高三数学查漏补缺专题训练：Vc变化率与导数

第16讲 变化率与导数、导数的计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()e ln 1axf x x =++，()04f '=，则a =( )A ．0B ．1C ．2D ．32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()389389389389f f f f ''++---=（ ） A ．2B ．2-C ．3D ．3-3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数求导运算正确的个数为（ ）①)(333log xxe '=；①)(21log ln 2x x '=；①)(x xe e '=；①1ln x x '⎛⎫=⎪ ⎭⎝；①)(1x x xe e '=+． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．310B ．±310 C ．35D ．±355．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．136．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）过点()1,2P 作曲线C ：4y x=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．280x y +-= B ．240x y +-=C ．240x y +-=D ．240x y +--=7．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()02323f f f f ''<<-<C ．()()()()03322f f f f ''<<-<D ．()()()()03232f f f f ''<-<<8．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（ ） A ．3-B ．3C ．5-D ．59．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,2eB ．(]0,eC ．[)2,e +∞D ．(],2e e10．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（ ） A ．(sin )cos x x '= B ．211()x x'=C ．31(log )3ln x x'=D ．1(ln )x x'=11．（多选）（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列曲线在x =0处的切线的倾斜角为钝角的是（ ）A ．曲线2sin y x x =-B ．曲线2sin y x x =-C ．曲线()2e xy x =-D ．曲线11e x y x -=+12．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数()()()()20e 01x f x f x f x '=+--，则函数()f x =___________.13．（2022·广东·模拟预测）已知2ln ()1xf x x=+，则曲线在(1,1)处的切线方程为________． 14．（2022·北京市第一六一中学模拟预测）写出一个同时具有下列性质①①①的函数f (x )=___________： ①1212()()()f x x f x f x =：①当()0,x ∞∈+时，()0f x '>； ①()f x '是偶函数．15．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 16．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．17．（2022·山东威海·三模）已知曲线212:e ,:2(0)x C y x C y x x a a =+=-++>，若有且只有一条直线同时与1C ，2C 都相切，则=a ________．18．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程.19．（2022·全国·高考真题（文））已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线． (1)若11x =-，求a ； (2)求a 的取值范围．【素养提升】1．（2022·湖北·模拟预测）若过点()(),0m n m <可作曲线3y x =-三条切线，则（ ） A ．30n m <<-B ．3n m >-C ．0n <D ．30n m <=-2．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e x f x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ） A ．25e e m -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <3．（多选）（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）已知函数()e xx f x =(e为自然对数的底数)，过点(,)a b 作曲线()f x 的切线.下列说法正确的是（ ）A ．当0a =时，若只能作两条切线，则24e b = B ．当0a =，24e b >时，则可作三条切线 C ．当02a <<时，可作三条切线，则24e e a a a b -<< D ．当2a =，0b >时，有且只有两条切线4．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））若曲线31:C y x =与曲线2:e (0)xC y a a =>存在2条公共切线，则a 的值是_________．5．（2022·河北邯郸·二模）已知点P 为曲线ln exy =上的动点，O 为坐标原点．当OP 最小时，直线OP 恰好与曲线ln y a x =相切，则实数a ＝___．。

（完整版）变化率与导数、导数的计算知识点与题型归纳1●⾼考明⽅向1.了解导数概念的实际背景．2.理解导数的⼏何意义．3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x 的导数． 4.能利⽤基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.★备考知考情由近⼏年⾼考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题⽬很少出现，主要是以导数运算为⼯具，考查导数的⼏何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、⽅程、斜率与倾斜⾓的关系，以平⾏或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014⼴东理科10、⽂科11. 2014⼴东理科10 曲线52-=+xy e在点()0,3处的切线⽅程为；2014⼴东⽂科11曲线53=-+xy e 在点()0,2-处的切线⽅程为；⼀、知识梳理《名师⼀号》P39知识点⼀导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0.(2)称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数.注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题1f′(x)与f′(x0)有什么区别？f′(x)是⼀个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值．例.《名师⼀号》P39 对点⾃测11.判⼀判(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)f′(x0)与[f(x0)]′表⽰的意义相同．()(3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．()答案(1)×(2)×(3)√23知识点⼆导数的运算公式及法则 1.基本初等函数的导数公式注意：（补充）常量函数的导数为零11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.nn x xx x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x ==则42.导数的运算法则注意：（补充）复合函数的导数(())y f u x =，'''(())()y f u x u x =g注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题3对函数求导时，其基本原则是什么？求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利⽤运算法则求导数．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于⽐较复杂的函数，如果直接套⽤求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进⾏合'221.(()())''()'()2.(()())''()()()'()()'()()()()'3.()()4.(())''()1'()5.[]'()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x cf x cf x g x g x g x ±=±?=?+-= ==-理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．, 称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'0000()()()lim lim→?→+?-===x xf x x f xyk f xx x切线5导数的⼏何意义函数在x=x0处的导数——曲线y=f(x)在点（x0,f(x0))处切线的斜率.导数的物理意义——瞬时速度例.周练13-1⼀个物体的运动⽅程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是⽶，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是() A．7⽶/秒B．5⽶/秒C．6⽶/秒D．4⽶/秒注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题2过点P的切线与在点P处的切线有什么区别？在点P处的切线，P是切点，⽽过点P的切线，P不⼀定是切点，后者包括前者．注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题2过点P的切线与在点P处的切线有什么区别？在点P处的切线，P是切点，⽽过点P的切线，P不⼀定是切点，后者包括前者．67⼆、例题分析： (⼀) 导数的计算例1.（补充）⽤导数定义求函数1()f x x=的导数。

2021年高考数学一轮总复习 2.11变化率与导数、导数的计算练习一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )] ＝3(x 2－a 2)．答案 C2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B.174C.154D.134解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案 D3．(xx·大纲全国卷)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析 ∵y ＝x ex －1，∴y ′＝ex －1＋x ex －1.∴k ＝y ′|x ＝1＝e 0＋e 0＝2，选C. 答案 C4．(xx·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x －e －x－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6 B.3π4 C.π4D.π6解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，所以α的最小值是3π4，故选B.答案 B5．(xx·重庆七校联盟联考)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．3D ．－2解析 由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8两边求导，得f ′(x )＝2f ′(2－x )×(－1)－2x ＋8.令x ＝1得 f ′(1)＝2f ′(1)×(－1)－2＋8⇒f ′(1)＝2，∴k ＝2.答案 A6．已知函数f (x )＝x 2的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 B ．(0，－4) C ．(2,3)D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－14 解析 由题，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，f ′(x )＝2x ，则过A ，B 两点的切线斜率k 1＝2x 1，k 2＝2x 2，又切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即x 1x 2＝－14.两条切线方程分别为l 1：y ＝2x 1x－x 21，l 2：y ＝2x 2x －x 22，联立得(x 1－x 2)[2x －(x 1＋x 2)]＝0，因为x 1≠x 2，所以x ＝x 1＋x 22，代入l 1，解得y ＝x 1x 2＝－14，故选D.答案 D 二、填空题7．若曲线y ＝32x 2＋x －12的某一切线与直线y ＝4x ＋3平行，则切线方程为________．解析 设切点为(x 0，y 0)，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 0＋1,3x 0＋1＝4⇒x 0＝1. 又y 0＝32x 20＋x 0－12＝2，则切点为(1,2)，故切线的方程为y －2＝4(x －1)⇒y ＝4x －2. 答案 y ＝4x －28．(xx·陕西五校联考)已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为________．解析 点(1,3)既在直线y ＝kx ＋1上，也在曲线y ＝x 3＋ax ＋b 上，代入解得k ＝2，a ＋b ＝2，又y ′|x ＝1＝2，∴3＋a ＝2，解得a ＝－1.∴b ＝3.答案 39．已知函数f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)的图象与直线x ＝1交于点P ，若函数f (x )的图象在点P处的切线与x 轴交点的横坐标为x n 则log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为________．解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，∴f ′(1)＝n ＋1. 又P (1,1)，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)． 令y ＝0，得x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1， ∴x 1x 2x 3…x 2 013＝12·23·34…2 0132 014＝12 014.∴log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013 ＝log 2 014x 1x 2x 3…x 2 013＝log 2 01412 014＝－1. 答案 －1 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程． 解 (1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20－3.又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)．故其斜率可表示为y 0－－2x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1.又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝－94. ∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值． (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0，f ′0＝－aa ＋2＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0.∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 培 优 演 练1．设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为k ，则函数k ＝g (t )的部分图象为( )解析 ∵f (x )＝x sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝x cos x ，∴k ＝g (t )＝t cos t .g (t )为奇函数且当0<t <π时，g (t )>0，故选B. 答案 B2．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析 由y ＝x 2(x >0)得，y ′＝2x ，所以函数y ＝x 2(x >0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y－a 2k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，所以a k ＋1＝a k 2，所以{a k }是首项为16，公比为12的等比数列，所以a 1＋a 3＋a 5＝16＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝21.答案 213．(xx·汉城国际学校调研)已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝mx 3＋nx 2，f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－m ＋n ＝2，f ′－1＝3m －2n ＝－3，∴m ＝1，n ＝3.∴f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)． 由f ′(x )<0，得－2<x <0. 由题意，得[t ，t ＋1]⊆[－2,0]．∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－2，t ＋1≤0，∴－2≤t ≤－1.答案 [－2，－1]4．(xx·北京卷)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1,2)，B (2,10)，C (0,2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)解 (1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎪⎫－22＝2， f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝－2，f (1)＝－1. 所以f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)． 则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)． 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)． 整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0. 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)， g (x )与g ′(x )的情况如下：所以g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(0)>0且g(1)<0，即－3<t<－1时，因为g(－1)＝t－7<0，g(2)＝t＋11>0，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．F31380 7A94 窔39332 99A4 馤<32357 7E65 繥22981 59C5 姅<l:u35760 8BB0 记n28785 7071 灱32634 7F7A 罺y。

