平行四边形与中点坐标公式例题N
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专题6 二次函数与平行四边形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一,其图形复杂,知识覆盖面广,综合性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题,常规解法是先画出平行四边形,再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图,若考虑不周,很容易漏解.解决抛物线中的平行四边形存在性问题,常用的结论和方法有:线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1. 平面直角坐标系中,点 A 的坐标是11(,)x y ,点B 的坐标是22(,)x y ,则线段AB 的中点坐标是1212(,)22x x y y ++. 2. 平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ,则A C B D x x x x +=+,A CB D y y y y +=+.3.已知不在同一直线上的三点A、B、C,在平面内找到一个点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,有三种情况:【例1】(2020•甘孜州)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A,B两点,经过A,B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)若P为线段AB上一点,∠APO=∠ACB,求AP的长;(3)在(2)的条件下,设M是y轴上一点,试问:抛物线上是否存在点N,使得以A,P,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可.(2)求出AB ,OA ,AC ,利用相似三角形的性质求解即可.(3)分两种情形:①P A 为平行四边形的边时,点M 的横坐标可以为±2,求出点M 的坐标即可解决问题.②当AP 为平行四边形的对角线时,点M ″的横坐标为﹣4,求出点M ″的坐标即可解决问题.【解析】(1)∵直线y =kx +3分别交y 轴于B ,令x =0,得到y =3,∴B (0,3)由题意抛物线经过B (0,3),C (1,0),∴{c =3−1+b +c =0, 解得,{b =−2c =3, ∴抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣2x +3;(2)对于抛物线y =﹣x 2﹣2x +3,令y =0,解得x =﹣3或1,∴A (﹣3,0),∵B (0,3),C (1,0),∴OA =OB =3,OC =1,AB =3√2,∵∠APO =∠ACB ,∠P AO =∠CAB ,∴△P AO ∽△CAB ,∴AP AC =AO AB , ∴AP 4=3√2, ∴AP =2√2.(3)由(2)可知,P (﹣1,2),AP =2√2,①当AP 为平行四边形的边时,点N 的横坐标为2或﹣2,∴N (﹣2,3),N ′(2,﹣5),②当AP 为平行四边形的对角线时,点N ″的横坐标为﹣4,∴N ″(﹣4,﹣5),综上所述,满足条件的点N 的坐标为(﹣2,3)或(2,﹣5)或(﹣4,﹣5).【点评】本题考查二次函数综合题,考查了待定系数法,相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.【例2】(2020•天水)如图所示,拋物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,且点A 的坐标为A (﹣2,0),点C 的坐标为C (0,6),对称轴为直线x =1.点D 是抛物线上一个动点,设点D 的横坐标为m (1<m <4),连接AC ,BC ,DC ,DB .(1)求抛物线的函数表达式;(2)当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时,求m 的值; (3)在(2)的条件下,若点M 是x 轴上一动点,点N 是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M ,使得以点B ,D ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)由题意得出方程组,解方程组即可;(2)过点D 作DE ⊥x 轴于E ,交BC 于G ,过点C 作CF ⊥ED 交ED 的延长线于F ,求出点B 的坐标为(4,0),由待定系数法求出直线BC 的函数表达式为y =−32x +6,则点D 的坐标为(m ,−34m 2+32m +6),点G 的坐标为(m ,−32m +6),求出S △BCD =−32m 2+6m =92,解方程即可;(3)求出点D 的坐标为(3,154),分三种情况,①当DB 为对角线时,证出DN ∥x 轴,则点D 与点N关于直线x =1对称,得出N (﹣1,154)求出BM =4,即可得出答案;②当DM 为对角线时,由①得N (﹣1,154),DN =4,由平行四边形的性质得出DN =BM =4,进而得出答案; ③当DN 为对角线时,点D 与点N 的纵坐标互为相反数,N (1+√14,−154)或N (1−√14,−154),再分两种情况解答即可.【解析】(1)由题意得:{−b 2a =14a −2b +c =0c =6, 解得:{ a =−34b =32c =6, ∴抛物线的函数表达式为:y =−34x 2+32x +6; (2)过点D 作DE ⊥x 轴于E ,交BC 于G ,过点C 作CF ⊥ED 交ED 的延长线于F ,如图1所示: ∵点A 的坐标为(﹣2,0),点C 的坐标为(0,6),∴OA =2,OC =6,∴S △AOC =12OA •OC =12×2×6=6,∴S △BCD =34S △AOC =34×6=92,当y =0时,−34x 2+32x +6=0,解得:x 1=﹣2,x 2=4,∴点B 的坐标为(4,0),设直线BC 的函数表达式为:y =kx +n ,则{0=4k +n 6=n, 解得:{k =−32n =6, ∴直线BC 的函数表达式为:y =−32x +6,∵点D 的横坐标为m (1<m <4),∴点D 的坐标为:(m ,−34m 2+32m +6),点G 的坐标为:(m ,−32m +6),∴DG =−34m 2+32m +6﹣(−32m +6)=−34m 2+3m ,CF =m ,BE =4﹣m ,∴S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG •CF +12DG •BE =12DG ×(CF +BE )=12×(−34m 2+3m )×(m +4﹣m )=−32m 2+6m ,∴−32m 2+6m =92,解得:m 1=1(不合题意舍去),m 2=3,∴m 的值为3;(3)由(2)得:m =3,−34m 2+32m +6=−34×32+32×3+6=154, ∴点D 的坐标为:(3,154), 分三种情况讨论:①当DB 为对角线时,如图2所示:∵四边形BDNM 是平行四边形,∴DN ∥BM ,∴DN ∥x 轴,∴点D 与点N 关于直线x =1对称,∴N (﹣1,154),∴DN =3﹣(﹣1)=4,∴BM =4,∵B (4,0),∴M (8,0);②当DM 为对角线时,如图3所示:由①得:N (﹣1,154),DN =4,∵四边形BDNM 是平行四边形,∴DN =BM =4,∵B (4,0),∴M (0,0);③当DN 为对角线时,∵四边形BDNM 是平行四边形,∴DM =BN ,DM ∥BN ,∴∠DMB =∠MBN ,∴点D 与点N 的纵坐标互为相反数,∵点D (3,154),∴点N 的纵坐标为:−154, 将y =−154代入y =−34x 2+32x +6中, 得:−34x 2+32x +6=−154, 解得:x 1=1+√14,x 2=1−√14,当x =1+√14时,如图4所示:则N (1+√14,−154), 分别过点D 、N 作x 轴的垂线,垂足分别为E 、Q ,在Rt △DEM 和Rt △NQB 中,{DM =BN DE =NQ, ∴Rt △DEM ≌Rt △NQB (HL ),∴BQ =EM ,∵BQ =1+√14−4=√14−3,∴EM=√14−3,∵E(3,0),∴M(√14,0);当x=1−√14时,如图5所示:则N(1−√14,−15 4),同理得点M(−√14,0);综上所述,点M的坐标为(8,0)或(0,0)或(√14,0)或(−√14,0).【点评】本题是二次函数综合题目,考查了待定系数法求函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度.【例3】(2020•青海)如图1(注:与图2完全相同)所示,抛物线y=−12x2+bx+c经过B、D两点,与x轴的另一个交点为A,与y轴相交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)设抛物线的顶点为M,求四边形ABMC的面积.(请在图1中探索)(3)设点Q在y轴上,点P在抛物线上.要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标.(请在图2中探索)【分析】(1)用待定系数法解答便可;(2)求出抛物线与坐标轴的交点A、C坐标及抛物线顶点M的坐标,再将四边形ABMC的面积分为三角形的面积的和,进行计算便可;(3)分两种情况:AB为平行四边形的边;AB为平行四边形的对角线.分别解答便可.【解析】(1)把B (3,0)和D (﹣2,−52)代入抛物线的解析式得, {−92+3b +c =0−2−2b +c =−52, 解得,{b =1c =32, ∴抛物线的解析式为:y =−12x 2+x +32;(2)令x =0,得y =−12x 2+x +32=32, ∴C(0,32),令y =0,得y =−12x 2+x +32=0, 解得,x =﹣1,或x =3,∴A (﹣1,0),∵y =−12x 2+x +32=−12(x −1)2+2, ∴M (1,2),∴S 四边形ABMC =S △AOC +S △COM +S △MOB=12OA ⋅OC +12OC ⋅x M +12OB ⋅y M=12×1×32+12×32×1+12×3×2=92;(3)设Q (0,n ),①当AB 为平行四边形的边时,有AB ∥PQ ,AB =PQ , a ).P 点在Q 点左边时,则P (﹣4,n ),把P (﹣4,n )代入y =−12x 2+x +32,得n =−212,∴P (﹣4,−212); ②当AB 为平行四边形的边时,有AB ∥PQ ,AB =PQ , 当P 点在Q 点右边时,则P (4,n ), 把P (4,n )代入y =−12x 2+x +32,得 n =−52, ∴P (4,−52);③当AB 为平行四边形的对角线时,如图2,AB 与PQ 交于点E , 则E (1,0), ∵PE =QE , ∴P (2,﹣n ),把P (2,﹣n )代入y =−12x 2+x +32,得 ﹣n =32, ∴n =−32, ∴P (2,32).综上,满足条件的P 点坐标为:(﹣4,−212)或(4,−52)或(2,32).【点评】本题是二次函数的综合题,主要考查了待定系数法,二次函数的图象与性质,四边形的面积计算,平行四边形的性质,第(2)题关键是把四边形分割成三角形进行解答,第(3)题关键是分情况讨论.【例4】(2020•玉林)如图,已知抛物线:y 1=﹣x 2﹣2x +3与x 轴交于A ,B 两点(A 在B 的左侧),与y 轴交于点C .(1)直接写出点A ,B ,C 的坐标;(2)将抛物线y1经过向右与向下平移,使得到的抛物线y2与x轴交于B,B'两点(B'在B的右侧),顶点D的对应点为点D',若∠BD'B'=90°,求点B'的坐标及抛物线y2的解析式;(3)在(2)的条件下,若点Q在x轴上,则在抛物线y1或y2上是否存在点P,使以B′,C,Q,P 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.【分析】(1)令x=0或y1=0,解方程可得结论.(2)设平移后的抛物线的解析式为y2=﹣(x﹣a)2+b,如图1中,过点D′作D′H⊥OB′于H.,连接BD′,B′D′.构建方程组解决问题即可.(3)观察图象可知,当点P的纵坐标为3或﹣3时,存在满足条件的平行四边形.分别令y1和y2等于3或﹣3,解方程即可解决问题.【解析】(1)对于y1=﹣x2﹣2x+3,令y1=0,得到﹣x2﹣2x+3=0,解得x=﹣3或1,∴A(﹣3,0),B(1,0),令x=0,得到y1=3,∴C(0,3).(2)设平移后的抛物线的解析式为y2=﹣(x﹣a)2+b,如图1中,过点D′作D′H⊥OB′于H,连接BD′.∵D′是抛物线的顶点,∴D′B=D′B′,D′(a,b),∵∠BD′B′=90°,D′H⊥BB′,∴BH=HB′,∴D′H=BH=HB′=b,∴a=1+b,又∵y2=﹣(x﹣a)2+b,经过B(1,0),∴b=(1﹣a)2,解得a=2或1(不合题意舍弃),b=1,∴B′(3,0),y2=﹣(x﹣2)2+1=﹣x2+4x﹣3.(3)如图2中,观察图象可知,当点P的纵坐标为3或﹣3时,存在满足条件的平行四边形.对于y1=﹣x2﹣2x+3,令y1=3,x2+2x=0,解得x=0或﹣2,可得P1(﹣2,3),令y1=﹣3,则x2+2x﹣6=0,解得x=﹣1±√7,可得P2(﹣1−√7,﹣3),P3(﹣1+√7,﹣3),对于y2=﹣x2+4x﹣3,令y2=3,方程无解,令y2=﹣3,则x2﹣4x=0,解得x=0或4,可得P4(0,﹣3),P5(4,﹣3),综上所述,满足条件的点P的坐标为(﹣2,3)或(﹣1−√7,﹣3)或(﹣1+√7,﹣3)或(0,﹣3)或(4,﹣3).【点评】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,平行四边形的判定和性质,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.【例5】(2020•绵阳)如图,抛物线过点A (0,1)和C ,顶点为D ,直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B (√3,0),平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ,与直线AC 交于点F ,点F 的横坐标为4√33,四边形BDEF 为平行四边形.(1)求点F 的坐标及抛物线的解析式;(2)若点P 为抛物线上的动点,且在直线AC 上方,当△P AB 面积最大时,求点P 的坐标及△P AB 面积的最大值;(3)在抛物线的对称轴上取一点Q ,同时在抛物线上取一点R ,使以AC 为一边且以A ,C ,Q ,R 为顶点的四边形为平行四边形,求点Q 和点R 的坐标.【分析】(1)由待定系数法求出直线AB 的解析式为y =−√33x +1,求出F 点的坐标,由平行四边形的性质得出﹣3a +1=163a ﹣8a +1﹣(−13),求出a 的值,则可得出答案; (2)设P (n ,﹣n 2+2√3n +1),作PP '⊥x 轴交AC 于点P ',则P '(n ,−√33n +1),得出PP '=﹣n 2+73√3n ,由二次函数的性质可得出答案;(3)联立直线AC 和抛物线解析式求出C (73√3,−43),设Q (√3,m ),分两种情况:①当AQ 为对角线时,②当AR 为对角线时,分别求出点Q 和R 的坐标即可. 【解析】(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0), ∵A (0,1),B (√3,0), 设直线AB 的解析式为y =kx +m , ∴{√3k +m =0m =1,解得{k =−√33m =1,∴直线AB 的解析式为y =−√33x +1,∵点F 的横坐标为4√33,∴F 点纵坐标为−√33×4√33+1=−13, ∴F 点的坐标为(43√3,−13), 又∵点A 在抛物线上, ∴c =1,对称轴为:x =−b2a =√3, ∴b =﹣2√3a ,∴解析式化为:y =ax 2﹣2√3ax +1, ∵四边形DBFE 为平行四边形. ∴BD =EF , ∴﹣3a +1=163a ﹣8a +1﹣(−13), 解得a =﹣1,∴抛物线的解析式为y =﹣x 2+2√3x +1;(2)设P (n ,﹣n 2+2√3n +1),作PP '⊥x 轴交AC 于点P ',则P '(n ,−√33n +1), ∴PP '=﹣n 2+73√3n ,S △ABP =12OB •PP '=−√32n 2+72n =−√32(n −76√3)2+4924√3, ∴当n =76√3时,△ABP 的面积最大为4924√3,此时P (76√3,4712). (3)∵{y =−√33x +1y =−x 2+2√3x +1,∴x =0或x =73√3, ∴C (73√3,−43), 设Q (√3,m ), ①当AQ 为对角线时, ∴R (−43√3,m +73),∵R 在抛物线y =−(x −√3)2+4上, ∴m +73=−(−43√3−√3)2+4,解得m =−443,∴Q (√3,−443),R (−43√3,−373); ②当AR 为对角线时, ∴R (103√3,m −73), ∵R 在抛物线y =−(x −√3)2+4上, ∴m −73=−(103√3−√3)2+4, 解得m =﹣10, ∴Q (√3,﹣10),R (103√3,−373).