福建省漳州市2017-2018学年高考数学二模试卷(理科) Word版含解析

2018年福建省漳州市高考数学考前模拟试卷（理科）（一）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x+m＝0}，若A∩B＝{3}，则B＝（）A．{﹣1，3}B．{﹣2，3}C．{﹣1，﹣2，3}D．{3}2．（5分）复数z满足（1+2i）z＝|1+3i|2，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列叙述中正确的是（）A．“m＝2”是“l1：2x+（m+1）y+4＝0与l2：mx+3y﹣2＝0平行”的充分条件B．“方程Ax2+By2＝1表示椭圆”的充要条件是“A≠B”C．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，x02≥0”D．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b都是奇数”4．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n（a n∈R），且S2＝7，S6＝91，则S4的值为（）A．21B．28C．﹣21D．28或﹣21 5．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，若实数a满足f（a）﹣f（1﹣a）≤0，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，）6．（5分）《九章算术》一书中，第九章“勾股”中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是，“今有直角三角形，短的直角边长为8步，长的直角边长为15步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？”通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）一个算法的程序框图如图所示，如果输出y的值是1，那么输入x的值是（）A．﹣2或2B．﹣2或C．﹣或D．﹣或2 8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．39．（5分）已知ω＞0，顺次连接函数y＝sinωx与y＝cosωx的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝（）A．πB．C．D．π10．（5分）已知双曲线E：的左、右焦点为F1，F2，过点F1的直线与双曲线E的左支交于A，B两点，若＝0，则△ABF2的内切圆面积为（）A．72πB．（﹣2）πC．（9﹣2）πD．（18﹣4）π11．（5分）对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：23，33，43，…，仿此，若M3的“分裂数”中有一个是73，则m的值为（）A．8B．9C．10D．1112．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）＝xlnx，f（）＝，则f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．13．（5分）已知向量，的夹角为，||＝1，||＝3，则|+|＝．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为．15．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面P AD⊥面ABCD，P A＝PD＝AD＝3，AB＝4，则四棱锥ABCD的外接球的表面积为．16．（5分）已知点P为抛物线C：y2＝4x上一点，记P到此抛物线准线l的距离为d1，点P到圆（x+2）2+（y+4）2＝4上点的距离为d2，则d1+d2的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+sin B（sin C﹣cos C）＝0，b＝2，．（1）求角B的大小；（2）函数，求f（x）的单调递增区间．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，，△P AB与△P AD均为等边三角形，点E为CD的中点．（1）证明：平面P AE⊥平面ABCD；（2）试问在线段PC上是否存在点F，使二面角F﹣BE﹣C的余弦值为，若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数ξ～N（127，7.12），且所有得分都是整数．（1）求全班平均成绩；（2）计算得分超过141的人数；（精确到整数）（3）甲同学每次考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，X表示进入前100名的次数，写出X的分布列，并求期望与方差．参考数据：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544．20．（12分）椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴两端点为B1（0，﹣1）、B2（0，1），离心率e＝，点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线B1P和B2P分别与x 轴相交于M，N两点，（Ⅰ）求椭圆C的方程和|OM|•|ON|的值；（Ⅱ）若点M坐标为（1，0），过M点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试求△ABN 面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1（a为常数）与x轴有唯一的公关点A．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）曲线y＝f（x）在点A处的切线斜率为a2﹣a﹣3，若存在不相等的正实数x1x2，满足|f（x1）|＝|f（x2）|，证明：x1x2＜1．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线．（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+2|．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式|2b﹣a|+|b+2a|≥|a|（|x+1|+|x﹣1|）（a≠0）恒成立，求实数x的取值范围．2018年福建省漳州市高考数学考前模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x+m＝0}，A∩B＝{3}，∴3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，∴9﹣6+m＝0，解得m＝﹣3，∴B＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}＝{﹣1，3}．故选：A．2．【解答】解：由（1+2i）z＝|1+3i|2，得z＝＝＝＝2﹣4i，对应点的坐标为（2，﹣4），位于第四象限，故选：D．3．【解答】解：A．当m＝2时，两直线方程为“l1：2x+3y+4＝0与l2：2+3y﹣2＝0”此时两直线平行，即“m＝2”是“l1：2x+（m+1）y+4＝0与l2：mx+3y﹣2＝0平行”的充分条件正确．B．若A2+By2＝1表示椭圆，则A＞0，B＞0，且A≠B，则“方程Ax2+By2＝1表示椭圆”的充要条件是“A≠B”错误．C．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，x02＜0”，故C错误，D．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b不都是偶数”，故D错误，故选：A．4．【解答】解：∵等比数列{a n}中，S2＝7，S6＝91，由于每相邻两项的和也成等比数列，∴S2 、S4﹣S2 、S6 ﹣S4成等比数列，即7，S4﹣7，91﹣S4成等比数列．∴（S4﹣7）2＝7（91﹣S4），解得S4＝28，故选：B．5．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，则f（x）在（﹣1，1）上是增函数，f（a）﹣f（1﹣a）≤0⇒f（a）≤f（1﹣a）⇒，解可得：0＜a≤，即a的取值范围为（0，]故选：C．6．【解答】解：由勾股定理可得斜边长为＝17，设其内切圆的半径为r，则由等面积法，可得（8+15+17）r＝×8×15，则r＝3．∵S三角形＝×8×15＝60，S圆＝π×32＝9π．∴往该直角三角形中随机投掷一个点，则该点落在此三角形内切圆内的概率为．故选：A．7．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y＝的函数值，当x＜0时，y＝|x|﹣1＝1，解得：x＝﹣2当x≥0时，y＝x2﹣1＝1，解得：x＝，故选：B．8．【解答】解：依三视图知该几何体为三棱锥P﹣ABC且PD⊥平面ABD，AD⊥BD，C是AD的中点，PD＝AD＝BD＝2，所以其体积V＝××2×3×3＝3，故选：D．9．【解答】解：如图所示，由ω＞0时，在函数y＝sinωx与y＝cosωx的图象交点中，＝，∴|AB|＝，|AC|＝T＝；又|AB|＝|AC|，即＝，解得ω＝π．故选：B．10．【解答】解：根据题意，双曲线E：，其中a＝2，b＝，则c＝＝3，|F1F2|＝2c＝6，|AF1|﹣|AF2|＝|BF1|﹣|BF2|＝2a＝4，则|AB|＝|AF1|+|BF1|＝4+（|AF2|+|BF2|）又由＝0，则∠F2AB＝90°，则|AF2|2+|AF1|2＝|F1F2|2＝36，则2|AF1|•|AF2|＝（|AF2|2+|AF1|2）﹣（|AF1|﹣|AF2|）2＝20，即|AF1|•|AF2|＝10，则有（|AF1|+|AF2|）2＝（|AF2|2+|AF1|2）+2|AF1|•|AF2|＝56，则（|AF1|+|AF2|）＝2，则直角三角形△ABF2的内切圆R＝（|AB|+|AF2|﹣|BF2|）＝[（|AF1|+|AF2|）﹣（|BF1|﹣|BF2|）]＝﹣2，故△ABF2的内切圆面积S＝πR2＝（18﹣4）π；故选：D．11．【解答】解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为a m，则由题意可得a3﹣a2＝7﹣3＝4＝2×2，a4﹣a3＝13﹣7＝6＝2×3，…a m﹣a m﹣1＝2（m﹣1），以上m﹣2个式子相加可得a m﹣a2＝＝（m+1）（m﹣2），∴a m＝a2+（m+1）（m﹣2）＝m2﹣m+1，∴当m＝9时，a m＝73，即73是93的“分裂”数中的第一个，故选：B．12．【解答】解：∵xf′（x）﹣f（x）＝xlnx，∴＝，∴＝，而＝，∴＝+c，∴f（x）＝+cx，由f（）＝，解得c＝，∴f（x）＝+x，∴f′（x）＝（1+lnx）2≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，故函数f（x）无极值，故选：D．二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．13．【解答】解：∵向量，的夹角为，||＝1，||＝3，∴＝1•3•cos＝﹣，则|+|＝＝＝＝，故答案为：．14．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝x+2y为y＝﹣，结合图象可知，当目标函数通过点（1，1）时，z取得最小值，z min＝1+2×1＝3．故答案为：3．15．【解答】解：取AD的中点E，连接PE，△P AD中，P A＝PD＝AD＝3，∴PE＝，设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B＝BD＝，设O到平面ABCD的距离为d，则R2＝d2+（）2＝22+（﹣d）2，∴d＝，R2＝7，球O的表面积为s＝4πR2＝28π．故答案为：28π．16．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），准线l：x＝﹣1，设PK⊥准线l，垂足为K，由抛物线的定义可得|PF|＝|PK|，圆（x+2）2+（y+4）2＝4的圆心为M（﹣2，﹣4），半径为r＝2，连接FM，当F，P，M三点共线，取得最小值．可得d1+d2的最小值为|FM|﹣r＝﹣2＝3．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）∵A+B+C＝π．∴sin A＝sin[π﹣（B+C）]＝sin（B+C），∵sin A+sin B•（sin C﹣cos C）＝0，∴sin（B+C）+sin B sin C﹣sin B cos C＝0，∴sin B cos C+cos B sin C+sin B sin C﹣sin B cos C＝0，∴sin C（sin B+cos B）＝0，∵sin C＞0，∴sin B+cos B＝0．∴tan B＝﹣1，∵0＜B＜π，∴．（2）由（1）知，又．由正弦定理得，∴，又，∴，∴＝＝＝由，解得：．故f（x）的递增区间为：．18．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，由于AB∥CD，点E为CD的中点，DE＝AB，AB⊥AD，所以四边形ABED为正方形，可得BD⊥AE，设BD与AE相交于点O，又△P AB与△P AD均为等边三角形，可得PB＝PD，在等腰△PBD中，点O为BD的中点，所以BD⊥PO，且AE与PO相交于点O，可得BD⊥平面P AE，又BD⊂平面ABCD，所以平面P AE⊥平面ABCD．解：（Ⅱ）由CD＝2AB＝6，△P AB与△P AD均为等边三角形，四边形ABED为正方形，BD与AE相交于点O，可知OA＝OP＝3，P A＝3，所以PO⊥AO，又平面P AE⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．可得B（0，3，0），P（0，0，3），E（﹣3，0，0），C（﹣6，3，0），设点F（x，y，z），，由，＝（﹣6，3，﹣3），可得F（﹣6λ，3λ，3﹣3λ），故＝（﹣6λ，3λ﹣3，3﹣3λ），＝（﹣3，﹣3，0），设＝（x，y，z）为平面BEF的一个法向量，则，取x＝1﹣λ，得＝（1﹣λ，λ﹣1，3λ﹣1），平面BCE的一个法向量为＝（0，0，1），因为二面角F﹣BE﹣C的余弦值为，所以|cos＜＞|＝＝＝，解得，所以，在线段PC上存在点F，使二面角F﹣BE﹣C的余弦值为，且点F为PC的中点．19．【解答】解：（1）由不同成绩段的人数ξ～N（127，7.12），可知平均成绩μ＝127．（2）P（ξ＞141）＝P（ξ＞141.2）＝P（ξ＞127+7.1×2）＝＝0.0228．故141分以上的人数为1000×0.0228≈23人．（3）X的取值为0，1，2，3，4，由P（X＝k）＝，可得：P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝．故X的分布列为期望E（X）＝np＝4×＝1，方差D（X）＝np（1﹣p）＝＝．20．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+＝1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由B1（0，﹣1）、B2（0，1），知b＝1，…（1分）由椭圆的离心率e＝＝，则c2＝a2，由a2﹣b2＝c2，a2﹣1＝a2，解得：a2＝4，∴椭圆C的方程为：；…（3分）设点P（x0，y0），则直线B1P方程为y＝x﹣1，令y＝0，得x M＝，同理可得x N＝，∴|OM|•|ON|＝丨x M丨•丨x N丨＝丨丨•丨丨＝＝4，|OM|•|ON|＝4；…（5分）（Ⅱ）当点M坐标为（1，0）时，点N（4，0），丨MN丨＝3，…（6分）设直线AB的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得（t2+4）y2+2ty﹣3＝0，则y1+y2＝﹣，y1•y2＝﹣，…（8分）丨y1﹣y2丨＝＝＝，△ABN面积S＝丨MN丨•丨y1﹣y2丨＝•＝，…（10分）∵t2≥0，则+≥+＝，∴S≤，因此当t＝0，即直线AB的方程为x＝1时，△ABN面积的最大值是．…（12分）21．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝x﹣alnx﹣1的定义域为（0，+∞），且f（1）＝0，故由题意可知曲线f（x）与x轴存在公共点A（1，0），又，则有当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）递增，满足条件；当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，①若0＜a＜1时，则f（a）＜f（1）＝0，取，则，f（x0）＝x0﹣alnx0﹣1＞0故由零点存在定理可知，函数f（x）在（0，1）上还有一个零点，因此不符合题意；②若a＝1，则函数f（x）的极小值为f（1）＝0，符合题意；③若a＞1，则由函数f（x）的单调性，有f（a）＜f（1）＝0，取，有．下面研究函数g（a）＝a﹣ln（a2+1），a＞1，因为恒成立，故函数g（a）在（1，+∞）上递增，故g（a）＞g（1）＝1﹣ln2＞0，故f（x0）＝ag（a）＞0成立，函数f（x）在区间（a，a2+1）上存在零点．不符合题意．综上所述：当a＝1时，函数f（x）的递增区间为（1，+∞），递减区间为（0，1）；当a≤0时，函数f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间．（Ⅱ）证明：容易知道函数f（x）在A（1，0）处的切线斜率为f′（1）＝1﹣a＝a2﹣a ﹣3，得a＝±2，由（Ⅰ）可知a＝﹣2，且函数f（x）在区间（0，+∞）上递增．不妨设x1＜x2，因为|f（x1）|＝|f（x2）|，则f（x1）＜0＜f（x2），则有﹣（x1+2lnx1﹣1）＝x2+2lnx2﹣1，整理得x2+x1＝2﹣2ln（x1x2），由基本不等式得，故，整理得，即．由函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以，即x 1x2＜1．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（α为参数）化为普通方程为x2+y2＝2x，所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）＝3．（Ⅱ）射线与曲线C1的交点的极径为，射线与曲线C2的交点的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1），所以，时，f（x）取最小值，且最小值为，故f（x）的最小值为．（2）由|2b﹣a|+|b+2a|≥|a|（|x+1|+|x﹣1|），（a≠0）恒成立，即恒成立，令，则|2t﹣1|+|t+2|≥（|x+1|+|x﹣1|）恒成立，由（1）知，只需，可化为或或，解得，故实数x的取值范围为．。

福建省漳州市平和五中2017-2018学年高考数学模拟试卷（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于( )A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于( )A．8 B．10 C．12 D．144．若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )A．B．C．D．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于( )A．18 B．20 C．21 D．406．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是( )A．f（x）是偶函数B．f（x）在R上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是( )A．f（x）是偶函数B．f（x）在R上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为分析：由函数在y轴左侧是余弦函数，右侧是二次函数的部分可知函数不具有周期性和单调性，函数不是偶函数，然后求解其值域得答案．解答：解：由解析式可知，当x≤0时，f（x）=cosx，为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，是二次函数的一部分，∴函数不是偶函数，不具有周期性，不是单调函数，对于D，当x≤0时，值域为，当x＞0时，值域为（1，+∞），∴函数的值域为选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．点评：本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．9．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )A．5B．+C．7+D．6考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．解答：解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．10．用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5 C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）考点：归纳推理；进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决．解答：解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5．故选：A．点评：本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．二、填空题11．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．解答：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．12．在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理计算即可．解答：解：由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AB•ACcosA，即3=4+AB2﹣2AB，解得AB=1，故答案为：1．点评：本题考查解三角形，注意解题方法的积累，属于基础题．13．要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：不等式的解法及应用．分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．解答：解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160点评：本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．14．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．考点：几何概型．专题：综合题；概率与统计．分析：利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．解答：解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：．点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．