数学人教A版必修四学案：2.2.1 向量加法运算及其几何意义 Word版

平面向量的线性运算2．2.1向量加法运算及其几何意义预习课本P80～83，思考并完成以下问题(1)向量的加法如何定义？(2)在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？(3)向量加法的运算律有哪两条？(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？[新知初探]1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知非零向量a，b作法在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC结论向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC图形法则平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b作法在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB结论对角线OC就是a与b的和图形规定零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a.2．向量加法的运算律运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量．()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．()(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．()答案：(1)×(2)×(3)×2．对任意四边形ABCD，下列式子中不等于BC的是()A．BA＋AC B．BD＋DA＋ACC．AB＋BD＋DC D．DC＋BA＋AD答案：C3．边长为1的正方形ABCD中，|AB＋BC|＝()A．2 B． 2C．1 D．2 2答案：B4．NQ＋QP＋MN＋PM＝______.答案：0向量加法及其几何意义[典例]如图1，图2，图3所示，求作向量和．[解]如图中①，②所示，首先作OA＝a，然后作AB＝b，则OB＝a＋b.如图③所示，作AB＝a，BC＝b，则AC＝a＋b，再作CD＝c，则AD＝AC＋CD＝(a＋b)＋c，即AD＝a＋b＋c.应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．[活学活用]如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，则OC＝a＋b＋c.向量加法运算[例2]化简或计算：(1)CD＋BC＋AB；(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.[解](1)CD＋BC＋AB＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD.(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝(AB＋BC)＋(CD＋DF)＋FA＝AC＋CF＋FA＝AF＋FA＝0.解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.[活学活用]如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．则①AB＋CD＝________；②AB＋AF＋BC＝________；③OC＋OD＋EF＝________.解析：①AB＋CD＝AB＋AF＝AO.②AB＋AF＋BC＝AO＋BC＝AO＋OD＝AD.③OC＋OD＋EF＝OC＋OD＋OA＝OC.答案：①AO②AD③OC层级一学业水平达标1．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝a B．AB＋BC＋AC＝0C．AB＋BA＝0 D．CA＋AC＝OA＋CO＋AC解析：选B由向量加法可知AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC.2．(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM等于()A．BC B．ABC．AC D．AM解析：选C原式＝AB＋MB＋BO＋BC＋OM＝(AB＋BC)＋(MB＋BO＋OM)＝AC＋0＝AC.3．下列各式不一定成立的是()A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝aC．AC＋CB＝AB D．|a＋b|＝|a|＋|b|解析：选D A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.4．在矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，则向量AB＋AD＋AC的长度等于() A．25B．4 5C．12 D．6解析：选B因为AB＋AD＝AC，所以AB＋AD＋AC的长度为AC的模的2倍，故答案是4 5.5．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是() A．①③B．②③C．②④D．①②解析：选A∵在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．6．PQ＋OM＋QO＋MQ＝________.解析：原式＝PQ＋QO＋OM＋MQ＝PQ＋QM＋MQ＝PQ.答案：PQ7．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AC＝c，BC＝b，则|a＋b＋c|＝________.解析：|a＋b＋c|＝|AB＋BC＋AC|＝|AC＋AC|＝2|AC|＝2 2.答案：2 28.如图，在平行四边形ABCD 中， (1)AB ＋AD ＝________； (2)AC ＋CD ＋DO ＝________； (3)AB ＋AD ＋CD ＝________； (4)AC ＋BA ＋DA ＝________. 解析：(1)由平行四边形法则可知为AC . (2)AC ＋CD ＋DO ＝AD ＋DO ＝AO . (3)AB ＋AD ＋CD ＝AC ＋CD ＝AD .(4)AC ＋BA ＋DA ＝BA ＋AC ＋DA ＝BC ＋DA ＝0. 答案：(1)AC (2)AO (3)AD (4)09.如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：①DG ＋EA ＋CB ； ②EG ＋CG ＋DA ＋EB .解：①DG ＋EA ＋CB ＝GC ＋BE ＋CB ＝GC ＋CB ＋BE ＝GB ＋BE ＝GE . ②EG ＋CG ＋DA ＋EB ＝EG ＋GD ＋DA ＋AE ＝ED ＋DA ＋AE ＝EA ＋AE ＝0.10．如图所示，中心为O 的正八边形A 1A 2…A 7A 8中，a i ＝1＋i i A A (i ＝1,2，…，7)，b j ＝j OA (j ＝1,2，…，8)，试化简a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7.解：因为3OA ＋7OA ＝0， 所以a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7＝23A A ＋56A A ＋2OA ＋5OA ＋7OA ＝(2OA ＋23A A )＋(5OA ＋56A A )＋7OA ＝6OA ＝b 6.层级二 应试能力达标1.已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )A．FD＋DA＝FAB．FD＋DE＋EF＝0C．DE,＋DA＝ECD．DA＋DE＝FD解析：选D由向量加法的平行四边形法则可知，DA＋DE＝DF≠FD.2．下列命题错误的是()A．两个向量的和仍是一个向量B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b| C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点解析：选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有AB＝DC，起点和终点都不相同．3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA＋PB＝PC，则下列结论中正确的是()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选D PA＋PB＝PC，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．4．下列命题正确的是()A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同B．若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点C．设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥bD．若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0解析：选C当a＋b＝0时，A选项不正确；若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C三点共线或A，B，C为三角形的三个顶点，故B选项不正确；若a与b不共线，则a＋b与a 不共线，故C选项正确；若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0或b≠0(a与b反向共线，且|a|＞|b|)，故D选项不正确．5．如果|AB|＝8，|AC|＝5，那么|BC|的取值范围为________．解析：根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算．答案：[3,13]6．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析：如图所示，设AB＝a，BC＝b，则AC＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则|AC|＝82，∠BAC＝45°.答案：8 2 km北偏东45°7.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.证明：AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC，∴AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC.∵PB与QC大小相等，方向相反，∴PB＋QC＝0，故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.8.如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则OD＝a＋b＋c＋d.(2)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝e，则a＋e＝OA＋AB＝OB，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，所以|OB|即|a＋e|最大，最大值是3.。

