推荐学年高中数学第二章基本初等函数I2.2.2.2对数函数及其性质的应用课时作业新人教版必修1

第2课时对数函数的性质应用[目标] 1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式；2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域；3.能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题．[重点] 对数函数的图象和性质的应用．[难点] 对数函数的图象和性质的综合应用.知识点一对数函数的单调性[填一填]1．对数函数的单调性：当a>1时，y＝log a x为增函数，当0<a<1时，y＝log a x为减函数．2．对于y＝log a x，若a>1，当x>1时，y>0，当0<x<1时，y<0；若0<a<1，当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0.[答一答]1．若a>1，且m>n，则log a m与log a n的大小关系是log a m>log a n.若0<a<1，且m>n，则log a m与log a n的大小关系是log a m<log a n.2．若a>1，且log a m>log a n，则m与n的大小关系是m>n；若0<a<1，且log a m>log a n，则m与n的大小关系是m<n.知识点二复合函数的单调性[填一填]复合函数y＝log a f(x)，x∈D的单调性：设集合M⊆D，若a>1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y ＝log a f(x)的增(减)区间；若0<a<1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝log a f(x)的减(增)区间．[答一答]3．f(x)＝log3(x＋5)的单调区间是否只有一个？是否就是y ＝x＋5的单调区间？提示：是只有1个，但不是y＝x＋5的单调增区间(－∞，＋∞)，而是(－5，＋∞)．知识点三反函数[填一填]函数y＝log a x(a>0，且a≠1)与y＝a x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称．[答一答]4．指数函数与对数函数有哪些主要的相同点？两种函数之间有哪些关系？提示：(1)底数及其范围相同；(2)a>1时同为增函数，0<a<1时同为减函数；(3)互为反函数，图象关于直线y＝x对称；(4)指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域．类型一 比较大小[例1] 比较下列各组值的大小．(1)log 534与log 543；(2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，∴log 534<log 543. 法二：∵log 534<0，log 543>0，∴log 534<log 543.对数式比较大小的三种类型和求解方法 1底数相同时，利用单调性比较大小.2底数与真数均不相同时，借助于0或1比较大小. 3真数相同时，可利用换底公式换成同底，再比较大小，但要注意对数值的正负.[变式训练1] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( D ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解析：由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D.类型二 解对数不等式[例2] (1)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围．(2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．[分析] 对于(1)“1”变为log a a 讨论单调性；对于(2)直接根据单调性列不等式组求解．[解] (1)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，25∪(1，＋∞)．(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.∴x 的取值范围为(1，＋∞)．解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形.若非同解变形，最后一定要检验.[变式训练2] 若－1<log a 34<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围．解：∵－1<log a 34<1，∴log a 1a <log a 34<log a a .当a >1时，1a <34<a ，则a >43；当0<a <1时，1a >34>a ，则0<a <34.故实数a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞.类型三 对数复合型函数的值域[例3] 求下列函数的值域：(1)y ＝log 12(－x 2＋2x ＋3)；(2)y ＝log 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2，x ∈[－3，－1]．[分析] 先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域．[解] (1)设u ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4≤4， ∵y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，∴log 12 (－x 2＋2x ＋3)≥log 124＝－2.∴函数的值域为[－2，＋∞)． (2)设u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－2，∵x ∈[－3，－1]．∴3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤27，即1≤u ≤25.∵函数y ＝log 3u 在(0，＋∞)上是增函数，∴0≤log 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2≤log 325.∴原函数的值域为[0，log 325]．1.与对数函数有关的复合函数的值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域多采用换元法.2.对于形如y ＝log a f xa >0，且a ≠1的复合函数的值域的求解的步骤：①分解成y ＝log a u ，u ＝f x 两个函数；②求f x 的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解.[变式训练3] 设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，14≤x ≤4.若t ＝log 2x .(1)求t 的取值范围． (2)求f (x )的值域．解：(1)因为t ＝log 2x ，14≤x ≤4，所以log 214≤t ≤log 24，即－2≤t ≤2.(2)函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，即f (x )＝(log 2x )2＋3log 2x ＋2，又t ＝log 2x ， 则y ＝t2＋3t ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋322－14(－2≤t ≤2)．当t ＝－32时，即log 2x ＝－32，x ＝2－32时，f (x )min ＝－14；当t ＝2时，即log 2x ＝2，x ＝4时，f (x )max ＝12. 综上可得，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.