下载文档原格式
选择题〔6×2〕1~6 DDBDBD一、填空题1 In x + 1 ;2 y = x3 一 2x 2 ; 3 y = log 2 x1一x,(0,1), R ; 4(0,0) lim (x 一 1)(x + m) = lim x + m = 1 + m = 25 解：原式= x )1 (x 一 1)(x + 3) x )1 x + 3 4：m = 7 ：b = 一7, a = 6二、判断题1 、 无穷多个无穷小的和是无穷小〔 〕2 、 假设 f(*)在x 处取得极值，则必有 f(*)在x 处连续不可导〔 〕0 03 、 设 函 数 f (*) 在 [0,1] 上 二 阶 可 导 且f '(x) 想 0令A = f '(0)， B = f '(1),C = f (1)一 f (0), 则必有A>B>C( )1~5 FFFFT三、计算题11 用洛必达法则求极限 lim x2 e x 2x )01 1e x 2 e x 2 (一2x 一3 ) 122 假设 f (x) = (x3 +10)4 , 求f ''(0)f '(x) = 4(x 3 +10)3 . 3x 2 = 12x 2 (x 3 +10)3解： f ''(x) = 24x . (x 3 +10)3 + 12x 2 . 3 . (x 3 +10)2 . 3x 2 = 24x . (x 3 +10)3 +108x 4 (x 3 +10)2：f ''(x) = 043 求极限lim(cos x)x 2x )04 求y = (3x 一 1)35x 一 1 的导数x 一 2 j tan 3 xdxx 解：原式= lim = lim = lim e x 2 = +w x )0 1 x )0 一2x 一3 x )0 5求j x arctanxdx6四、证明题。
共 4 页，第 1 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。
共 4页，第 2 页） ()f x 在x a =处可导； (B ）()f x 在x a =处不连续； （C)。
lim ()x af x →不存在 ； (D ） ()f x 在x a =处没有定义。
、设lnsin y x =,则dy =（ ）（A) 1cos x ; （B ） 1cos dx x；（C) cot x dx -； (D) cot x dx 。
6. 若()f x 的一个原函数为2x ,则()f x dx '=⎰（ ） （A)12x C + (B ） 2x C + （C) x C + (D ） 2C +7、 1dx =⎰（ ）(A ） 2； （B ） 2π-; (C ） 0； (D ）。
8、对-p 级数∑∞=11n p n ，下列说法正确的是（ ）(A ） 收敛; （B ） 发散;（C ） 1≥p 时，级数收敛； (D) 级数的收敛与p 的取值范围有关。
9、二元函数在(,)xy f x y ye =点0(1,1)p 可微，则(,)xy f x y ye =在0p 的全微 ）00)()limx x f x x→-- .cos x ，求它的微分共 4 页，第 5 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。
共 4页，第 6 页5、（10分）求微分方程()x xe y dx xdy +=在初始条件1|0x y ==下的特解；6、（12分）判断级数211ln(1)n n ∞=+∑的敛散性。
《微积分》课程期末考试试卷参考答案及评分标准(A 卷，考试）一、单项选择（在备选答案中选出一个正确答案，并将其号码填在题目后的括号内.每题3分，共30分）1、（C ）；2、（D ）；3、(B)；4、(A ）；5、(D)；6、（B);7、（A ）；8、（D ）；9、(A); 10、（D)。
二、填空（每题4分,共20分）1、 bx n e a b )ln (；2、 同阶无穷小；3、3- ；4、0；5、2。
![微积分下册期末试卷及答案[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/97f47598767f5acfa0c7cdbc.png)
1、已知22(,)f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 23、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