15．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．考点：集合的相等．专题：计算题；集合．分析：利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三．解答题：本大题共5小题，共80分.16．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．解答：解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为，k∈Z．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．17．在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间角．分析：（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出．解答：（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1．∴=（1，﹣1，1）．设直线AD与平面MBC所成角为θ．则sinθ=|cos|===．点评：本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题．18．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X 得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决．解答：解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X 60 20P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是，记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为X160 20 100PX1的数学期望为E（X1）=．X1的方差D（X1）==，对于方案2，即方案设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80PX2的数学期望为E（X2）==60，X2的方差D（X2）=差D（X1）=．由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2．点评：本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想．19．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1．当直线l不与x 轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案．解答：解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2．所以=2．故c=a，从而双曲线E的离心率e==．（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件．设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|得：|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1．点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．20．已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜e x．（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞），恒有x2＜ce x．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（Ⅱ）构造函数g（x）=e x﹣x2，求出导数，利用（Ⅰ）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（Ⅲ）令x0=，利用（Ⅱ）的结论，即得结论成立．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=e x﹣ax得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（Ⅱ）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（III）对任意给定的正数c，取x0=＞0，由（II）知，当x＞0时，e x＞x2，∴，当x＞x0时，，因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x．点评：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、综合性较强，难度较大．本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）选修4-2：矩阵与变换21．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．考点：特征向量的定义．专题：计算题；矩阵和变换．分析：（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．解答：解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为．点评：本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．选修4-4：极坐标与参数方程22．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．考点：圆的参数方程；直线的参数方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出．解答：解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4．由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=．∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2．点评：熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．选修4-5：不等式选将23．已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：计算题；证明题；不等式的解法及应用．分析：（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可证得．解答：（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3．点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．。

2017-2018学年福建省漳州市龙海二中高三（下）开学数学试卷（理科）一、本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∪N=（）A．[0，3）B．[0，3]C．[1，2）D．[1，2]2．已知a为实数，若复数z=a2﹣3a﹣4+（a﹣4）i为纯虚数，则复数a﹣ai在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列命题中正确命题的个数是（）（1）cosα≠0是的充分必要条件（2）f（x）=|sinx|+|cosx|，则f（x）最小正周期是π（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变（4）设随机变量ζ服从正态分布N（0，1），若P（ζ＞1）=p，则．A．4 B．3 C．2 D．14．已知一组数据1，3，5，7的方差为n，则在二项式（2x﹣）n的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．6．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16 B．32 C．36 D．487．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称8．已知在圆x2+y2﹣4x+2y=0内，过点E（1，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A． B．6C．D．29．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种10．已知实数x，y满足条件若目标函数z=3x+y的最小值为5，其最大值为（）A．10 B．12 C．14 D．1511．已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1e2的取值范围为（）A．B． C．（2，+∞）D．12．函数f（x）=，直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a，b，c，d，有以下四个结论①m∈[3，4）②abcd∈[0，e4）③a+b+c+d∈④若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则m取值唯一．则其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．已知向量，满足（2﹣）（+）=6，且||=2，||=1，则与的夹角为．14．由曲线y=x2和直线y=1所围成的封闭图形面积为．15．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD 沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是．（填写所有正确命题的序号）①若sinAsinB=2sin2C，则0＜C＜；②若a+b＞2c，则0＜C＜；③若a4+b4=c4．则△ABC为锐角三角形；④若（a+b）c＜2ab，则C＞•三．解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．已知正项等比数列{a n}前n项和为S n，且满足S3=，a6，3a5，a7成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=，且数列b n的前n项的和T n，试比较T n与的大小．18．某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（I）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；（Ⅱ）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（I）证明：AE⊥PD；（II）H是PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角为45°，求二面角E﹣AF﹣C的正切值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），a∈R．（Ⅰ）若当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＞（e+1）a，求a的取值范围．选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．（1）求证：△EFG为等腰三角形；（2）求线段MG的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为p2cos2θ+p2sinθ﹣2psinθ﹣3=0 （1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集．（Ⅱ）当a＜时，对于∀x∈（﹣∞，﹣]，都有f（x）+x≥3成立，求a的取值范围．2015-2016学年福建省漳州市龙海二中高三（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∪N=（）A．[0，3）B．[0，3]C．[1，2）D．[1，2]【考点】并集及其运算．【分析】化简集合M，集合N，进而根据集合并集运算规则，求出结果．【解答】解：x2﹣2x≤0，解得0≤x≤2，即M=[0，2]∵log2（x﹣1）＜1，∴0＜x﹣1＜2，解得1＜x＜3，∴M=（1，3），∴M∪N=[0，3），故选：A．2．已知a为实数，若复数z=a2﹣3a﹣4+（a﹣4）i为纯虚数，则复数a﹣ai在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数是纯虚数求出a的值，结合复数的几何意义进行求解即可．【解答】解：若复数z=a2﹣3a﹣4+（a﹣4）i为纯虚数，则得得a=﹣1，则复数a﹣ai=﹣1+i对应的坐标为（﹣1，1）位于第二象限，故选：B3．下列命题中正确命题的个数是（）（1）cosα≠0是的充分必要条件（2）f（x）=|sinx|+|cosx|，则f（x）最小正周期是π（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变（4）设随机变量ζ服从正态分布N（0，1），若P（ζ＞1）=p，则．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）cosα≠0，根据图象可得α≠kπ；（2）根据诱导公式可知f（x）最小正周期是；（3）根据方差的计算公式可得结论；（4）利用正态分布的性质可解．【解答】解：（1）cosα≠0，则α≠kπ，故是的充分不必要条件，故错误；（2）f（x）=|sinx|+|cosx|，则f（x）最小正周期是，故错误，（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则每个数与平均数的差的平方不变，故样本的方差不变，故正确；（4）设随机变量ζ服从正态分布N（0，1），若P（ζ＞1）=p，由图象的对称性可得，若P（ξ＞1）=P，则P（ξ＜﹣1）=P，∴P（﹣1＜ξ＜1）=1﹣2P，则，故正确．故选：C．4．已知一组数据1，3，5，7的方差为n，则在二项式（2x﹣）n的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（）A．B．C．D．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用方差的定义求得n，再求得（2x﹣）20的展开式的通项公式，求得有理项共有7项，而所有项共有21项，从而求得取到有理项的概率．【解答】解：由题意可得，数据1，3，5，7的平均值为4，它的方差为n=（1﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2=20，=•（﹣1）r•220﹣r•．二项式（2x﹣）n=（2x﹣）20的展开式的通项公式为T r+1令20﹣为整数，可得r=0，3，6，9，12，15，18，共计7项，而展开式共有21项，故在所有项中任取一项，取到有理项的概率为=，故选：C．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，它的作用是求+++…+的值，用裂项法进行求和，可得结果．【解答】解：该程序框图的作用是求+++…+的值，而+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=，故选：C．6．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16 B．32 C．36 D．48【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体为一条侧棱与底面垂直，且底面为直角梯形的四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体为如图所示的四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为直角梯形；其中BC=2，AD=6，AB=6，SA⊥平面ABCD，SA=6，∴四棱锥S﹣ABCD的体积为V=××（2+6）×6×6=48．故选：D．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴T==π，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣），若此时函数关于原点对称，则φ﹣=kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=﹣1时，φ=．即f（x）=sin（2x）．由2x=，解得x=+，k∈Z，故当k=0时，函数的对称轴为x=，故选：B8．已知在圆x 2+y 2﹣4x +2y=0内，过点E （1，0）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ．6C ．D ．2 【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x 2+y 2﹣4x +2y=0即（x ﹣2）2+（y +1）2=5，圆心M （2，﹣1），半径r=，最长弦AC 为圆的直径．BD 为最短弦，AC 与BD 相垂直，求出BD ，由此能求出四边形ABCD的面积．【解答】解：圆x 2+y 2﹣4x +2y=0即（x ﹣2）2+（y +1）2=5，圆心M （2，﹣1），半径r=，最长弦AC 为圆的直径为2， ∵BD 为最短弦∴AC 与BD 相垂直，ME=d=，∴BD=2BE=2=2， ∵S 四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =BD ×EA +×BD ×EC=×BD ×（EA +EC ）=×BD ×AC==2．故选：D9．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ） A ．24种 B ．48种 C ．96种 D ．144种 【考点】计数原理的应用．【分析】本题是一个分步计数问题，A 只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A 排列，程序B 和C 实施时必须相邻，把B 和C 看做一个元素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列． 【解答】解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A 只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A 排列，有A 21=2种结果 ∵程序B 和C 实施时必须相邻，∴把B 和C 看做一个元素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列，共有A 44A 22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果， 故选C ．10．已知实数x ，y 满足条件若目标函数z=3x +y 的最小值为5，其最大值为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．15【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=3x+y的最小值为5，建立条件关系即可求出c的值，然后求最大值即可．【解答】解：目标函数z=3x+y的最小值为5，∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为5，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点B截距最小，由，解得，即B（2，﹣1），同时B也在直线﹣2x+y+c=0，即﹣4﹣1+c=0，解得c=5，此时直线方程为﹣2x+y+5=0，当直线z=3x+y经过点C时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=3×3+1=10，故选：A．11．已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1e2的取值范围为（）A．B． C．（2，+∞）D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1＜＜4，则有＞．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．故选：A．12．函数f（x）=，直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a，b，c，d，有以下四个结论①m∈[3，4）②abcd∈[0，e4）③a+b+c+d∈④若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则m取值唯一．则其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对于①画出y=f（x）与y=m的图象即可；对于②，结合图象把abcd的不等式用m表示出来对于③同样用m把a+b+c+d表示出来；对于④若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=﹣x+m有三个不同的交点，画图即可．【解答】解：∵f（x）=，∴函数f（x）的图象如下若直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[3，4），故①正确四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，则a，b是x2+2x+m﹣3=0的两根，∴a+b=﹣2，ab=m﹣3，∴ab∈[0，1），且lnc=2﹣m，lnd=2+m，∴ln（cd）=4∴cd=e4，∴abcd∈[0，e4），∴②是正确的．由2﹣lnx=4得x=，由2﹣lnx=3得x=，∴c∈（，]，又∵cd=e4，∴a+b+c+d=c+﹣2在（，]是递减函数，∴a+b+c+d∈[e5+﹣2，e6+﹣2）；∴③是正确的若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=﹣x+m有三个不同的交点，而直线y=﹣x+3 与y=﹣x+均与y=f（x）有三个交点，∴m不唯一．∴④是不正确的故选A二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．已知向量，满足（2﹣）（+）=6，且||=2，||=1，则与的夹角为120°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】将已知等式展开，利用向量的平方与模的平方相等以及向量的数量积公式，得到关于向量夹角的等式解之．【解答】解：由（2﹣）（+）=6，且||=2，||=1，得，即8﹣1+2cos＜＞=6，所以cos＜＞=，所以与的夹角为120°；故答案为：120°．14．由曲线y=x2和直线y=1所围成的封闭图形面积为．【考点】定积分．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y=x2与直线y=1围成的封闭图形的面积，即可求得结论【解答】解：联立方程组，解得或，∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S==．故答案为：15．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD 沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．