综上所述,Q (√3,−443),R (−43√3,−373);或Q (√3,﹣10),R (103√3,−373).【点评】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法,二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,平行四边形的性质等知识,熟练掌握二次函数的性质及方程思想,分类讨论思想是解题的关键. 【例6】(2020•雅安)已知二次函数y =ax 2+2x +c (a ≠0)的图象与x 轴交于A 、B (1,0)两点,与y 轴交于点C (0,﹣3),(1)求二次函数的表达式及A 点坐标;(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点,求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标; (3)M 是二次函数图象对称轴上的点,在二次函数图象上是否存在点N ,使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形?若有,请写出点N 的坐标(不写求解过程).【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可.(2)如图1中连接AD ,CD .由题意点D 到直线AC 的距离取得最大,推出此时△DAC 的面积最大.过点D 作x 轴的垂线交AC 于点G ,设点D 的坐标为(x ,x 2+2x ﹣3),则G (x ,﹣x ﹣3),推出DG =﹣x ﹣3﹣(x 2+2x ﹣3)=﹣x ﹣3﹣x 2﹣2x +3=﹣x 2﹣3x ,利用二次函数的性质求解即可. (3)分两种情形:OB 是平行四边形的边或对角线分别求解即可. 【解析】(1)把B (1,0),C (0,﹣3)代入y =ax 2+2x +c 则有{c =−3a +2+c =0,解得{a =1c =−3,∴二次函数的解析式为y =x 2+2x ﹣3,令y =0,得到x 2+2x ﹣3=0,解得x =﹣3或1, ∴A (﹣3,0).(2)如图1中连接AD ,CD . ∵点D 到直线AC 的距离取得最大, ∴此时△DAC 的面积最大, 设直线AC 解析式为:y =kx +b , ∵A (﹣3,0),C (0,﹣3), ∴{b =−3−3k +b =0, 解得,{k =−1b =−3,∴直线AC 的解析式为y =﹣x ﹣3,过点D 作x 轴的垂线交AC 于点G ,设点D 的坐标为(x ,x 2+2x ﹣3),则G(x,﹣x﹣3),∵点D在第三象限,∴DG=﹣x﹣3﹣(x2+2x﹣3)=﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3=﹣x2﹣3x,∴S△ACD=12•DG•OA=12(﹣x2﹣3x)×3=−32x2−92x=−32(x+32)2+278,∴当x=−32时,S最大=278,点D(−32,−154),∴点D到直线AC的距离取得最大时,D(−32,−154).(3)如图2中,当OB是平行四边形的边时,OB=MN=1,OB∥MN,可得N(﹣2,﹣3)或N′(0,﹣3),当OB为对角线时,点N″的横坐标为2,x=2时,y=4+4﹣3=5,∴N″(2,5).综上所述,满足条件的点N的坐标为(﹣2,﹣3)或(0,﹣3)或(2,5).【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.1.(2020•齐齐哈尔)综合与探究在平面直角坐标系中,抛物线y=12x2+bx+c经过点A(﹣4,0),点M为抛物线的顶点,点B在y轴上,且OA=OB,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.(1)求抛物线的解析式;(2)直线AB的函数解析式为y=x+4,点M的坐标为(﹣2,﹣2),cos∠ABO=√22;连接OC,若过点O的直线交线段AC于点P,将△AOC的面积分成1:2的两部分,则点P的坐标为(﹣2,2)或(0,4);(3)在y轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小.具体作法如图②,作点A关于y轴的对称点A',连接MA'交y轴于点Q,连接AM、AQ,此时△AMQ的周长最小.请求出点Q的坐标;(4)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式即可求解;(2)点A (﹣4,0),OB =OA =4,故点B (0,4),即可求出AB 的表达式;OP 将△AOC 的面积分成1:2的两部分,则AP =13AC 或23AC ,即可求解;(3)△AMQ 的周长=AM +AQ +MQ =AM +A ′M 最小,即可求解; (4)分AC 是边、AC 是对角线两种情况,分别求解即可.【解析】(1)将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得:{12×16−4b +c =012×4+2b +c =6,解得{b =2c =0,故抛物线的表达式为:y =12x 2+2x ;(2)点A (﹣4,0),OB =OA =4,故点B (0,4), 设直线AB 的解析式为y =kx +4, 将点A 坐标代入得,﹣4k +4=0, ∴k =1.∴直线AB 的表达式为:y =x +4; 则∠ABO =45°,故cos ∠ABO =√22;对于y =12x 2+2x ,函数的对称轴为x =﹣2,故点M (﹣2,﹣2); OP 将△AOC 的面积分成1:2的两部分,则AP =13AC 或23AC ,则y P y C=13或23,即y P 6=13或23,解得:y P =2或4,故点P (﹣2,2)或(0,4); 故答案为:y =x +4;(﹣2,﹣2);√22;(﹣2,2)或(0,4);(3)△AMQ 的周长=AM +AQ +MQ =AM +A ′M 最小, 点A ′(4,0),设直线A ′M 的表达式为:y =kx +b ,则{4k +b =0−2k +b =−2,解得{k =13b =−43, 故直线A ′M 的表达式为:y =13x −43,令x=0,则y=−43,故点Q(0,−43);(4)存在,理由:设点N(m,n),而点A、C、O的坐标分别为(﹣4,0)、(2,6)、(0,0),①当AC是边时,点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C,同样点O(N)向右平移6个单位向上平移6个单位得到点N(O),即0±6=m,0±6=n,解得:m=n=±6,故点N(6,6)或(﹣6,﹣6);②当AC是对角线时,由中点公式得:﹣4+2=m+0,6+0=n+0,解得:m=﹣2,n=6,故点N(﹣2,6);综上,点N的坐标为(6,6)或(﹣6,﹣6)或(﹣2,6).【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等,其中(4),要注意分类求解,避免遗漏.2.(2020•平顶山二模)如图,已知二次函数y=−38x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C,与y轴交于点B,直线y=34x+3经过A、B两点.(1)求b、c的值.(2)若点P是直线AB上方抛物线上的一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线AB于点D,求线段PD的最大值.(3)在(2)的结论下,连接CD,点Q是抛物线对称轴上的一动点,在抛物线上是否存在点G,使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)由直线AB 的解析式可求出点A ,B 的坐标,将A ,B 两点的坐标代入y =−38x 2+bx +c 可得出答案;(2)设点P (m ,−38m 2−34m +3),则D (m ,34m +3),可得出PD =−38m 2−32m ,由二次函数的性质可得出答案;(3)分类讨论,一是当CD 为平行四边形对角线时,二是当CD 为平行四边形一边时,利用中点坐标公式及平移规律即可求出点G 的坐标.【解析】(1)∵直线y =34x +3经过A 、B 两点. ∴当x =0时,y =3,当y =0时,x =﹣4,∴直线y =34x +3与坐标轴的交点坐标为A (﹣4,0),B (0,3).分别将x =0,y =3,x =﹣4,y =0代入y =−38x 2+bx +c 得,{c =30=−38×(−4)2−4b +c , 解得,b =−34,c =3,(2)由(1)得y =−38x 2−34x +3,设点P (m ,−38m 2−34m +3),则D (m ,34m +3),∴PD =−38m 2−34m +3−(34m +3)=−38m 2−32m =−38(m +2)2+32, ∴当m =﹣2时,PD 最大,最大值是32.(3)存在点G ,使得以C 、D 、G 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,G 点的坐标为(1,158)或(3,−218)或(−5,−218); ∵y =−38x 2−34x +3, ∴y =0时,x =﹣4或x =2, ∴C (2,0),由(2)可知D (﹣2,32),抛物线的对称轴为x =﹣1,设G (n ,−38n 2−34n +3),Q (﹣1,p ),CD 与y 轴交于点E ,E 为CD 的中点, ①当CD 为对角线时, n +(﹣1)=0, ∴n =1, 此时G (1,158).②当CD 为边时,若点G 在点Q 上边,则n +4=﹣1,则n =﹣5,此时点G 的坐标为(﹣5,−218). 若点G 在点Q 上边,则﹣1+4=n ,则n =3,此时点G 的坐标为(3,−218).综合以上可得使得以C 、D 、G 、Q 为顶点的四边形是平行四边形的G 点的坐标为(1,158)或(3,−218)或(−5,−218);【点评】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的判定和性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.3.(2020•菏泽)如图,抛物线y =ax 2+bx ﹣6与x 轴相交于A ,B 两点,与y 轴相交于点C ,OA =2,OB =4,直线l 是抛物线的对称轴,在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ,连接AD ,BD ,BC ,CD . (1)求抛物线的函数表达式;(2)若点D 在x 轴的下方,当△BCD 的面积是92时,求△ABD 的面积;(3)在(2)的条件下,点M 是x 轴上一点,点N 是抛物线上一动点,是否存在点N ,使得以点B ,D ,M ,N 为顶点,以BD 为一边的四边形是平行四边形,若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)根据OA =2,OB =4确定点A 和B 的坐标,代入抛物线的解析式列方程组解出即可; (2)如图1,过D 作DG ⊥x 轴于G ,交BC 于H ,利用待定系数法求直线BC 的解析式,设D (x ,34x 2−32x﹣6),则H (x ,32x ﹣6),表示DH 的长,根据△BCD 的面积是92,列方程可得x 的值,因为D 在对称轴的右侧,所以x =1不符合题意,舍去,利用三角形面积公式可得结论; (3)分两种情况:N 在x 轴的上方和下方,根据y =±154确定N 的坐标,并正确画图. 【解析】(1)∵OA =2,OB =4, ∴A (﹣2,0),B (4,0),把A (﹣2,0),B (4,0)代入抛物线y =ax 2+bx ﹣6中得:{4a −2b −6=016a +4b −6=0,∴抛物线的解析式为:y =34x 2−32x ﹣6;(2)如图1,过D 作DG ⊥x 轴于G ,交BC 于H ,当x =0时,y =﹣6, ∴C (0,﹣6),设BC 的解析式为:y =kx +n ,则{n =−64k +n =0,解得:{k =32n =−6, ∴BC 的解析式为:y =32x ﹣6,设D (x ,34x 2−32x ﹣6),则H (x ,32x ﹣6),∴DH =32x ﹣6﹣(34x 2−32x ﹣6)=−34x 2+3x ,∵△BCD 的面积是92,∴12DH ⋅OB =92,∴12×4×(−34x 2+3x)=92,解得:x =1或3,∵点D 在直线l 右侧的抛物线上, ∴D (3,−154),∴△ABD 的面积=12AB ⋅DG =12×6×154=454;(3)分两种情况:①如图2,N 在x 轴的上方时,四边形MNBD 是平行四边形,∵B (4,0),D (3,−154),且M 在x 轴上, ∴N 的纵坐标为154,当y =154时,即34x 2−32x ﹣6=154,解得:x =1+√14或1−√14, ∴N (1−√14,154)或(1+√14,154);②如图3,点N 在x 轴的下方时,四边形BDNM 是平行四边形,此时M 与O 重合,∴N(﹣1,−15 4);综上,点N的坐标为:(1−√14,154)或(1+√14,154)或(﹣1,−154).【点评】此题主要考查二次函数的综合问题,会求函数与坐标轴的交点,会利用待定系数法求函数解析式,会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题,并结合方程思想解决问题.4.(2020•东莞市校级一模)已知,抛物线y=x2+bx+c与x轴交点为A(﹣1,0)和点B,与y轴交点为C (0,﹣3),直线L:y=kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D.(1)求抛物线和直线L的解析式;(2)如图,点M为抛物线上一动点(不与A、D重合),当点M在直线L下方时,过点M作MN∥x轴交L于点N,求MN的最大值;(3)点M为抛物线上一动点(不与A、D重合),M'为直线AD上一动点,是否存在点M,使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点M的坐标,如果不存在,请说明理由.【分析】(1)用待定系数法即可求解;(2)设点M的坐标为(m,m2﹣2m﹣3),则点N(﹣m2+2m+2,m2﹣2m﹣3),则MN=﹣m2+m+2,进而求解;(3)分CD 为边、CD 为对角线两种情况,利用图象平移和中点公式求解即可. 【解析】(1)将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得{1−b +c =0c =−3,解得:{b =−2c =−3,故抛物线的表达式为:y =x 2﹣2x ﹣3①,将点A 的坐标代入直线L 的表达式得:0=﹣k ﹣1,解得:k =﹣1, 故直线L 的表达式为:y =﹣x ﹣1②;(2)设点M 的坐标为(m ,m 2﹣2m ﹣3), 点N 的纵坐标与点M 的纵坐标相同,将点N 的纵坐标代入y =﹣x ﹣1得:m 2﹣2m ﹣3=﹣x ﹣1, 解得:x =﹣m 2+2m +2,故点N (﹣m 2+2m +2,m 2﹣2m ﹣3), 则MN =﹣m 2+2m +2﹣m =﹣m 2+m +2,∵﹣1<0,故MN 有最大值,当m =−b2a =12时,MN 的最大值为94;(3)设点M (m ,n ),则n =m 2﹣2m ﹣3③,点M ′(s ,﹣s ﹣1), ①当CD 为边时,点C 向右平移2个单位得到D ,同样点M (M ′)向右平移2个单位得到M ′(M ), 即m ±2=s 且n =﹣s ﹣1④,联立③④并解得:m =0(舍去)或1或1±√172, 故点M 的坐标为(1,﹣4)或(1+√172,1−√172)或(1−√172,1+√172); ②当CD 为对角线时,由中点公式得:12(0+2)=12(m +s )且12(﹣3﹣3)=12(n ﹣s ﹣1)⑤,联立③⑤并解得:m =0(舍去)或﹣1,故点M (1,﹣4); 综上,点M 的坐标为(1,﹣4)或(1+√172,1−√172)或(1−√172,1+√172). 