图论及其应用第三章答案电子科大

电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。

则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。

图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）AC DA B CD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。

解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式(G P k -G 的色多项式：)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。

六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。

解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 13图G由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。

习题三：● 证明： 是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意 及 , G 中的路 ， 必含 .证明：充分性: 是 的割边，故 至少含有两个连通分支，设 是其中一个连通分支的顶点集， 是其余分支的顶点集，对12,u V v V ∀∈∀∈，因为 中的 不连通，而在 中 与 连通，所以 在每一条 路上， 中的 必含 。

必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设 中所有 路均含有边 ，从而在 中不存在从与到 的路，这表明 不连通，所以e 是割边。

● 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： 1 G 是块2 G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上；3 G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。

：是块，任取 的一点 ，一边 ，在 边插入一点 ，使得 成为两条边，由此得到新图 ，显然 的是阶数大于3的块，由定理， 中的u,v 位于同一个圈上，于是 中u 与边 都位于同一个圈上。

：无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取 的点u ，边e ，若 在 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如 不在 上，由定理， 的两点在同一个闭路上，在 边插入一个点v ，由此得到新图 ，显然 的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。

：连通，若 不是块，则 中存在着割点 ，划分为不同的子集块 , , , 无环，12,x v y v ∈∈，点 在每一条 的路上，则与已知矛盾， 是块。

● 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图 的割点。

证明： 是单图 的割点，则 有两个连通分支。

现任取 , 如果 不在 的同一分支中，令 是与 处于不同分支的点，那么， 与 在 的补图中连通。

若 在 的同一分支中，则它们在 的补图中邻接。

所以，若 是 的割点，则 不是补图的割点。

● 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。

图论及其应用习题答案图论及其应用习题答案图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图是由节点和边组成的，节点表示对象，边表示对象之间的关系。

图论在计算机科学、电子工程、物理学等领域有着广泛的应用。

下面是一些图论习题的解答，希望对读者有所帮助。

1. 问题：给定一个无向图G，求图中的最大连通子图的节点数。

解答：最大连通子图的节点数等于图中的连通分量个数。

连通分量是指在图中，任意两个节点之间存在路径相连。

我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，统计连通分量的个数。

2. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在从节点A到节点B的路径。

解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，查找从节点A到节点B的路径。

如果能够找到一条路径，则存在从节点A到节点B的路径；否则，不存在。

3. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在环。

解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录遍历过程中的访问状态。

如果在搜索过程中遇到已经访问过的节点，则存在环；否则，不存在。

4. 问题：给定一个加权无向图G，求图中的最小生成树。

解答：最小生成树是指在无向图中，选择一部分边，使得这些边连接了图中的所有节点，并且总权重最小。

我们可以使用Prim算法或Kruskal算法来求解最小生成树。

5. 问题：给定一个有向图G，求图中的拓扑排序。

解答：拓扑排序是指将有向图中的节点线性排序，使得对于任意一条有向边(u, v)，节点u在排序中出现在节点v之前。

我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录节点的访问顺序，得到拓扑排序。

6. 问题：给定一个加权有向图G和两个节点A、B，求从节点A到节点B的最短路径。

解答：我们可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来求解从节点A到节点B的最短路径。

这些算法会根据边的权重来计算最短路径。

1电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共__2_小时）课程名称 图论及其应用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核日期_2013__年_6__月__20__日 成绩 考核方式： （学生填写）一．填空题(每空2分，共20分)1． n 阶k 正则图G 的边数m =_____。

2．4个顶点的不同构单图的个数为________。

3．完全偶图,r s K (,2r s ≥且为偶数)，则在其欧拉环游中共含____条边。

4．高为h 的完全2元树至少有_______片树叶。

5. G 由3个连通分支124,,K K K 组成的平面图，则其共有_______个面。

6. 设图G 与5K 同胚，则至少从G 中删掉_______条边，才可能使其成为可平面图。

7. 设G 为偶图，其最小点覆盖数为α，则其最大匹配包含的边数为________。

8. 完全图6K 能分解为________个边不重合的一因子之并。

9. 奇圈的边色数为______。

10. 彼得森图的点色数为_______。

二．单项选择(每题3分，共15分) 1．下面说法错误的是( )学 号 姓 名 学 院…………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答…… ………题……………无……………效……………………2(A) 图G 中的一个点独立集，在其补图中的点导出子图必为一个完全子图；(B) 若图G 连通，则其补图必连通； (C) 存在5阶的自补图； (D) 4阶图的补图全是可平面图. 2．下列说法错误的是（ ） (A) 非平凡树是偶图；(B) 超立方体图(n 方体,1n ≥)是偶图； (C) 存在完美匹配的圈是偶图； (D) 偶图至少包含一条边。