【解答】解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB=2，AD=1，CD=1，∴AC=，BC=，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵当三棱锥体积最大时，∴平面DCA⊥平面ACB，∴OB=OA=OC=OD，∴OB=1，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：=．故答案为：．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是①②③．（填写所有正确命题的序号）①若sinAsinB=2sin2C，则0＜C＜；②若a+b＞2c，则0＜C＜；③若a4+b4=c4．则△ABC为锐角三角形；④若（a+b）c＜2ab，则C＞•【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】①由正弦定理可得：ab=2c2，由余弦定理可得：c2==a2+b2﹣2abcosC，整理可得：cosC=﹣≥，利用余弦函数的图象和性质可得0＜C＜，命题正确；②利用余弦定理，将c2放大为（）2，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C＜；③由题意可得（a2+b2）2﹣c4 =2a2b2＞0，△ABC中，由余弦定理可得cosC=＞0，故角C 为锐角，再根据c边为最大边，故角C 为△ABC的最大角，从而得出结论④只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形；【解答】解：①若sinAsinB=2sin2C，由正弦定理可得：ab=2c2，由余弦定理可得：c2==a2+b2﹣2abcosC，整理可得：cosC=﹣≥，则0＜C＜，命题正确；②a+b＞2c⇒cosC=＞≥×﹣≥＞⇒C＜，故②正确；③∵△ABC的三边长分别为a，b，c，且a4+b4=c4，∴（a2+b2）2=a4+b4 +2a2b2=c4+2a2b2．∴（a2+b2）2﹣c4 =2a2b2＞0．又（a2+b2）2﹣c4 =（a2+b2+c2）（a2+b2﹣c2），∴（a2+b2﹣c2）＞0．△ABC中，由余弦定理可得cosC=＞0，故角C为锐角．再由题意可得，c边为最大边，故角C为△ABC的最大角，∴△ABC是锐角三角形，命题正确；④取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得：C＜＜，故④错误；故答案为：①②③．三．解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．已知正项等比数列{a n}前n项和为S n，且满足S3=，a6，3a5，a7成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=，且数列b n的前n项的和T n，试比较T n与的大小．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）根据等差数列和等比数列的性质即可求出公比，问题得以解决；（Ⅱ）根据对数的运算性质和裂项求和以及放缩法即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，因为a6，3a5，a7成等差数列，所以6a5=a6+a7，所以6a5=qa5+q2a5．因为a5≠0，所以q2+q﹣6=0，又a n＞0，所以q=2．由S3=，解得a1=，所以通项公式为a n=•2n﹣1=2n﹣2．（Ⅱ）b n=====（﹣）所以T n=b1+b2+b3+…+b n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜18．某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（I）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；（Ⅱ）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（I）根据频率分布直方图求出重量超过505克的产品数量，推出随机变量X的所有可能取值为0，1，2求出概率，得到随机变量X的分布列．（Ⅱ）求出该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，推出Y～B（5，0.3）．然后求解所求概率．【解答】解：（I）根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[（0.001+0.005）×5]×40=12．由题意得随机变量X的所有可能取值为0，1，2=，，．X505克的概率为0.3设Y为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则Y～B（5，0.3）．故所求概率为P（Y=2）=．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（I）证明：AE⊥PD；（II）H是PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角为45°，求二面角E﹣AF﹣C的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）推导出△ABC为正三角形，从而AE⊥BC，推导出AE⊥AD，PA⊥AE，由此能证明AE⊥PD．（Ⅱ）推导出∠AHE是EH与平面PAD所成的角，当AH最小时，∠AHE最大，此时AH⊥PD，∠AHE=45°，以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的正切值．【解答】（本小题满分12分）证明：（I）由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，得△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，又BC∥AD，因此AE⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE⊥平面PAD，∴∠AHE是EH与平面PAD所成的角，由于AE为定值，∴当AH最小时，∠AHE最大此时AH⊥PD，∠AHE=45°设AB=2a，则AE=，AH=AE=，∵，∴AD•PA=PD•AH，2a，∴PA=2，以\\为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），E（，0，0），C（，a，0），F（，，），设平面AFC的一个法向量为=（x，y，z），则，即，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面AEF的一个法向量为=（x，y，z），则，即，取z=1，得=（0，﹣2，1），cos＜＞===，tan＜＞==，∴二面角E﹣AF﹣C的正切值为．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）运用离心率公式和点M满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，设P（0，p），求得向量PA，PB和数量积，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，即可得到结论．【解答】解：（1）由已知可得，∴椭圆C的方程为；（2）由得：9（2k2+4）x2﹣12kx﹣43=0①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程①的两根，∴，设P（0，p），则，=假设在y轴上存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点，则，即．即（18p2﹣45）k2+36p2+24p﹣39=0对任意k∈R恒成立，∴，此方程组无解，∴不存在定点满足条件．21．已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），a∈R．（Ⅰ）若当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＞（e+1）a，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）a=﹣1时，求出f（x）=x2﹣x﹣lnx，通过求导，根据导数符号即可判断出f （x）的单调区间；（Ⅱ）讨论a的取值：a=0时，容易得出满足题意；a＞0时，会发现函数x2+ax在（0，+∞）上单调递增，让＜1，便得到f（x）＜1+a+alnx，从而这种情况不存在；当a＜0时，通过求导，容易判断出，存在x0∈（0，+∞），使f′（x0）=0，从而判断出f（x）的最小值f（x0），再由条件f（x）便可得到x0∈（0，e），并根据f′（x0）=0，可求出，从而求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得x∈（0，+∞）；当a=﹣1时，f（x）=x2﹣x﹣lnx，=；∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；∴f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是[1，+∞）；（II）①当a=0时，f（x）=x2＞0，显然符合题意；②当a＞0时，当时；f（x）＜1+a+alnx，不符合题意；③当a＜0时，则；对于2x2+ax+a=0，△=a2﹣8a＞0；∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在x0∈（0，+∞），使得；即f′（x0）=0；∴0＜x＜x0时，f′（x）＜0，x＞x0时，f′（x）＞0；∴f（x）min=f（x0）===；∵，∴x0+2lnx0﹣（e+2）＜0；∴0＜x0＜e；由得，；设y=，y′=；∴函数在（0，e）上单调递减；∴；综上所述，实数a的取值范围．选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．（1）求证：△EFG为等腰三角形；（2）求线段MG的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，∠FGE=∠BAF，证明∠EFG=∠FGE，即可证明：△EFG为等腰三角形；（2）求出EF=EG=4，连接AD，则∠BAD=∠BFD，即可求线段MG的长．【解答】（1）证明：连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，∴∠FGE=∠BAF∵EF⊥OF，∴∠EFG=∠BAF，∴∠EFG=∠FGE∴EF=EG，∴△EFG为等腰三角形；（2）解：由AB=10，CD=8可得OM=3，∴ED=OM=4EF2=ED•EC=48，∴EF=EG=4，连接AD，则∠BAD=∠BFD，∴MG=EM﹣EG=8﹣4．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为p2cos2θ+p2sinθ﹣2psinθ﹣3=0 （1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得．（2）将曲线C的极坐标方程化成普通方程，直线与圆联立方程组，利用弦长公式求解即可．【解答】解：（1）直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，可得：=0，k=∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴直线l的极坐标方程为：．（2）曲线C的极坐标方程为p2cos2θ+p2sinθ﹣2psinθ﹣3=0，∵y=ρsinθ，x=ρcosθ∴曲线C的普通方程为：x2+y2﹣2y﹣3=0．可得：圆心（0，1），半径r=2．直线l与曲线C相交于A，B两点联立：，整理得：，，|AB|=，∴|AB|=．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集．（Ⅱ）当a＜时，对于∀x∈（﹣∞，﹣]，都有f（x）+x≥3成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1））令|2x+1|=0，解得x=﹣，令|x﹣2|=0，解得x=2．对x分类讨论即可得出．（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤时，g（x）=|x﹣a|﹣x﹣1，由a，可得g（x）=，对于∀x∈，使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈，利用图象，即可得出．【解答】解：（1））令|2x+1|=0，解得x=﹣，令|x﹣2|=0，解得x=2．当x≥2时，原不等式化为：2x+1+x﹣2＜4，解得x，此时无解；当＜x＜2时，原不等式化为：2x+1+2﹣x＜4，解得x＜1，可得＜x＜1；当时，原不等式化为：﹣2x﹣1+2﹣x＜4，解得x＞﹣1，可得﹣1＜x≤．综上可得：原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤时，g（x）=|x﹣a|﹣x﹣1，由a，可得g（x）=，对于∀x∈，使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈，作出g（x）的图象，可得：[g（x）]min=g（a）=﹣a﹣1，∴﹣a﹣1≥3，可得a≤﹣4．2016年11月10日。

福建省漳州市2017-2018学年高三下学期第二次模拟考试文数试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{2,22-≤=+<<-=x x B a x a x A 或}4≥x ，则φ=B A 的充要条件是（A ）02a ≤≤ （B ）22a -<< （C ）02a <≤ （D ）02a << 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意可得，2224a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得02a ≤≤，故选A.考点：集合的关系. 2.已知复数iia 213-+是纯虚数，则实数=a （A ）－2 （B ）4 （C ）－6 （D ）6 【答案】D 【解析】 试题分析：()()()()()()i a a i a a i i i i a i i a 5325653262121213213++-=++-=+-++=-+，因为表示纯虚数，∴当6=a 时，复数iia 213-+为纯虚数． 考点：复数的代数运算.3.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点()1,2-，则C 的离心率为（A （B （C （D 【答案】A 【解析】试题分析：点(12)-，在直线b y x a =-上，22bb a a ==，，∴2224a c a =-，e ∴ A. 考点：双曲线的简单几何性质.4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为 （A ）64 （B ）73 （C ）512（D ）585【答案】B 【解析】试题分析：因为输入的x 的值为1，第一次循环S=1，x=2；第二次循环S=9，x=4；第三次循环S=73，因此满足输出条件，故输出，则输出S 的值为73． 考点：循环结构.5.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中，面积最大的是（A ）8 （B ）10 （C ） （D ）【答案】B 【解析】试题分析：根据几何体的三视图确定几何体的形状，并画出几何体的直观图，标示已知线段的长度，最后求各个面的面积确定最大值．由三视图可知，四面体的四个面都是直角三角形，面积分别为6，8，10，62，所以面积最大的是10． 考点：三视图.6.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πsin(2)3y x =-的图象（A ）向右平移π6个单位长度 （B ）向左平移π6个单位长度 （C ）向右平移π3个单位长度 （D ）向左平移π3个单位长度 【答案】B 【解析】试题分析：把函数x y 2sin =的图象向右平移π6个单位即可得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 62sin ππx x y 的图象，故要得到函数x y 2sin =的函数图象，可将函数πsin(2)3y x =-的图象向左至少平移π6个单位即可．考点：三角函数图像的变换7.已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为θ，则下列结论不正确．．．的是 （A ）1e 在2e 方向上的投影为cos θ （B ）2212=e e （C ）()()1212+⊥-e e e e （D ）121⋅=e e【答案】D 【解析】试题分析：因为12,e e 为单位向量，其夹角为θ，所以1e 在2e 方向上的投影为cos θ，A 真；根据向量平方等于向量模的平方， B 真；()()022212121=-=-+e e e e e e，根据两向量数量积为0，则向量垂直，C 真；[]12cos 1,1e e θ⋅=∈-，D 假，故选D. 考点：向量数量积8.已知点A （1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转6π至OB ，设C （1，0），∠COB＝α，则tan α＝ （A）12（B）3（C）11（D）11【答案】D 【解析】试题分析：设∠CO A ＝θ，则341tan =θ，∴11356tantan 16tantan 6tan tan =-+=⎪⎭⎫⎝⎛+=πθπθπθσ，故选D ．考点：三角函数的定义9.设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（A ）32（B ）32-（C ）14（D ）14-【答案】C考点：线性规划10.已知x 0是函数()xx f x-+=112的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则 （A ）f(x 1)<0，f(x 2)<0 （B ）f(x 1)<0，f(x 2)>0 （C ）f(x 1)>0，f(x 2)<0 （D ）f(x 1)>0，f(x 2)>0【答案】B 【解析】试题分析：函数()xx f x-+=112是单调递增函数，又因为()00=x f ，201x x x <<，所以()01<x f ，()02>x f ，故选B.考点：1.函数的性质；2.函数的零点.11.已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 （A ）425（B ）12（C ）23（D ）1【解析】试题分析：由()00f x ≥得013x -≤≤．所以所求概率为()()214413=----=P ,故选B.考点：几何概型.12.数列{}n a 满足11=a ，对任意的*n ∈N 都有n a a a n n ++=+11，（A（B（C（D【答案】B 【解析】试题分析：因为11=a ，且11n n a a a n +=++，即11n n a a n +-=+，所以 当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+=()()11212n n n n ++-+++=． 当1n =时也成立．所以()12n n n a +=，()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 11111122121223111n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以122016111220164032201612017a a a ⨯+++==+． 考点：1.累加法；2.错位相减法求和.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线24y x =上的点P 到它的焦点F 的最短距离为________．【解析】试题分析：()()000,,0P x y x ≥，根据焦半径公式011PF x =+≥． 考点：抛物线的几何性质.14.已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且9642=++a a a ，则．【答案】-5 【解析】试题分析：13n n a a += ∴数列{a n }是以3为公比的等比数()536423975393=⨯=++=++∴a a a q a a a ，考点：等比数列的性质15.将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A ­BCD ，则四面体A ­BCD 的外接球的体积为________． 【答案】π6125【解析】试题分析：设AC 与BD 相交于O ，折起来后仍然有OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴外接球的半径2524322=+=r ，从而体积ππ612525343=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=V ．考点：球与几何体16.已知函数()2log ,0,3,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________． 【答案】()∞+，1考点：函数的零点.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图，在ABC △中，ABC ∠＝90°，AB =2BC =，P 为ABC △内一点，BPC ∠＝90°．（Ⅰ）若1PB =，求PA ；（Ⅱ）若APB ∠＝150°，求PBA ∠tan ．【答案】(Ⅰ) PA =Ⅱ)43. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据已知三边，以及090=∠=∠BPC ABC ,可知060=∠PBC ,可求得030=∠ABP ,这样在ABP ∆中可根据余弦定理求边AP ;(Ⅱ)首先设α=∠PBA ,那么α=∠PCB ,这样在PCB Rt ∆中，根据2BC =，可表示αsin 2=PB ，，然后在APB ∆中根据正弦定理，得到关于α的三角函数等式，整理就是结果.试题解析：（Ⅰ）由已知得∠PBC=o60，∴∠PBA=30o，在△PBA 中，由余弦定理得(22121cos307PA =+-⨯⨯︒=∴PA =………6分（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得PCB α∠=，PB=2sin α， 在△PBA中，由正弦定理得()2sin sin150sin 30αα=︒︒-4sin αα=， ∴tan α，∴tan PBA ∠12分 考点：1.正弦定理和余弦定理；2.解三角形. 18.（本小题满分12分）为了解漳州市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10．规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：（Ⅰ）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过5.0的概率． 【答案】(Ⅰ)7.5;等级为合格；（Ⅱ）157. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据样本数据计算平均分()n x x x nx +++= (1)21，再与表格数据对照得到等级状况；（Ⅱ）这6条道路任选2条，得到一个样本，设为()b a ,，求5.05.72≤-+ba 的概率，即先求所有任选2条的基本事件的个数，再计算每组的平均数，满足条件的基本事件的个数，最后求比值，计算概率.