2．2.1 向量加法运算及其几何意义明目标、知重点 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a . (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线上的向量OC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．[情境导学] 两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵．如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的．我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则． 探究点一 向量加法的三角形法则导引 两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量．一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法．如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北．通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则：OA →＋AB →＝OB →.思考1 使用向量加法的三角形法则具体做法是什么？答 先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量． 思考2 当向量a ，b 是共线向量时，a ＋b 又如何作出？ 答 (1)当a 与b 同向时：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b . (2)当a 与b 反向时：OA →＝a ，AB →＝b ，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b . 思考3 |a ＋b |与|a |和|b |之间的大小关系如何？答 当a 与b 同向共线时，a ＋b 与a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.当a 与b 反向共线时，若|a |>|b |，则a ＋b 与a 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 与b 的方向相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |. 探究点二 向量加法的平行四边形法则思考1 向量加法还可以用平行四边形法则，其具体做法是什么？答 先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和．以点A 为起点作向量AB →＝a ，AD →＝b ，以AB 、AD 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的对角线AC →就是a 与b 的和，记作a ＋b ＝AC →，如图． 对于零向量与任一向量a ，我们规定：a ＋0＝0＋a ＝a .思考2 实数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意a ，b ∈R ，都有a ＋b ＝b ＋a ，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．那么向量的加法也满足交换律、结合律吗？如何检验？答 向量的加法满足交换律， 根据下图中的平行四边形ABCD 验证向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a .(注：AB →＝a ，AD →＝b )．∵AC →＝AB →＋BC →，∴AC →＝a ＋b . ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AC →＝b ＋a . ∴a ＋b ＝b ＋a .向量的加法也满足结合律，根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．∵AD →＝AC →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →，∴AD →＝(a ＋b )＋c ，又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)， ∴AD →＝a ＋(b ＋c )， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．思考3 向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． 例1 如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .解 在平面内任取一点O (如下图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边做▱OACB ，连接OC ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b .反思与感悟 已知向量a 与向量b ，要作出和向量a ＋b ，关键是准确规范地依据平行四边形法则作图．跟踪训练1 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．(1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________. 答案 (1)AC → (2)AO → (3)AD →(4)0 探究点三 向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．即：A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋… ＋A n －1A n ＝A 1A n →. 或A 1A 2→＋A 2A 3→＋… ＋A n －1A n ＋A n A 1→＝0. 这是一个极其简单却非常有用的结论(如图)．利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效．例如，在正六边形ABCDEF 中，AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝________. 答案 0解析 AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝(AB →＋BC →)＋(BC →＋CD →)＋(CD →＋DE →)＋(DE →＋EF →)＋(EF →＋F A →)＋(F A →＋AB →)＝(AB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋F A →)＋(BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋F A →＋AB →)＝0＋0＝0. 例2 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.反思与感悟 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．跟踪训练2 化简：(1)AB →＋CD →＋BC →. (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)． (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →.解 (1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →. (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →) ＝MC →＋CN →＝MN →.(3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.1．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中错误的是( )A.FD →＋DA →＋DE →＝0B.AD →＋BE →＋CF →＝0C.FD →＋DE →＋AD →＝AB →D.AD →＋EC →＋FD →＝BD → 答案 D解析 FD →＋DA →＋DE →＝F A →＋DE →＝0， AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0， FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →， AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →. 故选D.2．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式：(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝______； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________. 答案 (1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →3．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 答案 D解析 因为点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以点M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则知OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，故OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →. 4.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 ∵AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →.又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反，∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. [呈重点、现规律]1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．一、基础过关1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( ) A ．向东南航行 2 km B ．向东南航行2 km C ．向东北航行 2 km D ．向东北航行2 km 答案 A2．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → 答案 C3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A4.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A.BD →B.DB →C.BC →D.CB → 答案 C解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.5．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 答案 A解析 ∵OB →＋OC →＝2OD →， ∴2OA →＋2OD →＝0.∴AO →＝OD →.6．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________. 答案 0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0.7．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明 如图，AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →， 又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →. ∴AB ＝DC 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形． 二、能力提升8．已知四边形ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD → D.AC →＋AD →＝DC → 答案 C解析 对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，∴AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →.9．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________． 答案 20,4解析 当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝___________________. 答案 0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0.11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度． 解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5. ∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km /h ，船实际速度为10 km/h.12．设O 是△ABC 内任一点，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．证明：OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →. 证明高中数学-打印版精校版 如图所示，因为OA →＝OD →＋DA →，OB →＝OE →＋EB →，OC →＝OF →＋FC →，所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →＋DA →＋EB →＋FC →.因为D ，E ，F 分别为各边的中点，所以DA →＋EB →＋FC →＝12(BA →＋CB →＋AC →)＝0. 所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →.三、探究与拓展13．在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置． 解如图所示，设AB →、BC →分别是直升飞机两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →，在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ，在Rt △ACD 中，|AC →|＝ |AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处．。