【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.【题组二】5.(2020•雁塔区校级二模)已知抛物线L :y =x 2+bx +c 经过点A (﹣1,0)和(1,﹣2)两点,抛物线L 关于原点O 的对称的为抛物线L ′,点A 的对应点为点A ′. (1)求抛物线L 和L ′的表达式;(2)是否在抛物线L 上存在一点P ,抛物线L ′上存在一点Q ,使得以AA ′为边,且以A 、A ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P 点坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法可求抛物线L 解析式,由中心对称的性质可求抛物线L ′的表达式; (2)分两种情况讨论,由平行四边形的性质可求解.【解析】(1)∵抛物线L :y =x 2+bx +c 经过点A (﹣1,0)和(1,﹣2)两点, ∴{0=1−b +c −2=1+b +c , 解得:{b =−1c =−2,∴抛物线L 的解析式为:y =x 2﹣x ﹣2, ∵y =x 2﹣x ﹣2=(x −12)2−94, ∴顶点坐标为(12,−94),∵抛物线L 关于原点O 的对称的为抛物线L ′, ∴抛物线L ′的解析式为:y =﹣(x +12)2+94; (2)∵点A 关于原点O 对应点为点A ′, ∴点A '(1,0), ∴AA '=2,∵以AA ′为边,且以A 、A ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形, ∴PQ =AA '=2,PQ ∥AA ', 设点P (x ,x 2﹣x ﹣2), 当点P 在点Q 的左侧, ∴点Q 的横坐标为x +2, ∴x 2﹣x ﹣2=﹣(x +2+12)2+94, ∴x =﹣1,∴点P (﹣1,0)(不合题意舍去);当点P在点Q的右侧,∴点Q的横坐标为x﹣2,∴x2﹣x﹣2=﹣(x﹣2+12)2+94,∴x1=√2+1,x2=−√2+1,∴点P1(√2+1,√2),P2(−√2+1,−√2).【点评】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的性质,中心对称的性质,平行四边形的性质,灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.6.(2020•怀化)如图所示,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点M为抛物线的顶点.(1)求点C及顶点M的坐标.(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点,连接BN、CN,求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标.(3)若点D是抛物线对称轴上的动点,点G是抛物线上的动点,是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点G的坐标;若不存在,试说明理由.(4)直线CM交x轴于点E,若点P是线段EM上的一个动点,是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)令抛物线解析式中x=0即可求出C点坐标,写出抛物线顶点式,即可求出顶点M坐标;(2)过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点,设N(n,n2﹣2n﹣3),求出BC解析式,进而得到Q点坐标,最后根据S△BCN=S△NQC+S△NQB即可求解;(3)设D点坐标为(1,t),G点坐标为(m,m2﹣2m﹣3),然后分成①DG是对角线;②DB是对角线;③DC是对角线时三种情况进行讨论即可求解;(4)连接AC ,由CE =CB 可知∠EBC =∠E ,求出MC 的解析式,设P (x ,﹣x ﹣3),然后根据△PEO 相似△ABC ,分成EO BA=EP BC和EO BC=EP BA讨论即可求解.【解析】(1)令y =x 2﹣2x ﹣3中x =0,此时y =﹣3, 故C 点坐标为(0,﹣3), 又∵y =x 2﹣2x ﹣3=(x ﹣1)2﹣4, ∴抛物线的顶点M 的坐标为(1,﹣4);(2)过N 点作x 轴的垂线交直线BC 于Q 点,连接BN ,CN ,如图1所示: 令y =x 2﹣2x ﹣3=0, 解得:x =3或x =﹣1, ∴B (3,0),A (﹣1,0), 设直线BC 的解析式为:y =ax +b ,将C (0,﹣3),B (3,0)代入直线BC 的解析式得:{−3=b 0=3a +b ,解得:{a =1b =−3,∴直线BC 的解析式为:y =x ﹣3,设N 点坐标为(n ,n 2﹣2n ﹣3),故Q 点坐标为(n ,n ﹣3),其中0<n <3,则S △BCN =S △NQC +S △NQB =12⋅QN ⋅(x Q −x C )+12⋅QN ⋅(x B −x Q )=12⋅QN ⋅(x Q −x C +x B −x Q )=12⋅QN ⋅(x B −x C ),(其中x Q ,x C ,x B 分别表示Q ,C ,B 三点的横坐标),且QN =(n ﹣3)﹣(n 2﹣2n ﹣3)=﹣n 2+3n ,x B ﹣x C =3,故S △BCN =12⋅(−n 2+3n)⋅3=−32n 2+92n =−32(n −32)2+278,其中0<n <3, 当n =32时,S △BCN 有最大值为278,此时点N 的坐标为(32,−154),(3)设D 点坐标为(1,t ),G 点坐标为(m ,m 2﹣2m ﹣3),且B (3,0),C (0,﹣3) 分情况讨论:①当DG 为对角线时,则另一对角线是BC ,由中点坐标公式可知:线段DG 的中点坐标为(x D +x G 2,y D +y G 2),即(1+m 2,t+m 2−2m−32),线段BC 的中点坐标为(x B +x C 2,y B +y C 2),即(3+02,0−32),此时DG 的中点与BC 的中点为同一个点,∴{1+m 2=32t+m 2−2m−32=−32,解得{m =2t =0, 经检验,此时四边形DCGB 为平行四边形,此时G 坐标为(2,﹣3);②当DB 为对角线时,则另一对角线是GC ,由中点坐标公式可知:线段DB 的中点坐标为(x D +x B 2,y D +y B 2),即(1+32,t+02), 线段GC 的中点坐标为(x G +x C 2,y G +y C 2),即(m+02,m 2−2m−3−32), 此时DB 的中点与GC 的中点为同一个点,∴{1+32=m+02t+02=m 2−2m−3−32,解得{m =4t =2, 经检验,此时四边形DCBG 为平行四边形,此时G 坐标为(4,5);③当DC 为对角线时,则另一对角线是GB ,由中点坐标公式可知:线段DC 的中点坐标为(x D +x C 2,y D +y C 2),即(1+02,t−32), 线段GB 的中点坐标为(x G +x B 2,y G +y B 2),即(m+32,m 2−2m−3+02), 此时DC 的中点与GB 的中点为同一个点,∴{1+02=m+32t−32=m 2−2m−3+02,解得{m =−2t =8, 经检验,此时四边形DGCB 为平行四边形,此时G 坐标为(﹣2,5);综上所述,G 点坐标存在,为(2,﹣3)或(4,5)或(﹣2,5);(4)连接AC ,OP ,如图2所示:设MC 的解析式为:y =kx +m ,将C (0,﹣3),M (1,﹣4)代入MC 的解析式得:{−3=m −4=k +m, 解得:{k =−1m =−3∴MC 的解析式为:y =﹣x ﹣3,令y =0,则x =﹣3,∴E 点坐标为(﹣3,0),∴OE =OB =3,且OC ⊥BE ,∴CE =CB ,∴∠CBE =∠E ,设P (x ,﹣x ﹣3),又∵P 点在线段EM 上,∴﹣3<x <1,则EP =√(x +3)2+(−x −3)2=√2(x +3),BC =√32+32=3√2,由题意知:△PEO 相似于△ABC ,分情况讨论:①△PEO ∽△CBA ,∴EOBA=EP BC , ∴34=√2(x+3)3√2, 解得x =−34,满足﹣3<x <1,此时P 的坐标为(−34,−94);②△PEO ∽△ABC ,∴EO BC =EP BA , ∴3√2=√2(x+3)4, 解得x =﹣1,满足﹣3<x <1,此时P 的坐标为(﹣1,﹣2).综上所述,P 点的坐标为(−34,−94)或(﹣1,﹣2).【点评】本题是二次函数综合题目,考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线的解析式、平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质等知识;本题综合性较强,具有一定的难度,熟练掌握二次函数的图形和性质,学会用代数的方法求解几何问题.7.(2020•碑林区校级三模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线L:y=ax2﹣4ax(a>0)与x轴正半轴交于点A.抛物线L的顶点为M,对称轴与x轴交于点D.(1)求抛物线L的对称轴.(2)抛物线L:y=ax2﹣4ax关于x轴对称的抛物线记为L',抛物线L'的顶点为M',若以O、M、A、M'为顶点的四边形是正方形,求L'的表达式.(3)在(2)的条件下,点P在抛物线L上,且位于第四象限,点Q在抛物线L'上,是否存在点P、点Q使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点P坐标,若不存在,请说明理由.【分析】(1)根据抛物线的对称轴公式计算即可.(2)利用正方形的性质求出点M,M′的坐标即可解决问题.(3)分OD是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可.【解析】(1)∵抛物线L:y=ax2﹣4ax(a>0),∴抛物线的对称轴x=−−4a2a=2.(2)如图1中,对于抛物线y=ax2﹣4ax,令y=0,得到ax2﹣4ax=0,解得x=0或4,∴A(4,0),∵四边形OMAM′是正方形,∴OD=DA=DM=DM′=2,∴M((2,﹣2),M′(2,2)把M(2,﹣2)代入y=ax2﹣4ax,可得﹣2=4a﹣8a,∴a=1 2,∴抛物线L′的解析式为y=−12(x﹣2)2+2=−12x2+2x.(3)如图3中,由题意OD=2.当OD 为平行四边形的边时,PQ =OD =2,设P (m ,12m 2﹣2m ),则Q [m ﹣2,−12(m ﹣2)2+2(m ﹣2)]或[m +2,−12(m +2)2+2(m +2)],∵PQ ∥OD ,∴12m 2﹣2m =−12(m ﹣2)2+2(m ﹣2)或12m 2﹣2m =−12(m +2)2+2(m +2), 解得m =3±√3或1±√3,∴P (3+√3,√3)或(3−√3,−√3)或(1−√3,√3)和(1+√3,−√3),当OD 是平行四边形的对角线时,点P 的横坐标为1,此时P (1,−32),∵点P 在第四象限,∴满足条件的点P 的坐标为(3−√3,−√3)或(1+√3,−√3)或(1,−32).【点评】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.8.(2020•泰安二模)如图①抛物线y =ax 2+bx +4(a ≠0)与x 轴,y 轴分别交于点A (﹣1,0),B (4,0),点C 三点.(1)试求抛物线解析式;(2)点D (3,m )在第一象限的抛物线上,连接BC ,BD .试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ,满足∠PBC =∠DBC ?如果存在,请求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点N 在抛物线的对称轴上,点M 在抛物线上,当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M 的坐标.【分析】(1)把已知点A 、B 代入抛物线y =ax 2+bx +4中即可求解;(2)将二次函数与方程、几何知识综合起来,先求点D 的坐标,再根据三角形全等证明∠PBC =∠DBC ,最后求出直线BP 解析式即可求出P 点坐标;(3)根据平行四边形的判定即可写出点M 的坐标.【解析】如图:(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)与x 轴,y 轴分别交于点A (﹣1,0),B (4,0),点C 三点. ∴{a −b +4=016a +4b +4=0, 解得{a =−1b =3. ∴抛物线的解析式为y =﹣x 2+3x +4.(2)存在.理由如下:y =﹣x 2+3x +4=﹣(x ﹣1.5)2+6.25.∵点D (3,m )在第一象限的抛物线上,∴m =4,∴D (3,4),∵C (0,4)∵OC =OB ,∴∠OBC =∠OCB =45°.连接CD ,∴CD ∥x 轴,∴∠DCB =∠OBC =45°,∴∠DCB =∠OCB ,在y 轴上取点G ,使CG =CD =3,再延长BG 交抛物线于点P ,。
第十八章专题:《平行四边形》与坐标系结合压轴题(二)1.如图,在平面直角坐标系中,AB //OC, A (0, 12), B (a, c) , C (b, 0),并且a, b满足b= 府市 /口' + 16. 一动点P从点A出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点 B 运动;动点Q 从点。
出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,点P、Q分别从点A、O同时出发,当点P 运动到点B时,点Q随之停止运动.设运动时间为t (秒)(1)求B、C两点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCB是平行四边形?并求出此时P、Q两点的坐标;(3)当t为何值时,APQC是以PQ为腰的等腰三角形?并求出P、Q两点的坐标.(1) •, b= ^a-21 J^T^+16,••.a=21, b=16,故B (21, 12) C (16, 0); (2)由题意得:AP=2t, QO=t,贝U: PB=21-2t , QC=16-t,•••当PB=QC时,四边形PQCB是平行四边形,.•.21-2t=16-t,解得:t=5,,P (10, 12) Q (5, 0);(3)当PQ=CQ 时,过Q 作QN^AB,由题意得:122+t2=(16-t) 2, 解得:t=3.5,故P (7, 12), Q (3.5, 0),当PQ=PC时,过P作PM ±x轴,由题意得:QM=t , CM=16-2t ,则t=16-2t,解得:t=16, 2t=32, 3 3故P( 32,12), Q(16,3 30).2.如图1,在平面直角坐标系中, AB ,y 轴于点A, BC ,x 轴于点B,点D 为线段BC 的中点,若AB=a , CD=b ,且J 2 a 8 v 5 +/4我 a +2屈=b .连接AD ,在线段OC 上取一点E,使/ EAD= / DAB .(1)贝U a=, b=(2)求证:AE=OE+CD ;【解答】(1) a =4 v15 , b =2 后,(2)由(1)可知 AB=4 75, CD=BD=2 V 5 , • . AB=CB ,,.AB ±y 轴于点 A, BC±x 轴于点 B,,乙 BAO= / B= / AOC=90° ,••・四边形ABCO 是矩形,••・AB=CB , ••・四边形ABCO 是正方形,延长 CO 至u M ,使得 OM=BD ,贝u ^ABD AOM , ,/4=/M, Z1 = Z2=Z3,. OA//BC, . ・/4=/2+/5=/5+/3=/EAM , . . / M= / EAM , • . AE=EM=OE+OM=OE+BD ••• BD=CD , .1. AE=OE+CD .(3)如图 2 中,设 AE=EM=x .在 RtAAOE 中,AO 2+OE 2=AE 2, - x 2= (4<5 ) 2+ (x-2 J 5 ) 2, . . x=5石, OE=3 而,•.D (4V 5, 2 45), E (3V5 , 0), •. F (0, -6V5 )风0)3.