试题解析：（Ⅰ）6条道路的平均得分为5.7)1098765(61=+++++…………3分 ∴该市的总体交通状况等级为合格． ……………………………5分（Ⅱ）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过5.0”．……6分 从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：)6,5(,)7,5(,)8,5(,)9,5(,)10,5(,)7,6(,)8,6(,)9,6(,)10,6(,)8,7(,)9,7(,)10,7(,)9,8(,)10,8(,)10,9(共15个基本事件 ……………………………8分事件A 包括)9,5(,)10,5(,)8,6(,)9,6(,)10,6(,)8,7(,)9,7(共7个基本事件．…10分 ∴157)(=A P ． ……………………………………11分 答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过5.0的概率为157．……12分 考点：1.样本平均数；2.古典概型. 19.（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，1,2PM BC ==，又1,AC =120ACB ∠=︒，AB PC ⊥，AM =2．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥P MAC -的体积．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）123=V . 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据面面垂直的判定定理，可知证明面面垂直，先证明线面垂直，根据所给条件，易证明⎩⎨⎧⊥⊥ABPC BCPC ,即转化为证明⊥PC 平面ABC ；（Ⅱ）根据等体积转化PMC A MAC P V V --=,重点求PMC ∆的面积，在平面PCBM 内，过M 做MN BC ⊥交BC 于N ，连结AN ，这样在ACN ∆和AMN ∆中根据余弦定理和勾股定理，分别ABCMP求AN 和MN ,这样就求出PMC ∆的面积，而点A 到平面PCM 的距离就是点A 到直线BC 的距离，做A 做AH BC ⊥交BC 于H ，根据求面积的过程，易求AH . 试题解析：（Ⅰ）证明：由90PCB ∠=︒得PC CB ⊥ 又因为AB PC ⊥，AB BC B ⋂=，,AB BC ⊆平面ABC所以PC ABC ⊥平面．……………………… 3分 又PC PAC ⊂平面，所以平面PAC ⊥平面ABC ． …………… 5分(Ⅱ) 解：在平面PCBM 内，过M 做MN BC ⊥交BC 于N ，连结AN ，则CN =PM =1， 又//PM BC ，得四边形PMNC 为平行四边形，所以//PC MN 且PC MN = 由（Ⅰ）得PC ABC ⊥平面，所以MN ⊥平面ABC , ………………… 7分 在ACN ∆中，2222cos1203AN AC CN AC CN =+-⋅︒=，即 又AM =2．∴在Rt AMN ∆中，有1PC MN ==．在平面ABC 内，过A 做AH BC ⊥交BC 于H ，则AH PMC ⊥平面 因为1,AC CN ==120ACB ∠=︒，所以30ANC ∠=︒．∴在Rt AHN ∆中，有…………………………………9分 ……………………………………………… 10分………………………………… 12分考点：1.等体积转化；2.面面垂直的判定定理. 20.（本小题满分12分）ACMPNH已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是21F F 、，其离心率21=e ，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F ∆面积的最大值为34． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若D C B A 、、、是椭圆上不重合的四个点，BD AC 与相交于点1F ，0AC BD ⋅=，求AC BD +的取值范围．【答案】(Ⅰ)2211612x y +=;(Ⅱ) 96[,14]7. 【解析】试题分析：(Ⅰ)当点P 在短轴端点时面积最大，即34=bc ，21==a c e 又根据222cb a +=求解c b a ,,，得到椭圆方程;(Ⅱ)先容易求出BD AC ,中有一条直线斜率不存在时14=+，当直线AC 存在斜率k 且不为0时，写出直线AC 的方程()2+=x k y ，联立椭圆的方程消去y 得到()0481616432222=-+++k x k x k ，根据韦达定理及弦长公式()2243124k k ++=，把k 换上k 1-()2234124kk ++=，所以用k 表示出()()()22234431168kk k +++=，这时通过换元设1,12>=+t t k ，+的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）由题意得,当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F ∆的面积取到最大值1分此时 12121,2PF F S F F OP bc bc ∆==∴= ………………………2分 1,42e b a ===……3分所以椭圆方程为2211612x y += ………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，则1F 的坐标为2,0-（） ……………………… 5分因为0AC BD =,所以AC BD ⊥①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得6814AC BD +=+=．…6分②当直线AC 斜率0k k ≠存在且时，其方程为(2)y k x =+，设112,2(,)()A x y C x y ，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616480k x k x k +++-= …………7分22121222161648,3434k k x x x x k k --+==++ ……………………8分 212224(1)134k AC x k +=+-=+此时直线BD 的方程为1(2)y x k=-+ ……………………………………9分 同理由221(2)11612y x kx y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2224(1)43k BD k +=+ 2222222224(1)24(1)168(1)4334(43)(34)k k k AC BD k k k k ++++=+=++++…………………10分 令21t k =+，则 2168(1)112AC BD t t t+=>-+…………11分 2111,04t t t -><≤，216896[,14)1712AC BD t t+=∈-+ 综上，AC BD +的取值范围是96[,14]7…………………………12分 考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.椭圆方程.21.（本小题满分12分）设函数()()()2ln 1,0f x ax x b x x =+->，曲线()y f x =过点()2,1e e e -+，且在点 ()1,0处的切线方程为0y =． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）证明：当1x ≥时，()()21f x x ≥-；（Ⅲ）若当1x ≥时()()21f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)1,1-==b a ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）23≤m . 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据条件()12+-=e e e f ，()01='f 解方程组求b a ,；（Ⅱ）先设函数()()()21--=x x f x g ，再求函数的导数()x g '和()x g ''来分析函数()x g 最小值；（Ⅲ）设()()11ln 22+---=x m x x x x h ，求出()x h '，利用（Ⅱ）中知()()111ln 22-=-+-≥x x x x x x ，推出()()()1213---≥'x m x x h ，分①23≤m 和②23>m 时，求解m 的取值范围. 试题解析：解：（Ⅰ）()()2ln ,0f x ax x ax b x '=++>，(1)0f a b '=+=，22()(1)(1)f e ae b e a e e =+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ． ………………… 3分（Ⅱ）2()ln 1f x x x x =-+，设22()ln g x x x x x =+-，(1)x ≥，()2ln 1g x x x x '=-+由()()2ln 10g x x ''=+>，∴)(x g '在[)1,+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ''≥=，∴)(x g 在[)1,+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=． ∴2()(1)f x x ≥-． ………………… 7分（Ⅲ）设22()ln (1)1h x x x x m x =---+,(1)x ≥，()2ln 2(1)1h x x x x m x '=+---， 由（Ⅱ）中知22ln (1)1(1)x x x x x x ≥-+-=-，∴ln 1x x x ≥-，∴()3(1)2(1)h x x m x '≥---()()321m x =--， …………………9分①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[1,)+∞单调递增，()(1)0h x h ∴≥=，立． …………………10分 ②当320m -<即23>m 时，()()()2ln 121h x x x m x '=+--(())2ln 32h x x m ''=+-，令()()0h x ''=，得当[)01,x x ∈时，()h x '单调递减，则()(1)0h x h ''<=，)(x h ∴在[)01,x 上单调递减()(1)0h x h ∴<=，不成立．…………………11分综上，23≤m ． …………………12分 考点：1.导数的最值的应用；2.恒成立问题.请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

2018年高三二模数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1.已知集合 A =｛ x | 3/ • x _2 空0｝， B 二｛ x | Io g2（2x _1）空0｝，贝A 门 B 二（）A . ( 2 -B( 2 1収| <x • Q x —< x 兰1 ,3 3C .1JDL「 1J2 {x | -1 < x <1} .1x | < x < \I23J42. 已知复数z满足z（3 +4i） =3 _4i , z为z的共轭复数，则z =（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 如图，当输出y =4时，输入的x可以是（）L —-/壽/*3屮A. 201 8B. 2017C. 2016D. 201 4a _ cos x4. 已知x为锐角，=、.3，则a的取值范围为（）sin xA. [ —2, 2]B. （1,、、3）C. （1, 2]D. （1, 2）5. 把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为A . LB . — c. I D . 128 16 41 66. (x? ■ x ■ 1)( _l /的展开式中，x 3的系数为()A. .3B. _2C. 1L a n = 0，设b n = lo g 2 ——，则数列｛ b n ｝的前n 项 a i和为(-1)( n - 2)2A. 6、、2 B . 6、、3 C. 8 D . 9A. 1009 B . 1 008 C.2D. 1f (x) =log 6(x - 1)，若 f (a) =1(a • [0 ,2020])，则 a的最大值是()A. 201 8 B . 2010 C. 2020 D11.已知抛物线y 2 =2px(p ■ 0)的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线 AB , C D 与抛物7.已知正项数列｛ a2—.aA. nB. n(n _1)8.如图，网格纸上正方形小格的边长为粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最9.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且满足 Sa i =1 , a n ■ an i = 2 n 1，^则 2017 二()201710.已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数,f ( x) = f (1 2 _x)，当 x 三[0 , 6]时,201 1长棱的长度为( )线分别相交于A , B以及C , D，若1 1——+——B FAF=1，则四边形ACBD的面积的最小值为A. 18 B . 30C. 32 D . 36、 1 X12. 已知a .1，方程一e 亠x —a=0与In2x 」x —a=0的根分别为x ’ , x 2，贝2x 12 x 222 x 1x2的取值范围为（ ）A. （1, • ：:）B. （0, •二：）c. i 1, ：： D . i -,12 2二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.4 * * 4 4 4 .13. 已知 a =（1, m ）， b =1， a +b = J 7，且向量 a ， b 的夹角是 60，贝U m =.x _114. 已知实数x , y 满足x —2y 亠1空0，则z = x 亠3y 的最大值是.x y _ 32 2xy15. 已知双曲线 —-=1（a0,b . 0）的左、右焦点分别为 F 1 , F 2，过F ’且垂直于x 轴的a b直线与该双曲线的左支交于 A , B 两点，AF 2 , BF 2分别交y 轴于P , Q 两点，若.'PQF 2的周长为16，则丄的最大值为.a +116.如图，在三棱锥 P -ABC 中，PC _ 平面 ABC , AC _CB ,已知 AC = 2 , PB =2.6 ,三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 每个试题考生都必须作答.第22 , 23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60分.17.已知在「'ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且cos A a sin A cos C c sin A cos A = 0 ..第17〜21题为必考题,P -ABC 的表面积为.(1)求角A 的大小;(2)右 a =..3 ， B=—，求 F .ABC 的面积.1 2占 占N八、、： 八、、(1)是否存在一点 N ，使得线段MN / /平面B B 1C 1C ?在，请说明理由•(2)若点N 为AB i 的中点且C M _ M N ，求二面角M19.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分的中点为P .(1)求直线OP 的斜率;(2)设平行于OP 的直线l 与椭圆交于不同的两点 C ， D ，且与直线AF 交于点Q ，求证:■ ■呀 ■■玛■■視■■叫乘坐站数X 0 £X 兰 1010 £ x 兰 2020 £X 兰30票价(元)3 69段优惠政策，不超过 30站的地铁票价如下表:现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁, 已知他们乘坐地铁都不超过 30站.甲、乙18.如图,在直三棱柱 AB^ -A 1B 1C 1 中，.B AC =90、，A B = A C = 2，点 M 为 A 1C 1 的中乘坐不超过(1)求甲、 1 1 10站的概率分别为11;甲、43乙两人付费相同的概率； 乙乘坐超过 20站的概率分别为 (2)设甲、 乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望20.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2x 丿 ——+— 2 a2y 2 =1(a b b - 0)的离心率为别为椭圆的上顶点和右焦点， L AOF 的面积为 1-，直线AF 与椭圆交于另一个点 B ，线段AB2若存在，指出点 N 的位置，若不存为AB i 上一动点.存在常数■，使得QC QD =怎QA QB .xe 21.已知函数f (x) ，g (x^ln x 1 .x(1)求函数f (x)的单调区间; (2)证明：x 3 f (x) . g(x).(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设点M 的极坐标为i 3,—，直线I 与曲线C 的交点为A ， B ，I 2丿23.［选修4-5 :不等式选讲］ 已知函数f(x) = x_1 + x_m(1)当m =3时，求不等式f (x) _5的解集;(2)若不等式f(x) _2m -1对R 恒成立，求实数 m 的取值范围(二)选考题：共 10分•请考生在22, 23题中任选一计分•22.［选修4-4 :坐标系与参数方程］在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1X = — — t2{( t 为参数)， V 3y = 3 t 、 2以坐标原点0为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 J = 4 sin答案、选择题1-5: DABCB6-10: BCDAD 11 、12: CA、填空题1 3.二314. 7 15. - 16. 4 E • 2 63sin A (sin A co s C 亠co s A sin C )、，3 sin B cos A ,即sin A sin ( A 亠 C )=3 sin B cos A ，又sin (A 亠 C ) = sin B ,0，所以ta n A - - 3又A 5（0^：），所以(2)由(1)知A =，又B ，易求得1 2在.-：ABC中，由正弦定理得Jt sin—122 二'sin -----3所以b所以.SBC的面积为S1=—ab sin2.6 -「2 、、2 3 - J 3----------------- X-------- = ----------------18. （1）存在点N，且N 为 A B1的中点.证明如下:如图，连接A1B，BC1，点M ,N分别为A i C i，A i B的中点,所以M N为.-：A i BC i的一条中位线, M N / / BC ，M N 二平面BB C C，BC平面BB C C，所以M N / / 平面BB C C三解答题、17. (1)由cos A a sin A cosC c sin A cos A =0及正弦定理得，M N 二平面BB C C，BC平面BB C C，所以M N / / 平面BB C C故二面角M -CN -A 的余弦值为cos ::: m , n 、二- 3 -0-2 .3 15 故二面角M — C N -A 的正弦值为2 2(2)设 A A 、二 a ，贝V CM = a - 1 ,2 2aa 20C N5 =44由CMAB 为x 轴，AC 为y 轴，AA i 为z 轴建立如图所示的空间直角•A r2y = o,m AC 0,得2 m AN=0, xz=0,L 2叫 一令x - _1，得平面 ANC 的一个法向量 m =(_1,0, .2)， 同理可得平面 M N C 的一个法向量为n = (3, 2, -、2)，=1由题意以点A 为坐标原点，坐标系，可得 设m = (x, y , z)为平面A N C 的一个法向量，则解得aA (0,0,0)，C (0,2,0)，故AN■■叫AC =(0,2,0)，CN1 51 51 51x=1219. ( 1)由题意知甲乘坐超过 10站且不超过20站的概率为乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111贝U P ( A)=—---4 34 3所以甲、乙两人付费相同的概率是设“甲、乙两人付费相同”为事件1x=12所以 X 的数学期望E (X ) =61111912 15 1 8 —635120. (1)因为椭圆的离心率为 所以22b所以 A(0,c)，F (c,0)，所以所以c =1，所以椭圆的方程为(2)由题意 :可X 的所有可能取值为1 11P (X二 =— ---4 3 1 2111 1 1P=9): 二+43 4 36111 11 1P=—X _ + X — + — X — =4 32 3 4 31 11 1 1P (X= 12)=X _ + — X — 二—, 4 32 3 41 11 P (X= 18)—X — ——236因此X 的分布列如下：12 ，15，31 3x 一，联立 g T +y =1,消去 y 得 3X 2_4X =y = —x 1,f 2AB 的中点P —28QB (t -1).9x =0 ,所以直线 OP (2)由 (1) 的斜率为32 _0知，直线AF 的方程为y - -x • 1直线OP 1 的斜率为一 2，设直线l 的方程为t(t -0).联立 一 x t,2 '得2 _2t3所以点的坐标为2t 1-x ■ 1,2t 1 f 2t _2 2 _2t ) ■叫 i‘2t +2 2t +2 \Q A,， QB ，…[33丿\33丿3所以 2 —2t2t + 1' i .2t —2 1 X1 + , X 1< 3 2t -14- X1 — I 3y 1 一3) = lT3丿所以QC直线AF 的方程为y 一 _x • 14，所以x 或3所以Bi-1，从而得线段 3所以 —4Q A 联立x 2=1,消去2tx - 2t 2一2 =0 ,t,由已知得.：：=4(32-2t )L"」0,逅'i 2丿I 2丿设 C ( x 1，则 y 1X [亠tX 1X 24tX,2 24t -4t21t -1 —x 2------ , 232e3，所以x f3{ 2t _2 'i2t _2 ' ♦t _1 /1 t _1 ' 1 + *2 + + 1 —X’ + *2 +I 3丿 I 3丿 I 2 3丿 l 2 3丿Q C Q D 25 5t -5 5(t -1) 二一X t X 2 • ---------- ( x 1 - x 2)-4 62 5 4t =—X —— 4 : -4 5t _5 X3 4t 5(t -1)-- +----------- 9 5 8 2(t -1).9所以QC QD 5 4—4 QA Q B .所以存在常数5，使得Q C4■■叫—4 ■Q B■■■+Q D2t -2 + ---- 321. ( 1)由题易知 x(x —1)ef '(x)==2「sin v ■ 2 "丿3「COS v ①. 22=x y ，「COST - x ，「sin v - y 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2 - y 2 -2-2 y = 0 ② I 1x 一2「_(2)将_代入②式，得『• 3-、3t • 3 =0 ,y 亠宀 I 2易知点M 的直角坐标为(0,3).设这个方程的两个实数根分别为匕,t 2，则由参数t 的几何意义即得M A + M B = J +t 2 =3>/3 .23. ( 1)当m =3时，原不等式可化为 x _1十x _3工5 .1当 x 三(—二，0) U (0 ,1)时，f '(x) ：：：0，当 x 三(1, •：:)时，f '(x) . 0 , 所以f ( x)的单调递减区间为(_：: ,0) U (0 ,1)，单调递增区间为(1, •：：). (2) g( x)的定义域为(0, •：：)，要证 x 3f (x) ■g (x)，即证—.xxe ln x ■ 1 由(1 )可知f (x)在(0,1)上递减，在(1, •：：)上递增，所以f (x) f (1) ln x - 1 设 h(x)—2 — 3 In x3 ， x . 0，因为 h '(x) x 2""3 当 x • (0,e 3)时，h'(x) 0，当 x • (e 3,；)时，h '(x) ::: 0， 所以h(x)在(0, e"3)上单调递增，在(e 3, •：：)上单调递减，所以 h( x) _ h(e 3)(x)■ g (x).22. (1) 把 J - 4 sinJTie+—展开得 Q = 2 sin V • 2、、3 COST 1 ，两边同乘 将T 22若 x <1U 1_x ・3_x_5，即 4_2x _ 5，解得 x 仝2若1 :：: x ：::3，则原不等式等价于 2 _5，不成立；9若 x _3，则 x _1 • x _3 _5，解得 X _—.2f1 9 1综上所述，原不等式的解集为：x | x 或x .I 22J(2)由不等式的性质可知 f ( x) = x 一1 + x _m m 一1 , 所以要使不等式f (x) 3 2m -1恒成立，则 m _1 ^2m —1 ,2所以 m 「1 _1「2m 或 m 「1 _2m -1，解得 m <,3r 21所以实数m 的取值范围是m | m 乞一.I 13J。

