广东省广州市天河中学2017高考数学(理科)一轮复习基础知识检测：排列、组合01.doc

分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础热身1．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( )A．30个 B．42个C．36个 D．35个2．在“庆国庆、展才艺”国庆庆祝活动中，甲、乙、丙三位同学欲报名“朗诵比赛”、“歌唱比赛”，但学校规定每位同学限报其中的一个，且乙知道自已唱歌不如甲，若甲报唱歌，则乙就报朗诵，则他们三人不同的报名方法有( )A．3种 B．6种C．7种 D．8种3．记4名同学报名参加学校三个不同体育队，每人限报一队的不同报法种数为A；记3个班分别从5个风景点中选择一处游览的不同选法种数为B，则A，B分别是( ) A．43,53 B．34,35C．34,53 D．43,354．设A，B是两个非空集合，定义A*B＝{(a，b)|a∈A，b∈B}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3,4}，则P*Q中元素的个数是( )A．4 B．7C．12 D．16能力提升5．如图K57－1，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A．72种 B．48种C．24种 D．12种6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A．6种 B．12种C．24种 D．30种7．从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是( )A．36 B．48 C．52 D．548．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为( )A．80 B．120C．140 D．509．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“良数”．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生进位现象．那么小于1000的“良数”的个数为( )A．27 B．36C．39 D．4810．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有________种行车路线．11．将1,2,3，…，9这9个数字填在如图K57－2所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数有________种.12．学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法有________种(用数字作答)．13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图K57－3中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相14．(10分)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．15．(13分)某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？难点突破16．(1)(6分)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) A．56 B．65C.5×6×5×4×3×22D．6×5×4×3×2(2)(6分)如图K57－4所示，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )A．288种 B．264种C．240种 D．168种答案解析【基础热身】1．C [解析] b有6种取法，a也有6种取法，由分步乘法计数原理共可以组成6×6＝36个虚数．2．B [解析] 从甲着手分析，分两类：若甲报唱歌，乙则报朗诵，丙可任选，有2种报名方法；若甲报朗诵，则乙、丙均可任选，有2×2＝4(种)报名方法．所以共有2＋4＝6(种)不同的报名方法．3．C [解析] 4名学生参加3个运动队，每人限报一个，可以报同一运动队，应该是人选运动队，所以不同的报法种数是34，故A＝34；3个班分别从5个风景点中选择一处游览，应该是班选风景点，故不同的选法种数是53，故B＝53.4．C [解析] 由分步乘法计数原理知有3×4＝12个．【能力提升】5．A [解析] 先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72种．6．C [解析] 方法1：两人各选修2门的种数为C24C24＝36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为C24＝6，故恰好有1门相同的选法有24种．方法2：恰有1门相同，先从4门选1门，选法C14，然后甲从剩下的3门选1门，乙再从甲选后剩下的2门中选1门，根据乘法原理共有选法4×3×2＝24种．7．B [解析] 若取出的数字含有0，则是2×A23＝12个，若取出的数字不含0，则是C12C23 A33＝36个．根据加法原理得总数为48个．8．A [解析] 分两类：若甲组2人，则乙、丙两组的方法数是C13A22，此时的方法数是C25C13 A22＝60；若甲组3人，则方法数是C35A22＝20.根据分类加法计数原理得总的方法数是60＋20＝80.9．D [解析] 一位良数有0,1,2，共3个；两位数的良数十位数可以是1,2,3，两位数的良数有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个；三位数的良数有百位为1,2,3，十位数为0的，个位可以是0,1,2，共3×3＝9个，百位为1,2,3，十位不是零时，十位个位可以是两位良数，共有3×9＝27个．根据分类加法计数原理，共有48个小于1000的良数．10．12 [解析] 由分步乘法计数原理有4×3＝12.11．6 [解析] 左上方只能填1，右下方只能填9，此时4的上方只能填2.右上方填5时，其下方填6,7,8；右上方填6时，其下方填7,8；右上方填7时，其下方只能填8，此时左下方的两个格填法随之确定．故只能有3＋2＋1＝6种填法．12．144 [解析] 有两名教师要值班两天，把六天分为四份，两个两天连排的是(1,2)，(3,4)；(1,2)，(4,5)；(1,2)，(5,6)；(2,3)，(4,5)；(2,3)，(5,6)；(3,4)，(5,6)，共六种情况，把四名教师进行全排列，有A44＝24种情况，根据分步乘法计数原理，共有不同的排法6×24＝144种．13．108 [解析] 分步求解．只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3与1,5,9同色，则2,6的涂法为2×2，若3与1,5,9不同色，则3有两种涂法，2,6只有一种涂法，同理涂4,7,8，即涂法总数是C13(2×2＋C12×1)×(2×2＋C12×1)＝3×6×6＝108.14．[解答] (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步计数原理知共有方法36＝729种．(2)每项限报一人，且每人至多限报一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理得共有报名方法6×5×4＝120种．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理得共有不同的报名方法63＝216种．15．[解答] 首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1＝3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2＝12种选法．再由分类计数原理知共有6＋12＝18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3＋18＋16＝37种选法．【难点突破】16．(1)A (2)B [解析] (1)因为每位同学均有5种讲座可选择，所以6位同学共有5×5×5×5×5×5＝56种选择，故本题选A.(2)分三类：①B、D、E、F用四种颜色，则有A44×1×1＝24种方法；②B、D、E、F用三种颜色，则有A34×2×2＋A34×2×1×2＝192种方法；③B、D、E、F用两种颜色，则有A24×2×2＝48，所以共有不同的涂色方法24＋192＋48＝264种．。

