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2010年12月 陕西理工学院学报(自然科学版)D ec .2010第26卷第4期 Journal o f Shaanx i U nivers it y of T echno logy (N atura l Sc ience Edition)V o.l 26 N o .4[文章编号]1673-2944(2010)04-0052-06带电粒子在均匀磁场中运动的W i gner 函数王 强1, 剡江峰2(1.陕西理工学院计算机系, 陕西汉中723001;2.陕西理工学院物理系, 陕西汉中723001)[摘 要] 研究W i g ner 函数具有十分重要的物理意义,因为它是密度矩阵的特殊表示形式,并且是相空间中的一个准概率分布函数。
本文首先回顾了W igner 函数的计算方法及其性质;然后通过求解星本征方程(M oyal 方程)得到了均匀磁场中二维带电粒子的W i g ner 函数。
[关 键 词] 带电粒子; W i g ner 函数; M oya l-W eyl 乘法; 均匀磁场[中图分类号] O413.1 [文献标识码] A收稿日期:2010 04 03基金项目:陕西省科学研究计划项目(2009K 1 54);超晶格国家重点实验室研究项目(C H J G200902)。
作者简介:王强(1977 ),男,陕西省勉县人,陕西理工学院讲师,主要研究方向为电磁场量子理论、计算机科学技术。
W i g ner 函数的提出是在20世纪30年代,但是之后并没有引起人们很大的关注。
直到1975年,M oya l 才发现了一种新的量子化方法[1]。
因为W i g ner 函数在描述核物理、量子光学以及量子信息的传递和控制中具有十分重要的作用[2]。
更值得一提的是它和已有的量子化方法(Schr dinger 、H e isenberg 算符正则化,Feynm an 路径积分量子化)是等价的,它的基本方程是M oyal 星乘本征值方程。
叠加相干态的Wigner函数及其边缘分布
江俊勤
【期刊名称】《广东第二师范学院学报》
【年(卷),期】2009(029)005
【摘要】构造了叠加相干态|αθ＞=C(|α＞+eθ|-α＞),研究了θ和α对该量子态Wigner函数及其边缘分布的影响.结果表明:Wigner函数及其边缘分布明显受到θ和α的调节.
【总页数】4页(P59-62)
【作者】江俊勤
【作者单位】广东教育学院,物理系,广东,广州,510303
【正文语种】中文
【中图分类】O431.2
【相关文献】
1.由奇偶相干态组成的两种四态叠加多模叠加态光场的等阶N次方Y压缩 [J], 李英;陈永庄;刘宝盈;许定国;杨志勇
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3.多光子催化叠加相干态及其Wigner函数 [J], 李恒梅;肖进;袁洪春;王震
4.叠加激发相干态的Wigner函数 [J], 江俊勤
5.任意两个相干态的叠加态的相位分布和Wigner函数(英文) [J], 张爱萍;史毅敏;魏诺
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Wigner超多重态的解析解
任中洲
【期刊名称】《《数学物理学报：A辑》》
【年(卷),期】1992(012)001
【摘要】考虑一个单l能级自旋。
同位旋无关的成对力模型,当先辈数为零时,它对应于Winger超多重态对称性,借助子Dyson玻色子表示,我们求得了对应于Wigner超多重态对称性的解析解。
【总页数】6页(P35-40)
【作者】任中洲
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O572
【相关文献】
1.双模压缩真空态光场作用下耦合双原子的Wigner－Yanase偏态信息 [J], 李敏
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4.任意两个相干态的叠加态的相位分布和Wigner函数(英文) [J], 张爱萍;史毅敏;魏诺
5.引入Wigner函数,Weyl对应和Wigner算符相干态表象的新途径 [J], 徐兴磊;李洪奇;范洪义
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湮灭算符任意次幂本征态的Wigner函数
蓝海江;韦联福
【期刊名称】《西南交通大学学报》
【年(卷),期】2009(044)006
【摘要】用在Fock态表象下的Wigner函数重构了湮灭算符任意次幂本征态的Wigner函数.分析了这些函数在相空间中的分布规律,并据此讨论了湮灭算符任意次幂的本征态的非经典特性.结果表明,Wigner函数的分布与湮灭算符本征值的大小有关;湮灭算符1次幂的本征态(即相干态)为准经典态(其Wigner函数的取值总是非负的),而其高次幂的本征态则具有明显的非经典特性(其Wigner函数均出现了负值).