微积分期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是（）A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的原函数是（）A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)答案：A4. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，且 \( f(x) = 3x^2 +1 \)，则 \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \) 等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C5. 函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的反导数是（）A. \( e^x \)B. \( x^e \)C. \( e^{\ln(x)} \)D. \( x \ln(x) - x \)答案：D6. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \) 等于（）A. 2B. 1C. 4D. 0答案：A7. 函数 \( h(x) = e^x \) 的泰勒展开式在 \( x = 0 \) 处的前三项是（）A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \)B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} \)C. \( 1 + x + \frac{x^3}{3!} \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{3!} \)答案：B8. 若 \( \frac{dy}{dx} = 2y \)，且 \( y(0) = 1 \)，则 \( y(x) \) 是（）A. \( e^{2x} \)B. \( e^{-2x} \)C. \( 2^x \)D. \( 2^{-x} \)答案：A9. 函数 \( F(x) = \int_{0}^{x} e^t \, dt \) 的导数是（）A. \( e^x \)B. \( e^0 \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( e^0 \cdot x \)答案：A10. 曲线 \( y = x^2 + 3x \) 与直线 \( y = 6x \) 交点的横坐标是（）A. 0B. 3C. -1D. 2答案：C二、填空题（每空3分，共15分）11. 若 \( f(x) = 2x - 1 \)，则 \( f''(x) \) 等于 _________。
数三《微积分》期末复习题一、选择题1. 对于xy x y x f +=2),(，原点（0，0）（ C ）.（A ） 不是驻点 （B ） 是极大值点 （C ） 是驻点却不是极值点 （D ） 是极小值点 2.下列积分值为0的是___C_A. ⎰+∞+0211dx x ； B. ⎰-1121dx x（利用几何意义去判定）； C. 22sin (cos cos )1x x x dx xππ-++⎰； D. ⎰--1121dx x . 解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x C ：考察奇偶函数在对称区间上的积分D ：利用几何意义：此积分可以看成函数012≥-=x y 在(-1,1)上的面积。
0,11222≥=+⇒-=y y x x y ，即是上半圆的面积2π3. 二元函数2222222,0(,)00,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨+=⎪⎩在点(0,0)处( B ). A. 连续，偏导数存在； B. 不连续，偏导数存在； C. 连续，偏导数不存在； D. 不连续，偏导数不存在. 4. 下列级数收敛的是___D____.A ． 21+151n n n n ∞=++∑ B. ∑∞=+11n n n n )(C ． ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1)32(1n n nD. ∑∞=1!n n n n . 5 . 级数113cos ()n nn n ∞=-∑（ B ）. （A ）条件收敛 （B ） 绝对收敛 （C ） 发散 （D ） 敛散性不能判定解：11333cos cos ()()nn n n n n -=≤，而113()nn ∞=∑收敛，所以绝对收敛。
6 设)(x f 为连续函数，⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(，则'(2)_____.F =(A) )(2f ； (B) )(22f ； (C) )(2f -； (D) 0. 解：对⎰⎰=tt ydx x f dy t F 1)()(交换积分次序得⎰⎰⎰-==tt x dx x x f dy x f dx t F 111)1)(()()(所以),1)(()(-='t t f t F'(2)(2).F f = 所以选A二、填空题1、若D 为区域2218x y ≤+≤，则3Ddxdy ⎰⎰＝（ 21π ）=⎰⎰Ddxdy 3πππ21)8(33=-=⋅D S2、函数()y zf x=，其中f 可微，则.))((2x y x y f x z -'=∂∂3. 若ln 21()x xF x t dt =⎰，则()F x '=___2411ln x x x +________.所以本题的答案为24ln x x x+4. 已知22(,)y f x y x y xy x+=+-,则222)1()1(),(y y y x y x f ++-=__________.