACD的距离为h．E ACD A CDEV V--=Q，1133ACD CDEh S AO S∴=V V．．．，在△ACD中，2CA CD AD===，，∴12ACDS==V，∵AO＝1，2122CDES==V，∴17CDEACDAO ShS⋅===VV，∴点E到平面ACD的距离为7．【点睛】本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ323 +.【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）因为PH是四棱锥P-ABCD的高．所以AC⊥PH,又AC⊥BD,PH,BD都在平面PHD内,且PH I BD=H.所以AC⊥平面PBD.故平面PAC⊥平面PBD.（Ⅱ）因为ABCD为等腰梯形，AB P CD,AC⊥6.所以3因为∠APB=∠ADR=600所以6,HD=HC=1.可得3等腰梯形ABCD的面积为S=123所以四棱锥的体积为V=13x（333233+考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I）较为简单，（II）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤．24．（1）2()210f x x x =-（2）223268,,22535(),,2225210,,2t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩【解析】(1)因为()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()0,5，所以可设()(5)(0).f x ax x a =->,然后因为-1比5离对称轴的距离远，所以最大值为(-1)=6a,求出a 值，从而求出f(x)的解析式.（II ）本小题属于二次函数轴定区间动的问题，分三种情况讨论分别求其最小值即可. 解：（1）Q ()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),∴可设()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=由已知，得612,a =2,a ∴=2()2(5)210().f x x x x x x R ∴=-=-∈（2）由（1）知22525()2102.22f x x x x ⎛⎫∴=-=-- ⎪⎝⎭，开口向上，对称轴为52x = ①当512t +≤，即32t ≤时，()f x 在[],1t t +上是单调递减， ()()()2221101268g t t t t t ∴=+-+=--②当52t ≥时，()f x 在[],1t t +上是单调递减 ()22210210g t t t t t ∴=-=-③当512t t ≤≤+，即3522t ≤≤时，()f x 在对称轴处取得最小值 ()52522g t f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭25．（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）由条件可得()2f x m x +=-，故有0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，进而可得结果；（2）根据()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭利用基本不等式即可得结果.【详解】（1）函数()2f x m x =--，m R ∈，故()2f x m x +=-，由题意可得0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，故1m =． （2）由a ，b ，R c ∈，且111 123m a b c++==， ∴()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 23321112233b c a c a b a a b b c c =++++++++ 233233692233b c a c a b a a b b c c=++++++≥+=， 当且仅当2332 12233bc a c a b a a b b c c======时，等号成立． 所以239a b c ++≥.【点睛】 本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．26．（1）f (x )的最小正周期为π （2）f (x )在5[,]612ππ上单调递增；在52[,]123ππ上单调递减． 【解析】【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值． （2）根据[]20,3x ππ-∈，利用正弦函数的单调性，即可求得()f x 在2[,]63ππ上的单调区间．【详解】解：（1）函数2()sin()sin cos sin cos2)2f x x x x x x x π=-=+1sin 22sin(2)23x x x π==-，即()sin(2)3f x x π=-故函数的周期为22T ππ==，最大值为12-． （2）当2[,]63x ππ∈ 时，[]20,3x ππ-∈， 故当0232x ππ-剟时，即5[,]612x ππ∈时，()f x 为增函数；当223x πππ-剟时，即52[,]123x ππ∈时，()f x 为减函数； 即函数()f x 在5[,]612ππ上单调递增；在52[,]123ππ上单调递减． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．。

【易错题】高中三年级数学下期末第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ）A ． 1.2308ˆ.0y x =+B ．0.0813ˆ.2yx =+ C ． 1.234ˆy x =+ D ． 1.235ˆyx =+ 3．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．565．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( ) A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．123⎡⎢⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦6．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A ．sin(+)2πα B ．s(+)2co πα C ．sin()πα+ D ．s()co πα+7．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭8．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A ．–4B ．–2C ．4D ．210．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定11．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<12．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与BB ．B 与CC ．A 与DD ．C 与D二、填空题13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .14．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．15．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则12m n+的最小值为 16．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 17．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．18．已知向量a r 与b r 的夹角为60°，|a r |=2，|b r |=1，则|a r+2 b r |= ______ .19．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．20．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．三、解答题21．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值.22．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）如果关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 24．已知函数()|1|f x x =+（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M （2）设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--.25．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,3AC BC B C ACB π==∠=（I ）求证：1//QB 平面11A ACC （Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.26．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C【解析】 【分析】找到从上往下看所得到的图形即可． 【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.2．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得在线性回归方程$ˆy bxa =+$中 1.23b =$，然后根据回归方程过样本点的中心得到$a的值，进而可得所求方程． 【详解】设线性回归方程$ˆy bxa =+$中，由题意得 1.23b =$， ∴$1.23ˆy x a=+． 又回归直线过样本点的中心()4,5，∴$5 1.234a=⨯+， ∴$0.08a=， ∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+． 故选A ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．3．A解析：A【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x 坐标相同，而y 、z 坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称． 考点：空间两点间的距离.4．C解析：C 【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C.【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.5．C解析：C 【解析】 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。

【易错题】高中三年级数学下期末一模试卷(带答案)(6)一、选择题1．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 2．2532()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80B ．-80C ．40D ．-403．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．174．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．19B ．29C ．49D ．7185．已知向量()3,1a =r，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=r r ，则b =r（ ）A ．31,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．133,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．()1,06．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 37．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A 2 B 3C ．2D 58．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A 2 B ．1 C 2D ．29．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b + D ．1()10a b + 10．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．已知向量a v ，b v 满足2a =v||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（ ） A ．22B ．23C 2D ．2412．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的3，则双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =±D ．2y x =±二、填空题13．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y 2=-+的最小值为______．15．在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点,且满足CN CDBM BC =u u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AM AN ⋅u u u u v u u u v 的取值范围是_________． 16．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．17．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．18．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．19．如图，已知P是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB上一点，2A BB C=u u u v u u u v，则PC PA⋅u u u v u u u v的最小值为_______．20．设函数21()ln2f x x ax bx=--，若1x=是()f x的极大值点，则a取值范围为_______________.三、解答题21．已知()lnxef x a x axx=+-.（1）若0a<，讨论函数()f x的单调性；（2）当1a=-时，若不等式1()()0xf x bx b e xx+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b的取值范围．22．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且90BAP CDP∠=∠=o.（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；（2）若P A=PD=AB=DC，90APD∠=o，求二面角A−PB−C的余弦值.23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110ρθρθ++=．