2.2 平面向量的线性运算 2．2.1 向量加法运算及其几何意义[目标] 1.通过实例知道向量加法的由来． 2.记住向量加法定义，并会用三角形法则及平行四边形法则求两个向量的和，体会其几何意义． 3.会用向量加法的交换律和结合律，能够进行向量化简运算．[重点] 向量加法的三角形法则及平行四边形法则． [难点] 向量加法的几何意义．知识点一 向量的加法[填一填]1．定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．三角形法则前提：已知非零向量a ，b ， 作法与图示：(1)在平面内任取一点A .(2)作AB→＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →. (3)向量AC→叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →. 3．平行四边形法则前提：已知不共线的向量a ，b ，作法与图示：(1)在平面内任取一点O .(2)以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB . (3)对角线OC→就是a 与b 的和． 即a ＋b ＝OA→＋OB →＝OC →. [答一答]1．两向量和的三角形法则的实质是什么？能否推广到多个向量和的多边形法则？提示：两向量和的三角形法则的实质是两向量“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即为两向量的和．可以推广到多个向量和的多边形法则，即A 0A 1→＋A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＝A 0A n →.2．向量加法的三角形法则和平行四边形法则之间有什么关系？它们各自的适用条件是什么？提示：当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，从某种意义上讲，三角形法则是平行四边形法则的简化．向量共线时，平行四边形法则不再适用．由于向量共线，因此也不能构成三角形，但由于三角形法则运用时要求“首尾相接”，这一点对共线向量仍然适用．3．如图，在正六边形ABCDEF 中，AB→＋FE →＋CD →＝AD →.解析：∵FE→＝BC →， ∴AB→＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →. 知识点二 向量加法的运算律[填一填]1．交换律：a ＋b ＝b ＋a .2．结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．[答一答]4．化简下列各式． (1)AB→＋BC →＋CD →＝AD →； (2)DB→＋CD →＋BC →＝0. 解析：(1)AB→＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)DB→＋CD →＋BC →＝(DB →＋BC →)＋CD →＝DC →＋CD →＝0.类型一 向量加法的法则[例1] (1)如图①所示，求作向量和a ＋b . (2)如图②所示，求作向量和a ＋b ＋c .[解] (1)首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →＝a ＋b .如图③所示．(2)方法一(三角形法则)：如图④所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC→＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求． 方法二(平行四边形法则)：如图⑤所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD→＝OA →＋OB →＝a ＋b ，再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE→＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．利用向量的三角形法则求a ＋b ，务必使它们的“首尾顺次连接”；利用平行四边形法则求a ＋b ，务必使它们的起点重合.[变式训练1] 已知两非零向量a ，b (如图所示)，求作a ＋b .解：如图所示：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b .类型二 向量加法的运算[例2] (1)化简：①BC →＋AB →；②AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.(2)如图，已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量： ①OA →＋OE →； ②AO →＋AB →； ③AE→＋AB →. [分析] 根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．[解] (1)①BC→＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →； ②AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.(2)①由题图知，OAFE 为平行四边形，∴OA→＋OE →＝OF →； ②由题图知，OABC 为平行四边形，∴AO→＋AB →＝AC →； ③由题图知，AEDB 为平行四边形，∴AE→＋AB →＝AD →.在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.[变式训练2] 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，且E ，F ，G ，H 分别是所在边的中点，点O 是对角线的交点，则下列各式中正确的有①③.①AE→＋AH →＝OC →； ②AH →＋OF →＝CG →＋FB →； ③BE→＋FC →＝HD →＋OH →； ④OG →＋BE →＝DO →. 解析：①由向量加法的平行四边形法则，知AE→＋AH →＝AO →.又AO →＝OC →，∴AE →＋AH →＝OC →，①正确． ②∵OF→＝HO →，∴AH →＋OF →＝AH →＋HO →＝AO →. ∵FB→＝CF →，∴CG →＋FB →＝CG →＋CF →＝CO →. 而AO→≠CO →，∴AH →＋OF →≠CG →＋FB →，②不正确． ③∵FC→＝BF →，∴BE →＋FC →＝BE →＋BF →＝BO →. ∵HD→＋OH →＝OH →＋HD →＝OD →.∴BO →＝OD →，③正确． ④∵OG→＝EO →，∴OG →＋BE →＝EO →＋BE →＝BO →， 而BO→≠DO →，∴OG →＋BE →≠DO →，④不正确．类型三 向量加法的应用命题视角1：向量在平面几何中的应用[例3] 用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形． [证明] 如图，根据向量加法的三角形法则有AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO→＋OC →.又∵AO→＝OC →，DO →＝OB →， ∴AO →＋OB →＝DO →＋OC →. ∴AB→＝DC →. ∴AB ∥DC 且AB ＝DC ，即AB 与DC 平行且相等． ∴四边形ABCD 是平行四边形．要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述.[变式训练3] 在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，分别取点F ，E ，使BE ＝DF (如图)，用向量的方法证明四边形AECF 也是平行四边形．证明：AE→＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →， 又AB→＝DC →，BE →＝FD →， ∴AE→＝FC →，即AE ，FC 平行且相等． 故四边形AECF 是平行四边形． 命题视角2：向量加法的实际应用[例4] 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以5 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度方向间的夹角表示)．[解] (1)如图所示，AD→表示船速，AB →表示江水速度．易知AD ⊥AB ，以AD ，AB 为邻边作矩形ABCD ，则AC→表示船实际航行速度．(2)在Rt △ABC 中，|AB →|＝5， |BC →|＝53， 所以|AC→|＝ |AB→|2＋|BC →|2 ＝52＋(53)2＝100＝10.因为tan ∠CAB ＝|BC→| |AB →|＝3，所以∠CAB ＝60°.因此，船实际航行的速度大小为10 km/h ， 方向与江水速度方向间的夹角为60°.向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是：(1)将应用问题中的量抽象成向量；(2)化归为向量问题，进行向量运算；(3)将向量问题还原为实际问题.[变式训练4] 某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人的实际速度为OD→，水流速度为OA →，游速为OB →，则OA →＋OB →＝OD →，在Rt △AOD 中，|AD →|＝43，|OA →|＝4，则|OD →|＝42，cos ∠DAO ＝33.