如图,在平面直角坐标系中,有一矩形ABCD,其中A(0, 0), B (m, 0) , D (0, n), m是最接近质的整数,n是16的算术平方根,若将4ABC沿矩形又•角线AC所在直线翻折,点B落在点E处,AE与边CD相交于点M .(1)求AC的长;(2)求4AMC的面积;(3)求点E的坐标.【解答】(1)•' m是最接近#5的整数,• ' m=8,.「n 是16 的算术平方根,,n=4,,B (8, 0), D (0, 4),.••点C 矩形ABCD 的一个顶点,..C (8, 4),,AB=8, BC=4 ,AC=4 J5 ,(2)由折叠有,CE=AD=BC=4 , AE=AB=8 ,设DM=x 则CM=8-x ,・. /ADM= / CEM , /AMD=/CME, /.A ADM ^ACEM , • .AM=CM=8-x , ME=MD , 在RtAADM 中,AD=4 , DM=x , AM=8-x ,根据勾股定理有:AD2+DM 2=AM 2,即:16+x2= (8-x) 2, •1- x=3 , DM=3 , CM=5 , S AAMC = —Ch/|X AD=)>^M=10,2 2(3)过点E作EFXCD,如图,由(2)有,CM=5 , CE=4, ME=DM=3在Rt^CEM 中,由射影定理得,CE2=CFXCM , 16=CFX5,,CF=3.2,••・Ma CE=CMK EF (直角三角形的面积的两种计算) ,,EF=2.4,• . DF=CD -CF=4.8 , BC+EF=6.4 , . . E (4.8, 6.4)4 .已知正方形OABC 在平面直角坐标系中,点 A, C 分别在x 轴,y 轴的正半轴上,等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 在原点,E, F 分别在OA, OC 上,且OA=4 , OE=2 .将AOEF 绕点O 逆 时针旋转,得△OE I F I ,点E, F 旋转后的对应点为Ei, Fi.(I )①如图①,求EiFi 的长;②如图②,连接CFi, AEi,求证△OAEi^^OCFi;「(II)将AOEF 绕点O 逆时针旋转一周,当 OEi//CFi 时,求点Ei 的坐标(直接写出结果即可)姝 姝CB C 石【解答】(I )①解:二.等腰直角三角形 OEF 的直角顶点O 在原点,OE=2, / EOF=90 , OF=OE=2 ,「. EF=2 血,・ ••将AOEF 绕点 O 逆时针旋转,得△OE i F i, ••.E i F i =EF=2 J 2 ; ②证明:四边形OABC 为正方形,OC=OA .・ •・将AOEF 绕点 O 逆时针旋转,得 △OE i F i,AOE i =/COF i, • △OEF 是等腰直角三角形,・•.△OEiFi 是等腰直角三角形, ••OE i =OF i.在 AOAE i 和 ^OCF i 中,OA=OC, /AOEi=/COF i, OEi=OFi% E・•.△OAE 卢^OCF i (SAS);(n)解:••• OEXOF,卜过点F与OE平行的直线有且只有一条,并与OF垂直,当三角板OEF绕。
专题19 平行四边形专题知识回顾1.平行四边形定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示,如平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。
2.平行四边形的性质:(1)平行四边形的对边平行且相等;(2)平行四边形的对角相等;(3)平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形;(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
4.平行四边形的面积:S平行四边形=底边长×高=ah专题典型题考法及解析【例题1】(2019▪广西池河)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE延长线上,添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件是()A.∠B=∠F B.∠B=∠BCF C.AC=CF D.AD=CF【答案】B.【解析】利用三角形中位线定理得到DE AC,结合平行四边形的判定定理进行选择.∵在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE A C.A.根据∠B=∠F不能判定AC∥DF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.B.根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB,即CF∥AD,由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形,故本选项正确.C.根据AC=CF不能判定AC∥DF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.D.根据AD=CF,FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.【例题2】(2018湖北黄石)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE,G为BD的中点,连接CG,BE,CD,BE与CD交于点F.(1)判断四边形ACGD的形状,并说明理由.(2)求证:BE=CD,BE⊥CD.【答案】看解析。
平行四边形存在性(习题)例题示范例1:如图,在平面直角坐标系中,直线1=+交y x=-+与3y x于点A,与x轴分别交于点B和点C,D是直线AC上一动点,则在直线AB上是否存在点E,使以O,D,A,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.【思路分析】1.研究背景图形2.根据不变特征确定分类标准E(,)?O.,A.,D,E平行四边形3.分析特殊状态的形成因素,画出符合题意的图形并求解①当OA作为边时,根据平行四边形的判定,需满足OA∥DE,OA=DE,要找DE,借助平移,由于点D在直线AC上,让线段DE沿直线AC上下平移,确保点D在直线AC上,来找直线AB上的点E,注意需要沿AC的上方、下方分别平移,找出点之后,设计方案,利用平移性质,求出坐标;②当OA作为对角线时,利用平行四边形的判定,需满足OA,DE互相平分,设出E点坐标,根据中点坐标公式表达出D点坐标,代入直线AC表达式即可.4.结果验证【过程书写】解:由题意得,B (1,0),C (-3,0)∵直线1y x =-+与3y x =+交于点A∴A (-1,2)①当OA 作为边时,OA ∥DE ,OA =DE ,如图所示,设1E (1)t t -+,根据平移可得,1(13)D t t --+,∵点1D 在直线AC 上∴t -1+3=-t +3解得,12t =∴111()22E ,同理可得,257()22E -,②当OA 作为对角线时,DE 与OA 互相平分,设OA 的中点为F ∵A (-1,2),O (0,0)∴F 1(1)2-,设3E (1)m m -+,,则3(11)D m m --+,∵点3D 在直线AC 上∴-m -1+3=m +1解得,12m =∴311()22E ,点3E 与点1E 重合,如图所示,综上,符合题意的点E 的坐标为1157()()2222-,,,巩固练习1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线323y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,点C 在y 轴正半轴上,且12OB BC =,直线CD ⊥AB 于点P ,交x 轴于点D .在坐标平面内是否存在点M ,使得以A ,P ,C ,M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,点D在OA边上,点E在OC边上,将矩形OABC沿直线DE折叠,点O恰好落在BC边上的点F处,且43CFCE .已知OC=8,BC=12,OD=10,请解答下列问题.(1)求直线DE的解析式.(2)若M为直线DF上一点,则在直线DE上是否存在点N,使得以A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.思考小结1.存在性问题处理框架是什么?①研究背景图形;2分析不变特征,确定分类标准;3分析形成因素,画图求解;4结果验证.2.拿“两定两动”的平行四边形存在性为例,我们一起看看存在性框架分析怎么用:第一步,研究背景图形需要研究哪些内容?答:研究背景图形需要研究边、角、特殊图形;坐标、解析式.第二步,如何分析不变特征,确定分类标准?答:分析谁是定点,谁是动点,两个定点连成定线段,定线段可以作为平行四边形的边或对角线来进行分类.第三步,分析形成因素,画图,求解;根据特征,往往需要利用______(填“判定”或“性质”)分析?定线段为边和为对角线分类作图时,依据的原理是什么?求解坐标的操作手段是什么?答:判定;定线段为边时依据的原理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;定线段为对角线时依据的原理:对角线互相平分的四边形是平行四边形;定线段为边时求解坐标:通过平移找点,“设→传→代”进行求解;定线段为对角线时求解坐标:通过旋转找点,利用中点坐标公式“设→传→代”进行求解.【参考答案】1.存在,点M 的坐标为(33-,3),(33,9)或(3-,3-).2.(1)152y x =-+.(2)存在,点N 的坐标为(345,85)或(665,85-).。
利用中点坐标解决平行四边形存在性问题1.•已知平面直角坐标系中,有四个点A (-3,0)、B (0,-4)、C (3,0)、D (0,4)(1)在下面的平面直角坐标系中描出各点,并顺次连接,试判断所得四边形的形状,并说明理由; (2)若以A 、B 、C 、E 四点为顶点的四边形是平行四边形,请你直接写出点E 的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,直线AB :434+-=x y 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点.(1)求A 、B 两点的坐标.(2)设P 是直线AB 上一动点,直线PR ∥x 轴,点Q 在直线PR 上,设点P 的横坐标为m ,试用含有m 的代数式表示点Q 的纵坐标n .(3)在(2)的条件下,若以B 、O 、Q 、A 为顶点的四边形是平行四边形,求此时点Q 的坐标.3.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,直线l 1:y=34x 与直线l 2:y=mx+415相交于点A (a ,512),且直线l 2交x 轴于点B .(1)填空:a= ,m= ;(2)在坐标平面内是否存在一点C ,使以O 、A 、B 、C 四点为顶点的四边形是平行四边形形.若存在,请求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)图中有一动点P 从原点O 出发,沿y 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度向上移动,设运动时间为t 秒.若直线AP 能与x 轴交于点D ,当△AOD 为等腰三角形时,求t 的值.4.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1与y =−43x+3交于点A ,分别交x 轴于点B 和点C ,点D 是直线AC 上的一个动点. (1)求点A 的坐标.(2)在直线AB 上是否存在点E ,使得以点E ,D ,O ,A 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.5.在平面直角坐标系中,A (0,1),B (0,-3),点C 在x 轴上,点D 在直线y=21x-2上,且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形,求点C 的坐标以及对应的点D 的坐标.6.在平面直角坐标系中,A (-1,1),B (2,3),C (3m ,4m+1),D 在x 轴上,若以A ,B ,C ,D 四点为顶点的四边形是平行四边形,求点D 的坐标 。
A C BD 初二平行四边形所有知识点总结和常考题知识点:1、平行四边形定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质:⑴平行四边形的对边相等;⑵平行四边形的对角相等:⑶平行四边形的对角线互相平分。
3平行四边形的判定:⑴.两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形;⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形; ⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形。
5、矩形的性质:⑴矩形的四个角都是直角;⑵矩形的对角线相等。
6、矩形判定定理:⑴ 有三个角是直角的四边形是矩形;⑵对角线相等的平行四边形是矩形。
7、中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
)8、菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形。
9、菱形的性质:⑴菱形的四条边都相等;⑵菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
S 菱形=1/2×ab (a 、b 为两条对角线长)10、菱形的判定定理:⑴四条边相等的四边形是菱形。
⑵对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
11、正方形定义:一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
12正方形判定定理:⑴ 邻边相等的矩形是正方形。
⑵有一个角是直角的菱形是正方形。