解：令vuv y v u x x y v y x u +=+=⇒=+=11,, 所以22211)()(),(v v v u v u f ++-=，222)1()1(),(y y y x y x f ++-= 5 设arctanxz y =，则=),(|11dz 1122dz dx dy =- . 本题考查全微分，求全微分实质就是两个偏导数z x y ∂∂∂，然后再利用z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂ 本题：2222222111(),()1()1()zy z x xx x xy x y y y x y y y∂∂=⋅==⋅-=-∂+∂+++ 在点(1,1)处，有11,22z z x y ∂∂==-∂∂，所以1122dz dx dy =-6．若级数为1111,357-+-+ 则它的一般项__121)1(1--=-n u n n _______.7. 交换积分次序()⎰⎰12xxdy y x f dx ,＝1(,)ydy f x y dx ⎰.8. 定积分4121cos ()xx x x dx e -⋅+=⎰______32______. 考查定积分的奇偶性，三、计算题1．求极限(,)limx y →.解：(,)(,)(,)limlimlimx y x y x y →→→==(,)(0,0)lim 1)2x y →==2. 已知方程),(x yxy f x z 3=，f 具有二阶连续偏导数，求222,,,z z z z x y y x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 分析：本题考察复合函数求导，特别要注意在求二阶偏导数时要注意11(,)yf f xy x''=，22(,)yf f xy x''=。
《微积分》期末考试试卷附答案一、填空题(共5小题，每小题4分,共20分)1、已知2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(≥x ϕ,则=)(x ϕ2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a .3、已知2)1(='f ,则=+-+→xx f x f x )1()31(lim 0 . 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 5、=⎰xx dx 22cos sin .二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1、设)(x f 为偶函数,)(x ϕ为奇函数,且)]([x f ϕ有意义,则)]([x f ϕ是(A) 偶函数； (B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.2、0=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0 ,0,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的(A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点.3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在；(D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''；(D) )()(Q C Q R '='.5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是： (A) )()(x f dx x f dx d ⎰=； (B) )()(x f dx x f ⎰='；(C) dx x f dx x f d )()(⎰=； (D) C x f x df +=⎰)()(.三、计算题（共4小题，每小题15分，共60分）1、设x x f x x-=--422)2(,求)2(+x f .2、计算)1cos(lim n n n -+∞→.3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→.微积分参考答案：一、填空1. 答案：)1ln(x -2. 答案：13. 答案：44. 答案：25. 答案：C x x +-cot tan二、选择1. A2. D3. B4. D5. B三、计算题1、设x x f x x -=--422)2(,求)2(+x f .答案：42)2(42--=++x x f xx解：令2-=x t ,则 2222)2(2)(48444)2(4)2(222--=+-=+-=---+++-+t t t t f t t t t t t ,于是 42422)2(2)2(44444)2(222--=--=-+-=++-++-+x x x x f x x x x x .2. 计算)1cos(lim n n n -+∞→. 