故此人沿向量OB→的方向游(即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为33)，实际前进的速度大小为42千米/小时．1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( D ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形 D ．ABCD 一定是平行四边形解析：由AC →＝AB →＋AD →知，由A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形．2．下列等式不成立的是( C )A ．0＋a ＝aB ．a ＋b ＝b ＋a C.AB→＋BA →＝2BA → D.AB→＋BC →＝AC → 解析：对于C ，∵AB→与BA →方向相反，∴AB →＋BA →＝0. 3．化简(AB→＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝AC →. 解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC→＝AC →. 4．若a ＝“向北走8 km ”，b ＝“向东走8 km ”，则|a ＋b |＝8 2 km ；a ＋b 的方向是东北方向．解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a ＋b |＝82，方向为东北方向．5．如图，在△ABC 中，O 为重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列三式：(1)BC→＋CE →＋EA →； (2)OE→＋AB →＋EA →； (3)AB→＋FE →＋DC →. 解：(1)BC→＋CE →＋EA →＝BE →＋EA →＝BA →. (2)OE→＋AB →＋EA →＝(OE →＋EA →)＋AB →＝OA →＋AB →＝OB →. (3)AB→＋FE →＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →.——本课须掌握的三大问题1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义问题导学一、向量加法运算活动与探究1(1)化简：①BC＋AB；②DB＋CD＋BC；③AB＋DF＋CD＋BC＋FA．(2)已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：①OA＋OE；②AO＋AB；③AE＋AB．迁移与应用化简：(1)CD＋BC＋AB；(2)四边形ABCD是边长为1的正方形，AB＝a，BC＝b，AC＝c，求作向量a＋b＋c，并求|a＋b＋c|．解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0．二、利用向量知识证明几何问题活动与探究2用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．迁移与应用在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F，E，使BE=DF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形．1．用向量法证明几何问题的一般步骤：(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量．(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．(3)还原成几何问题．2．注意以下两个问题：(1)法则的灵活应用．(2)要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且线段的长度相等．三、向量加法的实际应用活动与探究3在四川汶川“5·12”大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．迁移与应用在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 3 km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．向量应用题要首先画出图形．解决的步骤是：(1)将应用问题中的量抽象成向量；(2)化归为向量问题，进行向量运算；(3)将向量问题还原为实际问题．当堂检测1．在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四边形2．AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝()A．0 B．0C．2AD D．－2AD3．下列等式不成立的是()A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋aC．AB＋BA＝2BA D．AB＋BC＝AC4．化简(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM＝__________．5．若a＝“向北走8 km”，b＝“向东走8 km”，则|a＋b|＝__________；a＋b的方向是__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．两个向量和2．和a＋b a＋b AC三角形法则3．平行四边形法则4．b＋a(a＋b)＋c a＋(b＋c)预习交流1提示：a＋0＝a．预习交流2提示：不一定，当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．解：(1)①BC＋AB＝AB＋BC＝AC；②DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB＝BD＋DB＝0；③AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝(AB＋BC)＋(CD＋DF)＋FA＝AC＋CF＋FA＝AF＋FA＝0．(2)①由题图知，OAFE为平行四边形，∴OA＋OE＝OF；②由题图知，OABC为平行四边形，∴AO＋AB＝AC；③由题图知，AEDB为平行四边形，∴AE＋AB＝AD．迁移与应用解：(1)CD＋BC＋AB＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD．(2)如下图，延长AC到E，使AC=CE，则CE=AC，∴a+b+c=AB+BC+CE=AE，即AE为所求作的向量．∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴|AC，∴|AE|=2|AC|=故|a+b+c|=活动与探究2思路分析：要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等．根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可．此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述．证明：根据向量加法的三角形法则有AB=AO+OB，DC=DO+OC．又AO=OC，DO=OB，∴AO+OB=DO+OC．∴AB=DC．∴AB∥DC且AB=D C，即AB与DC平行且相等．∴四边形ABCD是平行四边形．迁移与应用证明：AE=AB+BE，FC=FD+DC，又AB=DC，BE=FD，∴AE=FC，即AE，FC平行且相等．故四边形AECF是平行四边形．活动与探究3思路分析：利用向量加法的三角形法则，知AC＝AB＋BC，|AC|是线段AC的长度．解：如图所示，设AB，BC分别是直升飞机的两次位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC＝AB＋BC．在Rt △ABD 中，|DB |＝20 km ，|AD |＝20 3 km ．在Rt △ACD 中，|AC |40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°方向，且距离A 地40 3 km 处．迁移与应用 解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v 1，水流速度为v 2，船实际航行的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2．依题意作出平行四边形，如图．在Rt △ABC 中，|BC |＝|v 1|＝23， |AB |＝|v 2|＝2，∴|AC |＝|v |＝22＋(23)2＝4，tan θ＝||||BC AB ＝232＝3．∴θ＝60°．∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h ，方向为东偏北60°． 【当堂检测】1．D 解析：由AC ＝AB ＋AD 知由A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形． 2．B 解析：由向量加法的运算法则可知AB ＋BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋FA ＝0． 3．C 解析：对于C ，∵AB 与BA 是相反向量，∴AB ＋BA ＝0．4．AC 解析：原式＝(AB ＋BO )＋(OM ＋MB )＋BC ＝AO ＋OB ＋BC ＝AB ＋BC ＝AC ．5．8 2 km 东北方向 解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a ＋b |＝82，方向为东北方向．。