2018年福建省漳州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分。

在每个小题各出的四个选项在，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≥0}，B＝{x|log2x}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1]B．C．D．（0，1]2．（5分）已知（2+i）z＝a+2i，且复数z的实部是虚部的2倍，则实数的a值是（）A．B．C．D．03．（5分）已知函数y＝x a，y＝x b，y＝c x的图象如图所示，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c4．（5分）已知点C（1，﹣1）、D（2，x），若向量＝（x，2）与的方向相反，则||＝（）A．1B．﹣2C．2D．5．（5分）设满足的实数x，y所在的平面区域为Ω，则Ω的外接圆方程是（）A．x2+y2﹣2x﹣6y＝90B．x2+y2﹣2x﹣6y＝0C．x2+y2﹣4x﹣2y＝0D．x2+y2﹣4x﹣8y＝16．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）某几何体的三视图如图所所示，其中每个单位正方形的边长为1．则该几何体的体积为（）A．B．C．8π﹣4D．8．（5分）设函数，则下面四个命题中正确的是①f（x）的图象关于直线x＝k（k∈Z）对称②f（x）在区间（1，2）上为减函数；③函数f（x）+g（x）的图象向左平移一个单位后为偶函数：④函数f（x）+g（x）的最大值为2（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③9．（5分）执行如图所示程序框图后，若输入的a值为log25，b值为log520，则输出的a值为（）A．10B．2+log25C．﹣15D．210．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是底面ABCD上的动点，则的最大值为（）A．B．1C．D．11．（5分）抛物线C1：y2＝4x的焦点F是双曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，点P为曲线C1，C2的公共点，点M在抛物线C1的准线上，△FPM为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C2的离心率为（）A．3+2B．C．D．+3 12．（5分）“a≤0”是“关于x的方程ax+ax cos x﹣sin x＝0与方程sin x＝0在[﹣3π，3π]上根的个数相等”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2018届普通高中毕业班第二次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，满分150分． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1iz =+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 345C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合}{1A x x =≥-，1,2x B y y x A ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎩，则A B =IA ．}{12x x -≤≤B ．}{2x x ≥C ．}{02x x <≤ D ．∅3．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2，则图中x 的值为 A ．1 BCD4．设,x y 满足约束条件12324x y x ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．72 B ．92 C ．132D ．152 5．将函数1sin()24y x π=+图象上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数俯视图正视图()y f x =的图象，则函数()4y f x 3π=+的一个单调递增区间是 A ．(,0)2π-B ．(0,)2πC ．(,)2ππD ．3(,2)2ππ6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入由曲线C(曲线C 为正态分布(2,1)N 的密度曲线)与直线0,x =1x = 及0y =围成的封闭区域内点的个数的估计值为(附:若X2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=)A ．2718B ．1359C ．430D ．2157． 已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，P 是C 上的一点，Q 是C 的准线上一点．若ΔPQF 是边长为2的等边三角形，则该抛物线的方程为A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x = 8．已知锐角,αβ满足sin 2cos αα=，1cos()7αβ+=，则cos β的值为 A ．1314 B ．1114CD9．已知O 是坐标原点，12,F F 分别是双曲线C :22221x y a b-=（0a >,0b >）的左、右焦点，过左焦点1F 作斜率为12的直线，与其中一条渐近线相交于点A ．若2||||OA OF =，则双曲线C的离心率e 等于 A ．54B ．53CD ．210．世界著名的百鸡问题是由南北朝时期数学家张丘建撰写的《张丘建算经》中的一个问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？张丘建是数学史上解决不定方程解的第一人．用现代方程思想，可设,,x y z 分别为鸡翁、鸡母、鸡雏的数量，则不定方程为53100,3100.z x y x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩如图是体现张丘建求解该问题思想的框图，则方框中①，②应填入的是 A ．3?t <，257y t =- B ．3?t ≤，257y t =-C ．5?t <，255y t =-D ．5?t ≤，255y t =- 11．底面边长为6的正三棱锥的内切球半径为1，则其外接球的表面积为A ．49πB ．36πC ．25πD ．16π12．设函数()ln()f x x k =+，()e 1x g x =-．若12()()f x g x =，且12x x -有极小值1-，则实数k的值是 A ．1- B ．2-C ．0D ．22018届普通高中毕业班第二次质量检查试卷理 科 数 学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答． 在试题卷上作答，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．边长为2的正三角形ABC 中，12AD DC =，则BD AC ⋅=___________． 14．()22344(1)x x x -++的展开式中，3x 的系数是___________．（用数字填写答案）15．B 村庄在A 村庄正西10km ，C 村庄在B 村庄正北3km ．现在要修一条从A 村庄到C 村庄的公路，沿从A 村庄到B 村庄的方向线路报价是800万元/km ，沿其他线路报价是1000万元/km ，那么修建公路最省的费用是___________万元． 16．在ABC ∆中，D 为边BC 上的点，且满足2DAC π∠=，1sin 3BAD ∠=．若13ABD ADC S S ∆∆=， 则C ∠的余弦值为___________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，若4(1)n n n c b b =+，求证：123n c c c +++<．18．（12分）为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按 1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费．已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t (分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(]20,60分．（1）写出张先生一次租车费用y （元）与用车时间t （分）的函数关系式；（2）若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；（3）若公司每月给1000元的车补，请估计张先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，112BC DC AB ===． O 是AB 的中点，PO ⊥底面ABCD ．O 在平面PAD上的正投影为点H ，延长PH 交AD 于点E ． （1）求证: E 为AD 中点；（2）若90ABC ∠=，PA =BC 上确定一点G ，使得HG //平面PAB ，并求出OG 与面PCD 所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ．若四边形ADBC 的面积为4，且恰与圆224:5O x y +=相切．（1）求椭圆M 的方程；（2） 已知直线l 与圆O 相切，交椭圆M 于点,P Q ，且点,A B 在直线l 的两侧．设APQ∆的面积为1S ，BPQ ∆的面积为2S ，求12S S -的取值范围．21．（12分）已知函数221()()ln ()2f x x x x ax a =++∈R ，曲线()y f x =在1x =处的切线与直线210x y +-=垂直．（1）求a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）若λ是整数，当0x >时，总有2211()(3)ln 24f x x x x x λλ-+->+，求λ的最大值． 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2(4cos )4r ρρθ-=-，曲线2C的参数方程为4cos ,sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）当r 变化时，设1,C 2C 的交点M 的轨迹为3C ．若过原点O ，倾斜角为3π的直线l 与OHEDCBAP曲线3C 交于点,A B ，求OA OB -的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知实数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式225x x y -++≤；（2）若,0x y >，证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．23- 14．8 15．9800 16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分． 解:（1）由题设132n n S a +=-， 当2n ≥时，132n n S a -=-，两式相减得13n n n a a a +=-，即14n n a a += . …………………2分又1a =2，1232a a =-，可得28a =， ∴214a a =. ………………………………3分 ∴数列{}n a 构成首项为2，公比为4的等比数列，∴121242n n n a --=⨯=. ………………………………5分 （没有验证214a a =扣一分）（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分 ∴2n ≥时，22111(21)(22)(1)1n c n n n n n n n n=<==--⋅-⋅-⋅- ， ………9分∴1231111112()()()12231n c c c c n n ++++≤+-+-++-- …………10分13n=- ………………………………11分3<. ………………………………12分解法二：（1）同解法一；（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分∵2n ≥时，211n n -≥+，∴22112()(21)(1)1n c n n n n n n =≤=--⋅+⋅+ ， ………9分 ∴123111122()()23+1n c c c c n n ⎡⎤++++≤+-++-⎢⎥⎣⎦…………10分 112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭ (11)分3<. ………………………………12分解法三：（1）同解法一；（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分∴2n ≥时，22112()(21)(1)1n c n n n n n n=≤=--⋅-⋅- ， ………8分∴1231234511112()()561n c c c c c c c c c n n ⎡⎤++++≤+++++-++-⎢⎥-⎣⎦…………10分 1212112231514455n ⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭…………………………11分619223630n<+-<. ………………………………12分18．本小题主要考查频率分布表、平均数、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解法一：（1）当2040t <≤时，0.1215y t =+ ………………………………1分 当4060t <≤时，.y t t=⨯+-+. ………………………………2分 得：0.1215,2040,0.211.8,4060t t y t t +<≤⎧=⎨+<≤⎩………………………………3分（2）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率2182505P +==……4分 ξ可取0，1，2，3.03032327(0)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2132354(1)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2232336(2)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3033238(3)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ξ的分布列为……………7分27543680123 1.2125125125125E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………8分 或依题意2(3,)5B ξ，23 1.25E ξ=⨯= ……………………………8分（3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间21820102535455542.650505050t =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟），……………10分 每次上下班租车的费用约为0.242.611.820.32⨯+=（元）. ……………11分 一个月上下班租车费用约为20.32222894.081000⨯⨯=<，估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12分解法二：（1）（2）同解法一； （3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均租车价格为2182010(150.1225)(150.1235)(11.80.245)(11.80.255)20.51250505050+⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯=（元）……………10分一个月上下班租车费用约为20.512222902.5281000⨯⨯=<……………11分估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12分19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（1）连结OE . 2,AB O =是AB 的中点，1CD =，OB CD ∴=，//AB CD ，∴ 四边形BCDO 是平行四边形， 1OD ∴=.………………1分PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， PO AD ∴⊥，………………2分 O 在平面PAD 的正投影为H ， OH ∴⊥平面PAD ，OH AD ∴⊥.………………3分又OH PO O =，AD ∴⊥平面POE ，AD OE ∴⊥，………………4分 又1AO OD ==，E ∴是AD 的中点. ………………5分 （2）90ABC ∠=，//OD BC ，OD AB ∴⊥，OP ⊥平面ABCD ，∴以O 为原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，………………6分(0,0,0)O ∴，(0,0,1)P ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，2PA =，OP AB ⊥，1PO ∴OA OD OP ∴==，∴H ∴是ADP ∆的的外心，AD PD AP ==H ∴是ADP ∆的的重心，OH OP PH ∴=+23OP PE =+111(,,)333=-.………………8分设BG BC λ=，(,1,0)OG BC OB λλ∴=+=，141(,,)333GH OH OG λ∴=-=--，又(1,0,0)OD =是平面PAB 的一个法向量，且//HG 平面PAB ， 0GH OD ∴⋅=，103λ∴-=，解得13λ=，1(,1,0)3OG ∴=，………………9分OHECBAP设(,,)n x y z =是平面PCD 的法向量，(1,0,1)PD =-，(0,1,0)CD =-，0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x z y -=⎧⎨=⎩ 取1,x =则1,0z y ==，(1,0,1)n ∴=.………………11分cos ,||||n PGn PG n PG ⋅∴<>=⋅13==， ∴直线OG 与平面PCD 所成角的正弦值为………………12分 解法二：（1）同解法一；（2）过H 作HM EO ⊥，交EO 于点M ，过点M 作//GM AB ，分别交,OD BC 于,Q G ，则//HG 平面PAB ，………………6分 证明如下：//,MG AB AB ⊂平面,PAB MG ⊄平面PAB ，//MG ∴平面PABPO ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面ABCD ，PO EO ∴⊥， ∴在平面POD 中，//PO MH ，PO ⊂平面,PAB HM ⊄平面PAB ，//MH ∴平面PABMG MH M =，∴平面//MHG 平面PABGH ⊂平面MHG ，//HG ∴平面PAB .………………7分,OM PH OM ME HE =∴=， 1,3BG OQ ∴===………………8分 在OD 上取一点N ，使23ON =， CN OG ∴==，………………9分 作NT PD ⊥于T ，连结CT .∵,CD OD ⊥,CD OP OD OP O ⊥=，CD ∴⊥平面POD ， NT CD ∴⊥，PD CD D =, NT ∴⊥平面PCD ,NCT ∴∠就是OG 与平面PCD 所成的角.………………10分DN DPNT PO =, NT ∴，………………11分 TNQ PAB CD E HOMGsinNTOTNCN∴∠===, 即直线OG与平面P C D所成角的正弦值为………………12分解法三：（1）同解法一.（2）过E作//EQ AB，交BC于点Q，连结PQ，过H作//HM EQ交PQ于点M，过点M作//GM PB，交BC于G，连结HG，则//HG平面PAB，………………6分证明如下：//,MG PB PB ⊂平面,PAB MG⊄平面PAB，//MG∴平面PAB同理://MH平面PABMG MH M=，∴平面//MHG平面PAB．GH ⊂平面MHG，//HG∴平面PAB，………………7分2BG PM PHGQ MQ HE∴===，E是AD的中点，∴Q是BC的中点，1133BG BC∴==，………………8分取PD的中点N，连结ON，再连结OG并延长交DC的延长线于点T，连结NT，OP OD=，N是PD中点，ON PD∴⊥，OB OD⊥，,OB OP OD OP D⊥=，OB∴⊥平面PODOB ON∴⊥，//OB CD，ON CD∴⊥，PD CD D=，ON∴⊥平面PCD，OTN∴∠就是OG与平面PCD所成的角.BG OBGC CT=，2CT∴=，OT∴12ON DP=………………11分sinONOTNOT∴∠===，即直线OG与平面PCD所成角的正弦值为………………12分20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．TNGMQOHED CBAP解法一：（1）根据题意，可得：1224,21122a b ab ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2,ab =⎧=………………………………………………………2分 解得2,1.a b =⎧⎨=⎩………………………………………………………4分∴椭圆M 的方程为2214x y +=．