直线与圆1.倾斜角为135︒，在y 轴上截距为1-直线方程是〔 〕A. 01=+-y xB. 01=--y xC. 01=-+y xD. 01=++y x【答案】D【解析】直线斜率为tan1351k ==-，所以满足条件直线方程为1y x =--，即10x y ++=，选D.2.30y +-=倾斜角是 A ．6π B ．3π C ．65π D ．32π 【答案】D【解析】直线斜截式方程为3y =+，即直线斜率tan k α==，所以，选D. 1l ：280ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行 ，那么a 值为〔 〕A. 1B. 1或2C. -2D. 1或-2 【答案】A【解析】直线1l 方程为，假设1a =-，那么两直线不平行，所以1a ≠-，要使两直线平行，那么有，由，解得1a =或2a =-。

当2a =-时，，所以不满足条件，所以1a =，选A.4. “1k =〞是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交〞A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】要使直线0x y k -+=与圆221x y += 相交，那么有圆心到直线距离。

即k ≤所以k ≤≤，所以“1k =〞是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交〞充分不必要条件，选A.5.1by +=与圆221x y +=相交于A,B 两点(其中a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),那么点P(a,b)与点(0,1)之间距离最大值为 ( )A.1+B.2 1【答案】A【解析】因为△AOB 是直角三角形，所以圆心到直线距离为2，所以，即2222a b +=。

所以，由，得22,b b ≤≤≤。

所以点P(a,b)与点(0,1)之间距离为d ====，即，因为b ≤≤所以当b =1d ====+选A. 6.假设点(1,1)P 为圆2260x y x +-=弦MN 中点，那么弦MN 所在直线方程为〔 〕 A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=【答案】D 【解析】圆标准方程为22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)A ,因为点(1,1)P 弦MN 中点，所以AP MN ⊥,AP 斜率为，所以直线MN 斜率为2，所以弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，选D.点(1,3)P 且在x 轴上截距和在y 轴上截距相等直线方程为〔 〕〔A 〕40x y +-= 〔B 〕30x y -= 〔C 〕40x y +-=或30x y += 〔D 〕40x y +-=或30x y -=【答案】D【解析】假设直线过原点，设直线方程为y kx =，把点(1,3)P 代入得3k =，此时直线为3y x =，即30x y -=。

函数0215.给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】C【解析】①在区间(0,)+∞上,只有12y x =，3y x =是增函数，所以①错误。