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．24．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷，现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用A未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数； (3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？25．已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．26．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为()33{,,.12x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A2．C解析：C 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】2532()x x -展开式的通项公式为:53251()2()r rr r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r =，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.3．B解析：B 【解析】 【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915-=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.4．C解析：C 【解析】试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369p == 考点：古典概型的计算.5．B解析：B 【解析】 【分析】设()(),0b x y y =≠r，根据题意列出关于x 、y 的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量b r的坐标.【详解】设(),b x y =r ，其中0y ≠，则33a x y b ⋅=+=r r.由题意得221330x y x y y ⎧+=⎪⎪+=⎨≠⎪⎩，解得1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13,2b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r . 故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）． ∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B ．考点：由三视图求面积、体积．7．A解析：A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．8．C解析：C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c 2a = 则该双曲线的离心率为 e 2ca==， 故选C ． 【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知1210121010,10a a a a b b b b +++=+++=L L ，所以所求平均数为()121012101210121012020202a a ab b b a a a b b b a b +++++++++++++=+=+L L L L考点：样本平均数10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0xx x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩，只有选项A 中的图象符合要求，故选A.11．D解析：D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=r r ，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12a b ⋅=r rcos ,4a b a b a b ⋅∴<>===r r r rr r 本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.12．A解析：A 【解析】 【分析】利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=的距离为2，可得：2c =，可得2b c =，ba =C 的渐近线方程为y =．故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.二、填空题13．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即 解析：1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．14．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A 时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为解析：-1 【解析】 【分析】画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1z x y 2=-+的最小值． 【详解】画出约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数1z x y 2=-+过点A 时取得最小值，由{x 0x y 10=--=，解得()A 0,1-，代入计算()z 011=+-=-，所以1z x y 2=-+的最小值为1-．故答案为1-． 【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．15．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量解析：[2]5, 【解析】 【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0)B ，(0,0)A ，132D ⎛ ⎝⎭，设||||||||BM CN BC CD λ==u u u u r u u u ru u u r u u u r ，[]0,1λ∈，则(22M λ+3)，5(22N λ-3， 所以(22AM AN λ=+u u u u r u u u r g 35)(22λ-g 22353542544λλλλλλ=-+-+=--+，因为[]0,1λ∈，二次函数的对称轴为：1λ=-，所以[]0,1λ∈时，[]2252,5λλ--+∈．故答案为：[2]5,【点睛】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．16．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用 解析：64【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得18{12a q ==.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a qL L --++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12na a a L 取得最大值6264=. 考点：等比数列及其应用17．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3. 【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3.18．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间解析：6π-.【解析】分析：由对称轴得ππ()6k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT ω=；(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.19．5﹣【解析】【分析】设圆心为OAB 中点为D 先求出再求PM 的最小值得解【详解】设圆心为OAB 中点为D 由题得取AC 中点M 由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM 最小当圆弧AB 的圆心与点PM 共线时PM 最解析：5﹣【解析】 【分析】设圆心为O,AB 中点为D,先求出2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，再求PM 的最小值得解. 【详解】设圆心为O,AB 中点为D,由题得22sin2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PM PC PA AC ⎧+=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u u v u u uv u u u v u u u v , 两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，要使PC PA ⋅u u u r u u u r取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=1,2DM ∴==, 所以PM 有最小值为2﹣2， 代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r的最小值为5﹣故答案为5﹣213 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：【解析】试题分析：()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x+∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x+-=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1x a=-.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a->，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 三、解答题21．（1）见解析；（2）1[,)e+∞. 【解析】 【分析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()21x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情况确定实数b 的取值范围即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+∞ ∵()()()21x x e ax f x x --'=，0a <，∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '>∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增. （2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭()1xb x e lnx =-- 由题意，()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10xb x e lnx --≤恒成立；不符题意.②若0b >，记()()1xh x b x e lnx =--，则()1xh x bxe x'=-, 显然()h x '在[)1,+∞单调递增， （i ）当1b e≥时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥= （ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1110b h e b e b ⎛⎫=-> ⎝'->⎪⎭∴存在01x >，使()0h x '=.当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增 ∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意综上所述，所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．（1）见解析；（2） 【解析】 【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ． 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA u u u v的方向为x 轴正方向，AB u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得22A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭，2,1,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以2222PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，)2,0,0CB =u u u v ，2222PA ⎛=- ⎝⎭u u u v ，()0,1,0AB =u u uv . 设(),,n x y z =r 是平面PCB 的法向量，则0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u u v r 即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩ 可取(0,1,2n =--r.设(),,m x y z r=是平面PAB 的法向量，则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u uu v r u u u v r 即220,220.x z y -=⎨⎪=⎩可取()1,0,1m =r. 则3cos ,n m n m n m ⋅==r r r rr r ，所以二面角A PB C --的余弦值为33- 【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.23．（1）22:1,(1,1]4y C x x +=∈-；:23110l x y ++=；（27【解析】 【分析】（1）利用代入消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】（1）由2211t x t -=+得：210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+，又()2222161t y t =+ ()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭整理可得C 的直角坐标方程为：221,(1,1]4y x x +=∈-又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x ++=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d ==当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min d = 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题. 24．