正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2. 实际问题中的常用角⑴仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).(2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°北偏西45°西偏北60 等；(3) 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a如图②). (4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.【助学微博】解三角形应用题的一般步骤(1) 阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力.(2) 根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3) 根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4) 将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.解三角形应用题常有以下两种情形(1) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.⑵实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要求的解.考点自测1. （2012江苏金陵中学）已知△ ABC 的一个内角为120°并且三边长构成公差 为4的等差数列，则三角形的面积等于 __________ .解析 记三角形三边长为 a — 4, a , a + 4,则（a + 4）2= （a — 4）2 + a 2— 2a （a — 4）cos1120° 解得 a = 10,故 S = 2X 1°x 6X sin 120 =15/3. 答案15.32. 若海上有A , B , C 三个小岛，测得A , B 两岛相距10海里，/ BAC = 60°/ ABC = 75°则B , C 间的距离是 _________ 里.3. （2013日照调研）如图，一船自西向东匀速航行，上午 10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的 N 处, 则这只船的航行速度为 ________ 里/时.解析 由正弦定理，得MN = 68sin^120 = 34 6（海里），船的航行速度为彳：6 = sin 45 v4海里/时）.4. ____________________________________________________________ 在△ ABC 中，若2(3absin C = a 2 + b 2 +殳，则厶ABC 的形状是 ________________ . 解析 由 2 . 3absin C = a 2 + b 2 + c 2, a 2+ b 2— c 2= 2abcos C 相加，得 a 2 + b 2 = 等边三角形.sinsin C + 6 = 1,且a = b , C = 时等号成立，所以△ ABC 是答案 5 62absin答案等边三角形b a5. (2010•苏卷)在锐角△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c.若5 + b解析利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为b+器6cos C,由余弦定理 2 2 2sin C . sin C _ c _ 2c _ 2c _ 4 cos C sin Asin B _a 2 +b 2—c 2_ a 2 + b 2— c 2_ 3 2 2 —ab' 2ab 2c — c答案4【例1】 如图所示，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶•测量船于水面 A 处测得B 点和D 点的仰角分别 为75° 30°于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60° AC _0.1 km. (1) 求证：AB _ BD ; ⑵求BD.(1)证明 在厶 ACD 中,/ DAC _ 30° , / ADC _ 60°—/DAC _ 30° ,所以 CD _ AC _ 0.1.又/ BCD _ 180° — 60° — 60°_ 60°, 故CB 是厶CAD 底边AD 的中垂线,所以BD _ BA. ◎ 亠 亠 AB AC⑵解在° ABC中，sin / BCA _ sin / ABC ， ACsin 60 ° 3,2+sin 15 0_ 20 (km)， 因此,BD _6cosC ,则 tan C tan A + tanC tan B的值是2 2 2 2 2 a + b a + b — c得 =6 一 ab 2ab 即 a 2 + b 2 = |c 2.而 tan C tan A tan C tan Bsin C |tos A cos B cos clsin A + sin B 丿_ 即AB _考向一测量距离问题［方法总结］（1）利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解三角形的模型.（2） 利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解. （3） 应用题要注意作答.【训练1】 隔河看两目标A 与B ,但不能到达，在岸边先选取相距 飞千米的 C,D 两点，同时测得/ ACB = 75° Z BCD = 45°/ ADC = 30°/ ADB = 45°A , B ，C ，D 在同一平面内），求两目标A ，B 之间的距离.解 如题图所示，在△ ACD 中，T Z ADC = 30° Z ACD = 120°,二/ CAD = 30° AC = CD =寸3（千米）.在厶BDC 中，Z CBD = 180°— 45° — 75°60°. 由正弦定理，可得BC = 黑芽―芒严（千米）. 在厶ABC 中，由余弦定理，可得 2 2 2AB 2= AC 2 + BC 2 — 2AC BCcos Z BCA ， 即 AB 2= （ 3）2+ -^2 — 2 3•61p^cos 75 =5，二AB = 5（千米）.所以两目标A ， B 间的距离为'.5千米.考向二 测量高度问题【例2】（2010江苏）某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度H （单位：m ）如图所 示，垂直放置的标杆 BC 的高度h = 4 m ,仰角Z ABE = a, Z ADE = 3 （1）该小组已测得一组 a 3的值，算出了 tan a= 1.24, tan 3= 1.20,请据此算 出H 的值；故B 、D 的距离约为 3 2+ ；620km.(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位: m),使a 与B 之差较大，可以提高测量精度•若电视塔的实际高度为 125 m ,试问d 为多少时，a — B 最大？H htan a 4X 1.24 — tan 以 tan a — tan B 1.24— 1.20因此，算出的电视塔的高度 H 是124 m.H(2)由题设知d _AB ，得tan a_孑h /冃H — h_ tan B tan B 得 tan B d ，tan a — tan Bh h所以—_ —B _冲、2.