3.下面说法正确的是( )(A) 2连通图一定没有割点（假定可以有自环）； (B) 没有割点的图一定没有割边；(C) 如果3阶及其以上的图G 是块，则G 中无环，且任意两点均位于同一圈上；(D) 有环的图一定不是块。

《图论及其应用》习题课教材杨春编电子科技大学应用数学学院内容提要本书主要对张先迪等编的研究生《图论及其应用》教材的习题进行解答。

该书可作为研究生图论教学的参考教材。

前言现实生活中，许多问题都可归结为一个由点和线组成的图形的问题。

例如，由点代表车站，线代表铁路线的铁路网络图；点代表路口，线代表街道的城市交通图；点代表管道接头，线代表管道的自来水供水系统；点代表电路的结点，线代表结点间的电气元件的电网络图；点代表网络的结点，线代表通讯线的通讯网络、计算机网络等等。

图论正是研究这些由点和线组成的“图形”问题的一门学科。

图论起源于18世纪，其第一篇论文是由欧拉（Euler，1707—1782）于1736年所完成。

这篇论文解决了一个当时还没有解决的著名问题—哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题（见第四章）。

这篇论文也使欧拉成为了图论和拓扑学的创始人。

图论诞生后，特别是近三十年来发展十分迅速，应用也十分广泛。

其应用已涉及物理学、化学、运筹学、计算机科学、信息论、控制论、网络理论、社会科学、以及管理科学等诸多领域。

由于图论与计算机科学紧密相联系，近若干年来，在计算机科学、计算机网络的迅猛发展下，更拓展了图论的应用发展空间。

在计算机的许多领域内，它都占有一席之地。

图论在矩阵论、群论等其它一些数学分支中，也有其重要的应用。

张先迪等编的《图论及其应用》一书精选了内容广泛、难度各易的习题，其中的大多数习题都是对图论的进一步学习是应当掌握的。

本书依序将该书的重要内容摘要列出，并将全部习题给出了详细解答。

本书所涉及到的术语、符号与该书一致。

有些习题存在多种解法，在一般情况下，只给出一种解法供参考。

由于编者水平有限及编写时间的匆忙，书中难免出现一些缺点和错误，恳请同行专家及读者提出宝贵意见和建议，以使本书得以不断改进和完善。

编者2004．7目录第一章图的基本概念1.1 图和简单图1.2 子图与图的运算1.3 路与图的连通性1.4 最短路及其算法1.5 图的代数表示及其特征1.6 极图1.7 交图与团图习题1第二章树2.1 树的概念与性质2.2 树的中心与形心2.3 生成树2.4 最小生成树习题2第三章图的连通度3.1 割边、割点和块3.2 连通度3.3 应用3.4 图的宽距离和宽直径习题3第四章欧拉图与哈密尔顿图4.1 欧拉图4.2 高效率计算机鼓轮的设计4.3 中国邮路问题4.4 哈密尔顿图4.5 度极大非哈密尔顿图4.6 旅行售货员问题4.7 超哈密尔顿图4.8 E图和H图的联系4.9 无限图中的欧拉,哈密尔顿问题习题4第五章匹配与因子分解5.1 匹配5.2 偶图的匹配与覆盖5.3 Tutte定理与完美匹配5.4 因子分解5.5 最优匹配与匈牙利算法5.6 匹配在矩阵理论中的应用习题5第六章平面图6.1 平面图6.2 一些特殊平面图及平面图的对偶图6.3 平面图的判定及涉及平面性的不变量6.4 平面性算法习题6第七章图的着色7.1 图的边着色7.2 顶点着色7.3 与色数有关的几类图7.4 完美图7.5 着色的计数，色多项式习题27.6 List着色7.7 全着色7.8 着色的应用习题7第八章Ramsey定理8.1 独立集和覆盖8.2 Ramsey定理8.3 广义Ramsey数8.4 应用习题8第一章 图的基本概念§1.1 图和简单图定义1 一个图G 定义为一个有序对(V , E )，记为G = (V , E )，其中 （1）V 是一个非空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E 是由V 中的点组成的无序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一 点对在E 中可出现多次。