（1）12； （2）40； （3）选B 款订餐软件. 【解析】 【分析】⑴运用列举法给出所有情况，求出结果 ⑵由众数结合题意求出平均数⑶分别计算出使用A 款订餐、使用B 款订餐的平均数进行比较，从而判定 【详解】（1）使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有1000.006106⨯⨯=个，分别记为甲，,,,,,a b c d e从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{}{},,c d c e 甲，甲，,{},d e 甲，,{},,a b c ,{},,a b d ,{},,a b e ,{},,a c d ,{},,a c e ,{},,a d e ,{},,b c d ,{},,b c e ,{},,b d e ,{},,c d e .甲商家被抽到的情况如下：共10种．{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{},c d 甲，,{},c e 甲，,{},d e 甲，记事件A 为甲商家被抽到，则()101202P A ==. （2）依题意可得，使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=. （3）使用B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=< 所以选B 款订餐软件． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题．25．（1）见解析； （2）2e 2ea 2e 2-≥-.【解析】 【分析】()1求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求()f x 的单调区间；()2若()0f x ≤在区间[]1,e 上恒成立，则只需求出()f x 的最大值即可，求实数a 的取值范围． 【详解】()()()21f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>Q ．()()()()22x 2a 1x 2a2x 1x a f'x (x 0)xx-++--∴==>，由得1x a =，2x 1=，当0a 1<<时，在()x 0,a ∈或()x 1,∞∈+时 ，在()x a,1∈时，()f x ∴的单调增区间是()0,a 和()1,∞+，单调减区间是()a,1；当a 1=时，在()x 0,∞∈+时，()f x ∴的单调增区间是()0,∞+；当a 1>时，在()x 0,1∈或()x a,∞∈+时，在()x 1,a ∈时．()f x ∴的单调增区间是()0,1和()a,∞+，单调减区间是()1,a ．()2由()1可知()f x 在区间[]1,e 上只可能有极小值点， ()f x ∴在区间[]1,e 上的最大值在区间的端点处取到，即有()()f 112a 10=-+≤且()()2f e e 2a 1e 2a 0=-++≤，解得2e 2ea 2e 2-≥-．即实数a 的取值范围是2e 2ea 2e 2-≥-．【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键． 26．（I ）(4,),(22,)24ππ（II ）1,2a b =-= 【解析】 【分析】 【详解】（I ）圆1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=联立得22(2)4{40x y x y +-=+-=得110{4x y ==222{2x y ==所以1C 与2C 交点的极坐标为(4,2,)24ππ（II ）由（I ）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ 的直角坐标方程为20x y -+=由参数方程可得122b ab y x =-+，所以1,12,1,222b aba b =-+==-=解得。

【易错题】高中三年级数学下期末模拟试题带答案一、选择题1．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB uuu v 对应的复数为( )A ．2i -+B ．2i --C ．12i +D ．12i -+ 2．给出下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确说法的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3．如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．sin cos tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．cos sin tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<< 4．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ）A ．[]6,63k k ππ+，k Z ∈ B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈ C ．[]6,63k k +，k Z ∈D ．[]63,6k k -，k Z ∈ 5．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( )A ．10组B ．9组C ．8组D ．7组 6．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤8．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A ．12 B ．512 C ．14 D ．169．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）A ．B ．C ．D ．10．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为()A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直 11．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A ．22 B ．1C 2D ．212．在ABC ∆中，A 为锐角，1lg lg()lgsin 2b A c +==-，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题13．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 . 14．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．15．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________.16．若,满足约束条件则的最大值 ．17．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.18．已知1OA =u u u r ，3OB =u u u r ，0OA OB •=u u u r u u u r ，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=o ，设OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，(,)m n R ∈，则m n=__________． 19．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）20．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =u u u v u u u v ，则PC PA ⋅u u u v u u u v 的最小值为_______．三、解答题21．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.22．设函数()15,f x x x x R =++-∈.（1）求不等式()10f x ≤的解集； （2）如果关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 23．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上.（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.24．已知函数1(1)f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.25．已知函数()|1|f x x =+（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M（2）设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--.26．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】 首先根据向量OA u u u v 对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB uuu v 对应的复数，得到结果.【详解】复数12i -+对应的点为(1,2)A -，点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -， 所以向量OB uuu r 对应的复数为2i -+．故选A ．【点睛】该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.2．A解析：A【解析】【分析】①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的.【详解】解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等．故答案为:A【点睛】(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定;(3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．3．C解析：C【解析】【分析】分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.【详解】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<.故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.4．D解析：D【解析】【详解】由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[6,6]()22k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．5．B解析：B【解析】由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.6．A解析：A【解析】【分析】通过(0)1f =，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A ．【详解】2||()x x f x e -=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ，【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．7．D解析：D【解析】【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值.【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增， 所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.8．B解析：B【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况， 则P (A )=P (A 1)+P (A 2)=2 3×14+13×34=512故选B. 9．A解析：A【解析】【分析】【详解】∵函数f （x ）=xlnx 只有一个零点，∴可以排除CD 答案又∵当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴f （x ）=xlnx ＜0，其图象在x 轴下方∴可以排除B 答案考点：函数图像．10．D【解析】解：利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D11．C解析：C【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c 2a = 则该双曲线的离心率为 e 2c a ==， 故选C ．【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 12．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：由1lg lg()lgsin lg 2b A c +==-，所以22lg lg 22b bc c =⇒=且2sin 2A =，又因为A 为锐角，所以45A =o ，由22b c =，根据正弦定理，得22sin sin sin(135)cos sin 22B C B B B ==-=+o ，解得cos 090B B =⇒=o ，所以三角形为等腰直角三角形，故选D.考点：三角形形状的判定.二、填空题13．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算解析：2-【解析】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算. 14．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题 解析：12【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出()P B .详解：设()()()P A a,P B b,P C c ===,因为()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=， 所以()()16118118ab b c ab c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以111a ,b ,324c === 所以()1P B 2=点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．15．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容 解析：2【解析】试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=︒，所以直线OA 的方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线. 16．3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由斜率的意义知yx 是可行域内一点与原点连线的斜率由图可知点A （13）与原点连线的斜率最大故yx 的最大值为3考点：线性规划解法 解析：【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.