2.2.1《向量加法运算及其几何意义》导学案（学生版）必修四P80-83 2.2.1向量加法运算及其几何意义(例2除外）内容要求：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义与几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算(重、难点).3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性(难点)．自学--知识点1 向量的加法1．定义：求两个向量和的运算．2．运算法则：3．规定：对于零向量与任意向量a，规定a+0＝0+a＝a．【预习评价】思考三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？自学--知识点2向量加法的运算律1．交换律：a＋b＝b＋a．2．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则O，A，B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线上的向量OC→＝a＋b题型一 向量的加法法则【例1】 (1)如图①所示，求作向量和a ＋b ； (2)如图②所示，求作向量和a ＋b ＋c ．．【训练1】 如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，指出与下列向量相等的向量：(1)OA →＋OC →= (2)BC →＋FE →= (3)OA →＋FE →=题型二 向量的加法及运算律【例2】 化简：(1)BC →＋AB →= (2)DB →＋CD →＋BC →=(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →=【训练2】 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________．自学达标1．已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( )A ．AB →＋BC →＝CA → B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →2．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( ) A ．1 B ． 2 C ．3 D ．2 23．化简AE →＋EB →＋BC →等于( ) A ．AB → B ．BA →C ．0D ．AC → 4．根据图示填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →．(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________．5．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，求：(1)|a ＋b |；(2)指出向量a ＋b 的方向．6．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 为( )A ．矩形B ． 正方形C ．平行四边形D ．菱形7．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A ．BD →B ．DB →C ．BC →D ．CB →8．在边长为1的等边三角形ABC 中，|AB →＋BC →|＝________，|AB →＋AC →|＝________．9．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中错误的是( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB → D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →10．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0B ．BE →C ．AD →D ．CF →11．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______ ．12．(思考题)如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF ．求证：四边形AECF 是平行四边形．自学反思：课外练习： P84 1. 2. 3. 4. 课外作业： P91 1. 4.。