第一章：图论基本概念 1.定义平凡图/非平凡图 简单图/复合图 空图 n 阶图 连通图/非连通图完全图n K12n n n m K偶图,m n K 完全偶图,m n m K mn K 正则图图和补图，自补图 自补图判定方法 定点的度 d v 最小度 最大度 握手定理2d v m图的度序列与图序列，图序列判定方法（注意为简单图） 图的频序列 2.图运算删点/删边 图并/图交/图差/图对称差 图联 积图/合成图111122,u adjv u v u adjv 或 超立方体 3.连通性 途径 迹 路图G 不连通，其补图连通一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈 4.最短路算法（b t A T ） 5.矩阵描述邻接矩阵及其性质，图的特征多项式 关联矩阵 6.极图？？L 补图 完全L 部图 完全L 几乎等部图 托兰定理第二章：树 1.定义树：连通的无圈图 森林 树的中心和树的形心？入<=sqrt(2m(n-1)/n)生成树 根树 出度 入度 树根 树叶 分支点 m 元根树 完全m 元根树 2.性质每棵非平凡树至少有两片树叶图G 是树当且仅当G 中任意两点都被唯一的路连接T 是(n,m)树，则m = n – 1 具有k 个分支的森林有n-k 条边每个n 阶连通图边数至少为n-1（树是连通图中边的下界） 每个连通图至少包含一棵生成树 3.计算 生成树计数 递推计数法： G G e G e关联矩阵计数法：去一点后，每个非奇异阵对应一棵生成树最小生成树（边赋权）避圈法 破圈法完全m 元树： 11m i t第三章：图的连通性1. 割边、割点和块（性质使用反证法） 割边： w G e w G边e 为割边当且仅当e 不在任何圈中割点： w G v w Gv 是无环连通图G 的一个顶点，v 是G 的割点当且仅当V(G-e)可以被划分为两个子集，v 在两个子集内点互连的路上 块：没有割点的连通子图 G 顶点数>=3，G 是块当且仅当G 无环且任意两顶点位于同一圈上v 是割点当且仅当v 至少属于G 的两个不同的块2. 连通度点割 k 顶点割 最小点割（最少用几个点把图割成两份） G 的连通度 G连通图没顶点割时连通度 1G n ，非连通图 0G边割 k 边割 最小边割（最少用几条边把图割成两份） G 的边连通度 G递推到无圈，自环不算圈性质： 任意图G 有 G G GG 是(n,m)连通图， 2m G nG 是(n,m)单图，若 2n G，则G 必定连通 G 是(n,m)单图，对应k n ，若 22n k G，则G 是k 连通G 是(n,m)单图，若 2n G，则 G G敏格尔定理： G 中分离不相邻x,y 的最小点数等于独立的x,y 路最大数目G 中分离x,y 的最小边数等于边不重x,y 路最大数目第四章 E 图与H 图 一、 E 图（走完所有边） 1. 定义，性质与判定E 图（欧拉环游）与E 迹，走完所有边回到出发点与不回到出发点E 图性质与判定：E 图 G 的顶点度数为偶数度 G 的边集合能划分为圈 E 迹性质与判定：E 迹 G 中只有两个顶点度为奇数 2. 求解路径算法 找欧拉环游：都是偶数度点：Fleury 算法（避割边行走）两奇数点欧拉环游：奇数点补充最短路后得到欧拉环游多奇数点欧拉环游：补充偶数度并不断交换 （中国邮路问题算法） 二、 H 图（走完所有点） 1. 定义与性质H 图（H 圈）与H 路：走完所有点回到出发点与不回到出发点 G 图是H 图 w G S S 2. H 图判定3n 的单图G ，如果 2nGG 是H 图3n 的单图G ，任意不相邻u,v 有 d u d v n G 是H 图图G 的闭包是H 图 G 是H 图 度序列判定法：123n d d d d ，3n ，若对任意的2nm，有m d m 或n m d n m ，则G 是H 图123n d d d d ，3n ，若对任意的2nm，有m d m 且n m d n m ，则G 是非H 图 2. 极大非哈密尔顿图定义：如果图G 的度大于等于其他非H 图，则称G 为极大非H 图（非H 图的度上限）,m n C 图： ,2m n m m n m C K K K,m n C 图是非H 图G 是非H 图 G 度弱于某个,m n C 图（证） N 阶单图G 度优于所有,m n C 图 G 为H 图 彼得森图是超H 图4. TSP 问题（边赋权近似最优H 圈求解）最优H 图下界：去点求最小生成树，选最小关联边12e e ， 11w T w e w e第五章 图的匹配与因子分解 1.边匹配定义： 匹配 饱和点/非饱和点 最大匹配/完美匹配 M 交错路/M 可扩路 贝尔热定理：G 的匹配M 是最大匹配，当且仅当G 不包含M 可扩路（反证） 2.偶图匹配Hall 定理（偶图匹配存在性定理，完美匹配）： N S S 推论：k 正则偶图G 存在完美匹配（证） 匹配算法： 匈牙利算法最优匹配算法3.点覆盖边匹配数等于点覆盖数时匹配为最大匹配覆盖为最小覆盖 哥尼定理：偶图中最大匹配边数等于最小覆盖点数（用） 4.托特定理一般图G 有完美匹配当且仅当 G S S推论：没有割边的3正则图存在完美匹配（充分条件）（证） 5.因子分解因子分解，n 度正则因子 一因子分解：2n K 可一因子分解具有H 圈的三正则图可一因子分解 若三正则图有割边，则它不能一因子分解 二因子分解： G 的一个H 圈肯定是一个二因子，但二因子不一定是H 圈（二因子可以不连通）21n K 可2因子分解2n K 可分解为一个1因子和n-1个2因子之和。