考点：线性规划解法17．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和 10【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+39110i =-+=+=10.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++18．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以则解析：3【解析】 因为30AOC ∠=o，所以cos cos30OC OA AOC OC OA⋅∠===⋅o u u u r u u u r u u u r u u u r，从而有22=u u u r u u u r u u u r．因为1,0OA OB OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r2=，化简可得222334m m n =+，整理可得229m n =．因为点C 在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则3m n = 19．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为解析：660【解析】【分析】【详解】第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有4012480⨯= 种；第二类，先选2女2男，有226215C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有1512180⨯=种，根据分类计数原理共有480180660+=种，故答案为660.20．5﹣【解析】【分析】设圆心为OAB 中点为D 先求出再求PM 的最小值得解【详解】设圆心为OAB 中点为D 由题得取AC 中点M 由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM 最小当圆弧AB 的圆心与点PM 共线时PM 最解析：5﹣【解析】【分析】设圆心为O,AB 中点为D,先求出2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，再求PM 的最小值得解.【详解】设圆心为O,AB 中点为D, 由题得22sin 2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PM PC PA AC⎧+=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u u v u u uv u u u v u u u v ,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， 要使PC PA ⋅u u u r u u u r 取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=1,2DM ∴==,所以PM 有最小值为2﹣2，代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r 的最小值为5﹣故答案为5﹣【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 三、解答题21．（1）26cos 2sin 60ρρθρθ--+=（22 【解析】【分析】（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离.【详解】（1）由3212x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩，得3212x cos y sin αα-=⎧⎨-=-⎩， 两式两边平方并相加，得()()22314x y -+-=，所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.将y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()()22cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+= 所以曲线C 的极坐标方程为26cos 2sin 60ρρθρθ--+=（2）由1sin 2cos θθρ-=，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+=因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离5d ==，所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为25d r +=+. 【点睛】 本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.22．（1）{}|37x x -≤≤；（2）(],9-∞.【解析】【分析】（1）分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为()()27a f x x ≤+-，令()()()27g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果.【详解】（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤-当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}37x x -≤≤（2）由()()27f x a x ≥--得：()()27a f x x ≤+- 由（1）知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩令()()()22221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ⎧-+≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩当1x ≤-时，()()min 170g x g =-=当15x -<<时，()()510g x g >=当5x ≥时，()()min 69g x g ==综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =()a g x ≤Q 恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值.23．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8.【解析】【分析】(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.【详解】(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩, ∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |= ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【点睛】本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题. 24．（Ⅰ）4,03⎛⎫-⎪⎝⎭；（Ⅱ）4m ≥ 【解析】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围．试题解析： （1）当5m =时，()()()()521311521x x f x x x x ⎧+<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩， 由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.（2）由二次函数()222312y x x x =++=++，知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()2121121m x x f x m x m x x ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点.只需22m -≥，即4m ≥.25．(1){1M x x =<-或 }1x >；(2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明1ab a b +>+，再两边平方，因式分解转化为证明()()22110a b -->，最后根据条件221,1a b >>确定()()22110a b -->成立.【详解】（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<.当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<，解得1x <-，∴1x <-； 当112x -≤≤-,不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-， 无解； 当12x >-时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，∴1x >. 综上所述，{1M x x =<-或}1x >.（2）∵()()()1111f a f b a b a b a b --=+--++--+=+≤，要证()()()f ab f a f b >--成立， 只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+，即证222210a b a b --+>,即证()()22110a b -->.由（1）知，{1M x x =<-或}1x >，∵a b M ∈、，∴221,1a b >>，∴()()22110a b -->成立.综上所述，对于任意的a b M ∈、都有()()()f ab f a f b >--成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.26．（1）证明见解析；（2）35. 【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.【详解】(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =，由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ，结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH =，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==， 据此可得：()()()1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B 的坐标为1333,322B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 利用中点坐标公式可得：333,344F ⎛⎫⎪⎝⎭，由于()0,0,0E ， 故直线EF 的方向向量为：333,344EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则： ()()13333,,,,33022223333,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩， 据此可得平面1A BC 的一个法向量为()3,1m =u r ，333,344EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 此时4cos ,53552EF m EF m EF m ⋅===⨯⨯u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55EF m θθ===u u u r u r . 【点睛】 本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.。

【易错题】高中三年级数学下期末一模试题含答案一、选择题1．若43i z =+，则zz=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 2．给出下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）A ．3+3iB ．-1+3iC ．3+iD ．-1+i4．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）ξ0 1 2P12p- 122pA ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．566．在二项式42nx x ⎛+ ⎪⎭的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ．16B ．14C ．512D ．137．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种 8．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若0cAC aPA bPB ++=ru u u v u u u v u u u v ，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.9．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A ．–4B ．–2C ．4D ．211．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．3212．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ）A ．{}22x x -≤<B ．{}2x x ≥-C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．在ABC V 中，60A =︒，1b =3sin sin sin a b cA B C++=++________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________． 16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC V 的面积为______．17．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 ．18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 19．若45100a b ==，则122()a b+=_____________．20．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．三、解答题21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，AB=22，求三棱锥C 一A 1DE 的体积. 23．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大24．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.25．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. 26．