②由log 3log 30m n <<，可得3311log log m n <<，即33log log 0n m <<，所以01n m <<<，所以②正确。

③正确。

④当2x ≤时，231x -≤，由2132x -=，可知此时有一个实根。

当2x >时，由31log (1)2x -=，得13x -=，即13x =+，所以④正确。

所以正确命题的个数为3个。

选C.16.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数321,,x x x 满足)()()(321x f x f x f ==，则123x x x ++的取值范围是A ． ]6311(， B ．），（326320 C ．2026]33（， D ． ），（6311【答案】D【解析】22=66(3)3y x x x -+=--，所以对称轴为3x =，当343x +=-时，73x =-，所以要使互不相等的实数321,,x x x 满足)()()(321x f x f x f ==，则有1233()()()4f x f x f x -<==<，不妨设123x x x <<，则有1703x -<<，233,2x x +=，236x x +=，所以1237663x x x -+<++<，即1231163x x x <++<，所以123x x x ++的取值范围是11(,6)3，选D,如图。

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qq:2355394557排列组合、二项式定理0921.若函数()|sin |f x x =的图象与直线(0)y kx k =>仅有三个公共点，且其横坐标分别为α，β，()γαβγ<<，给出下列结论：①cos k γ=-；②(0,)γπ∈；③tan γγ=；④22sin 21γγγ=+其中正确的是 （填上所有正确的序号）【答案】①③④【解析】画出图象可知，直线(0)y kx k =>在x γ=与函数()|sin |f x x =相切，故cos k γ=-，故①对；(,2)γππ∈，②错；由|sin |cos γγγ=-⋅，(,2)γππ∈可得tan γγ=，故③对；由③知tan γγ=，故2222sin cos 2sin22sin cos sin cos 1γγγγγγγγγ⋅=⋅==++，④对，故填①③④。

22.二维空间中圆的一维测度（周长）l ＝2πr ，二维测度（面积）S ＝πr 2，观察发现S′＝l ；三维空间中球的二维测度（表面积）S ＝4πr 2，三维测度（体积）V ＝34πr 3，观察发现V ′＝S 。

则四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝ 。

23.已知函数1y x =-的图象为双曲线，在此双曲线的两支上分别取点,P Q ，则线段PQ长的最小值为 .欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

qq:2355394557-2 -24.已知a ∈R +，不等式，则a 的值为 .【答案】nn ；【解析】根据题中所给表达式的规律可得n a n =。

25.对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为()f x 的＂下确界＂，则函数15()14,(,)544f x x x x =-+∈-∞-的＂下确界＂等于_________. 【答案】2-,【解析】因5(,)4x ∈-∞，所以540x ->，则11()145442425454f x x x x x=-+=-+-≥-=---，即2M ≤-.26.在面积为S 的正三角形ABC 中，E 是边AB 上的动点，过点E 作EF//BC ，交AC 于点F ，当点E 运动到离边BC 的距离为ABC ∆高的12时，EFB ∆的面积取得最大值为1.4S 类比上面的结论，可得，在各棱条相等的体积为V 的四面体ABCD 中，E 是棱AB 上的动点，过点E 作平面EFG//平面BCD ，分别交AC 、AD 于点F 、G ，则四面体EFGB 的体积的最大值等于 V 。