2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》教学设计教材版本：人民教育出版社A版，普通高中课程标准实验教材，数学必修4教学内容：高中数学必修4，第二章《平面向量》第二节向量的加法运算及其几何意义第1课时一、教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．二、重点与难点重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．难点：理解向量的加法法则及其几何意义．三、教法学法教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．四、教学过程新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了下面几个教学环节一、复习回顾1、向量、平行向量、相等向量的含义是什么？2、用有向线段表示向量，向量的大小和方向是怎样反映的？什么叫零向量和单位向量？二、合作探究【问题1】如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？学生活动：学生讨论，集体回答点评：位移是向量．位移可以相加，所以向量可以进行加法运算。

2、向量加法的定义B如图，已知非零向量a r 、b r，在平面内取一点A ，作AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则AC u u u r 叫作a r 与b r的和。

两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量。

一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

§2.2.1向量的加法运算及其几何意义 学习目标 1. 通过实际例子，掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及其几何意义。

2. 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。

学习过程一、课前准备（预习教材P80—P84）1、复习：向量的定义以及有关概念。

2、引入：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.二、新课导学※ 探索新知问题1：在复习中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？1、向量加法的三角形法则（首尾相接，首尾连）：已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作==,AB a BC b ，则向量__________叫做a 与b 的和，记作___________，即+a b =_______=________。

这个法则就叫做向量求和的三角形法则。

2、向量加法的平行四边形法则：以同起点O 两个向量a ，b （→==,OA a OB b ）为邻边作四边形OACB ，则以O 为起点对角线___________，就是a 与b 的和。

这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。

问题2：想想两个法则有没有共同的地方？3、对于零向量与任一向量a ，我们规定a +o =___________=_______.OA a a ab b b探究二：向量加法的交换律和结合律问题3：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？4、对于任意向量a，b，向量加法的交换律是：_____________；结合律是：_____________。

※典型例题.例1、已知向量a、b，求作向量a b思考：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？小结1：在三角形法则中“首尾相接”，是第二个向量的与第一个向量的重合.小结2：（1）两相向量的和仍是；（2）当向量a与b不共线时，a+b的方向，且|a+b| |a|+|b|；（3）当a与b同向时，则a+b、a、b，且|a+b| |a|+|b|，当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b| |a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b| |b|-|a|.例2、一架飞机向北飞行400km，然后改变方向向东飞行300km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.例3、教材P83例2.三、小结反思1、向量加法的几何意义；2、交换律和结合律；3、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、化简 ++=++=+++=++=__________________________________________________MB BA AC MN NP PM OA OC BO CO AB AC BA ++=+++=++=__________________________________________________MB BA AC MN NP PM OA OC BO CO AB AC BA 2、若C 是线段AB 的中点，则+AC BC =（ ）A 、AB B 、BAC 、OD 、03、已知△ABC 中，D 是BC 的中点，则++32AB BC CA =（ ）A 、ADB 、3ABC 、OD 、2AD4、已知正方形ABCD 的边长为1，===,, AB a AC c BC b ，则++||a b c 为（） A ．0 B ．3 C．5、在矩形ABCD ，==||4,||2AB BC ，则向量++AB AD AC 的长度等于（ ）A．B ．．12 D ．61、已知|AB |＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围？2、若E ，F ，M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：EF →＝NM →.。

向量加法运算及其几何意义教案知识目标：①通过物理学中的位移合成、力的合成等实例,认识理解向量加法的意义,体验数学知识发生、发展的过程.②理解和掌握向量加法的运算,熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量.③理解和掌握向量加法的运算律,能熟练地运用它们进行向量运算.能力目标：①观察能力：学会观察已知图形中的向量，判断哪些向量相等、相反、平行、共线，哪些向量是已知向量的和向量等等；②运算能力：学会将两个（或多个）向量合成为一个向量③应用能力：通过由实例到概念,由具体到抽象,培养学生的探究能力,使学生数学地思考问题,数学地解决问题，学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决；情感目标：①有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪氛围，使其产生热爱数学学习的积极心理；②努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态；③通过例2实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念；教学重点：①求作两个向量和向量的法则；②向量加法的运算律；教学难点：求（两个向量）和向量的三角形法则与平行四边形法则的区别和联系。

教学方法：启发式、探究式、类比教学过程：1、复习提问：（1）、什么叫向量？既有大小又有方向的量叫向量（2）、什么叫平行（或共线）向量？方向相同或相反的非零向量（3）、什么叫相等向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