………………………………………………………5分（2）设:l x my n =+，(2,2)n ∈-，直线l 与圆O 相切，得=，即224(1)5m n +=，………………………………6分 从而[)20,4m ∈.又1121(2)2S n y y =+-，2121(2)2S n y y =--，∴1212121(2)(2)2S S n n y y n y y -=⨯--+⋅-=⋅-.………………………………7分将直线l 的方程与椭圆方程联立得222(4)240m y mny n +++-=，显然0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+． (8)∴12y y -.∴12S S n -===85， 当20m =时，1285S S -=；………………………………10分当2(0,4)m ∈时，122S S -=，………………………………11分且1285S S ->.综上，128,25S S ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭．………………………………12分解法二：（1）同解法一；（2）当直线l的斜率不存在时，由对称性，不妨设:l x =，此时直线l与椭圆的交点为，12182)(225S S ⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦. 直线l 的斜率存在时，设:l y kx b =+，由直线l 与圆O 相切，得=，即224(1)5k b +=. 又点,A B 在直线l 的两侧，∴(2)(2)0k b k b +-+<，2240b k -<，∴224(1)405k k +-<，解得12k >或12k <-.点,A B 分别到直线l 的距离为1d =2d =.将直线l 的方程与椭圆方程联立得222(14)8440k x kbx b +++-=，显然0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得122814kbx x k +=-+，21224414b x x k -⋅=+． (7)分∴12PQ x =-.………………………8分 ∴121212S S d d AB-=-⋅=b =b ===2=， 且1285S S ->.综上，128,25S S ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭． (12)分21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解法一: （1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()(1)ln (2)12f x x x a x '=++++，……………………………………………………………1分依题意可得， (1)1f '=， 12122a ∴++=，14a ∴= .……………………………………………………………………2分 ()(1)ln (1)f x x x x '∴=+++=(1)(ln 1)x x ++令()0f x '=，即(1)(ln 1)0x x ++=，10,x x >∴=，……………………………………3分 ()f x ∴的单调递增区间是1(,)e +∞，单调递减区间为1(0,)e .………………………………5分（2）由（Ⅰ）可知， 2211()()ln 24f x x x x x =++，2211()(3)ln 24f x x x x x λλ∴-+->+ln 31x x x x λ-⇔>+，………………………………6分 设ln 3()1x x xh x x -=+， ∴只要min ()h x λ>，……………………………………………7分2(1ln 3)(1)(ln 3)()(1)+-+--'=+x x x x x h x x22ln (1)x xx -+=+，…………………………………………………………………8分令()2ln u x x x =-+， 1()10u x x'∴=+>()u x ∴在(0,)+∞上为单调递增函数， (1)10u =-<， (2)ln 20=>u∴存在0(1,2)x ∈，使0()0u x =，……………………………………………………9分当0(,)x x ∈+∞时，()0u x >，即()0h x '>， 当0(0,)x x ∈时，()0u x <，即()0h x '<， ()h x ∴在0x x =时取最小值，且000min 0ln 3()1-=+x x x h x x ，………………………………10分又0()0u x =， 00ln 2x x ∴=-， 000min 00(2)3()1--∴==-+x x x h x x x ，……………………………………………………11分00(1,2),(2,1)x x ∈∴-∈--又min ()h x λ<，max 2Z λλ∈∴=-. …………………………………………………………………12分解法二：（1）同解法一.（2）由（1）可知， 2211()()ln 24f x x x x x =++2211()(3)ln 24f x x x x λλ∴-+->+ln 30x x x x λλ⇔--->.…………………………6分 设()ln 3g x x x x x λλ=---，∴只要min ()0g x >，………………………………………7分 则()1ln 3g x x λ'=+--ln 2x λ=--令()0g x '=，则ln 2x λ=+，2x e λ+∴=.…………………………………………………8分 当2(0,)x e λ+∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当2(,)x e λ+∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，2min ()()g x g e λ+∴=222(2)3e e e λλλλλλ+++=+---2e λλ+=--.…………………………9分设2()h e λλλ+=--，则()h λ在R 上单调递减，………………………………………10分 (1)10,(2)120h e h -=-+<-=-+>，………………………………………………11分 0(2,1)λ∴∃∈--，使0()0h λ=，max 2Z λλ∈∴=- . …………………………………………………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解法一：（1）由1C ：2(4cos )4r ρρθ-=-， 得224cos 4r ρρθ-+=，即222440x y x r +-+-=， ………………………………………………………2分 曲线2C 化为一般方程为：222(4)3x y r -+=，即2228163x y x r +-+=，………4分 化为极坐标方程为：228cos 1630r ρρθ-+-=．………………………………5分（2）由224cos 4r ρρθ-+=及228cos 1630r ρρθ-+-=，消去2r ，得曲线3C 的极坐标方程为22cos 20()ρρθρ--=∈R ． …………………………………………………7分将θπ=3代入曲线3C 的极坐标方程，可得220ρρ--=，…………………8分 故121ρρ+=，1220ρρ=-<，…………………………………………………9分 故121OA OB ρρ-=+=．…………………………………………………10分 （或由220ρρ--=得0)1)(2(=+-ρρ得1,221-==ρρ，…………………9分 故211-=-=OA OB …………………………………………………10分） 解法二：（1）同解法一；（2）由22244x y x r +-+=及2228163x y x r +-+=，消去2r ，得曲线3C 的直角坐标方程为2222x y x +-=． ………………………………………………………………7分设直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），………………………………8分与2222x y x +-=联立得2213244t t t +-=，即220t t --=，………………………………………………………………9分故121t t +=，1220t t =-<，∴121OA OB t t -=+=．……………………………………………………10分 （或由220t t --=得，,0)1)(2(=+-t t 得1,221-==t t ，∴211-=-=OA OB ．……………………………………………………10分）23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解法一：（1）1,x y +=|2||1|5x x ∴-++≤，………………………………………1分当2x ≥时，原不等式化为215x -≤，解得3x ≤，∴23x ≤≤；………………………………………………2分 当12x -≤<时，原不等式化为215x x -++≤，∴12x -≤<；………………………………………………3分 当1x <-时，原不等式化为215x -+≤，解得2x ≥-，∴21x -≤<-；………………………………………………4分 综上，不等式的解集为{}23x x -≤≤．.……………………5分 （2）1,x y +=且0,0x y >>，2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=⋅……………7分222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y=++225x y y x=++………………………………8分59≥=. 当且仅当12x y ==时，取“=”. ………………………………10分 解法二：（1）同解法一；（2）1,x y +=且0,0x y >>，2222221111(1)(1)x y x y x y --∴--=⋅………………………………6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅………………………………7分 1x y xyxy+++=………………………………8分21xy =+2219()2x y ≥+=+当且仅当12x y ==时，取“=”. ………………………………10分。

福建省达标校联考2017-2018学年高考数学模拟试卷（理科）一、选择题本大题共共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知复数z满足：z（1+i）=1﹣i，则复数z等于（）A．﹣1 B．﹣i C．i D．12．（5分）设集合A={2，3，5，7}，B={2，4，6，8}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素个数为（）A．3B．4C．5D．63．（5分）若a=sin（π﹣），则函数y=tanax的最小周期为（）A．B．πC．2πD．4π4．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2B．3C．4D．55．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则“x＞0”是“与夹角为锐角”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A、B两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为（）A．8B．2C．D．37．（5分）在如图的程序中所有的输出结果之和为（）A．30 B．16 C．14 D．98．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．a=c B．b=c C．2a=c D．a2+b2=c29．（5分）给定区域D：，令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定不同的直线的条数为（）A．4B．5C．6D．710．（5分）定义在R上的奇函数f（x）和定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x）分别满足f（x）=，g（x）=log2x（x＞0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则实数b的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣，0）∪（0，]C．[﹣2，﹣]∪[，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分把答案填在答题卷中的横线上）11．（4分）（x2﹣）5的展开式x4的系数为（用数字作答）12．（4分）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为．13．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是．14．（4分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x﹣1（x∈R），当x∈[0，]时，若函数y=f（x）﹣k有两个零点，则k的取值范围为．15．（4分）设S为非空数集，若∀x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集，下列：①实数集是封闭集②封闭集一定是无限集③若S为封闭集，则一定有0∈S④若S，T为封闭集且满足S⊆U⊆T，则集合U也是封闭集其中真的序号是（把所有真的序号都填上）三、解答题（共5小题，满分66分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2﹣，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求证：＞﹣2（n∈N*，n≥2）17．（13分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E 是PC的中点．（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求二面角C﹣AB﹣E的大小．18．（13分）某玩具厂生产甲、乙两种儿童玩具，其质量按测试指示划分：指示大于或等于85为合格品，小于85为次品，现随机抽取这两种玩具个100件进行检测，检测结果统计如下：测试指示[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）玩具甲8 22 30 32 8玩具乙7 18 40 29 6（1）试分别估计玩具甲，玩具乙为合格品的概率（2）生产一件玩具甲，若是合格品可盈利80圆，若是次品则亏损15元，生产一件玩具乙，若是合格品可盈利50圆，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下，①记X为生产1件玩具甲和1件玩具乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．②求生产5件玩具乙所获得的利润不少于140元的概率．19．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．20．（14分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若f（x）≤kx2对任意x＞0成立，求实数k的取值范围；（3）当n＞m＞1（m，n∈N*）时，证明：．【选修4-2：矩阵与变量】21．（7分）设矩阵A=①求矩阵A的逆矩阵A﹣1②若曲线C在矩阵A﹣1D的作用下变为曲线C：′x2﹣y2=1，求曲线C的方程．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程．（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．【选修4-5，不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．福建省达标校联考2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知复数z满足：z（1+i）=1﹣i，则复数z等于（）A．﹣1 B．﹣i C．i D．1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接转化复数方程为复数的乘除运算，化简复数为a+bi的形式即可．解答：解：复数z满足：z（1+i）=1﹣i，z====﹣i．故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）设集合A={2，3，5，7}，B={2，4，6，8}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素个数为（）A．3B．4C．5D．6考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：已知集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，可求得其全集U=A∪B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算C U（A∩B）．解答：解：∵集合A={2，3，5，7}，B={2，4，6，8}，全集U=A∪B，∴U=A∪B={2，3，4，5，6，7，8}，∵A∩B={2}，∴C U（A∩B）={3，4，5，6，7，8}，共6个元素，故选：D．点评：此题考查简单的集合的运算，集合在2015届高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，在学习中我们应从基础出发．3．（5分）若a=sin（π﹣），则函数y=tanax的最小周期为（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式求得a的值，再根据y=Atan（ωx+φ）的周期等于T=，求得函数y=tanax的最小周期．解答：解：∵a=sin（π﹣）=sin=，则函数y=tanax=tan的最小周期为=2π，故选：C．点评：本题主要考查诱导公式，三角函数的周期性及其求法，利用了y=Atan（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．4．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2B．3C．4D．5考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．5．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则“x＞0”是“与夹角为锐角”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可．解答：解：若与夹角为锐角，则•=（x﹣1，2）•（2，1）=2x＞0，解得x＞0成立，若与同向共线时，满足，解得x=5，满足x＞0，但此时夹角为0°，不是锐角，故“x＞0”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的数量积的应用是解决本题的关键．6．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A、B两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为（）A．8B．2C．D．3考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与半弦长，圆心到直线的距离满足的勾股定理求解即可．解答：解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线：bx﹣ay=0，圆（x﹣3）2+y2=9相交于A、B两点，圆的圆心（3，0），半径为3，圆心到直线的距离为：2，|AB|=2，可得：．解得b=2a．c==3a．双曲线的离心率为3．故选：D．点评：本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．7．（5分）在如图的程序中所有的输出结果之和为（）A．30 B．16 C．14 D．9考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算输出S的值，直到满足条件i＞7，程序运行终止，所有的输出结果相加可得答案．解答：解：由程序框图知：第一次循环S=0+1=1，i=2+1=3，输出S=1；第二次循环S=1+3=4，i=3+2=5，输出S=4；第三次循环S=4+5=9，i=5+2=7，输出S=9；第四次循环S=9+7=16，i=7+2=9，输出S=16．满足条件i＞7，程序运行终止，∴所有的输出结果之和为1+4+9+16=30．故选：A．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算输出S的值是解答本题的关键．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．a=c B．b=c C．2a=c D．a2+b2=c2考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosA，将已知第一个等式代入求出cosA的值，确定出A度数，再利用正弦定理化简第二个等式，求出sinB的值，确定出B的度数，进而求出C的度数，确定出三角形ABC形状，即可做出判断．解答：解：∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=30°，由正弦定理化简b=a，得到sinB=sinA=，∴B=60°或120°，当B=60°时，C=90°，此时△ABC为直角三角形，得到a2+b2=c2，2a=c；当B=120°时，C=30°，此时△ABC为等腰三角形，得到a=c，综上，b=c不一定成立，故选：B．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形与等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．9．（5分）给定区域D：，令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定不同的直线的条数为（）A．4B．5C．6D．7考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求出对应的最值点，结合直线的性质进行判断即可．解答：解：如图，作出不等式组对应的平面区域如图，则使z=x+y取得最小值的点仅有一个（0，1），使z=x+y取得最大值的点有无数个，但属于集合T的只有5个，（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），用这些点可以组成直线的条件为个，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用以及直线条数的确定，利用数形结合求出最优解是解决本题的关键．10．（5分）定义在R上的奇函数f（x）和定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x）分别满足f（x）=，g（x）=log2x（x＞0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则实数b的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣，0）∪（0，]C．