集合及其运算基础热身1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )A．2个 B．4个 C．6个 D．8个2．设全集U＝{x∈N*|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)＝( )A．{1,4} B．{1,5} C．{2,4} D．{2,5}3．全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图K1－1中阴影部分表示图K1－1集合为( )A．{x|x<－1或x>2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x≤1}D．{x|0≤x≤1}4．设非空集合M、N满足：M＝{x|f(x)＝0}，N＝{x|g(x)＝0}，P＝{x|f(x)g(x)＝0}，则集合P恒满足的关系为( )A．P＝M∪N B．P⊆(M∪N)C．P≠∅ D．P＝∅能力提升5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝－a，a∈M}，则集合M∩N＝( )A．{0，－1} B．{0}C．{－1，－2} D．{0，－2}6．设A、B是两个集合，定义M*N＝{x|x∈M且x∉N}．若M＝{y|y＝log2(－x2－2x＋3)}，N＝{y|y＝x，x∈[0,9]}，则M*N＝( )A．(－∞，0] B．(－∞，0)C．[0,2] D．(－∞，0)∪(2,3]7．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁U B)的充要条件是( )A．m>－1且n<5 B．m<－1且n<5C．m>－1且n>5 D．m<－1且n>58．若集合P ＝{}0，1，2，Q ＝(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1>0，x －y －2<0，x ，y ∈P ，则Q 中元素的个数是( )A ．4B ．6C ．3D ．5图K1－29．设全集U ＝R ，集合A ＝{y |y ＝tan x ，x ∈B }，B ＝ |x －π4≤x ≤π4，则图中阴影部分表示的集合是________．10．已知x ∈R ，y >0，集合A ＝{x 2＋x ＋1，－x ，－x －1}，集合B ＝－y ，－y2，y ＋1，若A ＝B ，则x 2＋y 2的值为________．11．设集合A ＝⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m2≤x －22＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ， B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }, 若A ∩B ≠∅， 则实数m 的取值范围是________．12．(13分)已知集合A ＝x ⎪⎪⎪y ＝6x ＋1－1，集合B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋2x ＋m )}．(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．难点突破13．(12分)集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(3)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．答案解析【基础热身】1．B [解析] 因为M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，所以P ＝M∩N＝{1,3}， 所以集合P 的子集共有∅，{1}，{3}，{1,3}4个．2．C [解析] 由题知U ＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，故∁U (A∪B)＝{2,4}，故选C . 3．D [解析] 阴影部分表示的集合是A∩B.依题意知，A ＝{x|0≤x≤2}，B ＝{y|－1≤y≤1}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}，故选D .4．B [解析] 集合M 中的元素为方程f(x)＝0的根，集合N 中的元素为方程g(x)＝0的根．但有可能M 中的元素会使得g(x)＝0没有意义，同理N 中的元素也有可能会使得f(x)＝0没有意义．如：f(x)＝x －2，g(x)＝1－x ，f(x)·g(x)＝x －2·1－x ＝0解集为空集．这里容易错选A 或C .【能力提升】5．B [解析] ∵N＝{0，－1，－2}，∴M∩N＝{0}．故选B .6．B [解析] y ＝log 2(－x 2－2x ＋3)＝log 2[－(x ＋1)2＋4]∈(－∞，2]，N 中，∵x∈[0,9]，∴y＝x ∈[0,3]．结合定义得：M*N ＝(－∞，0)．7．A [解析] ∵P∈A，∴m>－1，又∁U B ＝{(x ，y)|x ＋y －n>0}，P∈∁U B ，∴n<5，故选A . 8．D [解析] Q ＝{(x ，y)|－1<x －y<2，x ，y∈P}，由P ＝{0,1,2}得x －y 的取值只可能是0和1.∴Q＝{(0,0)，(1,1)，(2,2)，(1,0)，(2,1)}，含有5个元素．9.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1 [解析] 图中阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A，因为A ＝[－1,1]，∁U B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，＋∞，所以(∁U B)∩A＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1.10．5 [解析] 由x ∈R ，y >0，则x 2＋x ＋1>0，－y <0，－y2<0，y ＋1>0，且－x －1<－x ，－y <－y2.因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1＝y ＋1，－x －1＝－y ，－x ＝－y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以A ＝{3，－1，－2}，B ＝{－2，－1,3}，符合条件，故x 2＋y 2＝12＋22＝5. 11.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2 [解析] 若m <0，则符合题意的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而由|2－2m －1|2≤|m |，解之得2－22≤m ≤2＋22，矛盾；若m ＝0，则代入后可知矛盾；若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，且大圆半径不小于12，即直径不小于1，集合B 表示一个带形区域，且两直线间距离为22， 从而当直线x ＋y ＝2m 与x ＋y ＝2m ＋1中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即可符合题意，从而有|2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解之得2－22≤m ≤2＋2，所以综上所述，实数m 的取值范围是12≤m ≤2＋ 2.12．[解答] (1)由6x ＋1－1≥0，解得－1<x ≤5，即A ＝{x |－1<x ≤5}， 当m ＝3时，由－x 2＋2x ＋3>0，解得－1<x <3，即B ＝{x |－1<x <3}，∴∁R B ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)由B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋2x ＋m )}，得－x 2＋2x ＋m >0，而由(1)知A ＝{x |－1<x ≤5}，且A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴B ＝{x |t <x <4，t ≤－1}，∴4，t 是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根．∴m ＝8.【难点突破】13．[解答] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A . 当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3， 综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又A ∩B ＝∅同时成立． 则①若B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2时满足条件． ②若B ≠∅，则要满足的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得m >4. 综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。