已知0,0a b >>. (1)211ab a b≥+ ；(2)若a b >，且2ab =，求证：224a b a b+≥-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【详解】 由题意可得 ：22435z =+=，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-.本题选择D 选项.2．A解析：A 【解析】 【分析】①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的. 【详解】解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等． 故答案为:A【点睛】(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．3．C解析：C 【解析】因为2(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.4．D解析：D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+Q ， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈Q ，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑5．C解析：C 【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C. 【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.6．C解析：C 【解析】 【分析】先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果 【详解】因为n前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -⋅⋅∴=+⋅∴-= 163418118,0,1,2,82rr r r n n T C x r -+>∴=∴=⋅=Q L ，当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为636799512A A A =,选C. 【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A 42=12种安排方法， 甲在星期二有A 32=6种安排方法， 甲在星期三有A 22=2种安排方法， 总共有12+6+2=20种； 故选A ．8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 解答： 由已知条件得；根据共面向量基本定理得：∴△ABC 为等边三角形。

【易错题】高中三年级数学下期末第一次模拟试卷(含答案)(7) 一、选择题1．函数ln|| ()xxf xe=的大致图象是（）A．B．C．D．2．若3tan4α=，则2cos2sin2αα+=（）A．6425B．4825C．1D．16253．123{3xx>>是12126{9x xx x+>>成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件4．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3x=， 3.5y=，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )A．$0.4 2.3y x=+B．$2 2.4y x=-C．$29.5y x=-+D．$0.3 4.4y x=-+5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A．B．C ．D ．6．2532()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-407．若满足sin cos cos A B C a b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形 8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种9．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =，则c =( )A ．23B ．2C ．2D ．1 10．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v 在向量a v 方向上的投影为( )A ．1B ．-1C ．2D ．-211．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 12．一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( )A ．1B ．2C ．3D ．2 二、填空题13．若过点()2,0M 且斜率为3的直线与抛物线()2:0C y ax a =>的准线l 相交于点B ，与C 的一个交点为A ，若BM MA =v u u u v，则a =____．14．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 15．若,满足约束条件则的最大值 ．16．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.17．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45︒，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30°，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则ACB =∠______________.18．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.19．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.20．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.22．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点.(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；(Ⅱ) 求AB 3=BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值.23．已知函数()32f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点()()1,1P f 处的切线方程为31y x =+．（1）若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()y f x =在区间[]3,1-上的最大值．24．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD上，且14AM AD =，将AED,DCF V V 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明；()2求二面角M EF D --的余弦值.25．选修4-5：不等式选讲：设函数()13f x x x a =++-.（1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()42f x x a <+-有解，求实数a 的取值范围.26．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】由函数解析式代值进行排除即可.【详解】解：由()x ln x f x =e ，得()f 1=0，()f 1=0- 又()1f e =0e e >，()1f e =0ee --> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D【点睛】本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.2．A解析：A【解析】 试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．3．A解析：A【解析】试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系4．A解析：A【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ．考点：线性回归直线. 5．C解析：C【解析】【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．考点：三视图．6．C解析：C【解析】【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值【详解】2532()x x - 展开式的通项公式为:53251()2()r r r r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r =，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C.【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.7．C解析：C【解析】【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状.【详解】 由正弦定理可知sin sin sin A B C a b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==. 所以45B C ==o .所以180454590A =--=o o o o .所以ABC ∆为等腰直角三角形.故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.8．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A 42=12种安排方法，甲在星期二有A 32=6种安排方法，甲在星期三有A 22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A ．9．B解析：B【解析】1,sin sin sin 22sin cos A B A A A ===cos 2A =,所以22212c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos A =0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.10．B解析：B【解析】【分析】 先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r =﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r ),∴a r g (a r +2b r ),=0，即()2·20a a b +=v v v即a r g b r=﹣2 ∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=v v v =﹣1， 故选B ．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．11．A解析：A【解析】【分析】当3λ=-时，两条直线是平行的，但是若两直线平行，则3λ=-或1λ=，从而可得两者之间的关系.【详解】当3λ=-时，两条直线的方程分别为：6410x y ++=，3220x y +-=，此时两条直线平行；若两条直线平行，则()()2161λλλ⨯-=--，所以3λ=-或1λ=，经检验，两者均符合，综上，“3λ=-”是“直线()211x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行” 的充分不必要条件，故选A.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.12．B解析：B【解析】由题意得a ＋3＋4＋5＋6＝5b ，a ＋b ＝6，解得a ＝2，b ＝4，所以样本方差s 2＝15[(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝2，.故答案为B. 二、填空题13．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A 的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A 点坐标为因 解析：8【解析】【分析】由直线方程为2)y x =-与准线:a l x 4=-得出点B 坐标，再由BM MA u u u u v u u u v =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值.【详解】解：抛物线()2:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4=- 过点()2,0M2)y x =-，联立方程组2)4y x a x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得，交点B坐标为)(,)a a 844+-， 设A 点坐标为00(,)x y ，因为BM MA u u u u v u u u v=，所以点M 为线段AB 的中点，所以00()442402a x y ⎧+-⎪=⎪⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得)()a a 8A 444++，将(a A 44+代入抛物线方程，即))()2a 8a a 444+=+， 因为0a >，解得8a =.【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.14．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令 解析：22(2)10x y -+=.【解析】【分析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径22(52)(10)10-+-=，故圆的方程为22(2)10x y -+=.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 15．3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由斜率的意义知yx 是可行域内一点与原点连线的斜率由图可知点A （13）与原点连线的斜率最大故yx 的最大值为3考点：线性规划解法解析：【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.考点：线性规划解法16．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体的体积为120所以因为为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴 解析：【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.17．【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据 解析：30°【解析】【分析】作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解cos ACB ∠即可.【详解】如图所示,在Rt ACD V 中,∵10,45AC m DAC =∠=︒,∴10DC m =在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=︒,∴103BC m =.