[﹣2，﹣]∪[，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性作出函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：分别作出函数f（x）和g（x）的图象如图，若若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则b一定在函数g（x）使两个函数的函数值重合的区间内，∵函数f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴由log2x=1，解得x=2，由log2（﹣x）=1，解得x=﹣2，故b的取值范围是[﹣2，﹣]∪[，2]，故选：C点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性结合数形结合是解决本题的关键．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分把答案填在答题卷中的横线上）11．（4分）（x2﹣）5的展开式x4的系数为40（用数字作答）考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为4求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1=，要求x4的项的系数∴10﹣3r=4，∴r=2，∴x4的项的系数是C52（﹣2）2=40故答案为：40点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（4分）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为．考点：定积分的简单应用．专题：数形结合．分析：本题利用几何概型概率．先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积，再结合概率计算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的面积之比即可．解答：解：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为=x3|=1，所以点M取自阴影部分部分的概率为．故答案为：．点评：本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算公式．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．13．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是92．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：几何体是底面为直角梯形高为4的直四棱柱，S上=S下=；S侧=．几何体的表面积为S==92．故答案为：92．点评：本题考查三视图求解几何体的表面积的方法，正确判断几何体的形状是解题的关键．14．（4分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x﹣1（x∈R），当x∈[0，]时，若函数y=f（x）﹣k有两个零点，则k的取值范围为1≤k＜．考点：函数的零点．专题：计算题；作图题；三角函数的图像与性质．分析：由三角恒变换化简f（x）═sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）；从而可知函数f（x）与函数y=k在[0，]上有两个交点，作函数图象求解．解答：解：f（x）=2sinxcosx+2sin2x﹣1=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）；当x∈[0，]时，要使函数y=f（x）﹣k有两个零点，只需使函数f（x）与函数y=k在[0，]上有两个交点，作函数f（x）=sin（2x﹣），x∈[0，]的图象如下，结合图象可得，1≤k＜；故答案为：1≤k＜．点评：本题考查了三角函数的应用及学生作图与用图的能力，属于基础题．15．（4分）设S为非空数集，若∀x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集，下列：①实数集是封闭集②封闭集一定是无限集③若S为封闭集，则一定有0∈S④若S，T为封闭集且满足S⊆U⊆T，则集合U也是封闭集其中真的序号是①③（把所有真的序号都填上）考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用封闭集的定义，列举反例，对选项逐一判断即可．解答：解：对于①，实数集是封闭集，满足封闭集的定义，∴①正确；对于②，例如{0}就是封闭集，不一定是无限集，∴②不正确；对于③，若S为封闭集，∀x∈S，都有x﹣x∈S，即0∈S，则一定有0∈S．∴③正确；对于④，例如S={0}，U={0，1}，T=R，不满足封闭集的定义，所以若S，T为封闭集且满足S⊆U⊆T，则集合U也是封闭集，不正确，∴④不正确．正确为：①③．故答案为：①③．点评：本题考查封闭集的定义的应用，的真假的判断，基本知识的理解与应用．三、解答题（共5小题，满分66分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2﹣，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求证：＞﹣2（n∈N*，n≥2）考点：数列与不等式的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）依题意，根据根据S n﹣S n﹣1=a n，可得数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，可求b n=n，从而可求T n=log2a1+log2a2+…+log2a n．解答：解：（1）当n=1时，a1=S1=1．…（2分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，此式对n=1也成立．∴a n=．…（5分）（2）证明：设b n=log2a n，则b n=1﹣n．…（7分）∴{b n}是首项为0，公差为﹣1的等差数列．∴T n=﹣…（10分）∴=﹣2（1﹣+﹣+…+﹣）=﹣2（1﹣）＞﹣2…（12分）点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式与等差数列的求和公式，属于中档题．17．（13分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E 是PC的中点．（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求二面角C﹣AB﹣E的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用线面垂直的性质可得PB⊥AC，利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出BC的长度，进而利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：（1）证明：∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC；∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC；又∵PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC；又∵AC⊂平面PAC，∴面PAC⊥面PBC（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC=m＞0，则C（0，0，0），A（2，0，0），E（0，，1），B（0，m，0），P（0，m，2）．∴，，．由，得，由==，∴，解得m=．则，．设平面ABE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，则y=，z=1，∴=（1，，1）．取平面ABC的一个法向量=（0，0，1），∴===．∴．∴二面角C﹣AB﹣E的大小为60°．点评：本题综合考查了通过建立空间直角坐标系求异面直线的夹角、二面角，线面、面面垂直的判定与性质定理，需要较强的推理能力、计算能力和空间想象能力．18．（13分）某玩具厂生产甲、乙两种儿童玩具，其质量按测试指示划分：指示大于或等于85为合格品，小于85为次品，现随机抽取这两种玩具个100件进行检测，检测结果统计如下：测试指示[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）玩具甲8 22 30 32 8玩具乙7 18 40 29 6（1）试分别估计玩具甲，玩具乙为合格品的概率（2）生产一件玩具甲，若是合格品可盈利80圆，若是次品则亏损15元，生产一件玩具乙，若是合格品可盈利50圆，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下，①记X为生产1件玩具甲和1件玩具乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．②求生产5件玩具乙所获得的利润不少于140元的概率．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）利用离散型的概率公式求解得出玩具甲为合格品的概率为；玩具乙为合格品的概率为．（2）确定①随机变量X的所有可能取值为130，70，35，﹣25．，分别求解相应的概率，列出分布列即可求解数学期望．②根据题意得出生产5件玩具乙中合格品有n件，则次品有5﹣n件，依题意得50n﹣10（5﹣n）≥140，n，求解不等式即可．解答：解：（1）玩具甲为合格品的概率为=，玩具乙为合格品的概率为=，（2）①随机变量X的所有可能取值为130，70，35，﹣25．P（X=130）=×=，P（X=70）=×=，P（X=35）=×=，P（X=﹣25）=×=，所有随机变量X的分布列为：X 130 70 35 ﹣25P随机变量X的数学期望为：E（X）=130×+70×=86.5，②设生产5件玩具乙中合格品有n件，则次品有5﹣n件，依题意得50n﹣10（5﹣n）≥140，n，所有n=4，或n=5，设“生产5件玩具乙所获得的利润不少于140元”为事件A，则P（A）=（）4×+（）5=．点评：本题考查了综合运用离散型的概率分布知识求解问题，关键是准确求解概率，列出分布列，得出相应的数学期望，也可以转化为不等式求解，综合性较强．19．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．20．（14分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若f（x）≤kx2对任意x＞0成立，求实数k的取值范围；（3）当n＞m＞1（m，n∈N*）时，证明：．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a；（2）f（x）≤kx2对任意x＞0成立对任意x＞0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，运用导数，求得单调区间，得到最大值，令k不小于最大值即可；（3）令，求出导数，判断单调性，即得h（x）是（1，+∞）上的增函数，由n＞m＞1，则h（n）＞h（m），化简整理，即可得证．解答：解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f'（x）=a+lnx+1，又∵f（x）的图象在点x=e处的切线的斜率为3，∴f'（e）=3，即a+lne+1=3，∴a=1；（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，∴f（x）≤kx2对任意x＞0成立对任意x＞0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，，令g'（x）=0，解得x=1，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1时，g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数．故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1，∴k≥1即为所求；（3）令，则，由（2）知，x≥1+lnx（x＞0），∴h'（x）≥0，∴h（x）是（1，+∞）上的增函数，∵n＞m＞1，∴h（n）＞h（m），即，∴mnlnn﹣nlnn＞mnlnm﹣mlnm，即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，lnn mn+lnm m＞lnm mn+lnn n，ln（mn n）m＞ln（nm m）n，∴（mn n）m＞（nm m）n，∴．点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查不等式的证明，运用构造函数，求导数得到单调性，再由单调性证明，属于中档题．【选修4-2：矩阵与变量】21．（7分）设矩阵A=①求矩阵A的逆矩阵A﹣1②若曲线C在矩阵A﹣1D的作用下变为曲线C：′x2﹣y2=1，求曲线C的方程．考点：逆变换与逆矩阵．专题：选作题；矩阵和变换．分析：①求出矩阵A=的行列式为=﹣1，即可求出矩阵A的逆矩阵A﹣1②设曲线C上任一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C′上一点P（x′，y′），由矩阵变换的特点，即可得到它们的关系式，再代入已知曲线方程即可．解答：解：①矩阵A=的行列式为=﹣1，所以A﹣1=；②设曲线C上任一点P（x，y）在矩阵A﹣1对应的变换作用后变为曲线C′上一点Q（x′，y′），则==，从而因为点Q在曲线C′上，所以x′2﹣y′2=1，即（﹣3x+2y）2﹣（2x﹣y）2=1，从而5x2﹣8xy+3y2=1．所以曲线C的方程为5x2﹣8xy+3y2=1．点评：本题考查矩阵的逆矩阵，以及矩阵变换下的曲线方程，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程．（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．考点：参数方程化成普通方程．专题：三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．分析：（1）首先把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程（2）利用直线和曲线没有交点，利用点到直线的距离求的最值，中间涉及相关的三角函数知识解答：解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数）转化为直角坐标方程：曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4转化为直角坐标方程：x+y﹣8=0（2）显然直线和椭圆没有公共点，则椭圆上点P（cosα，sinα）到直线的距离d=当时，此时P（，）点评：本题考查的知识点：，椭圆上的点到直线的距离，三角函数的最值及相关的运算问题．【选修4-5，不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：选作题；不等式的解法及应用；不等式．分析：①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．解答：解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

福建省漳州市2017-2018学年高三下学期第二次模拟考试理数试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{14}A=x x ∈-<<N 的真子集个数为 （A ） 7 （B ） 8 （C ）15 （D ） 16【答案】C 【解析】试题分析：{}3210，，，=A 有4个元素，则真子集个数为15124=-个,故选C.考点：集合2.若复数z 满足i 1i z ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（A ）i （B ）1 （C ）i - （D ） 1- 【答案】B 【解析】试题分析：i ii i i i i z -=-+-=⋅+=+=111)1()1(2，所以i z +=1_，得虚部为1，故选B. 考点：复数的代数运算3.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“ 1>q ”是“{}n a 为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：当0,11<>a q 时，{}n a 不是递增数列；当10<<q 且01<a 时，{}n a 是递增数列，但是1>q 不成立，所以选D. 考点：等比数列4.右图是一个几何体的三视图，若该几何体的底面为直角梯形，则该几何体体积为 （A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）24【答案】A 【解析】试题分析：该几何体为四棱锥，底面为俯视图，高为2，其体积为()823533131=⨯+⨯==Sh V ,故选A.考点：,1三视图；2.几何体的体积.5.在∆ABC 中，AB =2，BC =，ABC ∠=30，AD 为BC 边上的高，若AD AB ACμuuu r uuu r uuu r =+λ，则λμ等于（A ）2 （B ）12 （C ）23（D ） 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得， 3=BD ，32=CD ，则()31323131+=-+=+=+=，所以32=λ,31=μ，则2=μλ,故选A. 考点：平面向量基本定理6.执行右面的程序框图，若输出的结果是3231，则输入的a 为（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ） 3【答案】B 【解析】试题分析：当1=n 时，21=S ；当2=n 时，22121+=S ；．．．；当4=n 时，161521212121432=+++=S ；5=n 时，323121212121215432=++++=S ，输出S ，此时54≤<a ，所以选B.考点：循环结构 7.设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是 （A ）函数的一条对称轴为π6x =（B ）函数在区间π5π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增 （C ）00,3πx ∃∈()，使()1=-0f x（D ）a ∃∈R ，使得函数)(a x f y +=在其定义域内为偶函数 【答案】D 【解析】试题分析：函数()x x x x f 2cos 2142sin 42cos 1+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++=ππ，当()π3,0∈x 时，当6π=x 时，32π=x 不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴， A 错；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ45,2x 是否时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ25,2x ，函数先增后减，B 不正确；若()1-=x f ，那么22cos -=x 不成立，所以C 错；当π23=a 时，()x a x f 2cos 21-=+函数是偶函数，D 正确，故选D.. 考点：三角函数的性质8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与坐标轴交于点M ，P 为抛物线第一象限上一点，F 为抛物线焦点，N 为x 轴上一点，若6π=∠PMF ，0=⋅，则||||PF PN =（A （B ）43（C ）32（D ） 2【答案】C 【解析】试题分析：设a PM 2=，则PF 转化到P 到准线的距离，在直角三角形NMP 中，a PN 332=，易知a PF 3=，则23=PN PF . 考点：抛物线的几何性质9.某校投篮比赛规则如下:选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮．假设某选手每次命中率都是0．6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为 （A ）625216 （B ） 625108 （C ） 62536 （D ）12518 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意得，第一次中或不中，第二次不中，第三次和第四次必须投中，得概率为125186.06.04.01=⨯⨯⨯. 考点：独立事件同时发生的概率 10.已知101099221010....)12(x a x a x a x a a x +++++=-，求10932....a a a a ++++的值为（A ）20- （B ）0 （C ）1 （D ）20 【答案】D 【解析】试题分析：解析：令1=x 得，1....109210=+++++a a a a a ，再令0=x 得，10=a ，所以0....10921=++++a a a a ，又因为201-=a ，代入得10932....a a a a ++++=20. 考点：二项式定理11.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为12S =，则ab 的最小值为 （A ）12（B ）13 （C ）16（D ）3【答案】B考点：1.正弦定理和余弦定理；2.基本不等式.12.已知函数()=-x af x x e 存在单调递减区间，且()=y f x 的图象在0=x 处的切线l 与曲线xy e =相切，符合情况的切线l（A ）有3条 （B ）有2条 （C ） 有1条 （D ）不存在 【答案】D 【解析】试题分析：/1()1x a f x e a =-，依题意可知，/1()10x a f x e a=-<在(,)-∞+∞有解，①0a <时，/()0f x < 在(,)-∞+∞无解，不符合题意；②0a >时，/()0l n l n x axf x a e a x a a a>⇔>⇔>⇔<符合题意，所以0a >． 易知，曲线)(x f y =在0=x 的切线l 的方程为1)11(--=x ay . 假设l 与曲线x y =e 相切，设切点为),(00y x消去a 得0001x x e e x =-，设()1x x h x e x e =--，则/()x h x e x =，令/()0h x >，则0x >， 所以()h x 在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增，当,()1x h x →-∞→-，,()x h x →+∞→+∞所以()h x 在(0,)+∞有唯一解，则01x e >，而0>a 时，111<-a，与01x e >矛盾，所以不存在．考点：导数的综合应用第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量x ，y 满足约束条件 0121x y x y x y -≥,⎧⎪+≤,⎨⎪+≥,⎩则目标函数y x z +=5的最大值为 ．【答案】5 【解析】试题分析：如图，画出可行域，目标函数z x y +-=5，当目标函数过点)01(，A 时，Z 取得组大值，最大值是5.考点：线性规划14.已知θ是三角形的一个内角，且θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=-+px x 的两根，则θ等于 ． 【答案】π43【解析】试题分析：21cos sin -=⋅θθ联立1cos sin 22=+θθ得22sin ±=θ，由θ为三角形内角得22sin =θ，22cos -=θ，所以πθ43=．考点：1.三角函数；2.根与系数的关系.15.