合情推理与演绎推理基础热身1．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是() A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b82．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是()A．P(2007)＝403B．P(2008)＝404C．P(2009)＝403D．P(2010)＝4043．已知命题：若数列{a n}为等差数列，且a m＝a，a n＝b(m≠n，m、n∈N*)，则a m＋n＝bn－amn－m；现已知等比数列{b n}(b n>0，n∈N*)，b m＝a，b n＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到b m＋n＝()A.m－n b ma n B.n－m b na mC.n－mb n a m D.n－mb m a n4．有下列推理：①A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P的轨迹为椭圆；②由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式；③由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是归纳推理的序号是________．(把所有你认为正确的序号都填上)能力提升5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面正三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝08．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( ) A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错 C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错9．把正整数按一定的规则排成了如图K67－1所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为( )12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24图K67－1A ．105B ．106C ．107D ．10810．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0. 将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．11．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②，②式可以用语言叙述为：________________.12．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 (n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k k ＋1 ＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1， 相加，得11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n n ＋1 n ＋2(n ∈N *)”，其结果为________．13．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图K67－2为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为____________(n ∈N *)．图K67－214．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K67－3为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <43.图K67－315．(13分)如图K67－4所示，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM ⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．图K67－4难点突破16．(12分)规定C mx ＝x · x －1 ·…· x －m ＋1 m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C m n (m ，n 是正整数，且m ≤n 的一种推广)．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －mn.②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1.是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整然)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由．(3)已知组合数C m n 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C mx ∈Z.答案解析【基础热身】1．A [解析] 在等差数列{a n }中，由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7，所以在等比数列{b n }中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7或b 4＋b 8<b 5＋b 7.∵b 4＝b 1q 3，b 5＝b 1q 4，b 7＝b 1q 6，b 8＝b 1q 7 ∴(b 4＋b 8)－(b 5＋b 7)＝(b 1q 3＋b 1q 7)－(b 1q 4＋b 1q 6) ＝b 1q 6·(q －1)－b 1q 3(q －1)＝(b 1q 6－b 1q 3)(q －1)＝b1q3(q3－1)(q－1)．∵q>1，b n>0，∴b4＋b8>b5＋b7.故选A.2．D[解析] 显然每5秒前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，∴P(2007)＝P(5×401＋2)＝401＋2＝403，P(2008)＝404，P(2009)＝403，P(2010)＝402，故选D.3．B[解析] 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的b na m，等差数列中的bn－amn－m可以类比等比数列中的n－m b na m.故b m＋n＝n－m b na m.4．①③④[解析] ①为演绎推理，②为归纳推理，③④为类比推理．【能力提升】5．C[解析] f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x＝f1(x)，f6(x)＝(cos x)′＝－sin x＝f2(x)，f n＋4(x)＝…＝…＝f n(x)，故可猜测f n(x)以4为周期，有f4n＋1(x)＝f1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cos x，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sin x，所以f2013(x)＝f503×4＋1(x)＝f1(x)＝cos x，故选C.6．A[解析] 两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提，∠A＋∠B＝180°——结论．故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理．故选A.7．A[解析] 类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0即x＋2y－z－2＝0.8．A[解析] y＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．9．C[解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.10．V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 [解析] 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．11.⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 12.n 2＋3n4 n ＋1 n ＋2[解析]∵1k k ＋1 k ＋2＝12⎣⎡⎦⎤1k k ＋1 －1 k ＋1 k ＋2 ，依次裂项，求和得n 2＋3n 4 n ＋1 n ＋2. 13．f (n )＝2n 2－2n ＋1 [解析] 由f (1)＝1，f (2)＝1＋3＋1，f (3)＝1＋3＋5＋3＋1，f (4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1，可得f (n )＝1＋3＋5＋…＋2n －1＋…＋3＋1，∴f (n )＝2× n －1 [1＋ 2n －3 ]2＋(2n －1)＝2n 2－2n ＋1.14．[解答] (1)f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1) ＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.(2)证明：当k ≥2时，1f k ＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13⎝⎛⎭⎫1k －1－1k .所以1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <1＋13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋13⎝⎛⎭⎫1－1n <1＋13＝43. 15．[解答] (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，PM ∩PN ＝P ， ∴BB 1⊥平面PMN ，∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－ 2S 平面BCC 1B 1S 平面ACC 1A 1cos α.其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角的大小． 证明：∵CC 1⊥平面PMN ， ∴上述的二面角的平面角为∠MNP .在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ， 由于S 平面BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S 平面ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S 平面ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，∴S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－2S 平面BCC 1B 1·S 平面ACC 1A 1·cos α.【难点突破】16．[解答] (1)根据新规定直接进行演算即可C5－15＝－15 －16 －17 －18 －195！＝－11628.(2)性质①不能推广．反例：当x ＝2，m ＝1时，C 12有意义，但C2－12无意义．性质②能推广，且推广形式不变：C m x ＋C m －1x ＝C m x ＋1(x ∈R ，m 是正整数)．证明如下：Cm x＋Cm －1x＝x x －1 x －2 … x －m ＋1m ！＋x x －1 x －2 … x －m ＋2m －1 ！＝x x －1 x －2 … x －m ＋2 m ！·(x ＋1)＝1m ！·(x ＋1)[(x ＋1)－1][(x ＋1)－2]…[(x ＋1)－m ＋1]＝C m x ＋1.(3)需要就x 与m 的大小做出逻辑划分并进行严密的论证． 当x ≥m 时，x ，m 都是正整数，C m n 就是组合数，结论显然成立；当0≤x <m 时，C m x＝x x －1 x －2 …0… x －m ＋1m ！＝0∈Z ，结论也成立； 当x <0时，C m x＝x x －1 x －2 … x －m ＋1m ！＝(－1)m 1m ！(－x ＋m －1)(－x ＋m －2)…(－x ＋1)(－x )＝(－1)m C m－x ＋m －1 ∵－x ＋m －1>0，∴C m －x ＋m －1是正整数，故C m x ＝(－1)m C m －x ＋m －1∈Z.综上所述，当x ∈Z ，m 是正整数时，C m x ∈Z.。

