【鲁教版】数学九年级上册3.6《二次函数的应用》教案

九年级数学第二章 二次函数 次函数的应用某某教育版【本讲教育信息】一、教学内容二次函数的应用二、教学要求能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数模型求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的综合能力。

三、教学内容 ［知识要点］知识点1、根据实际例子，建立二次函数模型。

现实生活中，有很多的呈抛物线状的实际例子，如桥拱，隧道、篮球投篮时经过的路线等等。

这类问题的处理需要自主的建模，构造二次函数的模型，将实例放置在坐标系中，将实际问题数学化，再利用二次函数的图像和性质等解决所给问题。

建立函数模型这一类题，有一定的难度，而建模思想非常重要，要由浅到深地学习。

知识点2、分析题目中的数量关系，建立二次函数表达式，利用函数的性质，特别是最值问题解决实际问题。

解二次函数最值应用题的基本方法是：设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解，其一般步骤是：（1）利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式 （2）把关系式转化为二次函数解析式 （3）求二次函数的最大值或最小值分类1、求经济问题中二次函数的最大值时，一般是求二次函数的条件最值，这就要求在列函数解析式的同时，应主动地求出自变量x 的取值X 围。

例、某商店经营T 恤衫，已知成批购进时单价是元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。

当销售单价是多少时，销售利润最多？ 下面我们来研究这个实际问题。

设销售单价为x （x ≤）元，则月销售量为：500+200（－x ）=3200－200x销售额为：x （3200－200x ）=3200x －2002x所获利润为：（x －）（3200－200x ）=－2002x +3700x －8000 当销售单价是元时，（25.9)200(23700=-⨯-=x ），可以获得最大利润。

2019-2020学年九年级数学上册 3.6二次函数的应用教案2 鲁教版
五四制
一、教学目标：
1、知识目标：能分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，掌握并运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值，经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系。

2、能力目标：经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应用的价值。

3、情感目标：设置丰富的问题情景及使用几何画板展示几何图形的变化过程，从其动态性和智能性中感受做数学的乐趣，激发学生的好奇心和自主学习的欲望。

二、教学重点：
①回顾并掌握二次函数最值的求法，要求学生能应用基本结论的同时掌握配方法。

②理解数学建模的基本思想，能从实际问题中抽象出其二次函数的数学模型。

三、教学难点：从几何背景及实际情景中抽象出函数模型。

学生活动
学生结合日常生活
分别在两直角边上
边的长度如何
值是多少?
课件动态演示矩形ABCD在三角形内的变化情况。

在上面的问题中，如果设AD=xm，那么问题的结果
④用你熟悉的方法求出y
最大面
本节课，你最深的感受是什么？
学生总结交流在这节课学习过程中，你还有什么疑问没有解。

初中数学《二次函数的应用》教案2.3二次函数的应用教学目标设计1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。

能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。

2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。

情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。

2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。

教学方法设计由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。

为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。

教学过程导学提纲设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。

从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

1有一种活鱼，在室内暂养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定的数量死去．假设放养期内鱼的个体重量保持不变．小王，按市场价50元/千克收购了这种活鱼1吨放养租用30天塘内．据市场变化，此后每天每千克活鱼价格可上升2元，但是，放养一天需各种费用支出600元，且平均每天还有10千克的鱼死去，假定死鱼均于当天全部售出，售价都是每千克30元．（1）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1吨鱼的销售总额为W元，写出W 与x的函数关系式；（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？2恒信专卖店专销某品牌钮扣电池，进价l2元/粒，售价20元/粒．为了促销，专卖店决定凡是一次性买10粒以上的，每多买一粒，单价就降低O.10元（例如．某人一次性买20粒，则每粒降价O.10×（20-10）=1元，就可以按19元/粒的价格购买，20粒只需380元购买），但是最低售价为16元/粒．设每一次性卖出x粒电池，商店的利润为y元．（1）请分段写出y与x的函数关系式；（2）有一天，一位顾客买了46粒，另一位顾客买了50粒，专卖店发现卖50粒反而比卖46粒赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，最低售价16元/粒至少要提高到多少？为什么3某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面32/3米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，问此次跳水会不会失误？在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地4/3米的P点处发球，球的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为圆点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为（m，0）（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）求羽毛球落地点N离球网的水平距离（即NC的长）；（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围．。

鲁教版数学九年级上册3.6《二次函数的应用》教学设计一. 教材分析《二次函数的应用》是鲁教版数学九年级上册3.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的。

教材通过实例引入二次函数的应用，让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。

教材内容主要包括两个方面：一是二次函数在几何中的应用，二是二次函数在实际生活中的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，对于二次函数在实际生活中的应用，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要通过实例让学生了解二次函数在实际生活中的应用，并培养学生的数学应用意识。

三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数在几何中的应用，掌握二次函数在实际生活中的应用。

2.过程与方法：通过实例分析，培养学生的数学应用意识，提高学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在几何中的应用，二次函数在实际生活中的应用。