答案：1 解：nn n n n n ++=-+∞→∞→11cos lim )1cos(lim 11010cos 1111cos lim =++=++=∞→nn n .3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ . 答案：1解：由于1)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ， 而1111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 222=+=+∞→∞→n n n n n , 所以1)21(lim 222=++++++∞→n n n n n n n n .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→. 答案：1 解：x x x xx x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 20220020+=+=-+→→→→ 1sin lim cos )1(1lim020=+=→→x x x x x x .。
1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x0 21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分 评分阅卷人6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p x x dx 1 1ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)评分11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x . 13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2. 14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx. 16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z xy xy ∂∂+=∂∂. 22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+.2、π.3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
微积分试卷及答案4套(共14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，与 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
3(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D)3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
湖北汽车工业学院微积分(一)(下)考试卷（ 2011-2012-2）一、（本题满分21分，每小题3分）填空题： 1．='⎰]sin [2x tdt 2sin 2x x ．2．过点)3,2,1(-且与平面0144=-++z y x 平行的平面方程为 044=+++z y x . 3．设y x z =，则 =dz xdy x dx yx y y ln 1+- .4．⎰⎰+-=D dxdy y x I )432(，其中D }4),{(22≤+=y x y x ，则=I π16 .5．微分方程)1)(1(22y x y --='的通解为C x y +-=2)1(arcsin .6．平面曲线2x y =与x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积为15/2π .7．设数项级数∑∞=1n n u 收敛且和为s ，则级数∑∞=++11)(n n n u u 的和为12u s - ．二、（本题满分21分，每小题3分）选择填空题（请将所选答案填入题号前的方括号内）：【B 】1. 设)(x f 在),(+∞-∞内连续,)(x F 是)(x f 在),(+∞-∞内的一个原函数，0≠c ，则dx c x f ba⎰+)(等于)(A )()(c a F c b F ---. )(B )(C )()(c b F c a F ---. )(D )()(c b F c a F +-+.【C 】2．设)2,1,3(--=a ，)1,2,1(-=，则⨯ 等于)(A 3. )(B 7. )(C )7,1,5(. )(D)7,1,5(-.【A 】3．下列级数中条件收敛的是)(A ∑∞=+-111)1(n nn . )(B ∑∞=+-1211)1(n n n .)(C ∑∞=--11)107()1(n n n . )(D ∑∞=-151)1(n n n . 【A 】4. 下列微分方程中是齐次方程的是)(A dx y x ydx xdy 22-+=. )(B x y y x y sin 2=+'.)(C y y x y ln sin ='. )(D x x y y sec tan =-'．