(矩形+菱形=正方形)常考题:一.选择题(共14小题)1.矩形具有而菱形不具有的性质是( )A .两组对边分别平行B .对角线相等C .对角线互相平分D .两组对角分别相等2.平行四边形ABCD 中,AC 、BD 是两条对角线,如果添加一个条件,即可推出平行四边形ABCD 是矩形,那么这个条件是( )A.AB=BC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD3.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是()A.当AB=BC时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形C.当∠ABC=90°时,它是矩形D.当AC=BD时,它是正方形4.顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形5.在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点C的坐标是()A.(3,7) B.(5,3) C.(7,3) D.(8,2)6.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,则BD的长是()A.8 B.9 C.10 D.117.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是()A.12 B.24 C.12D.168.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于()A.50°B.60°C.70°D.80°9.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=6,AB=5,则AE的长为()A.4 B.6 C.8 D.1010.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()A.14 B.15 C.16 D.1711.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE的边长为()A.2 B.4 C.4 D.812.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为()A.16 B.17 C.18 D.1913.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF ⊥AB,垂足为F,则EF的长为()A.1 B.C.4﹣2D.3﹣414.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,则∠BFC为()A.45°B.55°C.60°D.75°二.填空题(共13小题)15.已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm,则菱形的面积为cm2.16.如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,则▱ABCD的周长等于.17.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO 的中点,若AC+BD=24厘米,△OAB的周长是18厘米,则EF=厘米.18.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD 和BC于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为.19.如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.20.如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠AED等于度.21.如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=,则AB的长是.22.如图所示,菱形ABCD的边长为4,且AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,∠B=60°,则菱形的面积为.23.如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是.24.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩形OABC中,A(10,0),C (0,4),D为OA的中点,P为BC边上一点.若△POD为等腰三角形,则所有满足条件的点P的坐标为.25.如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,0),B(﹣1,2),C(2,0).请直接写出以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.26.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为.27.如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为.三.解答题(共13小题)28.如图,已知:AB∥CD,BE⊥AD,垂足为点E,CF⊥AD,垂足为点F,并且AE=DF.求证:四边形BECF是平行四边形.29.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,(1)求证:四边形ADCE为矩形;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.30.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.31.如图,矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证:BE=CF.32.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.(1)线段BD与CD有什么数量关系,并说明理由;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说明理由.33.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.(1)求证:四边形BCFE是菱形;(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.34.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?35.如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:EO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.36.如图,已知:在平行四边形ABCD中,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分∠HEF.求证:(1)△AEH≌△CGF;(2)四边形EFGH是菱形.37.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于点E.(1)求证:△ABD≌△EBD;(2)过点E作EF∥DA,交BD于点F,连接AF.求证:四边形AFED是菱形.38.如图①,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.(1)求证:△BCP≌△DCP;(2)求证:∠DPE=∠ABC;(3)把正方形ABCD改为菱形,其它条件不变(如图②),若∠ABC=58°,则∠DPE=度.39.在数学活动课中,小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上,如图1,他连结AD、CF,经测量发现AD=CF.(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,如图2,试判断AD与CF还相等吗?说明你的理由;(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转,使点E旋转至直线l上,如图3,请你求出CF的长.40.数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF.在此基础上,同学们作了进一步的研究:(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一.选择题(共14小题)1.(2013•宜宾)矩形具有而菱形不具有的性质是()A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解:A、矩形与菱形的两组对边都分别平行,故本选项错误;B、矩形的对角线相等,菱形的对角线不相等,故本选项正确;C、矩形与菱形的对角线都互相平分,故本选项错误;D、矩形与菱形的两组对角都分别相等,故本选项错误.故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,菱形的性质,熟记两图形的性质是解题的关键.2.(2014•河池)平行四边形ABCD中,AC、BD是两条对角线,如果添加一个条件,即可推出平行四边形ABCD是矩形,那么这个条件是()A.AB=BC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断.【解答】解:A、是邻边相等,可得到平行四边形ABCD是菱形,故不正确;B、是对角线相等,可推出平行四边形ABCD是矩形,故正确;C、是对角线互相垂直,可得到平行四边形ABCD是菱形,故不正确;D、无法判断.故选B.【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理.但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定.3.(2008•扬州)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是()A.当AB=BC时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形C.当∠ABC=90°时,它是矩形D.当AC=BD时,它是正方形【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形;根据所给条件可以证出邻边相等;根据有一个角是直角的平行四边形是矩形;根据对角线相等的平行四边形是矩形.【解答】解:A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知:四边形ABCD是平行四边形,当AB=BC时,它是菱形,故A选项正确;B、∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=OD,∵AC⊥BD,∴AB2=BO2+AO2,AD2=DO2+AO2,∴AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,故B选项正确;C、有一个角是直角的平行四边形是矩形,故C选项正确;D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时,它是矩形,不是正方形,故D选项错误;综上所述,符合题意是D选项;故选:D.【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握,此题涉及到的知识点较多,学生答题时容易出错.4.(2011•张家界)顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形,一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半,说明新四边形的对边平行且相等.所以是平行四边形.【解答】解:连接BD,已知任意四边形ABCD,E、F、G、H分别是各边中点.∵在△ABD中,E、H是AB、AD中点,∴EH∥BD,EH=BD.∵在△BCD中,G、F是DC、BC中点,∴GF∥BD,GF=BD,∴EH=GF,EH∥GF,∴四边形EFGH为平行四边形.故选:A.【点评】本题三角形的中位线的性质考查了平行四边形的判定:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.5.(2006•南京)在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点C的坐标是()A.(3,7) B.(5,3) C.(7,3) D.(8,2)【分析】因为D点坐标为(2,3),由平行四边形的性质,可知C点的纵坐标一定是3,又由D点相对于A点横坐标移动了2,故可得C点横坐标为2+5=7,即顶点C的坐标(7,3).【解答】解:已知A,B,D三点的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),∵AB在x轴上,∴点C与点D的纵坐标相等,都为3,又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0=2,∴C点横坐标为2+5=7,∴即顶点C的坐标(7,3).故选:C.【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余(补)角的等知识的直接考查.同时考查了数形结合思想,题目的条件既有数又有形,解决问题的方法也要既依托数也依托形,体现了数形的紧密结合,但本题对学生能力的要求并不高.6.(2014•河南)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,则BD的长是()A.8 B.9 C.10 D.11【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长,进而可求出BD的长.【解答】解:∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB⊥AC,AB=4,AC=6,∴BO==5,∴BD=2BO=10,故选:C.【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用,是中考常见题型,比较简单.7.(2013•南充)如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是()A.12 B.24 C.12D.16【分析】在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF=∠EFB=60°,由于把矩形ABCD 沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处,所以∠EFB=∠DEF=60°,∠B=∠A′B′F=90°,∠A=∠A′=90°,AE=A′E=2,AB=A′B′,在△EFB′中可知∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°故△EFB′是等边三角形,由此可得出∠A′B′E=90°﹣60°=30°,根据直角三角形的性质得出A′B′=AB=2,然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解.【解答】解:在矩形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=60°,∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处,∴∠DEF=∠EFB=60°,∠B=∠A′B′F=90°,∠A=∠A′=90°,AE=A′E=2,AB=A′B′,在△EFB′中,∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形,Rt△A′EB′中,∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°,∴B′E=2A′E,而A′E=2,∴B′E=4,∴A′B′=2,即AB=2,∵AE=2,DE=6,∴AD=AE+DE=2+6=8,∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16.故选D.【点评】本题考查了矩形的性质,翻折变换的性质,两直线平行,同旁内角互补,两直线平行,内错角相等的性质,解直角三角形,作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键.8.(2013•扬州)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于()A.50°B.60°C.70°D.80°【分析】连接BF,根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC,∠BCF=∠DCF,四条边都相等可得BC=DC,再根据菱形的邻角互补求出∠ABC,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF,根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC,从而求出∠CBF,再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF.【解答】解:如图,连接BF,在菱形ABCD中,∠BAC=∠BAD=×80°=40°,∠BCF=∠DCF,BC=DC,∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°,∵EF是线段AB的垂直平分线,∴AF=BF,∠ABF=∠BAC=40°,∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°,∵在△BCF和△DCF中,,∴△BCF≌△DCF(SAS),∴∠CDF=∠CBF=60°.故选:B.【点评】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,综合性强,但难度不大,熟记各性质是解题的关键.9.(2015•河南)如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC 于点E.