2019-2020学年高考数学一轮复习《变化率与导数、导数计算》学案学习目标：（1）知道导数的几何意义，会求函数在某点处切线的方程（2）记住幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，能熟练地进行求导运算；学习过程：1．导数的几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线________.相应的切线方程为：______________________________2．八个求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n ∈Q) ，)(sin 'x ＝ ，)(cos 'x ＝ )('x e ＝ ， )('x a ＝)(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝3.导数的运算法则:如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=_________________，[]'()()f x g x •=______________________，'()()f x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦__________________________。

])(['x Cf ＝4．求下列各函数的导数：（1） y ＝e x ＋ax ， （2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）y ＝x sin x ＋cos x (4) f (x )＝ln x －2x ；(5) f (x )＝x e x . （6）f(x)=sinx(cosx+1)(7) 设a ＞0,函数f(x)=12++x b ax ,b 为常数.5．在曲线y=x 2+1上一点（1，2）的切线方程为 .6．曲线在y=53123+-x x 在x=1处的切线的方程为 . 7．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－28．设曲线y axe =在点（0，1）处的切线与直线x +2y+1=0垂直，则a= .9．已知曲线y=13x 3+43（1）求曲线在点P （2，4）处的切线的方程（2）求曲线过点P （2，4）的切线的方程达标检测： 1. 函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝2．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为3．曲线y x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x 2所围成的三角形的面积为_________。

高考数学变化率与导数导数的计算2021高考各科温习资料2021年高三开学曾经有一段时间了，高三的同窗们是不是曾经投入了紧张的高考一轮温习中，数学网高考频道从高三开学季末尾为大家系列预备了2021年高考温习，2021年高考一轮温习，2021年高考二轮温习，2021年高考三轮温习都将继续系统的为大家推出。

一、选择题1.函数f(x)=x+elnx的单调递增区间为()A.(0，+∞)B.(-∞ ，0)C.(-∞，0)和(0，+∞)D.R2.假定函数f(x)的导函数f′(x)=x2-4x+3，那么使得函数f(x+1)单调递减的一个充沛不用要条件为x∈()A.(0,1)B.[0,2]C.(1,3)D.(2,4)3.函数f(x)的导函数为f′(x)，假定(x+1)·f′(x)0，那么以下结论中正确的选项是()A.x=-1一定是函数f(x)的极大值点B.x=-1一定是函数f(x)的极小值点C.x=-1不是函数f(x)的极值点D.x=-1不一定是函数f (x)的极值点4.函数f(x)=4x+3sin x，x∈(-1,1)，假设f(1-a)+f(1-a2)0成立，那么实数a的取值范围为()A.(0,1)B.(1，)C.(-2，-)D.(-∞，-2)∪(1，+∞)5.假定函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1，k+1)内不是单调函数，那么实数k的取值范围是( )A.[1，+∞)B.[1，)C.[1,2)D.[，2)6.假定a0，b0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，那么ab的最大值等于() A.2 B.3C.6D.9。

变化率与导数练习题变化率与导数练习题数学中的变化率与导数是一个非常重要的概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来深入理解变化率与导数的概念，并探讨它们在实际问题中的应用。

问题一：某物体的速度随时间变化的函数为v(t)=3t²+2t-1，求物体在t=2时的速度。

解析：根据题意，我们需要求解函数v(t)在t=2时的值。

将t=2代入函数v(t)中，得到v(2)=3(2)²+2(2)-1=15。

因此，物体在t=2时的速度为15。

问题二：某车辆的加速度随时间变化的函数为a(t)=4t+2，求车辆在t=3时的加速度。

解析：根据题意，我们需要求解函数a(t)在t=3时的值。

将t=3代入函数a(t)中，得到a(3)=4(3)+2=14。

因此，车辆在t=3时的加速度为14。

问题三：某物体的位移随时间变化的函数为s(t)=2t³-3t²+4t，求物体在t=1时的位移。

解析：根据题意，我们需要求解函数s(t)在t=1时的值。

将t=1代入函数s(t)中，得到s(1)=2(1)³-3(1)²+4(1)=3。

因此，物体在t=1时的位移为3。

通过以上练习题，我们可以看到变化率与导数的概念在求解实际问题中的重要性。

变化率可以帮助我们描述物体在某一时刻的速度或加速度，而导数则可以帮助我们求解函数在某一点的斜率。

除了求解特定点的值之外，变化率与导数还可以帮助我们分析函数的整体特性。

例如，通过求解函数的导数，我们可以确定函数的增减性、极值点以及拐点等。

这些信息对于理解函数的行为和优化问题都非常重要。

在实际问题中，变化率与导数的应用也非常广泛。

例如，在经济学中，我们可以利用变化率与导数来分析市场供求关系、生产函数以及成本函数等。

在物理学中，变化率与导数则可以帮助我们研究物体的运动、力学性质以及电磁场等。

总之，变化率与导数是数学中的重要概念，它们不仅在理论研究中起到重要作用，也在实际问题中有着广泛的应用。

§1变化的快慢与变化率1.f(x)=3x在x从1变到3时的平均变化率等于()A.12B.24C.2D.-12解析:Δy=f(3)-f(1)=33-3=24,∴=12.故选A.答案:A2.已知函数y=,当x由2变为1.5时,函数的增量为()A.1B.2C.D.解析:Δy=.答案:C3.某物体的运动规律是s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是()A.B.C.D.解析:由平均速度的定义可知,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比,所以,故选A.答案:A4.如图,函数f(x)在A,B两点间的平均变化率是()A.1B.-1C.2D.-2解析:所求平均变化率等于=-1.答案:B5.已知函数f(x)=2x2+3的图像上一点(1,5)与邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则等于()A.4+2ΔxB.4+(2Δx)2C.4xD.4解析:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2+3-(2×12+3)=4Δx+2(Δx)2,∴=4+2Δx,故选A.答案:A6.导学号01844030函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为()A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.不确定解析:由定义可知k1=2x0+Δx,k2=2x0-Δx,因为Δx可正、可负但不可为0,所以k1与k2大小不确定.故选D.答案:D7.质点运动规律为s=gt2,则在时间区间(3,3+Δt)内的平均速度等于(g=10 m/s2).?解析:Δs=g×(3+Δt)2-g×32=×10×[6Δt+(Δt)2]=30Δt+5(Δt)2,=30+5Δt.答案:30+5Δt8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如下图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,则三者的大小关系为.?解析:由平均速度的定义结合图像知.答案:9.已知函数f(x)=x2+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率.解自变量x从1变到3时,函数f(x)的平均变化率为=5,自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为=4.10.导学号01844031一小球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位:m,时间单位:s).求小球在5到6 s间的平均速度和5到5.1 s间的平均速度,并与匀加速直线运动速度公式求得的t=5 s时的瞬时速度进行比较.解=36-25=11(m/s),=10.1(m/s).由于小球做匀加速直线运动,且初速度为0,故s=at2=t2,∴a=2(m/s2),5 s时的速度v=at=2×5=10(m/s).∴5到5.1 s间的平均速度更接近5 s时的瞬时速度.。

