小波变换在图像压缩中的应用学院精密仪器与光电子工程学院专业光学工程年级2014级学号1014202009姓名孙学斌一、图像压缩编码数字图像图像是自然界景物的客观反映。
自然界的图像无论在亮度、色彩，还是空间分布上都是以模拟函数的形式出现的，无法采用数字计算机进行处理、传输和存储。
在数字图像领域，将图像看成是由许多大小相同、形状一致的像素(Picture Element简称Pixel组成)用二维矩阵表示。
图像的数字化包括取样和量化两个主要步骤。
在空间将连续坐标离散化的过程为取样，而进一步将图像的幅度值整数化的过程称为量化。
图像编码技术数据压缩就是以较少的数据量表示信源以原始形式所代表的信息，其目的在于节省存储空间、传输时间、信号频带或发送能量等。
其组成系统如图所示。
过程应尽量保证去除冗余量而不会减少或较少减少信息量，即压缩后的数据要能够完全或在一定的容差内近似恢复。
完全恢复被压缩信源信息的方法称为无损压缩或无失真压缩，近似恢复的方法称为有损压缩或有失真压缩。
图像压缩编码的必要性与可行性1．图像压缩编码的必要性采用数字技术会使信号处理技术性能大为提高，但其数据量的增加也是十分惊人的。
图像数据更是多媒体、网络通信等技术重点研究的压缩对象。
不加压缩的图像数据是计算机的处理速度、通信信道的容量等所无法承受的。
如果将上述的图像信号压缩几倍、十几倍、甚至上百倍，将十分有利于图像的存储和传输。
可见，在现有硬件设施条件下，对图像信号本身进行压缩是解决上述矛盾的主要出路。
2．图像压缩编码的可能性图像数据量大，同时冗余数据也是客观存在的。
在有些图像中可压缩的可能性很大。
一般图像中存在着以下数据冗余因素。
(1)编码冗余编码冗余也称信息熵冗余。
去除信源编码中的冗余量可以在对信息无损的前提下减少代表信息的数据量。
对图像进行编码时，要建立表达图像信息的一系列符号码本。
如果码本不能使每个像素所需的平均比特数最小，则说明存在编码冗余，就存在压缩的可能性。
(2)空间冗余这是静态图像存在的最主要的一种数据冗余。
同一景物表面上各采样点的颜色之间存在着空间连贯性，但是基于离散像素采样来表示物体颜色的方式通常没有利用景物表面颜色的这种空间连贯性，从而产生了空间冗余。
(3)时间冗余时间冗余反映在视频图像中就是相邻帧图像之间有较大的相关性，一帧图像中的某物体或场景可以由其他帧图像中的物体或场景重构出来。
(4)结构冗余有些图像的纹理区中图像的像素值存在着明显的分布模式，即存在着结构冗余。
(5)知识冗余有些图像的理解与某些知识有相当大的相关性，这类规律性的结构可由先验知识和背景知识得到，该类冗余称为知识冗余。
(6)视觉冗余事实表明，人类的视觉系统对图像场的敏感性是非均匀和非线性的。
然而，在记录原始的图像数据时，通常假定视觉系统是均匀和线性的，对视觉敏感和不敏感的部分同样对待，从而产生了比理想编码更多的数据，这就是视觉冗余。
通过对人类视觉进行大量实验，发现了以下的视觉均匀特性：①视觉系统对图像的亮度和色度的敏感性相差很大，视觉系统对亮度的敏感度远远高于对色彩度的敏感度。
②随着亮度的增加，视觉系统对量化误差的敏感性降低。
这是由于人眼的辨别能力与物体周围的背景亮度成反比。
因此，在高亮度区，灰度值的量化可以更粗糙一些。
二、小波分析理论小波理论的发展小波分析的思想可以追溯到1910年Haar提出的小波标准正交基，但小波分析这一概念是1984年由法国地质学家Morlet在分析地震信号时提出来的。
当时，Morlet发现，短时傅里叶变换在时、频分辨力方面的矛盾使得固定时宽的加窗方法并非对所有非平稳信号都合适。
也就是说，窗宽应该依据非平稳信号的变化自动调节，形成所谓的小波。
真正的小波分析研究始于1985年，当时法国的数学家Meyer构造的函数系(Meyer基)对小波分析起到奠基作用。
后来1988年法国信号处理专家S．Mallat提出多分辨率分析的概念，给出构造正交小波的一般方法，并由此提出小波分解和重构的快速算法--Mallet算法，使小波分析取得突破性进展．比利时数学家I．Daubechies构造了具有紧支撑的光滑正交小波——Dauchechies紧支正交小波。
随后，正交小波被进一步推广和发展，产生了如正交小波包，半正交小波，双正交小波，正交多小波等新的正交小波。
这些小波被广泛应用到信号分析、图像处理、数值分析、地震勘测、语音处理等众多工程领域。
小波分析技术和多分辨率分析理论，摈弃了传统Fourier分析所必须的前提假设——平稳性，成为分析非平稳信号的有力工具。
小波基的无条件基特性，使它成为一大类信号的非线性逼近的最优基，许多信号在小波基的表示下，都可以获得稀疏的表示式。
由于小波的局部分析性能优越，在信号分析中尤其是数据压缩与边缘检测等方面主要性能优于其他方法。
在静态图像压缩国际标准——JPEG 2000中，离散小波变换(DWT)已经取代离散余弦变换(DCT)，成为标准的变换编码方法。
但另一方面，经典的小波理论在实际应用中同样存在美中不足的情况。
在其应用最成功的图像压缩领域，经典小波变换的计算复杂度远高于DCT 方法，成为数据实时处理的瓶颈：而基于小波变换的常见图像压缩编码方法在处理数据的过程中大都需要将整幅图像存储，因此所需存储空间远高于DCT 方法，这势必增加压缩方法的硬件实现成本。
为了克服经典小波方法的缺陷，小波的低复杂度、低成本实现算法的研究成为广泛关注的课题。