【D 】5. 设)(x f 在]1,0[上连续且满足1)()(10-=⎰dt t f x x f ，则⎰1)(dx x f 等于)(A 1 . )(B 2. )(C 1-. )(D 2-．【C 】6. 设x y y x D ≤≤≤+≤0,41:22，则二重积分=⎰⎰σd xyDarctan)(A2163π . )(B 2323π. )(C 2643π. )(D21283π． 【C 】7. 函数x x f /1)(=的在1=x 点处的幂级数展开式为)(A ∑∞=--0)1()1()(n nnx x f ＝, 11<<-x ． )(B ∑∞=-0)1()(n n x x f ＝, 20<<x ．)(C ∑∞=--0)1()1()(n nnx x f ＝，20<<x ． )(D ∑∞=--1)1()1()(n n n x x f ＝，20<<x ．三、计算下列各题（共3284=⨯分）1． 设函数),(y x z z =由方程z y x z y x ++=++222确定，证明：y x yzx z x z z y -=∂∂-+∂∂-)()(． [证] 方程z y x z y x ++=++222两边对x 求导得xzx z zx ∂∂+=∂∂+122，解得z x x z 2112--=∂∂，由字符轮换性知zy y z 2112--=∂∂，于是 y x zy x z z x z y y z x z x z z y -=---+---=∂∂-+∂∂-2112)(2112)()()(. 2 ．计算dx xx ⎰--11241．[解] 原式dx xx ⎰-=12412. dt ttt t x ⎰⋅=24cos cos sin 2sin π dt t ⎰=204sin 2π83221432ππ=⋅⋅⋅= 3．判别正项级数nx nn n21sin 2∑∞=的敛散性 ． [解] n n n n nx n u 2sin 22≤=， 设n n n v 2=，121221lim lim 11<=⋅+=+∞→+∞→n n v v n n n nn n ，于是级数∑∞=12n n n 收敛.从而原级数∑∞=12sin 2n nnx n 收敛. 4．某工厂生产甲种产品x 件乙种产品y 件的总利润函数为22222040),(y xy x y x y x L ---+=设备的最大产出力为15=+y x ，求x 与y 为何值时利润最大？ 解：作 )15(222040),(22-++---+=y x y xy x y x y x F λ …令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+--==+--=015),,(02220),,(02440),,(y x y x F y x y x F y x y x F x x λλλλλλ得 10=x ，5=y ．于是当这两种产品分别生产10件与5件的时候利润最大 ． 四．（8分）交换二次积分⎰⎰=101y xy dx e dy I 的次序并计算． 【解】dx e dx I x xy⎰⎰=2010 dx xe x y y xy ⎰===1002|⎰=-=10.21)(dx x xe x五、（8分）求微分方程2212)1(xx xy y x -=+'+的通解.解：方程变形为：2221)1(12xx xx xy y -+=++' 通解为： ])([)()(C dx e x Q e y dxx p dx x p +⎰⎰=⎰-]1)1([122212C dx exx x edxx xdxx x+⎰⋅-+⎰=++-⎰]1)1([1)1(221)1(22C dx exx x ex x d x x d +⎰⋅-+⎰=++++-⎰]1[11]1)1([22)1ln(22)1ln(22C dx x xx C dx e x x x e xx +-+=+⋅-+=⎰⎰++- 11]12)1([1122222+--=+---+=⎰x x C C xx d x 法二：221])1[(x x y x -='+ 通解为 C x y x +--=+221)1(六、（10分）求幂级数n n x n )11(1-∑∞=的收敛域与和函数，并求级数nn n n 211⋅-∑∞=的和．解：收敛域为)1,1(- )(1)1-(1)(1111x S x x n x x x n x S n n nn n n --=-==∑∑∑∞=∞=∞= n x x S n n ∑∞==11)(， x x n x x S n n n n -=='='-∞=∞=∑∑11)()(1111 )1l n ()(1x x S --=， 于是 )1l n (1)(x xxx S -+-=． 2ln 1)21(-=S ，2ln 1)21(211-==⋅-∑∞=S n n nn ．湖北汽车工业学院 微积分A2考试试卷 （2013~2014~2 A 卷）一、（本题满分21分，每小题3分）单项选择题（请将所选答案填入答题卡的指定位置）：【 B 】1. 设)4,1,1(-=a ，),0,2(λ=b ，且b a ⊥，则=λ)(A 2-．)(B21． )(C 2． )(D 21-． 【 B 】2．极限=+-→→22101lim y x xyy x)(A 0． )(B 1． )(C 1-． )(D21． 