考点13 变化率与导数、导数的运算1．（江苏省南通市2019届高三四模）给出下列三个函数：①1y x=；②sin y x =；③e xy =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）． 【答案】① 【解析】 【分析】分别求得三个函数的导数，由导数的几何意义，解方程可得不满足题意的函数． 【详解】直线12y x b =+的斜率为k ＝12， 对于①1y x =，求导得：'21y x =-，对于任意x≠0，21x -＝12无解，所以，直线12y x b =+不能作为切线；对于②sin y x =，求导得：'1cos 2y x ==有解，可得满足题意；对于③xy e =，求导得：'12x y e ==有解，可得满足题意；故答案为：①．2．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知函数sin(),2,2()2223sin(),2,2()222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎡⎫+∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-+∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，其中1334x x x x <<<，则44(2)tan x x +=______.【答案】1- 【解析】函数的图象如下图所示：直线(2)(0)y m x m =+>过定点(2,0)-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos f x x =-，()sin f x x '=，由图象可知切点坐标为()44,cos x x -， 切线方程为：()444cos sin y x x x x +=-，又因为切线过点(2,0)-，则有()444cos sin 2x x x =--，即44(2)tan 1.x x +=-3．（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线与曲线相切于点，则的值为_____．【答案】 【解析】，切线的斜率为k ＝3，即=3，又切点同时在直线和曲线上，有：，所以＝4.故答案为4．4．（江苏省如皋市2019届高三教学质量调研三）已知，为曲线：上在轴两侧的点，过，分别作曲线的切线，则两条切线与轴围成的三角形面积的最小值为_______． 【答案】【解析】因为P ，Q 为曲线：上在轴两侧的点，设，，且，又因为曲线：在点的切线斜率为，所以曲线在P ，Q 两点处的切线分别为和，与x 轴交点分别为，，直线和的交点为，所求图形面积，即，令 ，假设时，才能取最小值，令，则，当，即时，，同理，当时，，所以当且时，最小，解得，，．5．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)2f =，则不等式()2xf x e <的解集为______. 【答案】(0,)+∞ 【解析】∵(2)y f x =+为偶函数，∴(2)y f x =+的图象关于0x =对称，∴()y f x =的图像关于2x =对称，∴(4)(0)f f =.又(4)2f =，∴(0)2f =.设()()()x e f x g x x R =∈，则()2'()()'()()'()x x x x f x e f x e f x f x g x e e --==. 又∵'()()f x f x <，∴'()()0f x f x -<，∴'()0g x <，∴()y g x =在R 上单调递减.∵()2xf x e <，∴()2x f x e <，即()2g x <.又∵0(0)(0)2f g e==，∴()(0)g x g <，∴0x >. 6．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）已知函数()(),0,1,0,xxe x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()1g x k x =+，若方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】11,2e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】当0x <时，()()1xf x x e '=+，当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，又当0x >时，()()1f x f x =-，所以根据周期为1可得0x >时()f x 的图像，故()f x 的图像如图所示：函数()()1g x k x =+的图像恒过()1,0-，因为()f x 与()g x 的图像有两个不同的交点， 故AB BC k k k <≤，又10,A e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故1AB k e =-，12AB k e=-， 所以112k e e -<≤-，填11,2e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 7．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）已知函数()1xf x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________.【答案】32ln 27【解析】作出函数()1xf x e =-图像如下：由题意，令,a b 为方程()f x m =的两个根，由图像易得01m <<； 由1xe m -=得1x e m =±，解得ln(1)x m =+或ln(1)x m =-， 因为a b <，所以ln(1)b m =+，ln(1)a m =-， 因此22ln(1)2ln(1)ln(1)(1)a b m m m m +=-++=-+， 令232()(1)(1)1g m m m m m m =-+=--++，01m <<， 则2()321(31)(1)g m m m m m '=--+=--+， 因为01m <<，所以由()0g m '>得103m <<；由()0g m '<得113m <<，即函数()g m 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；所以2max11132()1133327g m g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此2+a b 的最大值为32ln 27. 故答案为32ln27． 8．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______. 【答案】0a <或2a > 【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限，当0x >时，33(1)2,2()(1)2,02x a x x f x x a x x ⎧---=⎨-++<<⎩…，所以223(1),2()3(1),,02x a x f x x a x ⎧--=⎨-+<<⎩'…，①若1a -…时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解13x =<，所以()f x在⎛ ⎝上单调递减，在2⎫⎪⎪⎭上单调递增，又(2210f a ⎛=+=-> ⎝ 所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得x =2<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为21f ⎛= ⎝，令2102211f a a ⎛=<⇒>∴<< ⎝.211a ≥⇒≥时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得x =21113a <⇒≤<，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为(2)82f a =-，令8204a a -<⇒>，所以1113a ≤<；213a ≥⇒≥，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为2f =，显然20<，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >.9．已知函数()f x 对于任意实数x 都有()()f x f x -=，且当BC AP λ=时，()sin xf x e x =-，若实数a 满足(log 2)(1)a f f <，则a 的取值范围是________． 【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由题得，当x≥0时，()cos xf x e x '=-，因为x≥0，所以01,cos 0x xe e e x ≥=∴-≥， 所以函数在[0,+∞ )上单调递增， 因为()()f x f x -=，所以函数是偶函数，所以函数在,0)（-∞上单调递减， 因为()()2log 1f a f <，所以|2log a |＜1，所以-1＜2log a ＜1， 所以122a <<.故答案为：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．10．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）已知函数设，且函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】当x≤0时，f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使f(x)-g(x)过第三象限，所以f(-3)-g(-3)<0, 解之得k＜.当x＞0时，f(x)-g(x)=,因为，所以须使f(x)-g(x)过第四象限，必须综合得-9＜k＜.故答案为：．11．（江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考）已知函数的单调减区间为，则的值为____．【答案】e【解析】单调递减区间为且为方程的两根由韦达定理可知：当，即时，当，即时，，即此时，，即无解综上所述：本题正确结果：．12．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）已知函数()1ln f x x a x x=-+. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为3，求实数a 的值； （2）若函数在区间[]1,2上存在极小值，求实数a 的取值范围； （3）如果()0f x <的解集中只有一个整数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a =（2）522a -<<-（3）83,3ln 32ln 2a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由题意，22211()1a x ax f x x x x'++=++=， 由题意知，()13f =，所以23a +=，解得1a =.（2）令()0f x '=，所以210x ax ++=，所以2a x -±=（舍负），因为函数在[]1,2上存在极小值，所以122a -+<<，解之得522a -<<-， 经检验，当522a -<<-时，符合题意，所以522a -<<-.（3）①当240a -≤，即[2,2]a ∈-时，()0f x '≥恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数，(1)0f =.所以当01x <<时，()0f x <，所以当1x >时，()0f x >，所以()0f x <无整数解； ②当240a ->，即2a <-或2a >时，若2a >，则()0f x '>，同①可得()0f x <无整数解；若2a <-，()0f x '=即210x ax ++=在()0,∞+上有两个不同的解01,x x 且0101x x <<<， 当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()00,x 上为增函数； 当()01,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 在()01,x x 上为减函数；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,x +∞上为增函数，而()10f =，所以()0f x <在()0,1上无解，故()0f x <在()1,+∞上只有一个整数解，故(2)0(3)0f f <⎧⎨≥⎩，即12ln 20213ln 303a a ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩，解得833ln32ln 2a -≤<-， 综上，83,3ln 32ln 2a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.13．（江苏省镇江市2019届高三考前三模）已知函数()()xf x mx n e -=+（,m n R ∈，e 是自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为30x ey +-=，试确定函数()f x 的单调区间；（2）①当1n =-，m R ∈时，若对于任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立，求实数m 的最小值；②当1m n ==时，设函数()()()()xg x xf x tf x e t R -'=++∈，是否存在实数[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增；（2）①212e +；②存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭，使得命题成立【解析】（1）由题意()()()()2x xxx me mx n e mx m n f x e e -+-+-'==()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为：30x ey +-=()21f e ∴=，()11f e '=-，即：21m n e en ee +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得：1m =，1n =()1x x f x e +∴=，()xxf x e '=- 当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>()f x ∴在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增（2）①由1n =-，m R ∈，1x mx x e -≥，即：1xm e x≥+ 对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立等价于1xm e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立记()1xx e x ϕ=+，()21xx e xϕ'=- 设()21xh x e x =-()320xh x e x '∴=+>对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立 ()21x h x e x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增而1402h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()21204h e =->()21x x e x ϕ'∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点0x 当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()0,2x x ∈时，()0x ϕ'> ()x ϕ∴在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()02x ,上单调递增()x ϕ∴的最大值是12ϕ⎛⎫⎪⎝⎭和()2ϕ中的较大的一个()122m m ϕϕ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪≥⎩，即2212m m e ⎧≥⎪⎨≥+⎪⎩ 212m e ∴≥+， m ∴的最小值为212e +②假设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，则问题等价于()()()()minmax 2g x g x <()()211xx t x g x e +-+= ()()()1x x t x g x e ---'∴= ⑴当1t ≥时，()0g x '≤，则()g x 在[]0,1上单调递减()()210g g ∴<，即321t e -⋅<，得：312e t >-> 3,2e t ⎛⎫∴∈-+∞ ⎪⎝⎭（2）当0t ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[]0,1上单调递增()()201g g ∴<，即32te-<，得：320t e <-< (),32t e ∴∈-∞- （3）当01t <<时，当[)0,x t ∈时，()0g x '<；当(],1x t ∈时，()0g x '>，()g x ∴在[)0,t 上单调递减，在(],1t 上单调递增 ()()(){}2max 0,1g t g g ∴<，即132max 1,t t t e e +-⎧⎫⨯<⎨⎬⎩⎭……（*） 由（1）知()1tt f t e +=在[]0,1t ∈上单调递减，故142t t e e +⨯≥，而33t e e -< ∴不等式（*）无解综上所述，存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭，使得命题成立14．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）设函数()e ln ()xf x a x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数. （1）当0a <时，判断函数()f x 的单调性；（2）若直线y e =是函数()f x 的切线，求实数a 的值； （3）当0a >时，证明：()2ln f x a a a ≥-.【答案】（1）()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.（2）a e =（3）见证明 【解析】（1）函数()ln ()xf x e a x a R =-∈的定义域为(0,)+∞. 因为0a <，所以'()0xaf x e x=->， 所以()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.（2）设切点为()000,ln xx e a x -，则00ln xa e e x -=，因为'()xa f x e x=-，所以00x a e x -=，得00x a x e =， 所以0000ln x xe e x x e -=.设()ln x x g x e xe x =-，则'()(1)ln xg x x e x =--， 所以当01x <<时，'()0g x >，()g x 单调递增， 当1x >时，'()0g x <，()g x 单调递减， 所以max ()(1)==g x g e .因为方程0000ln x xe e x x e -=仅有一解01x =，所以a e =.（3）因为'()x xa xe af x e x x-=-=，设()(0)x h x xe a x =-≥，则'()(1)0xh x x e =+>，所以()h x 在[0,)+∞单调递增. 因为(0)0h a =-<，()()10aah a ae a a e =-=->， 所以存在00x a <<，使得()0000xe h x x a =-=.当00x x <<时，'()0h x <，'()0f x <，()f x 单调递减， 当0x x >时，'()0h x >，'()0f x >，()f x 单调递增， 所以()0min 00()ln xf x f x e a x ==-.因为000x e x a -=，所以0x ae x =，00ln ln x a x =-，所以()min00()ln lnxaf x e a x a a xx=-=--ln2lnaax a a a a ax=+-≥-.15．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知函数，设直线分别是曲线的两条不同的切线；（1）若函数为奇函数，且当时，有极小值为-4；（i）求的值；（ii）若直线亦与曲线相切，且三条不同的直线交于点，求实数m的取值范围；（2）若直线，直线与曲线切于点B且交曲线于点D，直线与曲线切于点C 且交曲线于点A，记点的横坐标分别为，求的值.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）是奇函数，且且，即而当时有极小值经检验满足题意，则设是曲线上的一点由知：，过点的切线方程为：消去即得：由此切线方程形式可知：过某一点的切线最多有三条；又由奇函数性质可知：点是极大值点从而是一条切线且过点再设另两条切线的切点为、，其中则可令切线，将代入的方程中化简可得：且从而有：且是方程的两根构造函数：由得：或而，，结合图象：可得：实数的取值范围是：（2）令，；由及可得：而，化简可得：，即将切线的方程代入中并化简得：，即；同理：则，，16．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）设函数在处的切线方程为，若函数是上的单调增函数，求的值；（3）是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由．【答案】（1）的极大值为；极小值为；（2）；（3）见解析【解析】（1）当时，函数的定义域为．则，令得，或．列表：所以函数的极大值为；极小值为．（2）依题意，切线方程为，从而，记，则在上为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立．变形得在上恒成立，因为（当且仅当时，等号成立），所以，从而，所以．（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，，不妨，则处切线的方程为：，处切线的方程为：．因为，为同一直线，所以即整理得，消去得，．令，由与，得，记，则，所以为上的单调减函数，所以．从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点．17．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）已知，.（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）当时，，，则. 又因为，所以函数图象在处的切线方程为，即.（2）因为所以，且.因为，所以.①当时，即，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增.当时，，所以满足条件.②当时，即时，由，得，当时，，则在上单调递减，所以时，，这与时，恒成立矛盾. 所以不满足条件.综上，的取值范围为.（3）①当时，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增，所以不存在极值，所以不满足条件.②当时，，所以函数的定义域为，由，得，列表如下：由于在是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以不满足条件.③当时，由，得.列表如下：此时仅存在极小值，不合题意，所以不满足条件.④当时，函数的定义域为，且，.列表如下：所以存在极大值和极小值，此时因为，所以，，，，所以，即，所以满足条件.综上，所以的取值范围为.18．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）已知函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）若对于任意的正数，恒成立，求实数的值；（3）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围．【答案】（1）切线方程为（2）（3）【解析】（1）因为，所以当时，，则，当时，，所以在处的切线方程为；（2）因为对于任意的正数，恒成立，所以当时，即时，，；当时，即时，恒成立，所以；当时，即时，恒成立，所以，综上可知，对于任意的正数，恒成立，．（3）因为函数存在两个极值点，所以存在两个不相等的零点．设，则．当时，，所以单调递增，至多一个零点．当时，因为时，，单调递减，时，，单调递增，所以时，．因为存在两个不相等的零点，所以，解得．因为，所以．因为，所以在上存在一个零点．因为，所以．又因为，设，则，因为，所以单调递减，所以，所以，所以在上存在一个零点．综上可知：．19．（江苏省如皋市2019届高三教学质量调研三）已知函数. （1）若函数在处的切线方程为，求实数，的值；（2）若函数在和两处取得极值，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1），由题意得：，即，即，所以，.（2）由题意知：有两个零点，，令，而.①当时，恒成立所以单调递减，此时至多1个零点（舍）.②当时，令，解得：，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为有两个零点，所以，解得：.因为，，且，而在上单调递减，所以在上有1个零点；又因为（易证），则且，而在上单调递增，所以在上有1个零点.综上：.（3）由题意得，，即. 所以，令，即，令，，令，而，所以在上单调递减，即，所以在上单调递减，即.因为，.令，而恒成立，所以在上单调递减，又，所以.20．（江苏省前黄高级中学、溧阳中学2018-2019学年上学期第二次阶段检测）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．设函数，．（1）若有两个极值点，且满足，求的值及的取值范围；（2）若在处的切线与的图象有且只有一个公共点，求的值；（3）若，且对满足“函数与的图象总有三个交点”的任意实数，都有成立，求满足的条件．【答案】（1），的取值范围为或；（2）；（3）应满足条件且. 【解析】（1）f′（x）＝3x2+2ax+b，由f（x）有两个极值点x1，x2，可得f′（x）＝0有两个不等（1）由，因函数有两个极值点，∴两个不等的实数根，∴=，即，又，∴，或.此时∴是极大值点，是极小值点，满足题意.（2）∵，∴在处的切线方程为，联立方程组，即，∴，整理得，解得或，∵切线与的图象只有一个公共点，∴，解得.（3）联立方程组，化简得，∴方程必有一根，∵函数与的图象总有三个交点，∴有两个不等实根，且三个交点满足，∴实数根满足，或，或，∵为满足与有三个交点的任意实数，令，则，解得，①当时，得，即有，此时，再令，则，解得，不满足与，故不符题意；②同理也不符题意；③当时，由，得，此时总满足，为此只需有两个不等的实根即可，∴，化简得， 综上所述，应满足条件且.21．已知函数2()1ln (1)()f x x x a x a R =----∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对(0,)x ∀∈+∞，()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）(,0]-∞【解析】（1）由题意知，()f x 的定义域为(0,)+∞，由()2()1ln 21f x x x a x x =----+2(21)(1)ln ax a x a x =-++-+-，得1'()2(21)f x ax a x =-++-22(21)1(21)(1)ax a x ax x x x-++--=-=-. ①当0a ≤时，令'()0f x >，可得1x >，'()0f x <，得01x <<，故函数()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)； ②当102a <<时，112a >，令'()0f x >，可得112x a <<，'()0f x <，得01x <<或12x a>，故()f x 的增区间为11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为(0,1)、1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； ③当12a =时，2(1)'()0x f x x-=-…，故函数()f x 的减区间为(0,)+∞；④当12a >时，1012a <<，令'()0f x >，可得112x a <<，'()0f x <，得102x a <<，或1x >，故()f x 的增区间为1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间为10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,)+∞. 综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数；当102a <<时，()f x 在(0,1)，1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数；当12a =时，()f x 在(0,)+∞为减函数；当12a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,)+∞上为减函数，在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数. （2）由（1）可知：①当0a ≤时，min ()(1)0f x f ==，此时()0f x ≥； ②当102a <<时，(1)0f =，当1,a x a +⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，有ln 0x >，1ax a >+，可得2()1(1)(1)(1)0f x x a x x a ax <---=-+-<，不符合题意；③当12a =时，(1)0f =，由函数()f x 的单调性可知，当(1,)x ∈+∞时()0f x <，不符合题意； ④当12a >时，(1)0f =，由函数()f x 的单调性可知，当1,12x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()0f x <，不符合题意. 综上可知，所求实数a 的取值范围为(,0]-∞.22．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）若函数()()f x g x +和()()f x g x ⋅同时在x t =处取得极小值，则称()f x 和()g x 为一对“()P t 函数”.（1）试判断()f x x =与2()g x x ax b =++是否是一对“(1)P 函数”；（2）若()xf x e =与2()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”.①求a 和t 的值；②当0a <时，若对于任意[1,)x ∈+∞，恒有()()()()f x g x m f x g x +<⋅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x x =与()2g x x ax b =++不是一对“P(1)函数”，详见解析（2）①121a e t ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或10a t =-⎧⎨=⎩.②11m e>+ 【解析】令12()()(),()()()h x f x g x h x f x g x =+=⋅.(1)则212()21,()32h x x a h x x ax b ''=++=++，因为()f x x =与2()g x x ax b =++是一对“P(1)函数”所以12(1)30(1)230h a h a b ''⎧=+=⎨=++=⎩，所以33a b =-⎧⎨=⎩.此时，因222()3633(1)0h x x x x '=-+=-…，2()h x 无极小值， 故()f x x =与()2g x x ax b =++不是一对“P(1)函数”.(2)①21()1x h x e x ax =+++，()22()1xh x e x ax =⋅++ ，1()2x h x e x a '=++，22()(2)1(1)(1)x x h x e x a x a e x x a '⎡⎤=⋅++++=⋅+++⎣⎦，若()xf x e =与2()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”，由2()(1)(1)0xh x e x x a '=⋅+++=，得121,1x x a =-=--，1.若0a >，则有因为()2h x 在x t =处取得极小值，所以1t =-，从而11(1)20h e a '--=-+=，12a e=-经验证知211()21x e h x e x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭在1x =-处取得极小值，所以121a e t ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，2.当0a<时，则有因为()2h x 在x t =处取得极小值，所以1t a =--； 从而11(1)20a h a e a '----=--=，令1()2,0a a ea a ϕ--=--<，()a ϕ在(,0)-∞是减函数，且(1)0ϕ-=，所以1a =-，从而10a t =-⎧⎨=⎩经验证知21()1xh x e x x =+-+在0x =处取得极小值，所以10a t =-⎧⎨=⎩3.当0a =时，22()(1)0x h x e x '=⋅+…，()2h x 是增函数，无极小值，与题设不符. 综上所述：121a e t ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或10a t =-⎧⎨=⎩. ②因为0a <，由①之结论知，2()e ,()1xf xg x x x ==-+，易见()0()0f x g x >>，，故不等式()()()()f x g x m f x g x +<⋅等价于：11()()m f x g x +<， 令11()()()H x f x g x =+，则max ()H x m <. 因为1x ≥，所以()H x 单调递减， 所以max 1()(1)1H x H e ==+，从而11m e>+. 23．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）设定义在R 上的函数()()xf x e ax a R =-∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在[)01,x ∈+∞，使得0()f x e a <-成立，求实数a 的取值范围；（3）定义:如果实数,,s t r 满足|s-r||t-r|≤， 那么称s 比t 更接近r .对于（2）中的a 及1x ≥，问:ex和1x e a -+哪个更接近ln x ？并说明理由.【答案】（1）()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，减区间为(,ln )a -∞；（2）(,)e +∞；（3）ex比1x e a -+更接近ln x .【解析】（1）()xf x e a '=-当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数； 当0a >时，由()0f x '>，得0x e a ->，即ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <.∴函数()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，减区间为(,ln )a -∞；（2）存在0[1,)x ∈+∞，使得()0f x e a <-成立，即min ()f x e a <-成立. 由（1）知，当0a ≤时，()f x 在[1,)+∞上为增函数，则min ()(1)f x f e a ==-， 不满足min ()f x e a <-成立,当0a >时，若ln 1a ≤，则()f x 在[1,)+∞上为增函数，则min ()(1)f x f e a ==-， 不满足min ()f x e a <-成立,若ln 1a >，即a e >，则()f x 在(1,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，min ()(ln )(1)f x f a f e a ∴=<=-.∴实数a 的取值范围是(,)e +∞； （3）令()ln ep x x x=-，1()ln (1)x q x e a x x -=+-≥ 21()0e p x x x'=--<，()p x 在[1,)+∞上单调递减， 故当1x e ≤≤时，()()0p x p e ≥=，当x e >时，()0p x <； 11()x q x e x -'=-，121()0x q x e x-''=+>，()q x '在[1,)+∞上单调递增， 故()(1)0q x q ''≥=，则()q x 在[1,)+∞上单调递增，()(1)10q x q a ≥=+>. ①当1x e ≤≤，令1()|()||()|()()x e n x p x q x p x q x ee a xx -=-=--==---. 12()0x e m x e x-'∴=-<，故()m x 在[]1,e 上单调递减， ()(1)10m x m e a ∴≤=--<，即|()||()|p x q x <，∴ex比1x e a -+更接近ln x ； ②当x e >时，令()|()||()|n x p x q x =- ()()p x q x =--12ln x ex e a x-=-+--，11223()0x e e n x e e x x e '--∴=+-<-<，故()n x 在[),e +∞上单调递减，()()0n x n e ∴≤<，即|()||()|p x q x <，∴ex比1x e a -+更接近ln x . 综上，当a e >及1x ≥时，ex比1x e a -+更接近ln x .24．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）某公司航拍宣传画报，为了凸显公司文化，选择如图所示的边长为2百米的正三角形ABC 空地进行布置拍摄场景，在BC 的中点D 处安装中央聚光灯，,E F 为边,AB AC 上得可以自由滑动的动点，其中,DE DF 设置为普通色彩灯带(灯带长度可以自由伸缩)，线段,AE AF 部分需要材料M (单位:百米)装饰用以增加拍摄效果因材料M 价格昂贵，所以公司要求采购M材料使用不造成浪费.（1）当45BDE ∠=︒，DF 与AC 垂直时，采购部需要采购多少百米材料M ？（2）为了增加拍摄动态效果需要，现要求点,E F 在,AB AC 边上滑动，且60EDF ∠=︒，则购买材料M 的范围是多少才能满足动态效果需要又不会造成浪费.【答案】（1）9(2（百米）； （2）3[,2]2（单位为百米）. 【解析】（1）三角形ABC 等边三角形，D 是BC 的中点，因此60B C ==∠∠,1BD DC ==,因为DF 与AC 重直，所以三角形CDF 是直角三角形，因此有cos CFC CD=, 所以11122CF =⨯=,因此32AF =，在BDE ∆中，由正弦定理可知： sin sin BE BDBDE BED=∠∠, 11BE ⨯⇒==，因此3AE =所以采购部需要采购材料M为393(22AE AF +==（百米）； （2）设,CF x BE y ==，当E 与A 重合时,由60ADF ∠=︒，可求得32AF =，所以1[,2]2x ∈，因为60EDF ∠=︒，所以120EDB FDC ∠+∠=,而120FDC CFD ∠+∠=, 所以EDB CFD ∠=∠,60B C ==∠∠，因此EBD ∆与DCF ∆相似， 所以有11BE CD xy y BD CF x =⇒=⇒=，设AE AF z +=，144z x y x x=--=--， '221(1)(1)1x x z x x -+=-+=-，当1[,1)2x ∈时，'0z >，函数14z x x=--单调递增，当(1,2]x ∈时，'0z <，函数14z x x=--单调递减，故当1x =时，z 有最大值2， 133(),(2)222z z ==，所以3[,2]2z ∈，购买材料M 的范围是3[,2]2（单位为百米）. 25．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试）已知函数f （x ）＝ax 2﹣bx+lnx ，（a ，b ∈R ）．（1）若a ＝1，b ＝3，求函数f （x ）的单调增区间；（2）若b ＝0时，不等式f （x ）≤0在[1，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝1，b ＞92时，记函数f （x ）的导函数f '（x ）的两个零点是x 1和x 2（x 1＜x 2），求证：f （x 1）﹣f （x 2）＞6316﹣3ln2．【答案】（1）f （x ）在（0，12），（1，+∞）递增；（2）a≤﹣12e；（3）见解析 【解析】（1）由题意得：x ＞0，a ＝1，b ＝3时，f （x ）＝x 2﹣3x+lnx ，1(21)(1)()23x x f x x x x '--=-+=，令f '（x ）＞0，解得：0＜x ＜12或x ＞1， 故f （x ）在（0，12），（1，+∞）递增；（2）b ＝0时，f （x ）＝ax 2+lnx ，不等式f （x ）≤0在[1，+∞）恒成立， 即a≤﹣2ln x x 在区间[1，+∞）恒成立，令h （x ）＝﹣2ln x x ，则32ln x 1h (x)x '-=，令h '（x ）＞0，解得：x h '（x ）＜0，解得：1＜x故f （x ）在（1h （x ）min ＝h 12e， 故a≤﹣12e； （3）a ＝1时，f （x ）＝x 2﹣bx+lnx ，221()x bx f x x'-+=，（x ＞0），由题意得x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程2x 2﹣bx+1＝0的两个根，记g （x ）＝2x 2﹣bx+1，则21291190,,02442g b g b b b⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>∴=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，g （2）＝9﹣2b ＜0， ∴x 1∈（1b ，14），x 2∈（2，+∞），且f （x ）在[x 1，x 2]递减， 故f （x 1）﹣f （x 2）＞f （14）﹣f （2）＝763416b -﹣3ln2， ∵b ＞92，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞796363312421616n ⨯--=﹣3ln2．26．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试）已知函数（），是自然对数的底数． （1）当时，求的单调增区间； （2）若对任意的，（），求的最大值；（3）若的极大值为，求不等式的解集．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）的定义域为．因为，令，因为，得，因为，所以的单调增区间是．（2）当时，，不合题意；当时，令，得或，所以在区间和上单调递减．因为，且在区间上单调递增，所以在处取极小值，即最小值为．若，，则，即．不妨设，则．设（），则．当时，；当时，，所以在上单调递增；在上单调递减，所以，即，所以的最大值为．（3）由（2）知，当时，无极大值，当时，在和上单调递增；在上单调递减，所以在处取极大值，所以，即．设，即，当，，所以；当，，由（2）知，，又，所以，且不恒为零，所以在上单调递增．不等式，即为，所以，即不等式的解集为．27．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试）南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到处，点落在牛皮纸上，沿，裁剪并展开，得到风筝面，如图1．（1）若点E恰好与点B重合，且点在BD上，如图2，求风筝面的面积；（2）当风筝面的面积为时，求点到AB距离的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）方法一：建立如图所示的直角坐标系．则，，直线的方程为．设（），因为点F到AB与BD的距离相等，所以，解得或（舍去）．所以△ABF的面积为，所以四边形的面积为．所以风筝面的面积为．方法二：设，则．在直角△ABD中，，所以，解得或（舍去）．所以．所以△ABF的面积为，所以四边形的面积为．所以风筝面的面积为．（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系.设，，，则直线的方程为，因为点A与关于直线对称，所以解得．因为四边形的面积为，所以，所以．因为，，所以．设，．，令，得或（舍去）．列表如下：当时，取得极小值，即最小值，所以的最大值为，所以点到AB距离的最大值为。