1995年，Daubechies 的博士生W ．Sweldens 系统地提出了基于提升格式(Liffing Scheme)的小波变换理论，为了与经典的小波相区别，称之为第二代小波。
目前，构造第二代小波的重要工具——提升分解已经成为离散正交变换整数实现的最强有力的工具。
小波变换理论1.母小波及其性质所谓母小波，是指定义在平方可积空间L 2(R)，并满足以下条件的函数⎰∞∞=0)()(dt t t ψψ 显然，母小波)(t ψ具有波动性(即振荡性)，因为只有取值有正有负的函数其积分才为零。
另外，母小波具有带通性，因为式(3.1)等价于0)()0(==⎰∞∞-dt t ψψ 其中)(ωψ为)(t ψ的傅里叶谱。
2.分析小波及其性质分析小波是由母小波)(t ψ经尺度变换(伸缩)和平移得到的函数。
设伸缩因子为a ，平移因子为b ，则相应的分析小波为)(1)(,ab t a t b a -=ψψ,0>a 分析小波)(,t b a ψ通过伸缩因子a ，平移因子b 与母小波相联系，其特点表现在a 和b的功能上。
(1)尺度因子a 的作用使)(t ψ产生伸展(a>1)，或收缩(a<1)，对)(ωψ则产生相反的作用。
(2)平移因子b 的作用使)(t ψ产生时间轴上的右移(b>0)或左移(b<0)，对)(ωψ的幅度不产生影响。
(3)尺度因子a 和平移因子b 同时作用使)(t ψ产生伸缩的同时，产生平移。
3.连续小波变换对连续信号s(t)，设)()(2R L t s ∈s(f)，它相对于分析小波)(,t b a ψ的连续小波变换定义为dt ab t t s a t t s t s WT C t s b a V )()(1)(),()]([1)(,⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞--≥<=ψψ 由),(b a W z 重构)(t s 的小波逆变换为：db a da t b a W C t s b a z v 2,)(),(1)(⎰⎰∞∞-∞∞-=ψ 其中：⎰∞∞-=ωωωψd C v |||)(|4.容许条件和重构公式小波变换重构原信号需要的条件，分别由Calderon,Grossman 和Morlet 分别于1964年在纯数学领域和信号分析领域独立找到，称为容许条件⎰∞∞-=ωωωψd C v |||)(|<∞ 事实上， 0)0(=ψ 更一般的要求是在0=ω处)(ωψ连续可积，即)(t ψ有七阶消失矩[17]⎰∞∞-=0)(2dt t t ψ利用Parseval 公式和傅里叶变换的性质可以得到以下重构公式 ⎰⎰∞∞-∞∞-=2,)(),(1)(a dadb t b a W C t s b a z vψ 由此得到以下能量守恒公式 222|),(|1|)(|adadb b a W C dt t s v v ⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-= 5.小波变换的性质(1)线性性质若 ),()]([b a W t s W T t i =，则对任何常数集{,.........2,1,=i a i } 有∑=ii i i b a W a t s WT ),()]([(2)平移不变性若),()]([b a W t s WT z =，则),()]([ττ-=-b a W t s W T z(3)伸缩共变性若),()]([b a W t s W T t i =，则0),,(1)]([>=c cb ca W c ct s WT v(4)自相似性对不同尺度因子a 和平移因子b ，小波变换是自相似的。
(5)冗余性连续小波变换中存在信息表达的冗余，如一维信号的小波变换是二维的，存在信息的重复表达。
(6)能量守恒与短时傅里叶变换不同，小波变换不增加信号的能量。
多分辨率分析小波分析之前的许多技术发展都来自一个称为多分辨率分析的领域。
多分辨率分析的发展是为了克服Fourier 分析存在的局限性。
通常我们希望在较大的尺度上，可以看到物体的总体特征，而在较小的尺度上，则看到物体某一部分的细节特征。
如果把一个对象分解到不同的尺度上，就可以达到我们的期望。
这便是多分辨率分析的基本思想。
沿着多分辨率分析的发展，开成了现代的小波分析。
多分辨率分析又称多尺度分析，它是在)(2R L 函数空间内，将函数f 描述为一系列近似函数的极限。
每一个近似都是函数f 的平常版本，而且具有越来越精细的近似函数。
这些近似都是在不同尺度得到的，多分辨率分析由此得名。
三、 基于小波变换的图像压缩小波图像压缩中小波基的选取利用小波变换的伸缩平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，用以解决许多Fourier 变换难以解决的问题，已越来越多地受到人们的广泛关注，并在许多应用中取得了可喜的成果。
Fourier 分析中基函数是唯一的，而作为小波变换的基函数却不是唯一的，满足一定条件的函数均可作为小波基函数，因而寻找具有优良特性的小波基函数就成为小波理论中一个重要的方面。
小波基的压缩性能直接影响了恢复图像的质量。
提出的改进的DWT 算法的基础上，对几种小波基的性能进行了研究比较。
小波基特征分析小波变换用于图像压缩，主要涉及以下几方面：(1)使用哪一种小波滤波；(2)如何将一维推广到N 维；(3)多级分解时采用的模式；(4)边界延拓；(5)量化与编码。