数学证明基础热身1．在用反证法证明命题“已知a 、b 、c ∈(0,2)，求证a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )不可能都大于1”时，反证时假设正确的是( )A ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都小于1B ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都大于1C ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都不大于1D ．以上都不对2．在△ABC 中，已知sin A ＋cos A ＝12，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．设a ，b ，c 均为正实数，那么a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．能力提升5．一个质点从A 出发依次沿图中线段到达B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 各点，最后又回到A (如图K68－1所示)，其中：AB ⊥BC ，AB ∥CD ∥EF ∥HG ∥IJ ，BC ∥DE ∥FG ∥HI ∥JA .欲知此质点所走路程，至少需要测量n 条线段的长度，则n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．56． 已知⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪48 610＋⎪⎪⎪⎪1216 1418＋…＋⎪⎪⎪⎪20042008 20062010＝( )A ．－2008B ．2008C ．2010D ．－20107．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 成等比数列，cos A 、cos B 、cos C 成等差数列，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M ，且3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪(9,25) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪[9,25) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53∪[9,25]9．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……则第________行的各数之和等于20092.11．如图K68－2所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N )个点，每个图形总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2010a 2011＝________.12．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为________．13．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n.若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．14．(10分)已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.15. (13分)试比较n n ＋1与(n ＋1)n(n ∈N *)的大小．当n ＝1时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜)当n ＝2时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜)当n ＝3时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜)当n ＝4时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜) 猜想一个一般性结论，并加以证明．难点突破16．(12分)数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝0，a n ＋1是函数f n (x )＝13x 3－12(3a n ＋n 2)x 2＋3n 2a n x 的极小值点，求通项a n .答案解析【基础热身】1．B [解析] “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.2．C [解析] 由sin A ＋cos A ＝12，得，(sin A ＋cos A )2＝1＋2sin A cos A ＝14，∴sin A cos A <0.∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，cos A <0，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.故选C. 3．D [解析] 因为a ＋1b＋b ＋1c＋c ＋1a≥6，故选D.4．x <y [解析] x 2－y 2＝a ＋b ＋2ab2－(a ＋b )＝－a ＋b －2ab2＝－a －b22.∵a ，b 是不相等的正数，∴a ≠b ，∴(a －b )2>0，∴－a －b22<0，∴x 2<y 2.又∵x >0，y >0，∴x <y .【能力提升】5．B [解析] 只需测量AB ，BC ，GH 这3条线段的长．6．