变化率与导数（ 1）一、选择题lim1. 设函数 y=f（x）可导，则△x→0f ( 1+ 3△x)- f (1)等于（）3△xA. B. C. 1 f ′ (1) D. 以上都不对32. y = 2x + 1在( 1,2)内的平均变化率为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 30 ）=2，则 lim ?x→0 f ( x0)- f ( x 0＋?x)3. 若 f' =（（x ? x ）A. - 1B. - 2C. - 1D. 12 24. 质点运动规律 s=t 2+3，则在时间（ 3，3+△t ）中，相应的平均速度是（）A. 6 +△ tB. 6 +△ t + 9△tC. 3 +△ tD. 9 +△ t5.已知函数 f （x） =2x2-4 的图象上一点（ 1，-2 ）及邻近一点（ 1+△x，-2+ △y），则△y 等于（）△xA. 4B. 4 △xC. 4 + 2 △xD. 4 + 2( △x) 26.下列式子中与f′(x0)相等的是()( 1) lim f ( x0)- f ( x0- 2Δx)2Δx ；Δx→0 ( 2) lim f ( x0+Δx)- f ( x0 - Δx)Δx；Δx→0( 3) lim f ( x0+ 2Δx)- f ( x0+Δx)ΔxΔx→0 ( 4) lim f ( x0+Δx)- f ( x0 - 2Δx)Δx．Δx→0A. (1)( 2)B. ( 1)( 3)C. (2)( 3)D. ( 1)( 2)( 3)( 4)7.函数 f （x）=x，g（x）=x2，h（x）=x3在[0 ， 1] 的平均变化率分别记为 m1，m2，m3，则下面结论正确的是（）A. m = m = mB.m > m > mC.m > m > m 123 123 213D. m< m2 < m318. 设函数f(x) 在x= 1处可导，则lim f ( 1+ Δx)- f ( 1) ? 等于Δx→0- 2Δx （）A. B. C. D.9.已知曲线f(x) = x -1x上一点A( 2,32) ,则lim?x→0 f ( 2+? x)- f ( 2) （）? x5 3A. 4B. 4C. 2D. 4f ( 3+ Δxf(3))-= （10. 已知f(x) = x1，则 lin ?Δx ）Δx→0A. - 91B. 3C. 91D. - 3二、填空题11.设函数f(x) 在x= 1处可导，且f′(1) = 2，则当无限趋近于 0 时，等于 _______．12.若某物体运动规律是 S=t3-6t 2+5（t ＞0），则在 t=______时的瞬时速度为 0．三、解答题已知某物体的位移 S（米）与时间 t （秒）的关系是 S（t ）=3t-t 2．（Ⅰ）求 t=0 秒到 t=2 秒的平均速度；（Ⅱ）求此物体在 t=2 秒的瞬时速度．。