【 C 】3．设⎰⎰+=xyx dx e dt t f y x F 1102)(),(,则xF∂∂为)(A )(xy f ． )(B 22)(x xe xy yf +． )(C )(xy yf ． )(D 22)(x xe xy f +．【 D 】4．二次积分dy y x f dx x x ⎰⎰-2010),(=)(Aρρθρθρθπd f d ⎰⎰120)sin ,cos (． )(Bρρθρθρθθπd f d ⎰⎰cos 020)sin ,cos (．)(Cρρθρθρθπd f d ⎰⎰12)sin ,cos (． )(Dρρθρθρθθπd f d ⎰⎰cos 020)sin ,cos (．【 B 】5．已知2)(,3)2(20==⎰dx x f f ，则⎰'20)(dx x f x =)(A 10． )(B 4． )(C 6． )(D 1． 【 C 】6．若级数)0(1≠∑∞=n n n u u 收敛，则级数∑∞=11n nu)(A 绝对收敛． )(B 条件收敛． )(C 发散． )(D 无法确定．【 D 】7．函数xx f -=31)(，则)(x f 的麦克劳林展开式为： )(A ∑∞==03)(n n nx x f ，(1<x )．)(B ∑∞==13)(n n nx x f ，(3<x )．)(C ∑∞=+=013)(n n n x x f ，(1<x )． )(D ∑∞=+=013)(n n nx x f ，(3<x )．二、（本题满分21分，每小题3分）填空题：1．过点)3,2,1(M 且与平面05532=++-z y x 平行的平面方程为11532=+-z y x ．或0)3(5)2(3)1(2=-+---z y x2．设}42),{(22≤+≤=y x y x D ，则⎰⎰Ddxdy =π2．3．交换二重积分⎰⎰=2010),(x dy y x f dx I 的次序，则I =⎰⎰110),(ydx y x f dy ．4．⎰∞+141dx x=3/1．5．已知y x e z +=2，则dz =)2(2dy dx e y x ++． 6．=+⎰-223)sin 1(dx x 4．7．微分方程yx dx dy 232=的通解是Cx y +=32．三、（本题满分8分）设函数),(y x z z =由方程0e =-xyz z 所确定，求x z ∂∂与yz ∂∂． [解] 令xyz z y x F z -=e ),,(，则yz F x -='， xz F y -='， xy F z z -='e ．从而有xy yz F F x z zz x -=''-=∂∂e ，xyxzF F y z z z y -=''-=∂∂e ．四、（本题满分8分）曲线2x y =与直线0,3==y x 围成一个平面图形，①求此平面图形的面积；②求图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积． [解] 90331)1(3302===⎰x dx x A）（2 dx x dV 22)(π=，于是πππ524351035304===⎰x dx x V ． 五、(本题满分8分) 判定级数∑∞=-13)1(n nnn是否收敛，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛． [解] 令nn n n n n u 33)1(=-=， 由于131331lim lim11<=+=+∞→+∞→n n n n n n n n u u ， 所以正项级数∑∞=13n n n 收敛，从而∑∞=-13)1(n n n n绝对收敛．六、（本题满分8分）求微分方程xxx y y sin =+'满足初始条件0==πx y 的特解． [解] 此方程为一阶线性微分方程，其中x x P 1)(=，xxx Q sin )(= 其通解为])([)()(C dx e x Q e x dxx P dx x P +⎰⎰=⎰-]sin [11C dx e xx edxx dxx +⎰⎰=⎰-)sin (1C xdx x x x +⋅=⎰)sin (1⎰+=C xdx x)cos (1C x x+-=由初值条件0==πx y 可得1-=C ，故特解为)1(cos 1)1cos (1+-=--=x xx x y ． 七、（本题满分8分）计算二重积分⎰⎰-Dy dxdy e ，其中D 为直线x y y x =1=0=,,所围的区域． [解]（X 型）⎰⎰⎰⎰--=1102xy Dy dy e dx dxdy e ⎰⎰----=-=1111)()(dx e e dy e x xy110121----=--=e e ex．（Y 型）⎰⎰⎰⎰--=yyDy dx dy e dxdy e12)(10011⎰⎰-----==dy e yedy ye y yy101121)(----=+-=e ee y．八、（本题满分8分）求函数324),(223+-+-=y xy x x y x f 的极值．