习题43： 1）、画一个有Euler闭迹和Hamilton圈的图。

2）、画一个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图。

3）、画一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图4）、画一个既没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图7、证明：将G中的孤立点去掉后的图为G1，则G1也是没有奇度点的，且G1的最小度大于等于2.则G1存在一个圈S1，在G1 –S1中去除孤立的点，得到一个新的图G2，显然G2也没有奇度的点，且G2的最小度大于等于2.这样G2中也存在一个圈S2，这样一直下去，指导Gm中有圈Sm，且Gm-Sm都是孤立的点。

这样E(G) = E(G1)并E(G2)…..并E(Gm).命题得证。

10、证明：1）、如果G不是而连通的图，那么G存在割点v或则G是不连通的，G-v的连通分支数大于等于2.由定理：若G是H图，则对于V的每个飞空真子集S，均有G-S的连通分支数小于等于S的顶点数，知，G是非H图。

2）、G 是2部图，且|X|<|Y|,则有G-X的连通分支数等于|Y|>|X|由上边的定理知，G是非H图。

12、证明：假设G中新加入的一点，为V,它和G中的每一个顶点均相连，这样得到新的图G^,这样G^的度序列为(d1+1,d2+1……,dv+1,V)。

因为不存在正整数m<(v+1)/2,使其满足dm<m和dv-m+1<v-m,即不存在m<(v+1)/2,满足dm+1<=m和dv-m+1<v-m+1 = (v+1) –m。

由定理知，G^中含有Hamilton圈C，这样G^-C就是G的H路，命题得证。

习题51、1）、证明：每个k方体都有完美匹配(k>=2)。

假设K方体的顶点坐标为：(x1,x2…,xk)，取(x1,x2,….,xk-1,0)和(x1,x2,…,xk-1,1)两个顶点之间的边的全体集合为M，这样M,中的边均不相邻，所以M是一个匹配，且|M| = 2^(k-1)。

图论作业第一章4.证明:将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)容易证明，对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 )由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。

6. 证明:必要性 若G 为非完全图，则∃ v ∈V(G),有d(v)< n-1 ⇒ ∑ d(v) < n(n-1) ⇒ 2m <n(n-1)⇒ m < n(n-1)/2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n , 与已知矛盾！充分性 若G 为完全图，则 2m=∑ d(v) =n(n-1) ⇒ m= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 。

9. 证明:由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ⇒ ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。

12. 证明:δ≧2,在图G 中任取一点u ，则d(u)≧2.存在u1≠u 与u 相邻接。

由于d(u) ≧2，则存在u2≠u 与u1邻接，由于图是有限图，如此下去定会返回u ，由圈的定义可知图G 包含圈。

(a)v 2 3u 4u (b)17.证明：设u、v是G的任意两个顶点。

若u和v在G中不邻接，则在中他们邻接。

若u和v在G中邻接，他们属于G的同一分支。

在另一个分支中有一点w，在中u和v均与w邻接，即uwv是一条通路，故是连通图。

第二章2.证明：由题意可知如果一棵树恰有两个1度的顶点，则其他顶点的度必为2（如果树其他顶点至少有一个大于2，则该树度为1的顶点树必然大于2），连通的无圈图称为树，一棵树恰有两个1度的顶点而且其他顶点的度数为2，显然这样的树均是路。