(4)、向量的最大特点是什么？保持方向与长度时可以任意平移2、新授设计意图：巩固旧知识为学习新内容做铺垫数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，与数的运算类比，向量是否也能运算呢？我们从位移和力的合成及数的运算中得到启发，引进了向量的运算。

问题情境：背景1： 过去春节期间由于大陆和台湾没有直航，乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北，这两次位移合成的结果是什么？（由位移得C B C B B A=+）背景2：图a 表示橡皮条在两个力的作用下沿GO 伸长了EO图b 表示橡皮条在力F 的作用下沿GO 伸长了相同的长度EOF 与F1 、F2之间的关系如何？探究1 如何定义两个向量的和？类比数的运算 1、向量加法的三角形法则由物理学我们知道位移是既有大小又有方向的矢量C 台北B 香港A 上海(C O B O A O =+)设计意图：利用熟悉的物理知识引入使得学生学习时比较顺畅比较柔和没有生硬感，同时体现了学科之间的相互联系相辅相成。

第2章2.2第一课时2.2.1向量的加法运算及其几何意义课前准备温故知新：我们知道有理数可以进行和、差、积、商的运算，在物理上用到两力求和力的例子，那么两向量如何进行加法运算呢？学习目标：① 搞清向量的加法运算方法；②能够利用向量的平行四边形法则与三角形法则求两向量的和； ③ 能够利用图象求出向量的和.课前思索:①向量的加法运算与数的运算有什么不同？向量加法的三角形法则与平行四边形法则有什么不同？利用向量如何解决物理中的力与位移的合成问题？课堂学习一、学习引领① 向量的求和法则三角形法则：已知向量,a b ，在平面上任取一点A ，作,,AB a BC b ==再作向量AC ，那么向量AC 叫做向量a 与向量b 和；② 平行四边形法则：已知两个不共线向量,a b ，作,AB a AD b ==，则A ，B ，D 三点不共线，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线AC AB AD a b =+=+.三角形法则适用于任意两个非零向量的求和，平行四边形法则只适用两个不共线向量的求和.③ 多边形法则：已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量.④ 向量的加法满足交换律：a b b a +=+；分配律：()()a b c b a c ++=++.⑤ 搞清向量,a b 的模与它们和的模之间的关系a b a b +≤+，当,a b 不共线时，满足a b a b +<+，当,a b 方向相同或至少有一个是零向量时满足a b a b +=+.二、合作探究例1 在正六边形OABCDE 中，若,OA a OE b ==，试用向量,a b 将OB 、OC 、OD 表示出来. 解：如右图，设正六边形的中心为P.由正六边形的性质可知四边形OPBA 、OEPA 均是平行四边形.在OPBA 中，OB OP OA OP a =+=+.（平行四边形的法则）在OEPA 中，OP OE OA b a =+=+.（平行四边形的法则）综上，OB b a a =++.同理，()OC OP PC OP PB BC b a a b =+=++=+++.（三角形法则） OD OP OE b a b =+=++. 点评：本题是一道向量与平面几何的综合题，解题时要充分利用正六边形的相关几何性质：正六边形的各边长相等，相对的边平行且相等，边长与其半径也相等.例2 ① 若非零 向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与,a b 之一的方向相同； ②ABC ∆中，必有0AB BC CA ++=；③若0AB BC CA ++=，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点；④ 若,a b 均为非向量，则a b +与a b +一定相等.其中真命题的个数为（）.A. 0B.1C. 2D.4分析：根据各个概念、性质、几何意义判定.解：①假命题.0a b +=时，命题不成立. ② 真命题.③ 假命题. A 、B 、C 三点共线时，仍有0AB BC CA ++=成立.④ 假命题.只在向量a 与b 同向时相等.综上有B 正确.点评：理解概念全面性和相关结论的条件准确性，深刻理解有关命题条件的充分性.四、课堂练习1.向量()()AB MB BO BC OM ++++化简后等于（）.A. BCB. ABC.ACD.AM解：()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=.点评：根据向量的加法运算法则，进行多个向量的加法运算时，通过平移，使向量保持大小、方向不变而首尾顺次相连，则最终有起点指向终点的线段表示最后的和.2.在平行四边形ABCD 中，若BC AB BC CD +=+，则必有（）.A.ABCD 是菱形B.ABCD 是矩形C.ABCD 是正方形D.以上均不对 解：在ABCD 中， ,AB BC AC BC CD BD +=+=，由题意可知BC AB BC CD +=+，即AC BD =，故ABCD 得对角线相等，则ABCD 为矩形.答案：B.点评：在平行四边形ABCD 中，结合向量加法及特殊四边形的判定和性质，可解决一些简单平面几何问题.3.求向量AB DF CD BC FA ++++的值.解：AB DF CD BC FA AB BC CD DF FA AC CD DF FA ++++=++++=+++ 0AD DF FA AF FA AA =++=+==.4. a 表示向东走4km ，b 表示向北走4km ，则a b +表示_____.答案：向东偏北4π走km . 5.下列四式中不能化简为PQ 的是（）.A.()AB PA BQ ++B. ()()AB PC BA CQ +++ C.()QC PQ CQ ++ D.()PA AB QB ++答案；选D课后作业：1..如图所示，CB AD BA ++等于（）.A.DBB. CAC.CDD.DCB答案：C.解：CB AD BA CB BA AD CB BD CD ++=++=+=.点评：利用向量加法的运算性质及加法的三角形法则，求解.2 .下列各式①AB BC CA ++；②()AB MB BO OM +++；③OA OC BO CO +++；④AB CA BD DC +++.其结果一定是0的有（）A.1B.2C.3 D4解：分别化简计算后判定①0,AB BC CA ++=②()AB MB BO OM AB BO OM MB AB +++=+++=；③OA OC BO CO BO OC CO OA BA +++=+++=；④0AB CA BD DC +++=所以选B.3.如图，在ABC ∆中，O 为重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列三式：（1）BC CE EA ++；（2）OE AB EA ++；（3）AB FE DC ++.B解：（1）BC CE EA BE EA BA ++=+=.（2）()OE AB EA OE EA AB OA AB OB ++=++=+=.（3）AB FE DC AB BD DC AD DC AC ++=++=+=.4.证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.已知AC 、BD 是四边形ABCD 的两条对角线，且AC 与BD 互相平分，求证：四边形ABCD 是平行四边形. C①C A ②证明：如图①，设AC 与BD 交于点O.由已知A ，O ，C 三点共线，B 、O 、D 三点共线，且,AO OC DO OB ==.如图②，作向量,,,,,AB DC AO OC DO OB ，则,AO OC DO OB ==， AB AO OB OC DO DC ∴=+=+=，AB CD ∴或AB 与CD 共线，且AB CD =，又在四边形ABCD 中，AB 与CD 不共线，AB CD ∴且AB CD =，所以四边形ABCD 是平行四边形.5. 例3 在水流速度为/h 的河中，要使船以12/km h 德实际航速与河岸成直角行驶，求船的航行速度的大小和方向.分析：本题主要考查向量在物理学中的应用，如图所示，用,,AB AD AC 分别表示水流速度、船的航行速度以及船实际航行的速度，再利用直角三角形的边角关系解出相应的量.解：设AB 表示水流的速度，AD 表示船的航行速度，AC 表示船实际航行速度，连接BC ,作AD BC =，则AD 为所求船的航速，且AD AB AC +=.43,12,tan 123AB AC ACB ==∠==， 30,83,120ACB CAD AD BC BAD ︒︒∴∠==∠==∠=.∴船的航行速度的大小为/km h ，方向与水流的速度成120︒角.点评：速度、位移等物理量均为向量，因此此类问题可以通过建模，转化为数学中的向量问题解决. 学后反思：知识归纳__________.方法总结__________.错误总结__________.。