［解］ 令⎩⎨⎧=-='=+-=',022,02832y x f y x x f y x 得唯一)2,2(,)0,0(，又86-=''x f xx，2=''xy f ，2-=''yy f ，于是 在点)0,0(处，2,2,8-==-=C B A ，则0122)2)(8(22>=---=-B AC 且08<-=A ，所以函数),(y x f 在)0,0(处有极大值3)0,0(=f ． 在点)2,2(处，2,2,4-===C B A ，则0122)2(422<-=--⋅=-B AC ，所以)2,2(不是函数),(y x f 的极值点． 九、（本题满分10分）求级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛域与和函数． [解] 易求得1=R ，且当1=x 时级数∑∞=--111)1(n n n 收敛，当1-=x 时级数∑∞=-11n n发散.因此∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛域是]1,1(-. 在区间)1,1(-内，设=)(x S ∑∞=--11)1(n nn nx ，则 x x x n x n x x S n n n n n n n n n n n +=-=-='-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='∑∑∑∑∞=-∞=--∞=-∞=-11)()1()()1()1()(111111111 所以 )1ln(11)(0x dx xx S x+=+=⎰，11≤<-x .湖北汽车工业学院 微积分考试试卷 （ 2014—2015—2）一、（本题满分21分，每小题3分）单项选择题（请将所选答案填入题号前的方括号内）：[ A ] 1．⎰=xdt t x f 0cos )(，则=')0(f（A ）1． （B ）0． （C ）1-． （D ）2π．[ D ] 2．设y x z 2=，则=∂∂22xz（A ）xy 2． （B ）x ． （C ）x 2． （D ）y 2．[ B ] 3．已知平面区域D 为222≤+y x ，则=+⎰⎰Dd y x σ)2(2（A ）π． （B ）π4． （C ）π3． （D ）0．[ C ] 4．由曲线x e y =与直线1=x 及直线2=x 所围图形的面积为（A ）e ． （B ）1-e ． （C ）e e -2． （D ）2e ． [ D ] 5．下列级数中收敛的是（A ）∑∞=+1131n n ． （B ）∑∞=+121n n n． （C ）∑∞=11cos n n n ． （D ）∑∞=+12n nn n．[ A ] 6．设),(y x z z =由方程022=--+z z xy y 所确定，则=∂∂yz（A ）122++z x y ． （B ）12+z y ． （C ）122++-z x y ． （D ）12+-z y．[ C ] 7．微分方程0=-'y y 的通解为（A ）c x y +=． （B ）．x ce y 2= （C ）x ce y =． （D ）x e y =．二、（本题满分21分，每小题3分）填空题（请将正确答案填入题后相应横线上）1．=-+→→12lim1xy xy y x 0 ．2．设向量}1,3,2{-=→a 与向量},1,0{k a -=→垂直，则=m -3 ． 3．设xy y z sin =，则=dz dy xy xy xy dx xy y )cos (sin cos 2++． 4．设2200(,)xI dx f x y dy =⎰⎰，则交换积分次序后=I 422(,)y I dy f x y dx =⎰⎰．5．=+⎰-dx xx 1121 0 ．6．过点)2,1,3(-且与平面052=+-+z y x 平行的平面方程为012=+-+z y x ．7．幂级数∑∞=⋅-12)1(n nn n n x 的收敛域为 (2,2]-．【温馨提示】请将下面解题过程直接写在各题相应空白处 三、（本题满分8分）设)ln 1ln(y x z ++=，求),1(e xz ∂∂，),1(e yz ∂∂．解 由yx x z ln 11++=∂∂，yy x y z 1ln 11⋅++=∂∂所以31ln 111),1(=++=∂∂e x z e故(1,)11111ln 3e z ye e e∂=⋅=∂++四、（本题满分8分）计算定积分dx x x ⎰+412解 令12+=x t ，则212-=t x ，tdt dx =原式=tdt tt ⋅⋅-⎰312121dt t )1(21312⎰-==103五、（本题满分8分）计算二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x I )(，其中积分区域D 是由直线x y =及曲线2x y =所围成的区域．解 积分区域D 为：10≤≤x ，x y x ≤≤2 画图 故⎰⎰+=xx dy y x dx I 2)(10⎰+=1022]21[(dx y xy xx ⎰--=10432)2123(dx x x x 10543]1014121[x x x --==203 六、（本题满分8分）求函数364),(22+-++=y x y x y x f 的极值．