16.对于（1）和（2）都可以用Kruskal算法。

具体用法是：对（1）有两种方法：<1>把Kruskal算法中的“小”字换为“大”字。

<2>重新规定图的权为：W’(e)=1/w(e) 当w(e)≠0M（充分大）当w(e)＝0这样就可直接用Kruskal算法。

图论及应用习题答案图论及应用习题答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图论在现实生活中有着广泛的应用，涵盖了许多领域，如计算机科学、通信网络、社交网络等。

本文将为读者提供一些关于图论及应用的习题答案，帮助读者更好地理解和应用图论知识。

1. 图的基本概念题目：下面哪个不是图的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 线段答案：D. 线段。

图的基本概念包括顶点、边和路径。

线段是指两个点之间的连线，而在图论中，我们使用边来表示两个顶点之间的关系。

2. 图的表示方法题目：以下哪个不是图的表示方法？A. 邻接矩阵B. 邻接表C. 边列表D. 二叉树答案：D. 二叉树。

图的表示方法包括邻接矩阵、邻接表和边列表。

二叉树是一种特殊的树结构，与图的表示方法无关。

3. 图的遍历算法题目：以下哪个不是图的遍历算法？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 迪杰斯特拉算法D. 克鲁斯卡尔算法答案：D. 克鲁斯卡尔算法。

图的遍历算法包括深度优先搜索和广度优先搜索，用于遍历图中的所有顶点。

迪杰斯特拉算法是用于求解最短路径的算法，与图的遍历算法有所不同。

4. 最小生成树题目：以下哪个算法不是用于求解最小生成树？A. 克鲁斯卡尔算法B. 普里姆算法C. 弗洛伊德算法D. 公交车换乘算法答案：D. 公交车换乘算法。

最小生成树是指包含图中所有顶点的一棵树，使得树的边的权重之和最小。

克鲁斯卡尔算法和普里姆算法是常用的求解最小生成树的算法，而弗洛伊德算法是用于求解最短路径的算法，与最小生成树问题有所不同。

5. 图的应用题目：以下哪个不是图的应用？A. 社交网络分析B. 路径规划C. 图像处理D. 数字逻辑电路设计答案：D. 数字逻辑电路设计。

图的应用广泛存在于社交网络分析、路径规划和图像处理等领域。

数字逻辑电路设计虽然也涉及到图的概念，但与图的应用有所不同。

总结：图论是一门重要的数学分支，具有广泛的应用价值。

通过本文提供的习题答案，读者可以更好地理解和应用图论知识。

学号：201321010808 姓名：马涛习题14．证明图1-28中的两图是同构的证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)容易证明，对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。

6．设G 是具有m 条边的n 阶简单图。

证明：m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 当且仅当G 是完全图。

证明 必要性 若G 为非完全图，则∃ v ∈V(G),有d(v)< n-1 ⇒ ∑ d(v) < n(n-1) ⇒ 2m <n(n-1)⇒ m < n(n-1)/2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n , 与已知矛盾！充分性 若G 为完全图，则 2m=∑ d(v) =n(n-1) ⇒ m= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 。

9.证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。

(a)v 1v 2 v 3 v 4v 5 v 6v 7v 8 v 9v 10 u 1 u 2u 3u 4u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 (b)证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ⇒ ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。

12.证明：若δ≥2，则G 包含圈。

证明 只就连通图证明即可。

设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。

若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ⋯v in v ik 构成一个圈 。

17.证明：若G 不连通，则G 连通。

证明 对)(,_G V v u ∈∀,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_G 中连通，因此，u 与v 在_G 中连通。

电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。

则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ≥2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。

图G图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）A Bb c123A B 3CDAD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解：四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。

A B DC123A B DC解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k(G).解：用公式)()()(e G P G P e G P k k k •+=-，可得G 的色多项式：)3)(2()1()()(3)()(2345---=++=k k k k k k k G P k 。