【总页数】6页(P940-945)
【作者】蓝海江;韦联福
【作者单位】柳州师范高等专科学校物理与信息科学系,广西,柳州,545003;西南交通大学量子光电信息实验室,四川成都,610031;西南交通大学量子光电信息实验室,四川成都,610031
【正文语种】中文
【中图分类】O431.2
【相关文献】
1.非简谐谐振子湮灭算符四次幂的本征态和性质 [J], 谢鸿伟;钱妍
2.非简谐振子湮灭算符三次幂的本征态及其性质 [J], 刘友文;陈昌远
3.湮没算符高次幂本征态的Wigner函数 [J], 李珏璇;蓝海江
4.非简谐振子湮灭算符高次幂b^N—本征态的量子统计性质 [J], 刘友文;陈昌远
5.湮没算符k次幂本征态的Wigner函数及其非经典特性 [J], 蓝海江;韦联福因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第六章 Wigner 算符与Husimi 算符的纯态密度矩阵形式在量子力学的相空间描述中，Wigner 分布函数是最常用的一类，因为一个量子态的Wigner 函数的两个边缘分布正好对应着在坐标和动量空间中测量粒子的概率密度，但是Wigner 函数本身并不总是正定的,故不能作为一个概率分布函数 (通常称之为准概率分布函数)。
在Wigner 函数定义的基础上Husimi 引入了一个新的分布函数——Husimi 函数，克服了Wigner 函数不总是正定的缺点，因而可作为一个新的概率分布函数； Husimi 分布函数的边缘分布有其自身的特点，特别适合于研究复杂体系的量子态。
但是对于Husimi 函数以前还没有人定义过与之对应的Husimi 算符, 本章中我们将引入它, 并发现它是一个纯压缩相干态密度矩阵, 利用IWOP 技术我们很容易导出其正规乘积形式，这就为求各种量子态的Husimi 函数提供了简洁明确的方法，这是量子统计一个新进展。
§ 6.1 从Wigner 算符到Husimi 算符：纯压缩相干态的密度矩阵[1]由于在量子力学中不能同时精确地测量粒子的坐标和动量，Wigner [2]曾提出描写粒子或系综的相空间函数理论。
在第一章中，我们曾看到位置与动量纯态密度矩阵分别为()2::q Q q q e--=， ()2::p P p p e--=， （6.1.1）把二者以如下方式合并写为()()()221::,q Q p P e q p π----≡∆， （6.1.2）而以往的文献中把(),q p ∆写在坐标表象中为(),2ipu duq p q u q u e π∞-∞∆=+-⎰。
（6.1.3） 从（6.1.2）式可见()()22,::q Q dp q p e q q q ψψψψψψ∞---∞∆===⎰, （6.1.4）()()22,::p P dq q p e p ψψψψ∞---∞∆==⎰. （6.1.5）它们分别代表在坐标和动量空间测到的概率密度，这正符合Wigner 当初引入相空间分布函数的动机，所以(),q p ψψ∆就是ψ态的Wigner 函数。
wigner函数的性质及其在一维无限深势阱和一维谐振子中的应用Wigner函数是由美国物理学家Eugene Wigner提出的，它是物理量学的一种重要的理论工具，是用来描述量子态的双变量系统的分布函数。
它可以记录系统的状态，反映系统运动的特性，也可以用来研究系统的量子相干性。
Wigner函数的特征是具有完整的对称性。
它是一个对称的函数，可以看作是把量子的表示和叠加分解的不同组合，如经典动量、位置和能量三种叠加状态的叠加。
Wigner函数在一维无限深势阱中具有显著的应用，其定义为：\begin{equation}W(x,p)=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}(x-y)\Psi(x+y)e^{-2ipy}dy \end{equation}在一维谐振子中，两个Wigner函数可以用来描述谐振子在位置和动能分量之间的变换。
它们被定义为：\begin{equation}W_{1}(x,p)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{*}(x-y)\psi(x+y)e^{-2ipy}dy\end{equation}\begin{equation}W_{2}(x,p)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x-y)\psi(x+y)e^{-2ipy}dy\end{equation}上述两个Wigner函数可以用来计算一维谐振子的相关函数，从而得出一维谐振子的Wigner分布图。
众所周知，一维谐振子的运动具有激光特性，也就是说，它的Wigner分布是一种具有上述特性的分布。
量子体系相干态的Wigner函数王娜（陕理工学院物理系物理学063班，陕西汉中，723001）指导教师：王剑华教授【摘要】：Wigner函数作为相空间中的一个准概率分布函数，它包含了量子态在整个相空间演化过程中的全部信息，具有十分重要的物理意义。
本文首先介绍了Wigner函数的定义和性质，其次计算了一维谐振子的相干态,并推广到三维谐振子相干态，将相干态表达式代入三维坐标空间Wigner函数的一般表达形式中，得到了相应的Wigner函数。
最后,介绍了增、减光子奇偶相干态下的Wigner函数及其所表现出的特性。
【关键词】：谐振子；量子体系；相干态；Wigner函数引言Wigner函数最早是由著名的物理学家Wigner于1932年[1]引进的，Wigner函数的引进是为了对热力学体系做量子修正而引入相空间中的准几率分布函数。