解 由⎩⎨⎧=-==+=062042y f x f yx 得点)3,2(-，又2==xx f A ，0==xy f B ，2==yy f C ，故在点)3,2(-处,2=A ,0=B ,2=C042<-=-AC B ，且0>A所以)3,2(-为极小值点，极小值为10)3,2(-=-f七、（本题满分8分）求幂级数∑∞=++01)2(n n x n 的收敛域及和函数．解 由ρ123lim ||lim 1==++=∞→+∞→n n a a n nn n ，故1ρ1==r ， 且幂级数在1±=x 处均发散，故收敛域为)1,1(-设=)(x s ∑∞=++01)2(n n xn =∑∞=+'02)(n n x)(02'=∑∞=+n n x)1(2'-=x x =22)1(2x x x --，1||<x 八、（本题满分8分）判断级数∑∞=-1241n nn 的敛散性．解 由=+∞→nn n u u 1lim1441)1(l i m 212-⋅-++∞→n n n n n 141<= 故由正项级数的达朗贝尔判别法知级数收敛- 九、（本题满分10分）求微分方程xxx y y cos =+'的通解． 解 次微分方程为一阶线性微分方程且x x p 1)(=，xxx Q cos )(=则])([)()(C dx e x Q e y dx x p dx x p +=⎰⎰⎰-]cos [11C dx e x xe dxxdx x +=⎰⎰⎰- ]cos [ln ln C dx e xx e xx +=⎰- ]cos [1C xdx x xx +⋅=⎰ )(sin 1C x x+= -湖北汽车工业学院微 积 分 (一)（下） 考 试 卷（ 2014-2015-2 ）一、（本题满分21分，每小题3分）选择填空题（请将所选答案填入题号前的方括号内）：【B 】1. 平面曲线2x y =与2y x =所围成的平面图形的面积为)(A21. )(B 31. )(C 32. )(D 43. 【C 】2．设)1,2,4(=，),2,2(k -=，若a 与b 相互垂直，则k 等于)(A 0. )(B 2-. )(C 3. )(D 4.【A 】3．设0≠a 为常数，则级数∑∞=-02)1(n n n)(A 绝对收敛． )(B 条件收敛． )(C 发散． )(D 敛散性无法判断．【A 】4. 积分⎰-=222sin ππxdx I 等于)(A2π. )(B 4π. )(C 8π. )(D 16π. 【B 】5. 设函数)1(),(-+=y x xy y x f 在点)31,31(处)(A 取极大值 . )(B 取极小值. )(C 不取极值. )(D 在该点不可微． 【D 】6. 设y x z =，则dz 等于)(A dy x xdx x dz y y +=ln . )(Bydy x xdx x dz y y ln ln +=.)(C dy x dx yx dz y y +=-1. )(D xdy x dx yx dz y y ln 1+=-． 【B 】7. 函数xx f -=21)(的马克劳林展开式的第三项为 )(A 222x . )(B 322x . )(C 222x -. )(D 322x -．二、（本题满分21分，每小题3分）填空题： 1．=+⎰-112)sin (dx x e x x 32 ．2．过点)1,2,3(且与平面0132=++-z y x 平行的平面方程为0232=-+-z y x . 3．设),(y x z z =是由方程z e z y x +=+22所确定的隐函数，则=dz )(12ydy xdx e z++ . 4．设⎰⎰+=Ddxdy y x f I )(22，其中D 是由曲线122=+y x ，直线x y =及y 轴所围成的第一象限的平面图形，则I 的极坐标系下的二次积分为:=I rdr r f d ⎰⎰1024)(ππθ．5．微分方程dx y dy x 221)1(-=+的满足条件1)0(=y 的特解为2arctan arcsin π+=x y .6．设数项级数∑∞=1n n u 的前n 项的和为1+=n n s n ，则级数的通项=n u )1(1+n n ．7. 计算=⎰→2arctan limx tdt x x 21.三、 （8分）计算 dx xx ⎰---11221．解：22a r c s i n2221211112112112π==---=--⎰⎰⎰---xdx x xdx xdx xx ．四、（8分） 设函数)ln 1ln(y x z ++=，求),1(e xz ∂∂，),1(e yz∂∂．解：y x x z ln 11++=∂∂，)ln 1(1y x y x z ++=∂∂， 31),1(=∂∂e xz ，eyz e 31),1(=∂∂． 五、（8分）求微分方程x e x x yy )1(1+=+-'的通解. 解：方程变形为：x e x yx y =+-+'2)1(1 即 x e x y ='+)1(，C e x y x +=+1，通解为：))(1(C e x y x ++=．．六、（8分）判别级数∑∞=-+++-131322)1()1(n n n n n 的敛散性，并指出是绝对收敛还是条件收敛．解：332)1()1(31+++-=-n n n u n n ，取21n v n =，∑∞=121n n收敛，．+∞<=+++=∞→∞→21332)1(lim lim 32n n n n v u n nn n ，． 于是原级数收敛，且为绝对收敛。