六．(10分) 一棵树有n 2个顶点的度数为2，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。

电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第⼀章图的基本概念⼀、重要概念图、简单图、图的同构、度序列与图序列、偶图、补图与⾃补图、两个图的联图、两个图的积图1.1 图⼀个图G定义为⼀个有序对(V, E)，记为G = (V, E)，其中（1）V是⼀个有限⾮空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E是由V中的点组成的⽆序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同⼀点对在E中可出现多次。

注：图G的顶点数（或阶数）和边数可分别⽤符号n(G) 和m(G)表⽰。

连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。

重数⼤于1的边称为重边。

端点重合为⼀点的边称为环。

1.2 简单图⽆环⽆重边的图称为简单图。

（除此之外全部都是复合图）注： 1.顶点集和边集都有限的图称为有限图。

只有⼀个顶点⽽⽆边的图称为平凡图。

其他所有的图都称为⾮平凡图。

边集为空的图称为空图。

2.n阶图：顶点数为n的图，称为n阶图。

3.(n, m) 图：顶点数为n的图，边数为m的图称为(n, m) 图1.3 邻接与关联：顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接(u adj v)；其中u与v称为该边的两个端点。

注：1.规定⼀个顶点与⾃⾝是邻接的。

2.顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点。

3.边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点。

1.4 图的同构设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：u1,v1∈V1,u2,v2∈ V2 ，设u1↔u2，v1↔v2,; u1v1∈E1 当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2的重数相同。

称G1与G2同构，记为：G1≌G2注：1、图同构的两个必要条件： (1) 顶点数相同；(2) 边数相同。

2、⾃⼰空间的理解：通过空间的旋转折叠可以进⾏形态转换1.5 完全图、偶图1、在图论中，完全图是⼀个简单图，且任意⼀个顶点都与其它每个顶点有且只有⼀条边相连接。

习题一(yangchun)：4.证明下面两图同构。

证明:作映射f : v i ↔ u i (i=1,2….10)容易证明，对∀v i v j ∈E ((a)),有f (v i v j,),=,u i,u j,∈,E,((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。

5.证明：四个顶点的非同构简单图有11个。

证明：设四个顶点中边的个数为m ，则有： m=0:m=1 ：m=2：m=3：m=4：(a)v 234(b)m=5：m=6：因为四个顶点的简单图最多就是具有6条边，上面所列出的情形是在不同边的条件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图有11个。

11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。

证明：由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不是图序列；（6,6,5,4,3,3,1）是图序列1112312(1,1,,1,,,)d d n d d d d d π++=--- 是图序列（5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。

●12.证明：若，则包含圈。

证明：下面仅对连通图的下的条件下进行证明，不连通的情形可以通过分成若干个连通的情形来证明。

设,对于中的路若与邻接，则构成一个闭路。

若是一条路，由于，因此，对于，存在与之邻接，则构成一个圈。

●17.证明：若G 不连通，则连通。

证明：对于任意的,若与属于G 的连通分支，显然与在中连通；若与属于的同一连通分支，则与分别在中连通，因此，与在中连通。

18.证明：若,则.证明：若为的割边，则=，若为的非割边，则=，所以，若，则有.。

图论及其应用第2章答案（电子科大版）
习题二(yangchun)：
7.证明：非平凡树的最长路的起点和终点均是1度的。

证明设是非平凡树T中一条最长路，若则与在中的邻接点只能有一个，否则，若与除了中顶点之外的其他顶点相连，则可以继续延长，这与是最长路是相矛盾的。

若与上的某顶点相连，则就构成了圈，这与数相矛盾，推出不是最长路。

即说明与是树叶，则与均是一
度的。

所以非平凡树的最长路的起点和终点均是度的。

9.证明：顶点度数为偶数的连通图本身可构成一个包含所有边的闭迹。

证明：证明：由于是连通非平凡的且每个顶点度数为偶数，所以中至少
存在圈,从中去掉中的边，得到的生成子图,若没有边，则的边集合能划分为圈。

否则，的每个度数均为偶数的连通图，反复这样抽取，最终划分为若干圈。

设是的边划分中的一个圈。

若仅由此圈组成，则显然是闭迹。

否则，由于连通，所以，必然存有公共顶点。

于是，是一条含有与的边的迹，如此拼接下去，得到包含的所有边的一条闭迹.
16.Kruskal算法能否用来求：
（1）赋权连通图中的最大权的树？
（2）赋权图中的最小权的最大森林？如果可以，怎样实现？
答：1、不能，由Kruskal算法得到的任何生成树一定是最小生成树。

2、能。