若BF=6,AB=5,则AE的长为()A.4 B.6 C.8 D.10【分析】由基本作图得到AB=AF,加上AO平分∠BAD,则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF,BO=FO=BF=3,再根据平行四边形的性质得AF∥BE,所以∠1=∠3,于是得到∠2=∠3,根据等腰三角形的判定得AB=EB,然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE,最后利用勾股定理计算出AO,从而得到AE的长.【解答】解:连结EF,AE与BF交于点O,如图,∵AB=AF,AO平分∠BAD,∴AO⊥BF,BO=FO=BF=3,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AF∥BE,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴AB=EB,而BO⊥AE,∴AO=OE,在Rt△AOB中,AO===4,∴AE=2AO=8.故选C.【点评】本题考查了平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分.也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图.10.(2013•凉山州)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()A.14 B.15 C.16 D.17【分析】根据菱形得出AB=BC,得出等边三角形ABC,求出AC,长,根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4,求出即可.【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=4,∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16,故选C.【点评】本题考查了菱形性质,正方形性质,等边三角形的性质和判定的应用,关键是求出AC的长.11.(2013•泰安)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC 的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE的边长为()A.2 B.4 C.4 D.8【分析】由AE为角平分线,得到一对角相等,再由ABCD为平行四边形,得到AD与BE平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,等量代换及等角对等边得到AD=DF,由F为DC中点,AB=CD,求出AD与DF的长,得出三角形ADF 为等腰三角形,根据三线合一得到G为AF中点,在直角三角形ADG中,由AD 与DG的长,利用勾股定理求出AG的长,进而求出AF的长,再由三角形ADF 与三角形ECF全等,得出AF=EF,即可求出AE的长.【解答】解:∵AE为∠DAB的平分线,∴∠DAE=∠BAE,∵DC∥AB,∴∠BAE=∠DFA,∴∠DAE=∠DFA,∴AD=FD,又F为DC的中点,∴DF=CF,∴AD=DF=DC=AB=2,在Rt△ADG中,根据勾股定理得:AG=,则AF=2AG=2,∵平行四边形ABCD,∴AD∥BC,∴∠DAF=∠E,∠ADF=∠ECF,在△ADF和△ECF中,,∴△ADF≌△ECF(AAS),∴AF=EF,则AE=2AF=4.故选:B【点评】此题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.12.(2013•菏泽)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为()A.16 B.17 C.18 D.19【分析】由图可得,S1的边长为3,由AC=BC,BC=CE=CD,可得AC=2CD,CD=2,EC=;然后,分别算出S1、S2的面积,即可解答.【解答】解:如图,设正方形S2的边长为x,根据等腰直角三角形的性质知,AC=x,x=CD,∴AC=2CD,CD==2,∴EC2=22+22,即EC=;∴S2的面积为EC2==8;∵S1的边长为3,S1的面积为3×3=9,∴S1+S2=8+9=17.故选:B.【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质,考查了学生的读图能力.13.(2013•连云港)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为()A.1 B.C.4﹣2D.3﹣4【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°,再求出∠DAE 的度数,根据三角形的内角和定理求∠AED,从而得到∠DAE=∠AED,再根据等角对等边的性质得到AD=DE,然后求出正方形的对角线BD,再求出BE,最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解.【解答】解:在正方形ABCD中,∠ABD=∠ADB=45°,∵∠BAE=22.5°,∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°,在△ADE中,∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠DAE=∠AED,∴AD=DE=4,∵正方形的边长为4,∴BD=4,∴BE=BD﹣DE=4﹣4,∵EF⊥AB,∠ABD=45°,∴△BEF是等腰直角三角形,∴EF=BE=×(4﹣4)=4﹣2.故选:C.【点评】本题考查了正方形的性质,主要利用了正方形的对角线平分一组对角,等角对等边的性质,正方形的对角线与边长的关系,等腰直角三角形的判定与性质,根据角的度数的相等求出相等的角,再求出DE=AD是解题的关键,也是本题的难点.14.(2014•福州)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC、BE 相交于点F,则∠BFC为()A.45°B.55°C.60°D.75°【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°,∠BAC=45°,再求∠BFC.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,又∵△ADE是等边三角形,∴AE=AD=DE,∠DAE=60°,∴AB=AE,∴∠ABE=∠AEB,∠BAE=90°+60°=150°,∴∠ABE=(180°﹣150°)÷2=15°,又∵∠BAC=45°,∴∠BFC=45°+15°=60°.故选:C.【点评】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质,本题的关键是求出∠ABE=15°.二.填空题(共13小题)15.(2008•恩施州)已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm,则菱形的面积为24cm2.【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可.【解答】解:由已知得,菱形的面积等于两对角线乘积的一半即:6×8÷2=24cm2.故答案为:24.【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半.16.(2015•梅州)如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,则▱ABCD 的周长等于20.【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC,根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB,继而可得AB=AE,然后根据已知可求得结果.【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AE∥BC,AD=BC,AB=CD,∴∠AEB=∠EBC,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∴AE+DE=AD=BC=6,∴AE+2=6,∴AE=4,∴AB=CD=4,∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20,故答案为:20.【点评】本题考查了平行四边形的性质,解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB.17.(2013•厦门)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=24厘米,△OAB的周长是18厘米,则EF=3厘米.【分析】根据AC+BD=24厘米,可得出出OA+OB=12cm,继而求出AB,判断EF 是△OAB的中位线即可得出EF的长度.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,又∵AC+BD=24厘米,∴OA+OB=12cm,∵△OAB的周长是18厘米,∴AB=6cm,∵点E,F分别是线段AO,BO的中点,∴EF是△OAB的中位线,∴EF=AB=3cm.故答案为:3.【点评】本题考查了三角形的中位线定理,解答本题需要用到:平行四边形的对角线互相平分,三角形中位线的判定定理及性质.18.(2007•临夏州)如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O 的直线分别交AD和BC于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为3.【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路:△AOE≌△COF,图中阴影部分的面积就是△BCD的面积.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,∠AEO=∠CFO;又∵∠AOE=∠COF,在△AOE和△COF中,,∴△AOE≌△COF,∴S△AOE =S△COF,∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积.S△BCD=BC×CD=×2×3=3.故答案为:3.【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质,能够根据三角形全等,从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半,是解决问题的关键.19.(2014•宿迁)如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B 的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是(5,4).【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长,进而求出C点坐标.【解答】解:∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D 在y轴上,∴AB=5,∴DO=4,∴点C的坐标是:(5,4).故答案为:(5,4).【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质,得出DO的长是解题关键.20.(2015•黄冈)如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠AED等于65度.【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE,再利用SAS证明△ABE与△ADE 全等,再利用三角形的内角和解答即可.【解答】解:∵正方形ABCD,∴AB=AD,∠BAE=∠DAE,在△ABE与△ADE中,,∴△ABE≌△ADE(SAS),∴∠AEB=∠AED,∠ABE=∠ADE,∵∠CBF=20°,∴∠ABE=70°,∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°,故答案为:65【点评】此题考查正方形的性质,关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE,再利用全等三角形的判定和性质解答.21.(2013•十堰)如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=,则AB的长是1.【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD,AB∥CD,得出平行四边形ABDE,推出DE=DC=AB,根据直角三角形性质求出CE长,即可求出AB的长.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=CD,∵AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE=CD,即D为CE中点,∵EF⊥BC,∴∠EFC=90°,∵AB∥CD,∴∠DCF=∠ABC=60°,∴∠CEF=30°,∵EF=,∴CE==2,∴AB=1,故答案为:1.【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定,平行线性质,勾股定理,直角三角形斜边上中线性质,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,此题综合性比较强,是一道比较好的题目.22.(2013•黔西南州)如图所示,菱形ABCD的边长为4,且AE⊥BC于E,AF ⊥CD于F,∠B=60°,则菱形的面积为.【分析】根据已知条件解直角三角形ABE可求出AE的长,再由菱形的面积等于底×高计算即可.【解答】解:∵菱形ABCD的边长为4,∴AB=BC=4,∵AE⊥BC于E,∠B=60°,∴sinB==,∴AE=2,∴菱形的面积=4×2=8,故答案为8.【点评】本题考查了菱形的性质:四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运用.23.(2013•鞍山)如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是11.【分析】利用勾股定理列式求出BC的长,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD,EF=GH=BC,然后代入数据进行计算即可得解.【解答】解:∵BD⊥CD,BD=4,CD=3,∴BC===5,∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,∴EH=FG=AD,EF=GH=BC,∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC,又∵AD=6,∴四边形EFGH的周长=6+5=11.故答案为:11.【点评】本题考查了三角形的中位线定理,勾股定理的应用,熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键.24.(2015•攀枝花)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩形OABC中,A(10,0),C(0,4),D为OA的中点,P为BC边上一点.若△POD为等腰三角形,则所有满足条件的点P的坐标为(2.5,4),或(3,4),或(2,4),或(8,4).【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°,OC=4,BC=OA=10,求出OD=AD=5,分情况讨论:①当PO=PD时;②当OP=OD时;③当DP=DO时;根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标.【解答】解:∵四边形OABC是矩形,∴∠OCB=90°,OC=4,BC=OA=10,∵D为OA的中点,∴OD=AD=5,①当PO=PD时,点P在OD得垂直平分线上,∴点P的坐标为:(2.5,4);②当OP=OD时,如图1所示:则OP=OD=5,PC==3,∴点P的坐标为:(3,4);③当DP=DO时,作PE⊥OA于E,则∠PED=90°,DE==3;分两种情况:当E在D的左侧时,如图2所示:OE=5﹣3=2,∴点P的坐标为:(2,4);当E在D的右侧时,如图3所示:OE=5+3=8,∴点P的坐标为:(8,4);综上所述:点P的坐标为:(2.5,4),或(3,4),或(2,4),或(8,4);故答案为:(2.5,4),或(3,4),或(2,4),或(8,4).【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理;本题有一定难度,需要进行分类讨论才能得出结果.25.(2013•阜新)如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,0),B(﹣1,2),C(2,0).请直接写出以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标(3,2),(﹣5,2),(1,﹣2).【分析】首先根据题意画出图形,分别以BC,AB,AC为对角线作平行四边形,即可求得答案.【解答】解:如图:以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标分别为:(3,2),(﹣5,2),(1,﹣2).故答案为:(3,2),(﹣5,2),(1,﹣2).【点评】此题考查了平行四边形的性质.注意坐标与图形的关系.26.(2014•丹东)如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为.【分析】延长AB至M,使BM=AE,连接FM,证出△DAE≌EMF,得到△BMF 是等边三角形,再利用菱形的边长为4求出时间t的值.。