已知球O 被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦长为2，若两圆的半径分别为3和3，则球O 的表面积为 ． 【答案】π44 【解析】试题分析：设圆1O 的半径为3，圆2O 的半径为3，则2221==E O OO ，31=AO ，所以球的半径112121=+==AO OO AO R ，所求表面积为ππ4442==R S ．考点：球的表面积16.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点为21,F F ，P 为双曲线C 右支上异于顶点的一点，21F PF ∆的内切圆与x 轴切于点()01，，且P 与点1F 关于直线x aby -=对称，则双曲线方程为 ．【答案】1422=-y x【解析】试题分析：设点A （1，0），因为21F PF ∆的内切圆与x 轴切于点（1，0）， 则2121AF AF PF PF -=-，所以)1()1(2--+=c c a ，则1=a ． 因为P 与点F 1关于直线a bx y -=对称，所以221π=∠PF F 且b a b PF PF ==21， 联立221=-PF PF 且222221444b c PF PF +==+解得2=b ．所以双曲线方程为1422=-y x ．考点：双曲线与圆的位置关系三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()3*+=∈n n S a n N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设41log (1)n n b S +=-()*∈n N ，12231111n n n T b b b b b b +=+++，求使10072016n T ≥成立的最小的正整数n 的值．【答案】（Ⅰ）*413Z n a nn ∈⎪⎭⎫⎝⎛=;(Ⅱ)2014=n .【解析】试题分析：(Ⅰ)已知n S 求n a 类型的习题，根据公式⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a 21≥=n n ，令1=n 求数列的首项，然后令2≥n 时，构造13111=+--n n a S ，两式相减，得到数列的递推公式，有递推公式判断数列类型，写出通项公式；（Ⅱ）根据第一问的通项公式，再结合11()3*+=∈n n S a n N ，首先求11--n S ，然后求数列{}n b 的通项公式，再代入11+n n b b ，由通项公式的形式确定采用裂项相消法求数列的和，并解得10072016n T ≥时，n 的取值范围. 试题解析：解：（Ⅰ） 当1n =时，11S a =，由11113134S a a +=⇒=， 当2n ≥时，11111113()01313n nn n n n n n S a S S a a S a ----⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩114n n a a -⇒= ∴{}n a 是以34为首项，14为公比的等比数列． 故1311()3()444n n n a -==()*∈n N （Ⅱ）由（1）知111111()34n n n S a +++-== 14141log (1)log ()(1)4n n n b S n ++=-==-+11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++21212111......41-3131-211......1113221+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=+n n n b b b b b b T n n n1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++1110072014222016n n -≥⇒≥+， 故使10072016n T ≥成立的最小的正整数n 的值2014n = 考点：1. 已知n S 求n a ;2.裂项向消法求数列的和. 18.（本小题满分12分）某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数x 和众数m （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在]60,50[的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望)(ξE ．【答案】(Ⅰ)2.29=x ;35=m (Ⅱ)详见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据频率分布直方图计算样本的众数，就是看最高的这组数据的区间中点，中点就是众数，平均数的计算方法，每组区间中点乘以本组的频率和就是平均数，而频率是本组矩形的面积；(Ⅱ)首先根据频数等于频率乘以100，和本组中的男生和女生人数，然后列ξ 的可能取值，列分布列和数学期望. 试题解析：解：（Ⅰ）35=m2.2905.0552.04525.03522.02518.0151.05=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在]60,50[的学生为510005.0=⨯人，其中男生3人，女生2人，则ξ 的可能取值为1，2，3,103)1(352213===C C C P ξ,53106)2(351223====C C C P ξ101)3(3533===C C P ξ ξ的分布列为所以510352101)(=⨯+⨯+⨯=ξE考点：1.频率分布直方图的应用；2.离散型随机变量的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=，2AB AC PA ===， ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）PM PD =【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线与面垂直，根据判定定理，需要证明线与平面内的两条相交直线垂直，根据中点易证明AB EF //,所以可以将问题转化为证明AB 与平面PAC 内的两条相交直线垂直，即证明AC AB ⊥和PA AB ⊥；（Ⅱ）根据上一问所证明的垂直关系，可以建立以A 为原点的空间直角坐标系，设λ=PDPM,根据λ=,表示点M 的坐标，首先求平面PBC 的法向量m，以及平面ABCD 的法向量n，并根据|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n 建立方程，求λ.试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥．由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥． 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD ． 又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥．F CADPMB E又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -， 所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m ． 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =， 得(1,1,1)=n ． 因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， 所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME⋅⋅=⋅⋅m n m n ， 所以|22|λ-=， 解得λ=λ=． 综上所得：PM PD =考点：1.线面垂直的判定；2.线面角. 20.（本小题满分12分）D已知椭圆C :222210x y (a b )a b +=>>的离心率为2，直线0l :x y -=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA,MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ,2k ，且124k k +=， 证明:直线AB 过定点(12-，-l)． 【答案】(Ⅰ) 2212x y +=;(Ⅱ)详见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据条件22==a c e ，再根据直线与圆相切，原点到直线的距离等于半径，和222c b a +=求解222,,c b a ;（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设两个点的坐标，并且根据4=+MB MA k k ,和点在曲线上的条件，求点的坐标得到定点，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，与方程联立，得到根与系数的关系，并且用根与系数的关系表示421=+k k ，得到12-=km ，代入直线方程，得到定点，法二，设直线MB MA ,.联立方程，得到点B A ,的坐标，证明点N B A ,,三点共线.试题解析：解:（Ⅰ）椭圆C的离心率e =222222221,2.2c a b e a b a a -∴===∴=由0x y -=与圆222x y b +=相切，得21, 2.b a =∴=∴椭圆C 的方程为：2212x y +=．（Ⅱ）①若直线AB 的斜率不存在，设方程为0x x =，则点00(,)A x y ，00(,)B x y -． 由已知0000114,y y x x ---+=得012x =-．此时AB 方程为12x =-，显然过点(12-，-l)．②若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意1m ≠±．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220.k x kmx m +++-= 则122412km x x k +=-+，212222.12m x x k-=+ 由已知124k k +=,1212114,y y x x --+= 1212114kx m kx m x x +-+-∴+=即12122(1)4x xk m x x ++-=将1212,x x x x +代入得21km k m -=+，∴2(1)k m =+， 1.2km ∴=- 故直线AB 的方程为12k y kx =+-，即1()12y k x =+-．∴直线过定点 (12-，-l)．考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.椭圆的简单性质.21.（本小题满分12分）已知函数x ax x x f ln 1221)(2++-=（Ⅰ）当0=a 时，若函数)(x f 在其图象上任意一点A 处的切线斜率为k ，求k 的最小值，并求此时的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 的极大值点为1x ，证明：1ln 2111->-ax x x ． 【答案】(Ⅰ) 斜率k 的最小值为2，0124=--y x ;(Ⅱ)详见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)首先根据函数求函数的导数，根据导数的几何意义：任意一点A 处的切线斜率为k ，就是在这点处的导数，即()x f k '=，利用基本不等式求函数的最小值，并求出取得最小值是的自变量，最后根据斜率和切点坐标求切线方程;(Ⅱ)第一步求函数的导数，根据不同的a 的取值范围讨论函数的极值，当1>a 或1-<a 时，令0)('=x f 则0122=+-ax x 的两根为1x 和2x ，因为1x 为函数)(x f 的极大值点，所以210x x <<，这样根据定义域和根与系数的关系，得到101<<x ，12121x x a +=，第二步将12121x x a +=代入2111ln ax x x -，得到一个新的函数，最后将问题转化为求这个函数的最小值，这个过程需要求函数的二阶导数，从而才能判断函数在定义域()1,0的最小值. 试题解析：解：（Ⅰ）∵0=a ，∴)0(ln 121)(2>++=x x x x f ∴21)('≥+=xx x f 当仅当x x 1=时，即1=x 时，)('x f 的最小值为2∴斜率k 的最小值为2，切点A )23,1(，∴切线方程为)1(223-=-x y ，即0124=--y x（Ⅱ）∵)0(1212)('2>+-=+-=x xax x x a x x f ①当11≤≤-a 时，)(x f 单调递增无极值点，不符合题意②当1>a 或1-<a 时，令0)('=x f 则0122=+-ax x 的两根为1x 和2x ，因为1x 为函数)(x f 的极大值点，所以210x x <<又∵02,12121>=+=a x x x x ，∴1>a ，101<<x∴0)('1=x f ，所以012121=+-ax x ，则12121x x a +=∵=-2111ln ax x x =+-2ln 13111x x x x 11131ln 212x x x x +--，)1,0(1∈x令x x x xx h ln 212)(3+--=，)1,0(∈x ∴x xx h ln 2123)(2'++-=∴x x x x x h 2"3113)(-=+-=，)1,0(∈x 当330<<x 时，0)(">x h ，当133<<x 时，0)("<x h ∴)('x h 在)33,0(上单调递增，在)1,33(上单调递减 ∴03ln )33()(''<-=≤h x h ∴)(x h 在)1,0(上单调递减∴1)1()(-=>h x h ，原题得证． 考点：1.导数的综合应用；2.导数的几何意义.请考生在第（22），（23），（24）3题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：（Ⅰ）∠=∠DEA DFA ；（Ⅱ）2AB BE BD AE AC =⋅-⋅．F【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)连接AD ,根据直径所对的圆周角等于090，可知090=∠ADE ,并且090=∠EFA ,所以F E D A ,,,四点共圆，那么DEA ∠和DFA ∠属于圆内同弦所对的圆周角，必相等.(Ⅱ主要将等号有边的边长进行转化，利用F E D A ,,,四点共圆，那么BF BA BE BD ⋅=⋅,利用AEF ABC ∆∆~,可得AB ACAE AF=，转化为⋅=⋅AB AF AE AC ，这样转化后代入原式，即证明等式.试题解析：证明：（Ⅰ）连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以∠ADB =90°，又EF ⊥AB ，∠EFA =90°则A 、D 、E 、F 四点共圆∴∠DEA =∠DFA （Ⅱ）由（Ⅰ）知，⋅=⋅BD BE BA BF 又△ABC ∽△AEF ∴AB ACAE AF= 即：⋅=⋅AB AF AE AC∴2()⋅-⋅=⋅-⋅=-=BD BE AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB 考点：1.三角形相似；2.圆的性质.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=． （Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）（t 为参数）与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于E ，【答案】(Ⅰ) ()()22112x y -+-=;(Ⅱ)5. 【解析】试题分析：(Ⅰ)极坐标方程两边同时乘以ρ，根据222y x +=ρ，y x ==θρθρsin ,cos ，代入后得到C 的直角坐标方程;(Ⅱ)根据t 的几何意义，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，写出根与系数的关系21t t +和21t t ，并将EB EA +表示为21t t -，根据根与系数的关系代入，即可求得结果.试题解析：解：（Ⅰ）由()2cos sin ρθθ=+得()22cos sin ρρθθ=+，得直角坐标方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=；（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得210t t --=，点E 对应的参数0t =，设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则121t t +=，121t t =- ，考点：1.直线参数方程的应用；2.极坐标方程与直角坐标方程的互化. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+． （Ⅰ）解不等式|()|5g x <；（Ⅱ）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{}24x x -<<；（Ⅱ）1a ≥-或5a ≤-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）将不等式转化为317<-<-x ，取绝对值解不等式；（Ⅱ）将问题转化为{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，等价于求两个函数的值域，()x f 的值域利用绝对值三角不等式求()()322322+--≥++-x a x x a x ，()x g 的值域为()2≥x g ，根据值域的子集关系建立不等式，解出a 的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）由125x -+<得5125x -<-+<713x ∴-<-<，得不等式的解集为{}24x x -<<（Ⅱ）因为任意R ∈1x ，都有R ∈2x ，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223|(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()|1|22g x x =-+≥，所以|3|2a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-， 所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-考点：1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值函数的最值.。

福建省漳州市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，那么A . {0，1}B . {2，3}C . {0，1，4}D . {0，1，2，3，4}2. （2分）(2017·淮北模拟) 复数的共轭复数的模为（）A .B .C . 1D . 23. （2分） (2017高三上·南充期末) 已知随机变量服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=（）A . 0.1B . 0.2C . 0.4D . 0.64. （2分）(2017·天津) 设θ∈R，则“|θ﹣ |＜”是“sinθ＜”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2018·山东模拟) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（）A . 1.6B . 1.8C . 2.0D . 2.46. （2分）已知函数，则要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度7. （2分）(2017·衡阳模拟) 已知不等式组所对应的平面区域面积为2+2π，则的最大值为（）A .B .C . 6D . 78. （2分） F1 ， F2是的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（）A . 4B . 5C . 2D . 19. （2分）(2017·揭阳模拟) 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0），点A、F分别为其右顶点和右焦点，B1（0，b），B2（0，﹣b），若B1F⊥B2A，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数f（x）= ，若函数g（x）=f（x）﹣ax恰有两个零点时，则实数a的取值范围为（）A . （0，）B . （0，）C . [ ，）D . [ ，e）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高三上·嘉兴期末) 由直线上的一动点向圆引切线，则切线长的最小值为________．12. （1分）(2020·江西模拟) 已知，则________．13. （1分） (2017高一下·黄山期末) 在如图所示的程序框图中，若U=lg •log3 ，V=2 ，则输出的S=________，14. （1分） (2016高一下·兰州期中) 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．15. （1分） (2018高一上·台州月考) 设函数，若对任意的正实数，总存在，使得，则实数的取值范围为________三、解答题 (共6题；共50分)16. （5分）(2017·丰台模拟) 已知函数f（x）=sinxsin x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．17. （5分）(2017·西城模拟) 某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表分数区间频数[0，10）2[10，20）3[20，30）5[30，40）15[40，50）40[50，60]35定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：分数[0，30）[30，50）[50，60]满意度指数012（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．18. （10分） (2015高一上·柳州期末) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PB⊥面ABCD，BA=BD=，AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．19. （5分）已知数列{an}满足a1=， an+1=数列{an}的前n项和为Sn ， bn=a2n ，其中n∈N* ．试求a2 ， a3的值并证明数列{bn}为等比数列；20. （15分） (2019高三上·广东月考) 已知函数，为的导函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上存在最大值0，求函数在上的最大值；（3）求证：当时， .21. （10分） (2019高二下·富阳月考) 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，若点在抛物线上.（1）求抛物线的方程；（2）如图，过点且斜率为的直线与抛物线的另一个交点为，过点与直线垂直的直线交轴于点，求直线的斜率的取值范围.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分)16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、。