高考数学复习考点知识讲解与专题练习变化率与导数、导数的计算考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数；6.会使用导数公式表.知识梳理1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，称它为f (x )的导函数(简称导数)，y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.[常用结论与微点提醒]1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2(f (x )≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义是相同的.( ) 解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(老教材选修2－2P19B2改编)已知函数f(x)＝xx＋2，则函数在x＝－1处的切线方程是()A.2x－y＋1＝0B.x－2y＋2＝0C.2x－y－1＝0D.x＋2y－2＝0解析由f(x)＝xx＋2，得f′(x)＝2（x＋2）2，又f(－1)＝－1，f′(－1)＝2.因此函数在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.答案 A3.(多填题)(老教材选修2－2P3问题2改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________ m/s，加速度a＝________ m/s2.解析v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.答案－9.8t＋6.5－9.84.(2019·全国Ⅱ卷)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为()A.x－y－π－1＝0B.2x－y－2π－1＝0C.2x＋y－2π＋1＝0D.x＋y－π＋1＝0解析设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴曲线在点(π，－1)处的切线斜率k ＝f ′(π)＝－2， 故切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0. 答案 C5.(2019·重庆一中月考)设f (x )＝ln(3－2x )＋cos 2x ，则f ′(0)＝________.解析 f ′(x )＝－23－2x－2sin 2x ，所以f ′(0)＝－23. 答案 －236.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________. 解析y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x . 答案y ＝3x考点一 导数的运算多维探究角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2＋x e x ；(2)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2；(3)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.解 (1)f ′(x )＝（2x ＋1）e x －（x 2＋x ）e x （e x ）2＝1＋x －x 2e x .(2)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2. ∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3.(3)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x . 角度2 抽象函数的导数【例1－2】 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________.解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94. ∴f (1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234.答案 －234规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.【训练1】 (1)(角度1)已知f (x )＝ln2x －12x ＋1，则f ′(x )＝________. (2)(角度2)(2020·雅礼中学月考)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( ) A.－e B.2 C.－2 D.e(3)(角度1)(2020·天津重点学校联考)已知函数f (x )＝(x 2－a )ln x ，f ′(x )是函数f (x )的导函数，若f ′(1)＝－2，则a ＝________. 解析 (1)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln 2x －12x ＋1′＝12x －12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －12x ＋1′ ＝2x ＋12x －1·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤（2x －1）′（2x ＋1）－（2x －1）（2x ＋1）′（2x ＋1）2＝44x 2－1. (2)由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2.(3)由f (x )＝(x 2－a )ln x ，得f ′(x )＝2x ln x ＋x 2－ax . ∴f ′(1)＝1－a ＝－2，解得a ＝3.答案 (1)44x 2－1(2)B (3)3 考点二 导数的几何意义【例2】 (1)(2020·安徽江南十校联考)曲线f (x )＝1－2ln xx在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为()A.x＋y－2＝0B.2x＋y－3＝0C.3x＋y＋2＝0D.3x＋y－4＝0(2)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.解析(1)因为f(x)＝1－2ln xx，所以f′(x)＝－3＋2ln xx2.又f(1)＝1，且f′(1)＝－3.故所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.(2)设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝1m(x－m).又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝1m(m＋e).再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).答案(1)D(2)(e，1)规律方法 1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x＝x0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点不知道，要设出切点，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.【训练2】 (1)(多填题)(2020·潍坊调研)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈R 都有f (1－x )－2f (x )＝x 2－1，则f (－1)＝________，曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为________. (2)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析(1)由题可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1－x ）－2f （x ）＝x 2－1，f （x ）－2f （1－x ）＝（1－x ）2－1，解得f (x )＝－x 2＋23x ＋23.所以f (－1)＝－1，f ′(x )＝－2x ＋23，所以f ′(－1)＝83，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y ＋1＝83(x ＋1)，即8x －3y ＋5＝0. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 20＝－1，解得x 20＝1， 又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1). 答案 (1)－1 8x －3y ＋5＝0 (2)(1，1)考点三 导数几何意义的应用【例3】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A.a ＝e ，b ＝－1B.a ＝e ，b ＝1C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－1(2)(2019·泉州质检)若曲线y ＝x 2与y ＝a ln x (a ≠0)存在公共切线，则实数a 的取值范围是( )A.(0，2e]B.(0，e]C.(－∞，0)∪(0，2e]D.(－∞，0)∪(0，e] 解析 (1)∵y ′＝a e x ＋ln x ＋1，∴k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)， 即y ＝(a e ＋1)x －1.又已知切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.(2)设切线在曲线y ＝x 2上的切点坐标为(x 0，x 20)， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，切线在y ＝a ln x 上的切点为(x 1，a ln x 1)， 该切线方程为y ＝ax 1x －a ＋a ln x 1由于两曲线有相同的公切线，因此a x 1＝2x 0，－x 20＝a ln x 1－a ， 消去x 0，得a ＝4x 21－4x 21ln x 1，设g (x )＝4x 2－4x 2ln x ，g ′(x )＝4x －8x ln x ，得到g (x )在(0，e 12)递增，在(e 12，＋∞)递减，故g (x )最大值为2e.又x →＋∞时，g (x )→－∞；当x →0时，g (x )→0.所以a 的取值范围为(－∞，0)∪(0，2e].答案 (1)D (2)C规律方法 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.【训练3】 (1)(2020·重庆调研)已知直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则实数m 的值为( )A.－1eB.－eC.1eD.e(2)(2020·淄博联考)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－6]B.(－∞，－6]∪[2，＋∞)C.[2，＋∞)D.(－∞，－6)∪(2，＋∞)解析 (1)设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1m ， 由y ＝x e x ，得y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x .若直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，y ′|x ＝n ＝e n ＋n e n ＝0，解得n ＝－1，因此1m ＝n e n ＝－1e ，故m ＝－e.(2)直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0.又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2.答案 (1)B (2)CA 级 基础巩固一、选择题1.(多选题)下列求导数的运算中正确的是( )A.(3x )′＝3x ln 3B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2 D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x 解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2，C 项错误，其余都正确. 答案 ABD2.(2020·唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则曲线f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( )A.6B.－2C.－6D.－8解析 f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x ).取x >0，得x 2－2x ＝－(－x 2＋ax )，则a ＝2.当x >0时，f ′(x )＝－2x ＋2.∴f ′(2)＝－2.答案 B3.函数y ＝e x ＋x ＋1在点(0，2)处的切线方程是( )A.y ＝－2x ＋2B.y ＝2x ＋2C.y ＝－x ＋2D.y ＝x ＋2解析 函数y ＝e x ＋x ＋1的导数为y ′＝e x ＋1，可得在点(0，2)处的切线的斜率为k ＝2，所求切线方程为y ＝2x ＋2.答案 B4.(2020·济南调研)若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2f ′(1)x ＋3，则( )A.f (0)<f (4)B.f (0)＝f (4)C.f (0)>f (4)D.以上都不对解析 函数f (x )的导数f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，故f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以f (0)＝f (4)＝3.答案 B5.(2020·安徽江南十校联考)若曲线y ＝a ln x ＋x 2(a >0)的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，则a ＝( ) A.124 B.38 C.34 D.32解析 因为y ＝a ln x ＋x 2(a >0，x >0)，所以y ′＝a x ＋2x ≥22a ，当且仅当x ＝2a 2时取等号.因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2， 则斜率k ≥3，因此3＝22a ，所以a ＝38.答案 B6.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A.a <f ′(2)<f ′(4)B.f ′(2)<a <f ′(4)C.f ′(4)<f ′(2)<aD.f ′(2)<f ′(4)<a解析 由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大.因为f （4）－f （2）4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4).答案 B7.(2020·东莞检测)已知直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝ln x 相切，则k ＝( )A.1e 2B.1eC.eD.e 2解析由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则⎩⎨⎧ln x 0＝kx 0＋1，k ＝1x 0，解得x 0＝e 2，则k ＝1x 0＝1e 2. 答案 A8.(2020·西安调研)已知函数f (x )＝e x ＋ax －1的图象与x 轴相切，则a ＝( )A.－1B.0C.12D.1解析 设切点坐标为T (m ，0)，由f ′(x )＝e x ＋a ，得f ′(m )＝e m ＋a ＝0，则a ＝－e m ，又f (m )＝e m ＋am －1＝0，∴e m －e m ·m －1＝0，则e m ＝11－m， 从而可得m ＝0，∴a ＝－e m ＝－1.答案 A二、填空题9.(2019·天津卷)曲线y ＝cos x －x 2在点(0，1)处的切线方程为________.解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12.所以切线方程为y －1＝－12x ，即x ＋2y －2＝0.答案 x ＋2y －2＝010.(2020·珠海六校联考)已知f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 解析 因为f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2π3， 所以f ′(x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2π3，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2 3.答案 2 311.(2019·江西八校联考)已知曲线y ＝1x ＋ln x a 在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________.解析 y ′＝－1x 2＋1ax ，当x ＝1时，y ′＝－1＋1a .由于切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，解得a ＝25. 答案 2512.已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________________.解析 由题意，知f (2)＝2×2－1＝3，∴g (2)＝4＋3＝7，∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，∴g ′(2)＝2×2＋2＝6，∴曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0. 答案 6x －y －5＝0B 级 能力提升13.(2020·兰州检测)若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A.－1B.1C.2D.e解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝1，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1.设y＝x＋1与y＝ln x＋b相切的切点为(m，m＋1).又y′＝1x ，则1m＝1，解得m＝1.所以切点坐标为(1，2)，则2＝b＋ln 1，得b＝2.答案 C14.给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数.若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.已知函数f(x)＝5x＋4sin x－cos x的“拐点”是M(x0，f(x0))，则点M()A.在直线y＝－5x上B.在直线y＝5x上C.在直线y＝－4x上D.在直线y＝4x上解析由题意，知f′(x)＝5＋4cos x＋sin x，f″(x)＝－4sin x＋cos x，由f″(x0)＝0，知4sin x0－cos x0＝0，所以f(x0)＝5x0，故点M(x0，f(x0))在直线y＝5x上.答案 B15.(2020·衡水中学调研)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有f′(x)＝e x(2x －2)＋f(x)(e是自然对数的底数)，f(0)＝1，则f(x)＝________.解析由f′(x)＝e x(2x－2)＋f(x).得f ′（x ）－f （x ）e x ＝2x －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）e x ′＝2x －2. ∴f （x ）e x ＝x 2－2x ＋c (c 为常数)，所以f (x )＝(x 2－2x ＋c )e x .又f (0)＝c ＝1，故f (x )＝e x (x －1)2.答案 e x (x －1)216.(2020·山东省实验中学调研)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是________.解析 设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x |x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1. ∴x 0＝1，y 0＝1，则P (1，1)，则曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离d ＝|1－1－2|12＋（－1）2＝ 2.答案 2C 级 创新猜想17.(多选题)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( )A.f (x )＝x 2B.f (x )＝e －xC.f (x )＝ln xD.f (x )＝tan x解析 若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′ (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求.故选AC.答案 AC18.(多填题)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，F (x )＝f ′（x ）e x ，若F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，则b ＝________，函数f (x )的最小值是________.解析 ∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴F (x )＝2x ＋b e x ，∴F ′(x )＝2－2x －b e x. 又F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧F ′（0）＝2－b e 0＝－2，F （0）＝b ＝c ，解之得b ＝c ＝4. 故f (x )＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0，则f (x )min ＝0.答案 4 0。