第十八章平行四边形18.1.1 平行四边形的性质第一课时平行四边形的边、角特征知识点梳理1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形ABCD记作□ABCD。
2、平行四边形的对边相等,对角相等,邻角互补。
3、两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条直线之间的距离。
知识点训练1.(3分)如图,两X对边平行的纸条,随意穿插叠放在一起,转动其中一X,重合的局部构成一个四边形,这个四边形是________.2.(3分)如图,在□ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,那么图中共有平行四边形( )A.6个B.7个C.8个D.9个3.(3分)在□ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,那么□ABCD的周长为cm.4.(3分)用40 cm长的绳子围成一个平行四边形,使其相邻两边的长度比为3∶2,那么较长的边的长度为cm.5.(4分)在□ABCD中,假设∠A∶∠B=1∶5,那么∠D=;假设∠A+∠C=140°,那么∠D=.6.(4分)(2014·XX)如图,在□ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,那么□ABCD 的周长是.7.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,垂足为E,假设∠EAD =53°,那么∠BCE的度数为( )A.53°B.37°C.47°D.123°8.(8分)(2013·XX)如下图,在平行四边形ABCD中,BE=DF.求证:AE=CF.9.(4分)如图,点E,F分别是□ABCD中AD,AB边上的任意一点,假设△EBC的面积为10 cm²,那么△DCF的面积为。
10.(4分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,记△ABO的面积为S1,△COD的面积为S2,那么S1,S2的大小关系是( )A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.无法比拟11.在□ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( )A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1C.2∶2∶1∶1 D.2∶1∶2∶112.如图,将平行四边形ABCD折叠,使顶点D恰落在AB边上的点M处,折痕为AN,那么对于结论:①MN∥BC;②MN=AM,以下说法正确的选项是( )A.①②都对B.①②都错C.①对②错D.①错②13.如图,在□ABCD中,BE⊥CD,BF⊥AD,垂足分别为E,F,CE=2,DF=1,∠EBF =60°,那么□ABCD的周长为__.14.(2013·XX)如图,□ABCD与□DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,那么∠DAE的度数为。
《平行四边形》题型解读7 直角坐标系中的平行四边形【知识梳理】: 1.总体解题分析思路线:2.常见添辅助线方法:①过平行四边形顶点作坐标轴的垂线段,把点的坐标转化成线段长; ②连接对角线,利用中点坐标公式求解点的坐标;【典型例题】例1.已知如图,平行四边形ABCD 的边AB 在轴上,顶点D 在轴上,AD=4,AB=5,点A 的坐标为(-2,0),则 点B 的坐标为____________, 点C 的坐标为____________, 点D 的坐标为____________ 【解题过程】作CE ⊥x 轴,∵点A 的坐标为(-2,0),∴OA=2,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=BC=4,AB=CD=5,∴OB=3,∴BE=2,在Rt △OAD 中,由勾股定理可得OD=2√3,∵∠DAO=∠CBE,OA=BE=2,∠AOD=∠CEB=90º,∴△AOD ≌△BEC,∴CE=OB=2√3,∴B(3,0)、D(0,2√3)、C(5,2√3).例2.如图,在平面直角坐标系中,AB//OC ,A (0,12),B (a,12),C (b,0),且满足b =√a −21+√21−a +16. 动点P 从点A 出发,在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动;动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动,点P 、Q 同时出发,当点P 运动到点B 时,点Q 随之停止运动.设运动时间为t (秒). (1)求B ,C 两点的坐标;(2)当t 为何值时,四边形PQCB 是平行四边形?请求出此时P ,Q 两点的坐标; (3)当t 为何值时,△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形?并求出P 、Q 两点的坐标.【解题过程】(1)∵b =√a −21+√21−a +16,∴√a −21≥0,√21−a ≥0,∴a=21,∴b=16,∴B(21,12)、C(16,0); (2)如图1,由题可知:AP=2t,PB=21-2t ,OQ=t,QC=16-t ,∵当四边形PQCB 是平行四边形时,∴PB=QC ,即21-2t=16-t ,解得t=5,此时AP=10,OQ=5,∵AB//OC ,∴点B 、P 的纵坐标相同,∴P(10,12)、Q(5,0)。
专题22 平行四边形的存在性问题考向二次函数中的平行四边形的存在性问题【母题来源】2021年中考西藏卷【母题题文】在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点.与y轴交于点C.且点A 的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(0,5).(1)求该抛物线的解析式;(2)如图(甲).若点P是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标;(3)图(乙)中,若点M是抛物线上一点,点N是抛物线对称轴上一点,是否存在点M使得以B,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)将A的坐标(﹣1,0),点C的坐(0,5)代入y=﹣x2+bx+c得:{0=−1−b+c5=c,解得{b=4 c=5,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5;(2)过P作PD⊥x轴于D,交BC于Q,过P作PH⊥BC于H,如图:在y=﹣x2+4x+5中,令y=0得﹣x2+4x+5=0,解得x=5或x=﹣1,∴B (5,0),∴OB =OC ,△BOC 是等腰直角三角形, ∴∠CBO =45°,∵PD ⊥x 轴, ∴∠BQD =45°=∠PQH , ∴△PHQ 是等腰直角三角形,∴PH =√2, ∴当PQ 最大时,PH 最大,设直线BC 解析式为y =kx+5,将B (5,0)代入得0=5k+5, ∴k =﹣1,∴直线BC 解析式为y =﹣x+5,设P (m ,﹣m 2+4m+5),(0<m <5),则Q (m ,﹣m+5), ∴PQ =(﹣m 2+4m+5)﹣(﹣m+5)=﹣m 2+5m =﹣(m −52)2+254, ∵a =﹣1<0,∴当m =52时,PQ 最大为254,∴m =52时,PH 最大,即点P 到直线BC 的距离最大,此时P (52,354);(3)存在,理由如下:抛物线y =﹣x 2+4x+5对称轴为直线x =2,设M (s ,﹣s 2+4s+5),N (2,t ),而B (5,0),C (0,5), ①以MN 、BC 为对角线,则MN 、BC 的中点重合,如图:∴{s+22=5+02−s 2+4s+5+t 2=0+52,解得{s =3t =−3,∴M (3,8),②以MB 、NC 为对角线,则MB 、NC 的中点重合,如图:∴{s+52=2+02−s 2+4s+4+02=t+52,解得{s =−3t =−21,∴M (﹣3,﹣16),③以MC 、NB 为对角线,则MC 、NB 中点重合,如图:{s+02=2+52−s 2+4s+5+52=t+02,解得{s =7t =−11, ∴M (7,﹣16);综上所述,M 的坐标为:(3,8)或(﹣3,﹣16)或(7,﹣16).【试题解析】(1)将A 的坐标(﹣1,0),点C 的坐(0,5)代入y =﹣x 2+bx+c ,即可得抛物线的解析式为y =﹣x 2+4x+5;(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ,交BC 于Q ,过P 作PH ⊥BC 于H ,由y =﹣x 2+4x+5可得B (5,0),故OB =OC ,△BOC 是等腰直角三角形,可证明△PHQ 是等腰直角三角形,即知PH =√2,当PQ 最大时,PH 最大,设直线BC 解析式为y =kx+5,将B (5,0)代入得直线BC 解析式为y =﹣x+5,设P (m ,﹣m 2+4m+5),(0<m <5),则Q (m ,﹣m+5),PQ =﹣(m −52)2+254,故当m =52时,PH 最大,即点P 到直线BC 的距离最大,此时P (52,354);(3)抛物线y =﹣x 2+4x+5对称轴为直线x =2,设M (s ,﹣s 2+4s+5),N (2,t ),而B (5,0),C (0,5),①以MN 、BC 为对角线,则MN 、BC 的中点重合,可列方程组{s+22=5+02−s 2+4s+5+t 2=0+52,即可解得M (3,8),②以MB 、NC 为对角线,则MB 、NC 的中点重合,同理可得{s+52=2+02−s 2+4s+4+02=t+52,解得M (﹣3,﹣16),③以MC 、NB 为对角线,则MC 、NB 中点重合,则{s+02=2+52−s 2+4s+5+52=t+02,解得M (7,﹣16).【命题意图】数形结合;分类讨论;待定系数法;函数的综合应用;多边形与平行四边形;几何直观;应用意识.【命题方向】二次函数综合题,一般为压轴题.命题形式有:(1)“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题;(2)“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题. 【得分要点】(1)“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题:以A ,B ,C 三点为顶点的平行四边形构造方法有:①作平行线:如图,连结AB ,BC ,AC ,分别过点A ,B ,C 作其对边的平行线,三条直线的交点为D ,E ,F .则四边形ABCD ,ACBE ,ABFC 均为平行四边形.②倍长中线:如图,延长边AC ,AB ,BC 上的中线,使延长部分与中线相等,得点D ,E ,F ,连结DE ,EF ,FD .则四边形ABCD ,ACBE,ABFC 均为平行四边形.FEDCBA(2)“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题:先确定其中一个动点的位置,转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题,再构造平行四边形.解平行四边形存在性问题,无论是以上哪种类型,若没有指定四边形顶点顺序,都需要分类讨论.通常这类问题的解题策略有:(1)几何法:先分类,再画出平行四边形,然后根据平行四边形的性质来解答.如图,若AB ∥CD 且AB =CD ,分别过点B ,C 作一组平行线BE ,CF ,分别过点A ,D 作一组平行线AE ,DF ,则△AEB ≌△DFC ,从而得到线段间的关系式解决问题.(2)代数法:先罗列四个顶点的坐标,再分类讨论列方程,然后解方程并检验.如图.已知平行四边形ABCD .连结AC ,BD 交于点O .设顶点坐标为A (x A ,y A ).B (x B ,y B ),C (x C ,y C ),D (x D ,y D ).用平移的性质求未知点的坐标:,,.B ACD B C A D BACDBCAD x x x x x x x x y y y y y y y y 或②利用中点坐标公式求未知点的坐标:,22.22AC BD AC BDx x x x y y y y有时候几何法和代数法相结合,可以使得解题又快又好.ABCDEFABCDEFODCBA1.(2021•陕西模拟)如图,抛物线y =﹣x 2+2x+3与x 轴交于点A 、点B ,与y 轴交于点C ,点D 与点C 关于x 轴对称,点P 是x 轴上的一个动点.设点P 的坐标为(m ,0),过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q . (1)求点A 、点B 、点C 及抛物线的顶点坐标;(2)当点P 在线段OB 上运动时,直线l 交BD 于点M ,试探究m 为何值时,四边形CQMD 是平行四边形?解:(1)在y =﹣x 2+2x+3中,令x =0得y =3,令y =0得x =﹣1或x =3, ∴A (﹣1,0),B (3,0),C (0,3), ∵y =﹣x 2+2x+3=﹣(x ﹣1)2+4, ∴抛物线的顶点坐标为(1,4); (2)∵点D 与点C 关于x 轴对称, ∴D (0,﹣3),设直线BD 为y =kx+b ,将B (3,0),D (0,﹣3)代入得: {3k +b =0b =−3,解得{k =1b =−3, ∴直线BD 为y =x ﹣3,∵点P 的坐标为(m ,0), ∴M (m ,m ﹣3),Q (m ,﹣m 2+2m+3), ∵四边形CQMD 是平行四边形, ∴CM 的中点即是QD 的中点,而CM 的中点为(m2,m2),QD 的中点为(m2,−m 2+2m2),∴m 2=−m 2+2m2,解得m =0(舍去)或m =1,∴m 的值为1.2. (2021•重庆模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx ﹣3交x 轴于点A (﹣1,0)和点B (3,0),与y 轴交于点C ,顶点是D . (1)求抛物线顶点D 的坐标;(2)若P 是抛物线在第四象限内的一点,设点P 的横坐标是m ,连接AC 、CP 、BP ,当四边形ACPB 面积最大时,求点P 的坐标和最大面积;(3)若N 是抛物线对称轴上一点,在抛物线上是否存在点M ,使得以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出线段CN 的长度;若不存在,请说明理由.