帛，当且仅当 d _，即 d _ H H — h - , 125X 125— 4 -55 5时，上式取等号•所以当d _55.5时，tan(a — B )最大•因为0< a <2，贝u 0< a — B <2，所 以当d _ 55 5时，a — B 最大.故所求的d 是55 5 m.［方法总结］(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念.(2) 分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形应用正、余弦定理. (3) 注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形. 【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个 测点C 与D ，现测得/ BCD _ a, / BDC _ B, CD _ s ,并在点C 测得塔顶AH解⑴由 AB -tan a ，BD -h _ tan厂H 由 AB _ AD — BDHAB + BD -AD 得面；的仰角为9,求塔高AB.解 在厶 BCD 中，/ CBD = n — a — B, BC CDsin Z BDC = sin Z CBD ， CDsin / BDC s sin B所以 BC 二 sin Z CBD 二sin a+ B在 Rt △ ABC 中, AB = BCtan Z ACB =如Bsin ( a+ B)考向三 运用正、余弦定理解决航海应用问题【例3】我国海军在东海举行大规模演习.在海岸A 处，发现北偏东45°方向， 距离A( 3— 1)km 的B 处有一艘“敌舰”.在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 km 的C 处的“大连号”驱逐舰奉命以10.3 km/h 的速度追截“敌舰”.此时， “敌舰”正以10 km/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问“大连号”沿 什么方向能最快追上“敌舰”？解 设“大连号”用t h 在D 处追上“敌舰”，则有 CD = 10,3t ，BD = 10t ， 如图在△ ABC 中AB = 3— 1，AC = 2，Z BAC = 120°, •••由余弦定理，得BC 2 = AB 2+ AC 2 — 2AB AC cos Z BAC =(3— 1)2 + 22 — 2 ( .3— 1) 2 cos 120= 6• Z ABC = 45° • BC 与正北方向垂直.• Z CBD = 90° + 30°= 120°,在厶BCD 中，由正弦定理，得• Z BCD = 30°.由正弦定理得• BC = 一 6,且 sin Z ABC = ACBCsin Z BAC = sin Z BCD = BD sin Z CBD C D10ts in _120 =1 10 3t =2,■即“大连号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”. ［方法总结］用解三角形知识解决实际问题的步骤： 第一步：将实际问题转化为解三角形问题；第二步：将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中. 第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形.第四步：将所得结果转化为实际问题的结果. 【训练3】（2013广州二测）如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里， 渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东a 的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C 处. （1）求渔船甲的速度； ⑵求sin a 的值.解 ⑴依题意知，/ BAC = 120°, AB = 12（海里），AC = 10X 2= 20（海里），/ BCA = a 在厶ABC 中，由余弦定理，得 BC 2 = AB 2+ AC 2 — 2AB AC cos / BAC=122 + 202 — 2X 12X 20X cos 120 °784.解得BC = 28（海里）.所以渔船甲的速度为BC = 14海里/时. （2）在厶ABC 中，因为AB = 12（海里）， / BAC = 120°, BC = 28（海里），/ BCA = a,12 X —曲. ABsin 120 ° 2 3p3即 sina = = 14 .高考经典题组训练AB 由正弦定理，得站；=sin 120 .BC BC1. （四川卷改编）如图，正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使AE = 1, 连结 EC 、ED 」sin / CED = __________ .解析 在Rt △ EAD 和Rt A EBC 中，易知ED = 2, EC = 5,在厶DEC 中， 222f _____由余弦定理得 cos / CED = ED2^^°° = 2蔦_ 1怎=卑0••• sin / CED 2ED EC2X Q 2X Q 5 10 _\^0=To -. 答案2. （2011新课标卷）在厶ABC 中，B _60° AC_/3，贝U AB + 2BC 的最大值为AB _ V3 _ BCsin C _ sin 60 _ sin A ，• AB _ 2sin C , BC _ 2sin A.又 A + C _ 120°, • AB + 2BC _2sin C + 4sin(120 -C)_2(sin C + 2sin 120 cos C —2cos 120si n C)_ 2(sin C + 3cos C + sin C)_ 2(2si n C + 3cos C) _2 .7sin(C + a ，其中 tan a_ ~~, a 是第一象限角. 由于0°< C V 120°，且a 是第一象限角, 因此AB + 2BC 有最大值2 7. 答案2 73. （湖北卷改编）若厶ABC 的三边长为连续三个正整数，且 A>B>C,3b _20acos A ,贝U sin A : sin B : sin C _ ________解析 由 A>B>C ,得 a>b>c.设 a _c + 2, b _c + 1,则由 3b _20acos A ,得 3(c得 c _4,所以 a _6, b _5. 答案 6 : 5 : 4解析 由正弦定理知 2 2 2(c + 1 ) + c — (c + 2 )+ 1)_ 20(c + 2)—2++——「2,即 3(c + 1) c _ 10(c + 1)(c + 2)(c — 3),解4.(2陕西卷)如图，A, B是海面上位于东西方向相距5(3+ . 3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45° B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 3海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船达到D点需要多长时间？解由题意知AB = 5(3 + 3)海里，/ DBA= 90°—60°= 30° / DAB = 90°—45 =45°所以/ ADB= 180°—(45 0+ 30°)= 105°，DB AR*△ADB中，由正弦定理得sin z BAB=sn:ABDB，所以DB = AB sin/ DAB 5（3+£）sin 45 sin/ ADB = sin 105 °____ 5（3+也）sin 45 °sin 45 cos 60 + cos 45 sin 60=10 3(海里)，又/ DBC = / DBA+/ ABC= 30°+ （90。