在ABC V 中,)22210103103cos 210103ACB +-∠==⨯⨯,∴30ACB ∠=︒.故答案为：30°【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.18．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径 解析：33493【解析】【分析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.【详解】正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到21642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得到0323sin 60= 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()223413h h -+=⇒=或 三棱锥的体积为：13ABC h S ⨯⨯V 代入数据得到1313313332⨯⨯⨯=或者1319333 3.324⨯⨯⨯= 故答案为：334或34【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球. 19．8【解析】【详解】由题意知a ∈Pb ∈Q 则a+b 的取值分别为123467811故集合P+Q 中的元素有8个点睛：求元素(个数)的方法根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)然后根据集合元素的解析：8【解析】【详解】由题意知a ∈P ,b ∈Q ,则a+b 的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11.故集合P+Q 中的元素有8个. 点睛：求元素(个数)的方法，根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．20．6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线在上下移动的过程中结合的几何意义可以发现直线过B 点时取得最大值联立方程组求得点B 的坐标代入目标函数 解析：6【解析】【分析】 首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式3122y x z =-+，之后在图中画出直线32y x =-，在上下移动的过程中，结合12z 的几何意义，可以发现直线3122y x z =-+过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+，可得3122y x z =-+， 画出直线32y x =-，将其上下移动， 结合2z 的几何意义，可知当直线3122y x z =-+在y 轴截距最大时，z 取得最大值， 由2200x y y --=⎧⎨=⎩，解得(2,0)B ， 此时max 3206z =⨯+=，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.三、解答题21．(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.【解析】【详解】（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有()()22224d d +=+，∴240d d -=，解得4d =或0d =.∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =-，∴()224222n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），∴最小正整数41n =.22．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ） 【解析】【分析】（Ⅰ）由矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥，进而证得AD ⊥平面ABEF ，证得AD AG ⊥，再根菱形ABEF 的性质，证得AG AF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD 和平面ACG 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥， ∵矩形ABCD ⋂菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ，∵AG ⊂平面ABEF ，∴AD AG ⊥，∵菱形ABEF 中，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点，∴AG BE ⊥，∴AG AF ⊥，∵AD AF A ⋂=，∴AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AB 3=，BC 1=，则AD 1=，3AG 2=， 故()A 000，，，33C 122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()D 001，，，3A 002⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 则3312AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，()001AD =u u u r ，，，3002AG u u u r ，，⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面ACD 的法向量()1111n x y z =u r ，，，则11111133·02·0AC n x y z AD n z ⎧=-+=⎪⎨⎪==⎩u u u r u r u u u r u r ， 取13y =，得()1130n u r ，，=， 设平面ACG 的法向量()2222n x y z =u u r ，，，则22222233·1023·02AC n x y z AG n x ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r ， 取22y =，得()2023n u u r ，，=， 设二面角D CA G --的平面角为θ，则1212|?|2321cos θ727·n n n n ===⨯u r u u u r u r u u r ， 由图可知θ为钝角，所以二面角D CA G --的余弦值为217- . 【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.23．（1）()32245f x x x x =+-+；（2）13。

【易错题】高中三年级数学下期末试卷(附答案)一、选择题1．设1i 2i 1i z -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1 D2．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件3．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ）A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0)4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种5．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ）A ．sin(+)2πα B ．s(+)2co πα C ．sin()πα+ D ．s()co πα+6．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤ 7．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则 A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=- 8．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13- B ．13 C ．-3 D ．39．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b +D ．1()10a b + 10．已知,a b r r 是非零向量且满足(2)a b a -⊥r r r ，(2)b a b -⊥，则a r 与b r 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π11．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<二、填空题13．若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.14．复数()1i i +的实部为 ．15．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____.16．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．17．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 18．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.19．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．20．在ABC ∆中，若13AB =，3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．三、解答题21．已知曲线C ：（t 为参数）， C ：（为参数）． （1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 上的点P 对应的参数为，Q 为C 上的动点，求中点到直线（t 为参数）距离的最小值．22．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.23．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段BM 的长．24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,,2n n n a C n b *=∈N 证明：12+2,.n C C C n n *++<∈N L 25．已知3,cos )a x x =r ，(sin ,cos )b x x =r ，函数()f x a b =⋅r r . （1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.26．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i 2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=， 则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．A解析：A【解析】试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系3．B解析：B【解析】【分析】设圆和x 轴相交于M 点，根据圆的定义得到CA ＝CM ＝R ，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M 点为焦点.【详解】圆心C 在抛物线上，设与直线20x +=相切的切点为A ，与x 轴交点为M ，由抛物线的定义可知，CA ＝CM ＝R ，直线20x +=为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点()2,0．故选B【点睛】这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．4．B解析：B【解析】【分析】【详解】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．5．D解析：D【解析】【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断.【详解】解：角α的终边在第二象限，sin +2πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符； ()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符；()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确故选D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．6．D解析：D【解析】【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值.【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增， 所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.7．C解析：C【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为()a i i b i +=+，即1ai b i -+=+，因为,,a b R i ∈为虚数单位，所以1,1a b ==-，故选C.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.8．A解析：A【解析】【分析】由题意可知3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意结合两角和的正切公式可得3tan πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tan tan tan ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选A . 【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C【解析】【分析】【详解】 由题意可知1210121010,10a a a a b b b b +++=+++=L L ，所以所求平均数为 ()121012101210121012020202a a a b b b a a a b b b a b +++++++++++++=+=+L L L L 考点：样本平均数10．B解析：B【解析】【分析】 利用向量垂直求得222a b a b ==⋅r r r r ，代入夹角公式即可.【详解】设,a b r r 的夹角为θ；因为(2)a b a -⊥r r r ，(2)b a b -⊥， 所以222a b a b ==⋅r r r r ， 则22|2,|2a a b b a b =⋅⋅=r r r r r r ， 则2212cos ,.23a a b a b aπθθ⋅===∴=r rr r r r 故选：B【点睛】 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=r r r r；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =r r .11．C解析：C【解析】因为()2f x x ax =+是偶函数，所以22()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴= 所以0a =.