解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),故﹣3a=﹣3,解得:a=1,故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3;(2)令x=0,则y=﹣3,∴C(0,﹣3),如图1,过点P作PG⊥AB于G,设P(m,m2﹣2m﹣3),∴OG=m,PG=﹣m2+2m+3,∴S四边形ACPB=S△AOC+S梯形OCPG+S△BGP=12×1×3+12m(3﹣m2+2m+3)+12(3﹣m)(﹣m2+2m+3)=−32m2+92m+6=−32(m−32)2+758,∵−32<0,∴当m=32时,S四边形ACPB的最大值为758,此时P(32,−154)(3)点C(0,﹣3),点B(3,0),设点M(t,n),n=t2﹣2t﹣3,点N(1,s),①当BC是边时,点C向右平移3个单位,向上平移3个单位得到B,同样点M(N)向右平移3个单位,向上平移3个单位得到N(M),即t ±3=1,n ±3=s ,解得:t =﹣2或4,s =8或2, ∴点N (1,2)或(1,8),∴CN =√12+(2+3)2=√26或CN =√12+(8+3)2=√122; ②当BC 是对角线时,由中点公式得:3=t+1,﹣3=s+n , 解得:s =0,∴点N (1,0),∴CN =√12+(0+3)2=√10. ∴CN 的长为√26或√122或√10.3.(2021•重庆模拟)如图,抛物线y =ax 2+bx+4经过点A (﹣1,0),B (2,0)两点,与y 轴交于点C ,点D 是抛物线在x 轴上方对称轴右侧上的一个动点,设点D 的横坐标为m .连接AC ,BC ,DB ,DC . (1)求抛物线的函数表达式;(2)当△BCD 的面积与△AOC 的面积和为72时,求m 的值;(3)在(2)的条件下,若点M 是x 轴上一动点,点N 是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M ,使得以点B ,D ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)将点A (﹣1,0),B (2,0)代入y =ax 2+bx+4, ∴{a −b +4=04a +2b +c =0,∴{b =2a =−2, ∴y =﹣2x 2+2x+4;(2)令x =0,则y =4, ∴C (0,4),∴OC =4, ∵A (﹣1,0),∴OA =1, ∴S △OAC =12×1×4=2, ∵△BCD 的面积与△AOC 的面积和为72,∴S △BCD =32, 过点D 作DE ⊥x 轴交BC 于点E ,设直线BC 的解析式为y =kx+b , ∴{b =42k +b =0,∴{k =−2b =4, ∴y =﹣2x+4,∵D (m ,﹣2m 2+2m+4),则E (m ,﹣2m+4),∴DE =﹣2m 2+4m , ∴S △BCD =12×2×ED =32, ∴﹣2m 2+4m =32,∴m =12或m =32,∵y =﹣2x 2+2x+4的对称轴为直线x =1,D 点在对称轴右侧, ∴m =32;(3)存在点M 使得以点B ,D ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,理由如下: ∵m =32,∴D (32,52),设M (t ,0),N (n ,﹣2n 2+2n+4), ①当DM 和BN 为平行四边形对角线时,此时{32+t =n +252=−2n 2+2n +4, ∴{n =−12t =0或{n =32t =2,∴M (0,0)或M (2,0);②当DB 和MN 为平行四边形的对角线时,此时{32+2=t +n 52=−2n 2+2n +4, ∴{n =−12t =4或{n =32t =2,∴M (4,0)或M (2,0);③当DN 和BM 为平行四边形的对角线时,此时{32+n =t +252−2n 2+2n +4=0,∴{n =1+√142t =√142或{n =1−√142t =−√142, ∴M (√142,0)或M (−√142,0); 综上所述:M 点的坐标为(0,0)或(2,0)或(4,0)或(√142,0)或(−√142,0). 4.(2021•河南南阳模拟)如图,抛物线y =−12x 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B (1,0),交y 轴于点C ,连接AC ,BC ,已知OA =2OC ,且△ABC 的面积为212.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是直线AC 上方抛物线上一动点,过点P 作PQ ∥y 轴,交直线AC 于点Q .抛物线上是否存在点P ,使以P ,Q ,O ,C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵抛物线交y 轴于点C , ∴C (0,c ),∴OC =c , ∵OA =2OC ,∴OA =2c , ∴A (﹣2c ,0),∵S △ABC =12AB •OC =12×(2c+1)•c =c 2+12c =212, ∴c =−72(舍去)或c =3, ∴C (0,3),A (﹣6,0),将c =3,B (1,0)代入y =−12x 2+bx+c 得, {−12+b +c =0c =3,∴{b =−52c =3∴抛物线的解析式为:y =−12x 2−52x+3. (2)设AC :y =kx+b ,将点A 、C 的坐标代入y =kx+b 得, y =12x+3,设P (m ,−12m 2−52m+3), ∴Q (m ,12m+3),∴PQ =(−12m 2−52m+3)﹣(12m+3)=−12m 2﹣3m ,令PQ =OC ,∴−12m 2﹣3m =3, ∴m 1=﹣3+√3,m =﹣3−√3, ∴P (﹣3+√3,√3+92)或(﹣3−√3,−√3+92). ∵PQ ∥OC ,∴四边形PQOC 是平行四边形.5.(2021•黑龙江大庆模拟)如图,抛物线y =ax 2+bx+c (a ≠0)的图象经过A (1,0),B (3,0),C (0,6)三点,直线y =2x+b ′经过点A ,交抛物线于点D . (1)求抛物线的解析式;(2)点E 在线段AD 上,且满足S △BDE =2S △ABE ,点F 在x 轴下方的抛物线上,设点F 的横坐标为t ,当t 为何值时,△FBE 的面积最大?并求出最大值;(3)P 为抛物线上的一动点,Q 为对称轴上一动点,若以A ,D ,P ,Q 为顶点的四边形为平行四边形,求出点P 的坐标.解:(1)∵抛物线 y =ax 2+bx+c (a ≠0)的图象经过点 A (1,0),B (3,0),∴设抛物线的解析式为 y =a (x ﹣1)(x ﹣3),把点 C (0,6)代入,∴6=a (0﹣1)(0﹣3),∴a =2,∴抛物线的解析式为 y =2(x ﹣1)(x ﹣3)=2x 2﹣8x+6.(2)∵直线 y =2x+b ′经过点 A (1,0),∴0=2+b ′,∴b ′=﹣2,∴直线 AD 的解析式为 y =2x ﹣2,联立{y =2x −2y =2x 2−8x +6,解得:{x 1=1y 1=0, ∴点 D (4,6),∵A (1,0),B (3,0),∴AB =2,∴S △ABD =12×2×6=6, 设点 E (m ,2m ﹣2),∵S △BDE =2S △ABE ,∴S △ABE =13S △ABD =2,∴12×2×(2m −2)=2, ∴m =2,∴点 E (2,2),∴直线 BE 的解析式为 y =﹣2x+6,过点 F 作 FG ∥y 轴交直线 BE 于点 G ,∵点 F (t ,2t 2﹣8t+6)(1<t <3),∴G (t ,﹣2t+6).∴FG =﹣2t+6﹣(2t 2﹣8t+6)=﹣2t 2+6t ,设点B 的横坐标为x B ,点E 的坐标为x E ,当1<t <2时,S △FBE =S △FBG ﹣S △FEG =12FG •(x B ﹣x F )−12FG •(x E ﹣x F )=12FG •(x B ﹣x E )=12(﹣2t 2+6t )•(3﹣2)=−(t −32)2+94, ∴当 t =32 时,S △FBE 有最大值为 94. 当2≤t <3时,S △FBE =S △FBG +△FEG =12FG •(x B ﹣x F )+12FG •(x F ﹣x E )=12FG •(x B ﹣x E )=12(﹣2t 2+6t )•(3﹣2)=−(t −32)2+94,∴当t =2时,S △FBE 有最大值为 2,综上所述,当 t =32 时,△FBE 的最大面积为94.(3)由(2)知,A (1,0),D (4,6),设Q (2,m ),P (x ,2x 2﹣8x+6),①以AD 为对角线时,∵以 A ,D ,P ,Q 为顶点的四边形为平行四边形,∴{1+4=2+x 0+6=m +2x 2−8x +6,解得:{x =3m =6,∴P (3,0);②以AP 为对角线时,∵以 A ,D ,P ,Q 为顶点的四边形为平行四边形,∴{1+x =2+40+2x 2−8x +6=m +6,解得:{x =5m =10,∴P (5,16);③以AQ 为对角线时,∵以 A ,D ,P ,Q 为顶点的四边形为平行四边形,∴{1+2=4+x 0+m =2x 2−8x +6+6,解得:{x =−1m =22,∴P (﹣1,16);综上所述,当点 P 的坐标为 (5,16)或 (﹣1,16)或(3,0)时,以 A ,D ,P ,Q 为顶点的四边形为平行四边形.5.(2021•四川南充模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =﹣x 2+bx+c 经过点A (4,0)、B (0,4)、C .其对称轴l 交x 轴于点D ,交直线AB 于点F ,交抛物线于点E .(1)求抛物线的解析式;(2)点P 为直线l 上的动点,求△PBC 周长的最小值;(3)点N 为直线AB 上的一点(点N 不与点F 重合),在抛物线上是否存在一点M ,使以点E 、F 、N 、M 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点M 的坐标,不存在,说明理由.解:(1)把点A (4,0)、B (0,4)代入抛物线y =﹣x 2+bx+c 中,得,{−16+4b +c =0c =4,解得{b =3c =4, ∴抛物线的解析式为:y =﹣x 2+3x+4,(2)由抛物线解析式可知,l :x =32,C (﹣1,0),如图,作点B 关于直线l 的对称轴B ′,连接B ′C 交l 于一点P ,点P 即为使△PBC 周长最小的点,此时B ′(3,4),直线B ′C :y =x+1,∴P (32,52), ∵B (0,4),C (﹣1,0),B ′(3,4),∴BC =√17,CB ′=4√2,∴△PBC 周长的最小值为:√17+4√2.(3)存在,以点E 、F 、N 、M 为顶点的四边形为平行四边形的点M 的坐标为(4+√312,−7+2√314),(4−√312,−7−2√314)或(52,214).理由如下: 由抛物线解析式可知,E (32,254),∵A (4,0)、B (0,4),∴直线AB 的解析式为:y =﹣x+4,∴F (32,52). ∴EF =154. 设M (m ,﹣m 2+3m+4),①当EF 为边时,则EF ∥MN ,∴N (m ,﹣m+4),∴NM =EF =154,即|﹣m 2+3m+4﹣(﹣m+4)|=154, 解得m =32(舍)或52或4+√312或4−√312, ∴M (52,214)或(4+√312,7+2√314),(4−√312,−7−2√314)). ②当EF 为对角线时,EF 的中点为(32,358),∴点N 的坐标为(3﹣m ,m 2﹣3m +194), ∴﹣3+m+4=m 2﹣3m +194,解得m =32(舍),m =52, ∴M 3(52,214).综上,满足以点E 、F 、N 、M 为顶点的四边形为平行四边形的点M 的坐标为(4+√312,−7+2√314),(4−√312,−7−2√314)或(52,214).。
中考压轴题----平行四边形与中点坐标公式
(1)你能说出垂足A1,A2,B1,B2,M1,M2的坐标吗?
(2)点M是AB中点,M1是A1,B1的中点吗?它们的坐标有怎样的关系?
(3)M2是A2,B2的中点吗?它们的坐标有怎样的关系?
(4)你能写出点M 的坐标吗?
例1、已知以A、B、C、D为顶点的平行四边形,三个顶点
坐标分别为A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),求顶
点D 的坐标.
练习2、已知以A、B、C、D为顶点的平行四边形的
三个顶点A (0,0),B(2,-4),C(6,2),
求顶点 D 的坐标.
练习3、已知:平行四边形三个顶点分别为A(3,-2),B(5,2),C(-1,4)求第四个顶点的坐标。
【例1】(2013郑州市一测)(本题11分)如图,抛物线2
5
2
y ax bx =++与直线AB 交于点A (-1,0),B (4,
5
2
).点D 是抛物线A ,B 两点间部分上的一个动点(不与点A ,B 重合),直线CD 与y 轴平行,交直线AB 于点C ,连接AD ,BD . (1)求抛物线的解析式;
(2)设点D 的横坐标为m ,△ADB 的面积为S ,求S 关于m 的函数关系式,并求出当S 取最大值时的点C 的坐标;
(3)当点D 为抛物线的顶点时,若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线AB 上的动点,判断有几个位置能使以点P ,Q ,C ,D 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标.
y
x
O
C
B
D
A
【例2】(2010年河南中考)23.(11分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式;
(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值;
(3)若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y=-x 上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标.
y x O B M N C A
【例3】(2011年凉山州)如图,抛物线与x 轴交于A (1x ,0)、B (2x ,0)两点,
且12x x <,与y 轴交于点()0,4C -,其中12x x ,是方程2
4120x x --=的两个根。
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M 是线段AB 上的一个动点,过点M 作MN ∥BC ,交AC 于点N ,连接CM ,当CMN △的面积最大时,求点M 的坐标;
(3)点()4,D k 在(1)中抛物线上,点E 为抛物线上一动点,在x 轴上是否存在点F ,使以A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,求出所有满足条件的点F 的坐标,若不存在,请说明理由。
【例4】、已知抛物线2
43y x x =-+与x 轴交于两点A 、B ,其顶点为C .
(1)对于任意实数m ,点M (m ,-2)是否会在该抛物线上?请说明理由; (2)求证:△ABC 是等腰直角三角形;
(3)已知点D 在x 轴上,那么在抛物线上是否存在点P ,使得以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
【例5】、如图,已知抛物线经过A (﹣2,0),B (﹣3,3)及原点O ,顶点为C .
(1)求抛物线的解析式;【y=x 2
+2x 】
(2)若点D 在抛物线上,点E 在抛物线的对称轴上,且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形,求点D 的坐标;
(3)P 是抛物线上的第一象限内的动点,过点P 作PM ⊥x 轴,垂足为M ,是否存在点P ,使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
练1.(2010福建模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线33--=x y 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C. 抛物线c bx x y ++=2
经过A 、C 两点,且与x 轴交于另一点B(点B 在点A 右侧).
(1)求抛物线的解析式及点B 坐标;
(2)若点M 是线段BC 上一动点,过点M 的直线EF 平行y 轴交x 轴于点F ,交抛物线于点E.求ME 长的最大值;
(3)试探究当ME 取最大值时,在x 轴下方是否存在点P ,使以M 、F 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,试说明理由.。