变化率与导数一、选择题1. 函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件2. 已知点P(1,2)是曲线y=2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．21 3. 在曲线y=-x 2上去一点A 的横坐标为-6，在A 处的横坐标的增量∆x 为（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不确定4. 在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量∆x （ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不等于零5. 已知函数y=3x-x 2在x=2处的增量为∆x=0.1,则∆y 为（ ） A ．-0.11 B ．1.1 C ．3.80 D ．0.29 6. 若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim000--→等于（ ）A ．－1B ．－2C ．－1D ．217. 已知曲线y=x 2+1在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标为（ ） A ．（1，3） B ．（-4，33） C ．（-1，3） D ．不确定8. （全国卷Ⅰ文）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为A ．B ．C ．D ．9. （宁夏、 海南卷理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ．10. 若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim000--→等于（ ）A ．－1B ．－2C ．－21 D ．21 11. 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0∈（a ，b ）则hh x f h x f h )()(000l i m--+→ 的值为（ ）A 、)(0x f 'B 、)(20x f 'C 、)(20x f '-D 、012. 已知曲线32114732y x x x =++-在点Q 处的切线的倾斜角α满足216sin 17α=，则此切线的方程为（ ）Ａ．470x y -+=或54606x y --= Ｂ． 54606x y --=Ｃ．470x y --=或54606x y --= Ｄ．470x y --=二、填空题13. y=-x 3-x 在（4，1）处的导数为 。