所以“0a =”是“()2f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C. 12．B解析：B【解析】【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032f f ''<<，将()()32f f -看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.【详解】由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，()()032f f ''∴<<，()()()()323232f f f f --=-Q ，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，()()()()03322f f f f ''∴<<-<.故选：B .【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果.二、填空题13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题解析：y =±【解析】【分析】由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1223a c =⨯，再据222c ab =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可．【详解】 ∵双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距， ∴1223a c =⨯，3c a =，又222c ab =+，∴b =∴渐近线方程是b y x a =±=±，故答案为y =±． 【点睛】 本题考查双曲线的几何性质即双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y x a =±属于基础题．14．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-.考点：复数的乘法运算、实部.15．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使 解析：34【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。

【易错题】高中三年级数学下期末第一次模拟试题(及答案)一、选择题1．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．6425 B ．4825C ．1D ．16252．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．$0.4 2.3y x =+ B ．$2 2.4y x =- C ．$29.5y x =-+D ．$0.3 4.4y x =-+3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．110B ．310C ．35D ．254．已知集合{}{}x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃ A ．（-1,2） B ．（0，1） C ．（-1,0） D ．（1,2） 5．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24 6．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．5D ．77．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ）A ．49B ．29C ．12 D ．138．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且b a b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若0cAC aPA bPB ++=ru u u v u u u v u u u v ，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形. 10．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sinsin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定11．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．3B ．2C ．6D ．512．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 15．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC V 的面积为______．17．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 ．18．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．19．若45100a b ==，则122()a b+=_____________．20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.三、解答题21．已知向量()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()sin 3,1c x =-r，()1,d k =u r(),x R k R ∈∈（1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()//a b c +r r r ，求x 的值.（2）若函数()f x a b =⋅r r，求()f x 的最小值.（3）是否存在实数k ，使得()()a dbc +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值. 23．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.24．如图：在ABC ∆中，10a =，4c =，5cos C =-.（1）求角A ；（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长.25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段BM 的长．26．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED V ，DCF V 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．(1) 求证：MD EF ⊥； (2) 求三棱锥M EFD -的体积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．2．A解析：A 【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ．考点：线性回归直线.3．C解析：C 【解析】 【分析】设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525⨯=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：()255P x y ≤==，故本题选C .【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.4．A解析：A 【解析】利用数轴，取,P Q 所有元素，得P Q =U (1,2)-．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．5．A解析：A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．6．B解析：B 【解析】试题分析：{1,2,6)M N ⋂=.故选B. 考点：集合的运算.7．C解析：C 【解析】 【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果. 【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.8．B解析：B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2a b b ⋅=r r r ，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．9．C解析：C【分析】 【详解】 解答： 由已知条件得；根据共面向量基本定理得：∴△ABC 为等边三角形。

【易错题】高中三年级数学下期末一模试题带答案一、选择题1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) A ．B ．C ．D ．2．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形3．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =，则c =( )A ．23B ．2C ．2D ．14．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，则()C U A B ⋃等于（ ） A ．{5,6}B ．{3,5,6}C ．{1,3,5,6}D ．{1,2,3,4}5．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．7．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2π)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )A ．2，－3πB ．2，－6π C ．4，－6πD ．4，3π 8．在ABC V 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定10．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-11．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32B ．0.2C ．40D ．0.2512．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ）A ．{}22x x -≤<B ．{}2x x ≥-C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<二、填空题13．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．14．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________． 15．若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．16．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________．17．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 18．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.19．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____. 20．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.三、解答题21．已知向量()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()sin 3,1c x =-r，()1,d k =u r(),x R k R ∈∈（1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()//a b c +r r r ，求x 的值.（2）若函数()f x a b =⋅r r，求()f x 的最小值.（3）是否存在实数k ，使得()()a dbc +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）： ①； ②；③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.23．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =25. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r，求12λλ+的值.24．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．25．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy ，已知曲线3:sin x a C y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2cos()124πρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．26．已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0．即函数图象连续并且穿过x 轴． 【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0A 、B 中不存在f （x ）＜0，D 中函数不连续． 故选C ． 【点睛】本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．2．C解析：C 【解析】 【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】由正弦定理可知sin sin sin A B Ca b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.所以45B C ==o .所以180454590A =--=o o o o . 所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.3．B解析：B 【解析】1,sin sin sin 22sin cos A B A A A ===cos 2A =,所以22212c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos A =0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.4．A解析：A 【解析】 【分析】先求并集，得到{1,2,3,4}A B ⋃=，再由补集的概念，即可求出结果. 【详解】因为{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，所以{1,2,3,4}A B ⋃=， 又{1,2,3,4,5,6}U =，所以()C {5,6}U A B ⋃=. 故选A. 【点睛】本题主要考查集合的并集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.5．C解析：C 【解析】 【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C ． 