2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义：专题五 第一讲 直线与圆

专题五 解 析 几 何第一讲 直线与圆(选择、填空题型)1．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2 ＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0 垂直，则l 的方程是 ( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选D 依题意，得直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －0，即x －y ＋3＝0.故选D.2．(2014·江西高考)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π5B.3π4C ．(6－25)π D.5π4解析：选A 法一：设A (a,0)，B (0，b )，圆C 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，2r ＝a 2＋b 2，由题知圆心到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪a ＋b 2－45＝r ，即|2a ＋b －8|＝25r ，2a ＋b ＝8±25r ，由(2a ＋b )2≤5(a 2＋b 2)，得8±25r ≤25r ⇒r ≥25，即圆C 的面积S ＝πr 2≥45π.法二：由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离，此时2r ＝45，得r ＝25，圆C 的面积的最小值为S ＝πr 2＝45π.3．(2014·陕西高考)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为___________________．解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1 4．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为2 4－95＝2555.答案：25555．(2014·湖北高考)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析：由题意得，直线l 1截圆所得的劣弧长为π2，则圆心到直线l 1的距离为22，即|a |2＝22⇒a 2＝1，同理可得b 2＝1，则a 2＋b 2＝2. 答案：21．直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)． (2)斜截式：y ＝kx ＋b .(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)．(4)截距式：x a ＋yb＝1(a ≠0，b ≠0)．(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)． 2．圆的三种方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)．(3)圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))．3．判定直线与圆位置关系的两种方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交，Δ＜0⇔相离，Δ＝0⇔相切．(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d ＜r ⇔相交，d ＞r ⇔相离，d ＝r ⇔相切．(主要掌握几何方法)热点一 直线与方程命 题 角 度(1)求直线的方程，如T3；(2)判断两条直线的位置关系，如T2；(3)以直线为载体考查与相关知识的交汇问题，如T1.1．(2014·泰安模拟)已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则实数m 的值为( )A ．0B ．－8C ．2D ．10 2．(2014·日照调研)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为_________________________．[自主解答] 1.根据斜率计算公式可得4－mm －(－2)＝－2，解得m ＝－8.2．若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，∴a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．3．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1,2)，直线x ＝1显然不适合． 设所求直线为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.[答案] 1.B 2.A 3.y ＝2或4x －3y ＋2＝0若将题1中“与直线2x ＋y －1＝0平行”改为“与直线2x ＋y －1＝0垂直”，其他条件不变，则实数m 的值又是多少？解：由于两直线垂直，则k 1·k 2＝－1，故根据斜率计算公式可得4－m m －(－2)＝12，解得m＝2.1．两条直线平行与垂直的判定(1)若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1； (2)判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况．2．求直线方程的常用方法(1)直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：即先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数．1．(2014·莆田联考)抛物线y 2＝4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，其准线与x 轴的交点为M ，则过M ，A ，B 三点的圆的标准方程是( )A ．x 2＋y 2＝5B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝4 2．(2014·哈尔滨模拟)圆心在直线y ＝－4x 上，并且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程为________________．3．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．[自主解答] 1.由抛物线方程及题意知A (1,2)，B (1，－2)，M (－1,0)，设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＋2E ＋F ＋5＝0，D －2E ＋F ＋5＝0，－D ＋F ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－3.从而所求方程为x 2＋y 2－2x －3＝0， 即圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.2．据已知，过点P 且与直线l 垂直的直线方程为y ＝x －5，由圆的几何性质可知圆心为直线y ＝x －5与y ＝－4x 的交点，即圆心坐标为A (1，－4)，故半径为点A 到直线x ＋y －1＝0的距离，即r ＝42＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.3．由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235>4且d <6，故直线与圆相离，则满足题意的点P 有2个． [答案] 1.D 2.(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 3.2求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．热点三 直线与圆的位置关系问题命 题 角 度(1)考查直线与圆位置关系的判断，如T1；(2)考查直线与圆相交的弦长计算和相切时的切线方程，如T2； (3)考查根据直线与圆的位置关系求参数问题，如T3.1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不确定 2．(2014·浙江高考)已知圆x 2＋y2＋2x－2y ＋a ＝0 截直线x ＋y ＋2＝0 所得弦的长度为4，则实数 a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 3．(2014·西安模拟)已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有||≥，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)[自主解答] 1.由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．2．圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，圆心C (－1，1)，半径r 满足r 2＝2－a ，则圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离 d ＝21＋1＝2，所以r 2＝4＋2＝2－a ⇒a ＝－4.3．当时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)，故选C.[答案] 1.C 2.B 3.C研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题．(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．[例] (1)(2013·重庆高考)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17 (2)已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，若点Q (x ，y )是圆C 上一点，则x ＋y 的取值范围为________．(3)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx的最大值和最小值分别是________、________.[师生共研] (1)两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.