2.难点：二次函数在实际生活中的应用，如何将实际问题转化为二次函数问题。

五. 教学方法采用实例教学法，通过具体的实例让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。

同时，采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的应用，提高学生解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.教师准备：准备好相关的实例，制作好PPT。

2.学生准备：预习相关内容，准备好笔记本。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，让学生了解二次函数在几何中的应用。

例如，抛物线的定义及性质，让学生初步感受二次函数的应用。

2.呈现（15分钟）呈现一个实际问题，让学生尝试用二次函数来解决。

例如，一个农场想要建一个最大的矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，另外两边的长度分别为6米和4米，问如何建鸡舍才能使鸡舍的面积最大？3.操练（15分钟）学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题，并求解。

《二次函数的应用》教案教学目标1、让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化.2、让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题.3、掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活.4、培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成.教学重点1、在直角坐标系中，点坐标和线段之间的关系.2、根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中的点.教学难点如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣.教学过程一、情景导入如图，某公司的大门呈抛物线型，大门地面宽AB为4米，顶部C距地面的高度为4.4米.(1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式；(2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.65米，装货宽度为2.4米，那么这辆汽车能否顺利通过大门？想一想:如果装货宽度为2.4米的汽车能顺利通过大门，那么货物顶部距地面的最大高度是多少？(精确到0.01)二、例题鉴赏公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央O点处安装一根垂直于水面的柱子OA，OA=1. 25米.水流由柱子顶端A处的喷头向外喷出，从各个方向呈完全抛物线的形状落下.为使水流形状看起来较为美观，设计要求水流在与柱子OA的距离为1米处达到最高点.这时距水面的最大高度为2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少是多少米时，才能使喷出的水流不致落到池外？三、随堂练习如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m ，宽是2m ，抛物线可以用2144y x =-+表示.(1)一辆货运卡车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？(2)如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？四、课外练习：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，正在甩绳的A 、B 两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生C 、D 分别站在距A拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生C 的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生D 的身高吗？若现有一身高为1.625米的同学也想参加这个活动，请问他能参加这个活动吗？若能，则他应离甲多远的地方进入？若不能，请说明理由？五、归纳小结：1、请你总结一下解决这类问题的基本思路及要注意的问题.2、本节课，你最深的感受是什么？3、在这节课学习过程中，你还有什么疑问没有解决？。

二次函数的应用（1）教学目标掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．教学重点：应用二次函数解决图形有关的最值问题.教学难点：由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．新课探究如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上.(1)设矩形的一边xcm AB =,那么AD=；(2)设矩形的面积为2ycm ,当x 取何值时,y 的最大值是多少?解：(1)∵BC//AD ， ∴△EBC ∽△EAF ．∴AF BC EA EB =. 又AB ＝x ，BE=40-x ，∴304040BC x =-. ∴BC=43(40-x). ∴AD ＝BC=43(40-x)＝30-43x ．(2)y ＝AB·AD=x(30-43x)= -43x2+30x=-43(x2-40x+400-400)=-4(x2-40x+400)+300 =-43(x-20)2+300当x=20时，y 最大=300.即当x 取20 m 时，y 的值最大，最大值是300m2．巩固练习1：在上一题一开始的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？解：∵DC//AB ，∴△FDC ∽△FAE ．FA FD AE DC =.∵AD=x ，FD ＝30-x ． ∴303040x DC -=. ∴DC=34(30-x).∴AB=DC=34(30-x). y=AB·AD=x·34(30-x) =-34x2+40x=-3(x2-30x+225-225)=-34(x-15)2+300.当x=15时，y 最大=300．即当AD 的长为15 m 时，长方形的面积最大，最大面积是300 m2例题学习例：某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?解：∵7x+4y-πx＝15，∴y=4715xx π--.设窗户的面积是S(m2)，则S=21πx2+2xy=21πx2+2x·4715xx π--=21πx2+2)715(x x x π--=-3.5x2+7.5x=-3.5(x2-715x)=-3.5(x-3921575)14152+). ∴当x ＝1415≈1.07时，S 最大=3921575≈4.02.即当x≈1.07 m 时，S 最大≈4.02 m2，此时．窗户通过的光线最多．巩固练习2：如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8m ，宽是2m ，抛物线可以用4412+-=x y 表示.（1）一辆货运卡车高4m ，它能通过该隧道吗？（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？解：（1）当x=1时，y=，∴卡车能通过隧道；（2）当x=2时，y=-1+4=3>4-2，∴卡车能通过隧道拓展提升 如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽m AB 20=，当水位上升3m ，水面宽m CD 10=.（1）按如图所示的直角坐标，求表示此抛物线的函数表达式；（2）有一条船以5km/h的速度向此桥驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD时，将禁止船只通行.如果该船按原来的速度行驶，那么它能否安全通过些桥？解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2（a不等于0），桥拱最高点O到水面CD的距离为h米．则D（5，﹣h），B（10，﹣h﹣3）∴251003a ha h=-⎧⎨=--⎩解得1251 ah⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为y=-125x2（2）水位由CD处涨到点O的时间为：1÷0.25=4（小时）货车按原来速度行驶的路程为：40×1+40×4=200＜280∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时当4x+40×1=280时，x=60∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时．课堂小结：这节课你学到了什么？作业布置课后反思。