课时分层训练(十三) 变化率与导数、计算导数A 组 基础达标一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)C [∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．]2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－eB ．－1C ．1D ．eB [由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.]3．曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－3x －1A [由题意得y ′＝(x ＋1)e x＋2，则曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e 0＋2＝3，故曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.]4．(·南宁、钦州第二次适应性考试)若直线y ＝kx ＋1是函数f (x )＝ln x 图像的一条切线，则k ＝( )【导学号：79140073】A.1e 2 B.1e C ．eD ．e 2A [由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x .设切点为(x 0，ln x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＝kx 0＋1，k ＝1x 0，解得x 0＝e 2，则k ＝1x 0＝1e2，故选A.]5．已知y ＝f (x )是可导函数，如图2­10­1，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )图2­10­1A ．－1B ．0C ．2D ．4B [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]二、填空题6．(·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.1－ln 2 [分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b 的值． 求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)， 则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1， 所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2.]7．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.【导学号：79140074】1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.]8．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.8 [∵y ＝a ln x ，∴y ′＝ax，∴在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0，故切点为(1,0)， ∴切线方程为y ＝a (x －1)．令y ＝0，得：x ＝1；令x ＝0，y ＝－a . ∴三角形面积S ＝12×a ×1＝4，∴a ＝8.] 三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln(2x ＋1)x.[解] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln(2x ＋1)x ′＝[ln(2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln(2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln(2x ＋1)x2＝2x －(2x ＋1)ln(2x ＋1)(2x ＋1)x2. 10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5.∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.B 组 能力提升11．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2D [易知曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线斜率存在，设其为k .∵y ′＝12e 12x ，∴k ＝12e 12×4＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.]12．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4D ．－2D [∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，解得m ＝－2.]13．设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．(1,1) [∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x， ∴曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0＞0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x(x ＞0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20.易知k 1k 2＝－1，即1·⎝⎛⎭⎪⎫－1x20＝－1，解得x 20＝1，又x 0＞0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y＝1x(x ＞0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1,1)．]14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.【导学号：79140075】[解] (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。