A [解析] ∵⎪⎪⎪⎪48 610＝－8，⎪⎪⎪⎪1216 1418＝－8，…，⎪⎪⎪⎪20042008 20062010＝－8，区间[4,2010]中共有1004个偶数，若每四个偶数为一组，共有251组，∴⎪⎪⎪⎪48 610＋⎪⎪⎪⎪1216 1418＋…＋⎪⎪⎪⎪20042008 20062010＝(－8)＋(－8)＋…＋(－8251个＝－8×251＝－2008，故选A.7．A [解析] ∵cos A ，cos B ，cos C 成等差数列，∴2cos B ＝cos A ＋cos C ＝2cos A ＋C 2cos A －C2＝2sin B 2cos A －C 2，∴cos(A －C )＝2cos 2A －C 2－1＝2cos 2B sin2B 2－1.①∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∴sin 2B ＝sin A sinC ，∴2sin 2B ＝cos(A －C )＋cos B ，∴cos(A －C )＝2sin 2B －cos B ，② 将①代入②整理得：(2cos B －1)(cos B －3)(cos B ＋1)＝0.∵0<B <π，∴cos B ＝12，∴B ＝π3，∴cos(A －C )＝1，∵－π<A －C <π，∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形，故选A.8．B [解析] (1)当a ≠25时，⎩⎪⎨⎪⎧3∈M ，5∉M ⇒⎩⎪⎨⎪⎧3a －59－a <0，5a －525－a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >9或a <53，1≤a <25⇒a∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25)．(2)当a ＝25时，不等式为25x －5x 2－25<0，解之得M ＝(－∞，－5)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，5，则3∈M 且5∉M ， ∴a ＝25满足条件，综上可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25]． 9．C [解析] ①②正确；③中a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.选C.10．1005 [解析] 由题意归纳出第n 行的各数之和为(2n －1)2,2n －1＝2009，n ＝1005. 11.20092010[解析] a n ＝3(n －1)，a n a n ＋1＝9n (n －1)，裂项求和即可． 12．3＋2 2 [解析] 由题知直线经过圆心(2,1)，则有a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a＋2a b ≥3＋2 2.13.332 [解析] sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.14．[解答] 证明：假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c >164.①又(1－a )a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确． 15．[解答] < < > >结论：当n ≥3时，n n ＋1>(n ＋1)n (n ∈N *)恒成立．证明：①当n ＝3时，34＝81>64＝43成立；②假设当n ＝k (k ≥3)时成立，即k k ＋1>(k ＋1)k成立，即k k ＋1k ＋k>1，则当n ＝k ＋1时，∵k ＋k ＋2k ＋k ＋1＝(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋2k ＋1>(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1k ＋1＝k k ＋1k ＋k>1，∴(k ＋1)k ＋2>(k ＋2)k ＋1，即当n ＝k ＋1时也成立．∴当n ≥3时，n n ＋1>(n ＋1)n (n ∈N *)恒成立．【难点突破】16．[解答] 易知f ′n (x )＝x 2－(3a n ＋n 2)x ＋3n 2a n ＝(x －3a n )(x －n 2)，令f ′n (x )＝0，得x ＝3a n 或x ＝n 2，(1)若3a n <n 2，当x <3a n 时，f ′n (x )>0，f n (x )单调递增；当3a n <x <n 2时，f ′n (x )<0，f n (x )单调递减；当x >n 2时，f ′n (x )>0，f n (x )单调递增，故f n (x )在x ＝n 2时，取得极小值．(2)若3a n >n 2，仿(1)可得，f n (x )在x ＝3a n 时取得极小值．(3)若3a n ＝n 2，f ′n (x )≥0，f n (x )无极值．因a 1＝0，则3a 1<12，由(1)知，a 2＝12＝1.因3a 2＝3<22，由(1)知a 3＝22＝4，因3a 3＝12>32，由(2)知a 4＝3a 3＝3×4，因3a 4＝36>42，由(2)知a 5＝3a 4＝32×4，由此猜想：当n ≥3时，a n ＝4×3n －3.下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，3a n >n 2. 事实上，当n ＝3时，由前面的讨论知结论成立．假设当n ＝k (k ≥3)时，3a k >k 2成立，则由(2)知a k ＋1＝3a k >k 2，从而3a k ＋1－(k ＋1)2>3k 2－(k ＋1)2＝2k (k －2)＋2k －1>0，所以3a k ＋1>(k ＋1)2.故当n ≥3时，a n ＝4×3n －3，于是由(2)知，当n ≥3时，a n ＋1＝3a n ，而a 3＝4，因此a n ＝4×3n －3，综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，n ＝，4×3n －3n。