在描述量子光学、核物理、量子计算、量子混沌以及量子信息的控制和传递中，Wigner函数也有着非常重要的作用，并且是一个很好的半经典近似。
在上世纪70年代以前，Wigner函数并没有引起人们更多的关注。
直到1975年，Moyal 才从量子力学的内部逻辑出发，发现了这个引人入胜的乘法量子化方法[2]。
在这种量子化方法中，我们不需要选定一个特定的表象空间，比如坐标表象或动量表象，而且在现代量子测量中，量子态Wigner函数的重构[3]和测量对研究量子体系的演化过程有着重要的意义，这个定义于相空间的实函数具有准概率分布函数的性质。
一般说来，Wigner函数既可以取正值，也可以取负值，故不能像经典物理中那样，把Wigner函数看成粒子在同一时刻的坐标、动量的概率密度[4]。
准经典态的Wigner 函数始终是非负的，比如一维谐振子的较低的两个能量本征态[5]的Wigner函数，其中基态波函数相应的Wigner函数为非负[6]的，具有相空间中的旋转不变形。
但对于它的激发态，Wigner函数则可正可负，呈现出明显的非经典特征。
例如，从理论上，对行波场，重构方案包括光学零拍层析法[6]和光子计数法[7]；提出了腔场的原子偏转技术和微脉腔法[8]的重构方案；对腔肠，重构包括非线性原子零拍探测法[9]、量子态内窥法和原子偏转技术[10]等。
在实验上，稽英华[11]通过介观LC电路实现了压缩偶相干态，并讨论了其非经典特性；Kurtsiefer[12]对He原子束在双缝干涉实验中的Wigner 函数进行了很巧妙的测量，得到的结果与理论计算相一致； Nogues[13]利用原子偏转技术测量了单光子Fock态的Wigner函数。
这些重构和测量量子态的Wigner函数方案，极大地激发了研究者的兴趣。
在本文中我们首先回顾Wigner函数的定义和性质及其计算方法，其次利用积分法求出了谐振子相干态的Wigner函数，并将其扩展到多粒子体系，也即量子体系中来研究，并且得出多粒子体系的Wigner函数的表达式。
最后，介绍了增、减光子奇偶相干态下的Wigner函数及其所具有的特性。
1.Wigner函数的定义及性质对量子态的测量，是测量与波函数或密度矩阵等价的Wigner 函数。
Wigner 函数作为相空间中的一个实函数，具有准概率分布函数[14]的性质，是一个很好的半经典近似。
在三维相空间中，定态Wigner 函数的形式为，()()*31,()exp ()(2)22y y W x p dy x iyp x ϕϕπ+∞-∞=--+⎰ (1.1) 2/31()i py dy x y x y e ϕϕπ+∞-∞=-+⎰ (1.2) 按照（1.1）式的定义我们可以得到，含时Wigner 函数具有如下与经典力学中的Liouville 定理相似的动力学演化方程，W p W V Wt m x x p∂∂∂∂=-+∂∂∂∂. (1.3)对于给定的Hamiltonian (,)H x p ，Wigner 函数的动力学演化方程（1.3）可改写为如下的Moyal 方程，H W W HW t i*-*∂=∂, (1.4)这里的星乘*[15]由下式给出，()exp ,2x p p x i ⎡⎤*≡∂∂-∂∂⎢⎥⎣⎦(1.5)星乘*包含指数算符，由于是一个很小的量，因此，作为一个级数展开，乘法*可表示为， (,)(,)(,)(,),22p x i if x pg x p f x p g x p *=+∂-∂ (1.6)或者，(,)(,)(,)(,),22p x i if x pg x p f x p g x p *=-∂+∂ (1.7)对于能量本征态，Wigner 函数满足更具有约束性的*本征值方程，(,)(,)(,)(,)(,),22p x i iH x p W x p H x p W x p EW x p *=+∂-∂= (1.8)或者，(,)(,)(,)(,)(,),22p x i iW x p H x p W x p H x p EW x p *=-∂+∂= (1.9)这里的E 是能量本征方程H E ϕϕ=的能量本征值。
这两个方程完全描述了Wigner 函数的性质我们也知道，Wigner 函数重要性质之一就是(),W x p 为相空间中的实函数，即()()*,,W x p W x p = (1.10)重要性质之二为，(,)()()W x p dxp p ϕϕ*=⎰，(1.11)(,)()()W x p dp x x ϕϕ*=⎰， (1.12)(1.11)和(1.12)式表明Wigner 函数对坐标空间（或动量空间）的边缘分布为坐标表象（或动量表象）中的概率密度分布。
这一重要性质使得Wigner 函数具有更广泛的应用。
2.谐振子的相干态粒子在一维谐振子势221()2V x m x ϖ=中，选取自然长度(L =，初始时刻的状态为220()/21412(,0)x x L x L eϕπ----= (2.1)从量子力学看，它不可能是一个定态，事实上它既不是基态，也不是任何一个能量本征态，而是无限多个能量本征态按一定的权重的相干叠加[16]，即 0(,0)()n n x C x ϕϕ∞=∑ (2.2)其中，2212/2()!)(/)n xL n n x n L e H x L ϕ--=，22/40(/)xL n n C x L e -= (2.3)亦可采用平移算符D (x 0)表示为0/0(,0)()00xix p x x D x x e ϕ-== (2.4)利用谐振子的升降算符a +和a ，x p 可表示为 (2x m p a a ϖ+=- (2.5) 那么，()(,0)0aa x x eαϕ+-= (2.6)其中0α=则谐振子的相干态可表示为()0aa eαα+-= (2.7)可证明它为湮灭算符的本征态， aααα= (2.8)由于()a a a ++=≠，所以a 不是厄米算符，因此a 的本征值α不是实数而是复数。