鲁教版五四制九年级《3.6 二次函数的应用（1）》教学设计济宁市任城区安居第一中学田素芬教学目标：知识与技能：能根据情境中所给信息，写出二次函数表达式，结合函数图象，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。

过程与方法：经历由实际问题中的最值转化为二次函数的最值，归纳总结出解决面积最值问题的一般步骤，学生体会数形结合、函数建模的思想，培养分析思维能力，提高问题解决素养。

情感、态度与价值观：从学生熟悉的生活场景引入课题，激发学生对函数应用的探究兴趣，逐步养成合作交流、学以致用的习惯，进一步培养利用函数的观点认识世界的意识，体会数学在生活中广泛的应用价值。

教学重点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，应用函数的知识解答面积最值，提高解决问题的能力。

教学难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的取值范围。

教学过程师：上一节，我们学习了二次函数的表达式，课件展示y＝ax2+bx+c (a≠0)、y＝a(x-h)2+k (a≠0)生：说出表达式的一般式、顶点式师（板书表达式）：对于一般式，当a>0时，函数图象即抛物线开口向上，有最低点并板书顶点坐标，而顶点式显而易见，顶点坐标（h，k）。

这两个表达式很重要，利用它们可以帮助我们解决生活中遇到的问题。

今天，我们一起来学习二次函数的应用。

（板书课题）一、情境导入：视频——栅栏围地学生活动：认真观看视频，指生回答里面的小问题，尝试分析自变量x的取值范围师（点评）引导生（口答）：有了表达式，我们可以画出图象。

此时a<0，抛物线开口向下，有最高点，对应函数有最大值。

函数图象有个性质：抛物线顶点的纵坐标，对应函数的最大值（或最小值）。

根据顶点坐标公式，求得当x=5时，面积最大是50。

提醒考虑：在自变量的取值范围里设计意图：视频导入新课，能更好引起学生的学习兴趣，使学生感到函数与生活的联系。

这样，围成的面积问题就转化为图象顶点的纵坐标值，在这个实际问题的解决过程中，学生体会“数形结合”、“函数建模”思想（板书），同时也为后面自主思考作铺垫。

九年级数学《二次函数的应用》函数实际运用教案教学目标:1. 了解二次函数的基本概念和特性；2. 掌握二次函数的应用，尤其是函数的图像和实际问题的联系；3. 培养学生分析和解决实际问题的能力。

教学准备:1. 教材：九年级数学教材第X章；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT、作业本。

教学过程:一、引入活动1. 导入话题：请学生们回顾上节课学习的内容，简要询问二次函数的定义和基本形式。

2. 引入主题：将本节课的主题以问题的形式呈现给学生：“二次函数在现实生活中有哪些应用呢？”二、知识讲解1. 讲解二次函数的图像：通过展示PPT上的图像，引导学生观察二次函数图像的特点，并介绍顶点、对称轴、开口方向等概念。

2. 讲解二次函数的实际应用：从实际生活中选择几个典型的例子，如抛物线的运动轨迹、塔的高度与时间的关系等，解释二次函数在这些问题中的应用。

三、案例分析1. 案例一：小明从楼顶向上抛一颗球，球的运动轨迹可以用二次函数表示。

给定抛物线的顶点坐标和距离地面的最大高度，请让学生通过公式推导和计算，确定球的运动轨迹方程。

2. 案例二：某商场为了促销，准备通过调整售价和销量之间的关系来提高利润。

请学生根据售价和销量的数据，建立二次函数模型，并通过求解最值问题，确定最佳销售策略。

四、讨论与总结1. 学生交流：请学生们以小组为单位，根据自己感兴趣的实际问题，讨论并找出相关的二次函数应用案例。

每个小组选择一个案例进行介绍，并给出解决问题的策略。

2. 整体总结：引导学生总结本节课所学的知识点和方法，强调二次函数在实际生活中的广泛应用。

五、拓展练习1. 练习一：请学生们完成教材上与二次函数应用相关的练习题，巩固所学知识。

2. 练习二：设计一道与实际生活相关的二次函数问题，并要求学生用二次函数的方法解答。

六、作业布置1. 布置笔记作业：请学生们对本节课的要点进行整理，写一份学习笔记，明确二次函数应用的基本概念和方法。

2. 布置实践作业：要求学生们在日常生活中寻找并记录二次函数应用的实例，包括图像、方程和实际问题的解决过程。