【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．6．D解析：D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．7．A解析：A 【解析】 【分析】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值． 【详解】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，3T 5π412=-（π3-）3π4=， ∴T 2πω==π，解得ω＝2； 又由函数f （x ）的图象经过（5π12，2）， ∴2＝2sin （25π12⨯+φ）， ∴5π6+φ＝2kππ2+，k∈Z， 即φ＝2kππ3-， 又由π2-＜φπ2＜，则φπ3=-； 综上所述，ω＝2、φπ3=-． 故选A ． 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8．A解析：A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.9．C解析：C 【解析】由函数的增减性及导数的应用得：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果．【详解】解：设3()sin ,[1,1]2xf x x x π=+∈-， 则2()3cos022xf x x ππ'=+>，即3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-为增函数，又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin22mnn m ππ-<-，即33sinsin22mnm n ππ+<+，所以()()f m f n <，所以m n <． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．10．A解析：A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.11．A解析：A 【解析】试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为所以中间一组的频数为160×0.2=32点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是．12．B解析：B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<Q{}2M N x x ∴⋃=≥-本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题 解析：12【解析】 【分析】 【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出()P B . 详解：设()()()P A a,P B b,P C c ===, 因为()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=， 所以()()16118118ab b c ab c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以111a ,b ,324c ===所以()1P B 2=点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．14．【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等①一正：关系式中各项均为正数；②二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个解析：3+【解析】21a b Q +=，则1111223+3b a a b a b a b a b +=++=+≥+（）（）11a b+的最小值为3+点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有11112a b a b a b+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.15．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二解析：1 【解析】 【分析】先求出二项式9()ax x-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】9()a x x -展开式的的通项为()992199rr r r r rr a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令9233r r -=⇒=，9()a x x-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=，故答案为1. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.16．【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使解析：.【解析】()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-，令()ln 12,g x x ax =+-Q 函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根，()112'2ax g x a x x-=-=，当0a ≤时，()'0g x >，则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增，因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根，应舍去，当0a >时，令()'0g x =，解得12x a =，令()'0g x >，解得102x a <<，此时函数()g x 单调递增，令()'0g x <，解得12x a >，此时函数()g x 单调递减，∴当12x a=时，函数()g x 取得极大值，当x 近于0与x 近于+∞时，()g x →-∞，要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根，则11ln 022g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，解得10,2a <<∴实数a 的取值范围是102a <<，故答案为102a <<. 17．【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式根据特殊角的三角函数值求得运算的结果【详解】依题意原式【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值考查特殊角的三角函数值考查化归与转化的数学思想方法属于基 32+ 【解析】 【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果. 【详解】 依题意，原式17π26ππ2πcossin cos 4πsin 8π4343⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2π32cos sin 43+=+=. 【点睛】 本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.18．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：1015π【解析】 【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23SBA ∠=, ∴sin 53SBA ∠=，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得2221R r OF =+，计算得，28110112020R =+= ， 所以210145S R ππ==. 故答案为101.5π 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.19．8【解析】【详解】由题意知a ∈Pb ∈Q 则a+b 的取值分别为123467811故集合P+Q 中的元素有8个点睛：求元素(个数)的方法根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)然后根据集合元素的解析：8 【解析】 【详解】由题意知a ∈P ,b ∈Q ,则a+b 的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11.故集合P+Q 中的元素有8个. 点睛：求元素(个数)的方法，根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．20．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去解析：【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．三、解答题21．（1）6x π=-；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈--【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值；（3）计算由()()0a d b c +⋅+=r u r r r得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可．【详解】（1）()sin 1,1b c x +=--r rQ ，()//a b c +r r r ，()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，6x π∴=-.（2）∵()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=⋅=+-=+r r.x R ∈Q ，1sin 1x ∴-剟，()04f x ∴剟，()f x ∴的最小值为0. （3）∵()3sin ,1a d x k +=++r u r ，()sin 1,1b c x +=--r r， 若()()a d b c +⊥+r u r r r ，则()()0a d b c +⋅+=r u r r r，即()()()3sin sin 110x x k +--+=，()22sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--，∴存在[]5,1k ∈--，使得()()a dbc +⊥+r u r r r【点睛】本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大． 22．（I ）丙级；（Ⅱ）①；②.【解析】 【分析】（I ）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级。

【易错题】高中三年级数学下期末第一次模拟试题(带答案)(3)一、选择题1．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( )A ．27B ．11C ．109D ．36 2．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．26D ．423．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面；③若M α∈，M β∈，l αβ=I ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1B ．2C ．3D ．44．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ．53B ．35C ．37D ．575．当1a >时， 在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v则·BC OM u u u vu u u u v 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．07．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．3248．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．10D ．129．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)10．已知,a b r r 是非零向量且满足(2)a b a -⊥r r r，(2)b a b -⊥，则a r 与b r 的夹角是（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 11．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<12．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<二、填空题13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.14．若过点()2,0M 且斜率为3的直线与抛物线()2:0C y ax a =>的准线l 相交于点B ，与C 的一个交点为A ，若BM MA =v u u u v，则a =____．15．在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点,且满足CN CDBM BC =u u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AM AN ⋅u u u u v u u u v 的取值范围是_________． 16．若9()ax x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．17．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.18．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）19．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．20．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．三、解答题21．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值是63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.23．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由. 24．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.25．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率；（II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 26．已知函数1(1)f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由秦九韶算法可得()())((())532231? 02311,f x x x x x x x x x x =++++=+++++0ν1∴=1ν=1303⨯+= 2ν33211=⨯+= 3ν113336=⨯+=故答案选D2．D解析：D 【解析】 【分析】2a b+≤转化为指数运算即可求解。