3.坐标表象中谐振子相干态的波函数首先选取自然单位1m ϖ===，三维谐振子的升降算符a +和a 表示为，111111222222333333()()/()()/()()/a x ip a x ip a x ip a x ip a x ip a x ip +++⎧=+=-⎪⎪=+=-⎨⎪=+=-⎪⎩(3.1)由(2.7)式三维相干态αβγ可表示为,222,,e n m k nmk αβγαβγ⎧⎪⎪⋅⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩-∞--=∑= (3.2) 那么在坐标表象中，有222222112233222222112233,,222222112233,,,,,,,,,n m k n m k x x x x x x x x x x x x nmk x x x x x x nmk αβγαβγαβγ-∞--=-∞--='''---'''=---'''=---∑∑(3.3)其中，,,112233()()()112233222()()()112233222()()()112233x x x x x x nmk x x x x x x n m k x x x x x x N N N e e e H x x H x x H x x n m k n m k ϕϕϕ'''---'''=---'''------'''=--- (3.4) 将(3.4)代入(3.3)得，112233,,,x x x x x x αβγ'''---222222331122()()()12222222112233,,01(((!!!x x x x x x n n n n m k n m k eeeH x x H x x H x x n m k αβγπ---'''-------∞=='''⨯---∑ (3.5)利用公式2201()!s sxn n n eH x s n ∞-+==∑，可得1122332222221/2211221122223333,,1exp[()222222211()()()()()]22x x x x x x x x x x x x x x x x x x αβγαβγαβγπ-'''---'=--------'''''------- (3.6) 同理可得，112233222*2*2*21/22*11112*2*22223333,,1exp[()()222222211()()()()]22x x x x x x x x x x x x x x x x x x αβγαβγαβγπ-'''+++''=-------++''''-++-++ (3.7) 4.谐振子相干态的Wigner 函数下面我们利用Wigner 函数的定义式计算三维谐振子相干态的Wigner 函数。
将(3.6)、(3.7)代入(1.2)中得相应Wigner 函数为()3311221122331122331122333222123,;,;,1,,,,ip x ip x ip x W x p x p x p x x x x x x x x x x x x e e e dx dx dx αβγαβγαβγπ+∞-∞'''''''''=---+++'''⋅⎰2*22*22*22223222222111122223333***11112222333321exp{[]222111111[()()()()()()]222222()()()()()()]}ip x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e ααββγγαβγπ+∞-∞+++=------''''''+---+---+---+''''''+-++-++-++⋅⎰33112222123ip x x ip x e e dx dx dx ''''''进一步计算，有()331122112233*2*22*21123*2*2*233*2*2*2112233222123,;,;,1()()exp[)22()))]2exp[)))]+∞-∞'''++=--++--++--++''''''+------'''⋅⎰ip x ip x ip x W x p x p x p x x x x x x x x x x x x e e e dx dx dx αβγααββααπγγββγγαβγ***2221233**22111222*23131231exp[(((]exp{[2(2(][2(]}x x x x i p x x i p x x i p x dx dx dx π+∞-∞=---''''⨯-----'''''+--⎰ (4.1)利用积分公式2222exp[2]x i x dx γββγβ+∞--∞-±=⎰，得到()112233****22221122**2233,;,;,11exp[((]exp[((]1exp[((]W x p x p x p x p x p x p αβγπππ=--⨯---⨯--22221122322331exp{[()()][()()][()()]}x p x p x p ααββπγγ=---+---+-- (4.2)此式即为三维谐振子相干态的Wigner 函数的表达式。