类型四 对数复合型函数的单调性[例4] 已知f (x )＝log 12 (x2－ax －a )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上是增函数，求a 的取值范围．[解] 令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝log 12u (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上是增函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上是减函数，且u (x )>0在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a2≥－12，u ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a2－a ≥0.∴－1≤a ≤12.∴满足条件的a 的取值范围是{a |－1≤a ≤12}．与对数函数有关的复合函数y ＝log a g x 的单调性的求解步骤：1确定定义域，研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.很多同学忽略了定义域，即要满足g x>0导致错误2弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数：外层函数y ＝log a u ，内层函数u ＝gx .3分别确定这两个函数的单调区间.4若这两个函数同增或同减，则y ＝log a g x为增函数；若一增一减，则y ＝log a g x 为减函数，即“同增异减”.[变式训练4] 已知f (x )＝log a (8－3ax )在[－1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( B )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，4 D ．(1，＋∞)解析：由题意，知8－3ax >0，x ∈[－1,2]，∴8＋3a >0,8－6a >0，∴－83<a <43.又易知a >0，且a ≠1，∴0<a <1或1<a <43，此时可知函数g (x )＝8－3ax 是减函数．若f (x )在[－1,2]上是减函数，则必有a >1.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，43.故选B.1．若0<x <y <1，则下列关系式正确的一组是( D ) A ．log 3x >log 3y B ．log 12 x <log 12 yC ．log x 3<log y 3D ．log 4x <log 4y解析：∵y ＝log 3x 是增函数，∴当x <y 时，log 3x <log 3y . ∵y ＝log 12 x 是减函数，∴当x <y 时，log 12 x >log 12 y .∵log 3x <log 3y <0，∴1log 3y <1log 3x <0.∴log y 3<log x 3.∵y ＝log 4x 是增函数，且0<x <y <1知log 4x <log 4y . 2．函数y ＝2x的反函数是( C ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝log 12 xC ．y ＝log 2x (x >0)D ．y ＝log 12x (x >0)解析：函数y ＝2x 的值域是(0，＋∞)． 又其反函数为y ＝log 2x .故选C.3．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是(－∞，－3]．解析：由x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8>0恒成立，知x ∈R .设u ＝x 2－6x ＋17.∵0<12<1，∴函数y ＝log 12u 是减函数．又∵x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，∴log 12 (x 2－6x ＋17)≤log 128＝log 1223＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝－3.故函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域为(－∞，－3]．4．函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．解析：∵3＋2x －x 2>0，∴x 2－2x －3<0.∴－1<x <3.令u ＝3＋2x －x 2＝－(x 2－2x －3)＝ －(x －1)2＋4，∴当x ∈(－1,1)时，u 是x 的增函数，y 是ln u 的增函数，故函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递增区间是(－1,1)．同理，函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递减区间是(1,3)． 5．已知f (x )＝log a (a x－1)(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)使f (x )＝log a (a x－1)有意义，则a x－1>0，即a x>1.当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0，∴当a >1时，函数的定义域为{x |x >0}；当0<a <1时，函数的定义域为{x |x <0}．(2)①当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2，∴0<ax 1－1<ax 2－1，∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)，∴f(x1)<f(x2)，∴当a>1时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；②当0<a<1时，设x1<x2<0，则ax1>ax2>1，∴ax1－1>ax2－1>0，∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)，∴f(x1)<f(x2)，∴当0<a<1时，函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．综上可知：函数f(x)＝log a(a x－1)在其定义域上为增函数．——本课须掌握的三大问题1．利用对数的单调性可解简单的对数不等式．解对数不等式的关键是把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式，但一定要注意真数大于零这一隐含条件．2．求与对数函数有关的复合函数的单调区间，首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成的，再按“同增异减”的方法来求其单调区间．3．对于对数型复合函数的综合应用的题目，无论是求最值还是求参数的取值范围，必须抓住两点：一是先求出原函数的定义域，二是在定义域内求出函数的单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围．此外在解题过程中一定要注意数形结合方法的灵活应用．学习至此，请完成课时作业21。