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2016届广东省惠州市高三第一次调研考试】将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（ )种。

A ．150B ．180C ．240D ．540 【答案】A 【解析】2．【2015届江西高安高三模拟三】将甲、乙等5名学生分配到三个不的班级，每个班级至少一人，且甲、乙在同一班级的分配方案共有（ ）A ．72种B ．36种C ．18种D ．12种【答案】B 【解析】试题分析：由题可知，有363324==A CN ，故选B 。

3．【2015届江西高安高三模拟二】 某宾馆安排A 、B 、C 、D 、E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人,且A 、B 不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种A ．24B ．48C ．96D ．114 【答案】D 【解析】试题分析:由题可知，5个人住三个房间，每个房间至少住一人，则有（3,1,1）和（2,2，1)两种，当为（3，1,1）时，有603335=⋅A C 种，A 、B 住同一房间有183313=⋅AC 种，故有421860=-种，当为(2,2，1）时,有9033222325=⋅⋅A A C C 种，A 、B 住同一房间有18222313=⋅⋅A C C种，故有721890=-种，根据分类计数原理共有1147242=+种；4．【2017届山东省实验高三第一次诊断数学（理）试卷】现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生,每个学生至少分得一本,问这样的分法有( ）种。

A ．36B ．9C ．18D ．15 【答案】B 【解析】5．学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学和生物6门不同的课程，若第一节不排语文且第六节排生物，则不同的排法共有（ ) A ．96种 B ． 120种 C ．216种 D ．240种 【答案】A【解析】因为生物课时固定的，语文不排在第一节,那么语文的排法有14A ，其它课任意排，不同的排法共有4414A A ⋅=96种．故选A ．6. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加南京青运会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A ．152B ．126C ．90D ．54 【答案】B【解析】根据题意，分情况讨论,①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：1333332118C A=⨯⨯⨯=种；②甲乙不同时参加一项工作,进而又分为2种小情况1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有222332323236A C A=⨯⨯⨯=种;2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：2112332272A C C A ⨯=⨯⨯种;由分类原理可得18+36+72＝126．7.【2017届四川绵阳高三上学期入学考试数学（理）试卷】8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有( ) A ．38C B ．3388C AC C ． 3282C C D ．383C【答案】C 【解析】试题分析:从8人中任选3人有38C 种，3人位置全调,由于不能是自己原来的位置，因此有22A 种，故有2238A C种．故选C ．8.【2017届山东潍坊高三上学期开学考试数学（理)试卷】甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为（ ）A.72种B.52种C.36种 D 。