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第七章 平行线的证明7. 5 三角形的内角和定理第 2 课时本节是北师大版教材八年级上册第七章《平行线的证明》第五节的内容.通过上一节课的学习，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力.本节课旨在利用平行线的相关知识来证明三角形的内角和定理以及灵活运用这个定理解决相关问题，使学生突破原有的形象思维限制，引入几何证明中的重要方法——添加辅助线法，从而为下一节三角形外角的学习作好铺垫，同时也为以后继续学习几何证明打下良好的基础.因此，本节课的内容在教材编排上起着承上启下的重要作用.1.掌握三角形外角的两条性质；进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．2.经历探索与证明的过程，培养学生探索、归纳的能力，一题多解的能力、转化知识并解决问题的能力，发展学生的推理能力.3.通过在数学活动中进行教学使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣.【教学重点】1. 了解并掌握三角形的外角的定义；(重点)2．掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算．(难点)【教学难点】掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算．(难点)教师准备课件，学生预习课本内容.一、复习回顾活动内容：三角形内角和定理：三角形三个内角和等于1800，△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°♦∠A+∠B+∠C=180°的几种变形:♦∠A=180°–(∠B+∠C)♦∠B=180°–(∠A+∠C)♦∠C=180°–(∠A+∠B)♦∠A+∠B=180°–∠C♦∠B+∠C=180°–∠A♦∠A+∠C=180°–∠B这里的结论,以后可以直接运用.在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．活动目的：引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣.注意事项：教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考.二、合作交流，探究新知活动内容：1. 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上.(2)一条边是三角形的一边.(3)另一条边是三角形某条边的延长线.2．两个推论及其应用由学生探讨三角形外角的性质：问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？由学生归纳得出：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三、运用新知活动内容：1. 已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC分析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠B=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAC=∠C（等量代换）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC∴∠DAC=∠C（等量代换）∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）例2 已知: 如图,P是△ABC内一点,链接PB，PC .求证: ∠BPC＞∠A.例3已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1>∠2．证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1>∠2（不等式的性质）四、巩固新知1. 已知：如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°求：∠B和∠ACB的大小.2. 如图，求证：（1）∠BDC>∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD 的一个外角.∴∠1>∠3∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）即：∠BDC>∠BAC（2）连结AD，并延长AD，如图.则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.则∠BDC是△CDE的一个外角.∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BDC>∠A（不等式的性质）（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠DEC是△ABE的一个外角∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）变式1 如果点 D 在线段BC 的另一侧,结论会怎样呢?变式2 如图：在△ABC中，P是∠B、∠C角平分线的交点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？（两内角角平分线）变式3 如图：在△ABC中，P是∠B、∠C外角的角平分线的交点，∠BPC与∠A 有怎样的大小关系？（两外角角平分线）变式4 如图：在△ABC中，P是∠B的角平分线和∠C外角的角平分线的交点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？（一内角角平分线和一外角角平分线）活动目的：让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．注意事项：学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2.3. 我们知道：“在三角形的每个顶点处各取一个外角，它们的和就是这个三角形的外角和”.（1）三角形的外角和是多少度？（2）如果将三角形三条边都向两边延长，并且在每条线上任取两点连接起来，那么在原三角形外又得到三个新三角形，如图所示，猜想：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少？请用（1）的结论证明你的猜想.4. 已知：国旗上的正五角星形如图所示.求：∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数.五、归纳小结三角形内角和定理 ：三角形三个内角的和等于1800推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角推论3：直角三角形的两锐角互余三角形外角和定理：三角形的外角和为360°三角形外角和定理推论：N 边形的外角和为360°略.。
第七章平行线的证明5三角形内角和定理第2课时三角形的外角教学目标1.掌握三角形外角的两条性质.2.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题.3.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．教学重难点重点：掌握三角形外角的两条性质.难点：灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题.教学过程导入新课在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．探究新知三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.结合图形指明外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上．(2)一条边是三角形的一边．(3)另一条边是三角形某条边的延长线．问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？归纳得出：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．例1 已知，如图，在三角形ABC 中，AD 平分外角∠EAC ，∠B =∠C ．求证：AD ∥BC.【证明】∵ ∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B =∠C （已知），∴ ∠B =21∠EAC （等式的性质）. ∵ AD 平分∠EAC （已知），∴∠DAE =21∠EAC （角平分线的定义）， ∴∠DAE =∠B （等量代换），∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）.想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.【证明】∵ ∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B =∠C （已知），∴ ∠C =21∠EAC （等式的性质）. ∵ AD 平分∠EAC （已知）， ∴∠DAC =21∠EAC （角平分线的定义）， ∴∠DAC =∠C （等量代换），∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）.还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.【证明】∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B =∠C （已知），∴∠C =21∠EAC （等式的性质）. ∵AD 平分∠EAC （已知）， ∴∠DAC =21∠EAC ， ∴∠DAC =∠C （等量代换）.∵∠B +∠BAC +∠C =180°，∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°，即∠B+∠DAB=180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.例2已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1>∠2．【证明】∵∠1是△ABC的一个外角（已知），∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知），∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），∴∠1>∠2（不等式的性质）.学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明例2中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2.课堂练习1.如图所示，直线BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠B＝30°，∠A＝45°，则∠E的大小为（）A.60°B.75°C.90°D.105°2.点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A 的大小关系是（）A.∠A＞∠1＞∠2B.∠A＞∠2＞∠1C.∠2＞∠1＞∠AD.∠1＞∠2＞∠A3.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.4.根据图中已知角的度数，求∠α的度数.图a中的∠α=_______，图b中的∠α=_______，图c中的∠α=_______。