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考点13 变化率与导数、导数的运算1．设曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得,则实数的取值范围（ )A． B． C． D．【答案】D2．已知函数在点处的切线为，动点在直线上,则的最小值是( ）A． 4 B． 2 C． D．【答案】D【解析】由题得所以切线方程为即，故选D。

3．函数,则在其图像上的点处的切线的斜率为A． B． C． D．【答案】D【解析】把点的坐标（1，-2）代入函数的解析式得—2=1+2a—3,所以a=0,所以f（x）=，所以，所以切线的斜率为—2.故答案为：D。

4．将函数f（x）＝ln（x＋1）(x≥0）的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α]），得到曲线C,若对于每一个旋转角θ,曲线C都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为（）A．π B． C． D．【答案】D5．曲线在处的切线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，则倾斜角为故选。

6．已知函数是定义在区间上的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在点处的切线的斜率为，则的值为（）A． 4 B． 6 C． 8 D． 10【答案】A7．已知函数的导函数为，且满足（其中为自然对数的底数），则（）A． B． C． -1 D． 1【答案】B【解析】根据题意,f（x）=2xf’（e）+lnx,其导数，令x=e，可得,变形可得故选：B．8．已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数从小到大排成数列，，则数列的通项公式是( ）A． B． C． D．【答案】C9．已知函数，则的值为( )A． B． 0 C． D．【答案】D【解析】由题意,化简得，而,所以,得，故，所以，,所以，故选D。