1.向量加法运算及其几何意义2.教课目的：3. 1.理解并掌握加法的观点，认识向量加法的物理意义及其几何意义.4.掌握向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么，并能娴熟地运用这两个法那么作两个向量的加法运5.算.6. 3.认识向量加法的互换律和联合律，并能依照几何意义作图解说加法运算律的合理性.7.教课要点：向量的加法运算及其几何意义.8.教课难点：向量加法的几何意义.9.教课方法：自主学习，合作研究.10.教课过程；11.一、新课引入12.1〕物理学中的“位移〞模型.13.2〕物理学中的“力的合成〞模型.14.15.16.17.18.19.20.21.二、新知讲解22.向量的加法法那么〔1〕三角形法那么—位移模型：uuuruuuruuurABBC AC；特色：“首尾相接〞。

〔2〕平行四边形法那么—力的合成模型：uuuruuur uuurOAOBOC；特色：“起点同样〞。

增补：u uuruuuuruuuuruuuruuur.〔1〕ACAM MC.〔2〕ABBA2.规定：a00aa。

向量加法的互换律和联合律：〔1〕a b b a；〔2〕a b c a b c。

三、典型例题例1.如图，向量a，b，求作向量a b.ba例2.如图，两个大小分别为5N，6N力同时作用在一个点A，请问这两个力的协力大小最大为；最小为。

四、讲堂练习1.如图，向量a，b，用向量的加法法那么作出 a b。

〔1〕〔2〕计算：uuur uuur1〕OAABuuuur uuuur uuur〔2〕OM MG GDuuruur90o时，那么这两个力的协力大3.作用在同一物体上的两个力F160N，F280N，当它们的夹角为小为.向量a，的大小分别为，，那么向量ab的取值范围是4 .1 25小结：给出向量a，b，必有a b a b；且当a与b同向时，a b a b。

五、当堂检测1.判断以下向量的加法能否正确，正确的打√，错误的打×。