(2)设x ＋y ＝t ，因为Q (x ，y )是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，即|－1＋0－t |2≤22，所以，－5≤t ≤3，即x ＋y 的取值范围为[－5,3]．(3)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.(如图)所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.[答案] (1)A (2)[－5,3] (3)3 －3数形结合法求解与圆有关的最值问题(1)形如t ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．1．设点P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( ) A ．6 B ．25 C ．26 D ．36解析：选D 设Q (5，－4)，圆的圆心为C (2,0)．易知(x －5)2＋(y ＋4)2的几何意义是点P (x ，y )到点Q (5，－4)的距离的平方，由于点P 在圆(x －2)2＋y 2＝1上，故所求的最大值是(|QC |＋1)2＝36.2．圆心在曲线y ＝－3x(x >0)上，且与直线3x －4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程是________．解析：设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫x ，－3x ，则R ＝3x ＋12x ＋35≥3，当且仅当x ＝2时取等号，此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2，－32，故圆方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝9. 答案：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝9一、选择题 1．(2014·保定模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D 直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率k 1＝－a2，直线x ＋y －2＝0的斜率k 2＝－1，因为两直线相互垂直，所以k 1·k 2＝－1，即⎝⎛⎭⎫－a 2·(－1)＝－1，所以a ＝－2，所以选D. 2．(2014·黄冈期末)直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( )A ．－33或 3B ．－33或33 C.3或－ 3 D ．－3或33解析：选A 由圆x 2＋y －2x －2＝0可得标准方程为(x －1)2＋y 2＝3，知圆心为(1,0)，半径为3，由直线与圆相切可得圆心到直线的距离d ＝|3－0＋m |2＝3，解得m ＝3或m＝－3 3.故选A.3．(2014·长春调研)一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1且n <1B ．mn <0C ．m >0且n <0D ．m <0且n <0解析：选B 因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0，故选B.4．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝0解析：选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.5．(2014·安徽模拟)直线x －y ＋1＝0被圆x 2＋y 2＋2my ＝0所截得的弦长等于圆的半径，则实数m ＝( )A.6－2B.6＋2 C ．1 D.6解析：选B 圆的方程即x 2＋(y ＋m )2＝m 2，圆心(0，－m )到已知直线的距离d ＝|m ＋1|2＝3|m |2，解得m ＝2＋ 6. 6．(2014·昆明三中、玉溪一中联考)已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，解得x＝4，y ＝2，则A (4,8)，B (－4,2)，所以|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10.故选B.7．(2013·天津高考)已知过点P (2,2) 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切， 且与直线ax －y ＋1＝0垂直， 则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C 由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2，2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2.8．(2014·沈阳模拟)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A ．9 B ．8 C ．4 D ．2解析：选A 由题意得，圆心坐标是(0,1)，则有b ＋c ＝1.4b ＋1c ＝⎝⎛⎭⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4cb ＋bc≥5＋2 4c b ·bc＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1，4c b ＝b c ，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c的最小值为9.故选A.9．(2014·烟台二模)已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，若以直线y ＝kx －2上任意一点为圆心，以1为半径的圆与圆C 没有公共点，则k 的整数值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A 由题意得，圆C 的圆心坐标为(1,0)，设另一圆的圆心坐标为C 1(a ，ka －2)(a ∈R )，则|CC 1|>2，即(a －1)2＋(ka －2)2>2.所以(k 2＋1)a 2－(4k ＋2)a ＋1>0，又a ∈R ，所以Δ＝(4k ＋2)2－4(k 2＋1)<0，解得－43<k <0，又k 为整数，所以k ＝－1，故选A.10．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|kx －y ≤2}，其中x ，y ∈R .若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是( )A ．[0， 3 ]B ．[－3，0]C ．[－3， 3 ]D ．[－3，＋∞)解析：选C 集合A 表示的点集是单位圆上的点，集合B 表示的是二元一次不等式kx －y ≤2所表示的平面区域，其边界直线是kx －y ＝2，该直线必过定点(0，－2)，所以要使A ⊆B ，则圆与直线必须相切或相离，故2k 2＋1≥1，解得－3≤k ≤3，故选C.二、填空题 11．(2014·太原模拟)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，C 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，那么|PC |的最小值是________．解析：点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点P 的最小距离即为点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，而圆心的坐标是(1,1)，因此最小距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3.答案：3 12．(2014·天津一模)已知圆C 过点(0,1)，且圆心在x 轴负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2， ① ∵圆心在x 轴负半轴上，∴a <0. ∵圆C 过点(0,1)，∴a 2＋1＝r 2. ② 又∵圆C 被直线l 截得的弦长为22，∴(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＝r 2， ③由①②③解得a ＝－1，r ＝ 2.故圆C 的标准方程为(x ＋1)＋y 2＝2. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝2 13．(2014·唐山模拟)若直线y ＝kx ＋2k 与圆x 2＋y 2＋mx ＋4＝0至少有一个交点，则m 的取值范围是________．解析：由y ＝k (x ＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2)2＋02－2m ＋4≤0⇒m ≥4.又由方程表示圆的条件，故有m 2－4×4>0⇒m <－4或m >4.综上可知m >4.答案：(4，＋∞) 14．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]15．(2014·长春调研)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值是________．解析：由圆C的方程可知其圆心坐标为(－1,2)，代入直线2ax＋by＋6＝0，得－2a＋2b ＋6＝0，即点(a，b)在直线l：－x＋y＋3＝0上，过C(－1,2)作l的垂线，设垂足为D，过D作圆C的切线，设切点为E，则切线长DE最短，于是有|CE|＝2，|CD|＝|6|2＝32，由勾股定理得|DE|＝4.答案：416．(2014·浙江联考)设圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，交y轴于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为______________________．解析：如图，A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3,5)，P点的横坐标为0，因此，A，B的横坐标分别为2、4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.答案：2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0。