课时分层作业(二十) 对数函数及其性质的应用(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)B [由lg(2x －4)≤1，得0<2x －4≤10， 即2<x ≤7，故选B.]2．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )【导学号：37102301】A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)D [f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]3．已知log a 13>log b 13>0，则下列关系正确的是( )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <bA [由log a 13>0，log b 13>0，可知a ，b ∈(0,1)，又log a 13>log b 13，作出图象如图所示，结合图象易知a >b ，∴0<b <a <1.]4．若a ＝20.2，b ＝log 4(3.2)，c ＝log 2(0.5)，则( )【导学号：37102302】A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [∵a ＝20.2＞1＞b ＝log 4(3.2)＞0＞c ＝log 2(0.5)，∴a ＞b ＞c . 故选A.]5．若函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 B [当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12(舍去)．当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ， ∴log a 2＝－1，a ＝12.]二、填空题6．函数y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)的值域是________.【导学号：37102303】[－2，＋∞) [－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254≤254，∴有0<－x 2＋3x ＋4≤254，所以根据对数函数y ＝log 0.4x 的图象即可得到： log 0.4(－x 2＋3x ＋4)≥log 0.4254＝－2， ∴原函数的值域为[－2，＋∞)．]7．若log a 23<1，则a 的取值X 围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) [原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，23>a 或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，23<a ，解得0<a <23或a >1，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．]8．若y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值X 围是________.【导学号：37102304】(1,3] [因为y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，a >1，a >0且a ≠1，解得1<a ≤3.故a 的取值X 围是(1,3]．] 三、解答题9．已知函数y ＝(log 2x －2)⎝⎛⎭⎪⎫log 4x －12，2≤x ≤8.(1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的X 围； (2)求该函数的值域．[解] (1)y ＝12(t －2)(t －1)＝12t 2－32t ＋1，又2≤x ≤8，∴1＝log 22≤log 2x ≤log 28＝3，即1≤t ≤3. (2)由(1)得y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－18，1≤t ≤3，当t ＝32时，y min ＝－18；当t ＝3时，y max ＝1，∴－18≤y ≤1，即函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1. 10．已知函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )． (1)求函数y ＝f (x )的定义域； (2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(3)若f (2m －1)＜f (m )，求m 的取值X 围.【导学号：37102305】[解] (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋x >0，3－x >0，解得－3＜x ＜3，故函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)．(2)由(1)可知，函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)，关于原点对称． 对任意x ∈(－3,3)，则－x ∈(－3,3)． ∵f (－x )＝ln(3－x )＋ln(3＋x )＝f (x )， ∴由函数奇偶性可知，函数y ＝f (x )为偶函数． (3)∵函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )＝ln(9－x 2)，由复合函数单调性判断法则知，当0≤x ＜3时，函数y ＝f (x )为减函数． 又函数y ＝f (x )为偶函数，∴不等式f (2m －1)＜f (m )，等价于|m |＜|2m －1|＜3， 解得－1＜m ＜13或1＜m ＜2.[冲A 挑战练]1．函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数A [f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg 1x 2＋1－x 2＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A.]2．当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值X 围是( )【导学号：37102306】A ．(2，2)B ．(1，2)C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22C [当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象如图所示，若不等式4x＜log a x 恒成立，则y ＝log a x 的图象恒在y ＝4x 的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y ＝log a x 的图象与y ＝4x的图象交于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2点时，a ＝22，故虚线所示的y ＝log a x 的图象对应的底数a 应满足22＜a ＜1，故选C.]3．函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为________．－14 [f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14.] 4．（2018·全国卷Ⅲ）已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. －2 [由f (a )＝ln(1＋a 2－a )＋1＝4，得ln(1＋a 2－a )＝3，所以f (－a )＝ln(1＋a 2＋a )＋1＝－ln11＋a 2＋a＋1＝－ln(1＋a 2－a )＋1＝－3＋1＝－2.]5．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1. (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．[解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3<x <1，所以0<－(x ＋1)2＋4≤4.因为0<a <1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.。