2019-2020学年高中数学 等比数列前n项和导学案1 新人教A版必修5.doc

明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．[情境导学]国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答 所得数列为1,2,4,8，…，263.它首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？ 答 转化为求通项为a n ＝2n－1的等比数列前64项的和．思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？答 不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等． 思考4 如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?答 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n . S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q；当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.小结 (1)千粒麦子的质量约为40 g,1.84×1019粒麦子相当于7 000多亿吨，而目前世界年度小麦产量约6亿吨，所以国王是无法满足发明者要求的． 0(2)等比数列{a n }的前n 项和S n 可以用a 1，q ，a n 表示为 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a nq1－q ，q ≠1.例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081.反思与感悟 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错． 跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.探究点二 等比数列前n 项和的实际应用例2 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?解 根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30 000. 于是得到5 000(1－1.1n )1－1.1＝30 000.整理，得1.1n ＝1.6.两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6. 用计算器算得n ＝lg 1.6lg 1.1≈0.200.041≈5(年)．答 大约5年可以使总销量达到30 000台．反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三 错位相减法求和思考 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{n2n }前n项和？答 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)·a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)·a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)，n 2(a ＝1)，1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1，n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ， x ＝1答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ； 当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________． 答案 11a (1.15－1)解析 注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)． [呈重点、现规律]1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0. ∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.8．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1 ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2 ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 二、能力提升9．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米 答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 10．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3， ∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨． 三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.高中数学-打印版精心校对 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n .所以S n ＝n 2n －1.当n ＝1时也成立． 综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。

高中数学 2.5 等比数列的前 n 项和 (1) 学案新人教 A 版必修 5学 目1. 掌握等比数列的前n 和公式； 2. 能用等比数列的前 n 和公式解决.学 重 点1. 重点： 等比数列的前 n 和公式的推2. 点：等比数列的前 n 和公式 用一、 前回复 1：什么是数列前 n 和？等差数列的数列前 n 和公式是什么？复 2：已知等比数列中， a 33 ， a 6 81 ，求 a 9 , a 10 .二、新 探究※ 学 探究 探究任 ： 等比数列的前 n 和故事：“国王 国 象棋的 明者的 励”新知： 等比数列的前 n 和公式等比数列 a 1, a 2 , a 3 ,L a n L 它的前 n 和是 S n a 1 a 2 a 3 L a n ，公比 q ≠ 0，公式的推 方法一：S n a 1a 1 q a 1q 2L a 1q n 2 a 1q n 1 ，(1 q )S nqS n当 q 1 ， S n①或 S n②当 q =1 ， S n 公式的推 方法二：由等比数列的定 ，a 2 a 3 La na 2 a 3 L a n S n a 1 q ，a 1a 2an 1q ，有a 2 L a n 1S na na 1即S n a 1 q .∴ (1 q) S n a 1a n q （ 同上）S na n公式的推 方法三：S n a 1 a 2 a 3 L a n ＝ a 1 q(a 1 a 2 a 3 L a n 1 ) ＝ a 1 qS n 1 ＝ a 1 q( S n a n ) .∴(1 q )S n a 1 a n q （ 同上）：求等比数列1 ， 1 ， 1，⋯的前 8 的和.2 4 8※ 一1 已知 a =27， a =1 ， q <0，求 个等比数列前5 的和.19243式： a 1 3 ， a 5 48 . 求此等比数列的前 5 和 .12 某商 今年 售 算机 5000 台，如果平均每年的 售量比上一年的 售量增加10%，那么从今年起，大 几年可使 售量达到30000 台 ( 果保留到个位 )?※ 模仿1. 等比 数列中， a 3 3 ,S 3 9 , 求a 1 及q.2 22. 一个球从 100m 高出 自由落下，每次着地后又 回到原来高度的一半再落下，当它 第10次着地 ，共 的路程是多少？（精确到 1m ） 三、 提升※ 学 小1. 等比数列的前 n 和公式；2. 等比数列的前 n 和公式的推 方法；3. “知三求二” ，即：已知等比数列之a 1 ,a n , q, n, S n 五个量中任意的三个，列方程可以求出其余的两个 . ※ 知 拓展1. 若 q1， *qmN ， S,S S,S S ,构成新的等比数列，公比.mm2mm3m2m2. 若三个数成等比数列，且已知 ，可 三个数a, a, aq . 若四个同符号的数成等q比数列，可 四个数 a a 3.q 3 , , aq,aq q3. 明等比数列的方法有：（ 1）定 法：a n 1 q ；（ 2）中 法：a n 1 2a n ga n 2 .a n4. 数列的前 n 和构成一个新的数列，可用 推公式S 1 a 1表示 .S n S n 1 a n ( n 1)当堂1. 数列 1， a ， a2， a 3 ，⋯， a n 1 ，⋯的前 n 和 （ ） .A.1 a n B.1 a n 1 C.1 a n2 D. 以上都不1 a1 a1 a2. 等比数列中，已知 a 1 a 2 20 ， a 3 a 4 40 ， a 5 a 6（） .A. 30B. 60C. 80D. 1603. { a n } 是由正数 成的等比数列，公比2，且 a 1 a 2 a 3a 30 230，那么 a 3 a 6 a 9 a 30（） .A. 210B. 220C. 1D.2 604. 等 比数列的各 都是正数，若a 1 81, a 516 ， 它的前5 和.5. 等比数列的前 n 和 S n3n a ， a ＝ .后作1. 等比数列中，已知a 1 1,a 464, 求 q 及 S 4 .22.在等比数列a n中，a1a633,a2 ga532 ，求 S6 .课后反思3。

【学习目标】1. 掌握等比数列的前n 项和公式；2. 能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题. 【重点难点】重点:等比数列前n 项和公式的推导过程和思想难点:在具体的问题情境中，如何灵活运用这些公式解决相应的实际问题 【知识链接】（预习教材P 55 ~ P 56，找出疑惑之处）复习1：什么是数列前n 项和？等差数列的数列前n 项和公式是什么？复习2：已知等比数列中，33a =，681a =，求910,a a .【学习过程】 ※ 学习探究探究任务： 等比数列的前n 项和 故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”新知：等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++，公比为q ≠0，公式的推导方法一：则22111111n n n nS a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩(1)n q S ∴-= 当1q ≠时，n S = ①或n S = ②当q =1时，n S = 公式的推导方法二：由等比数列的定义，32121n n a a aq a a a -====，有231121n n n n n a a a S a q a a a S a -+++-==+++-，即 1n n nS a q S a -=-. ∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）公式的推导方法三：n S =123n a a a a +++＝11231()n a q a a a a -++++＝11n a qS -+＝1()n n a q S a +-.∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）试试：求等比数列12，14，18，…的前8项的和.※ 典型例题 例1已知a 1=27，a 9=1243，q <0，求这个等比数列前5项的和.变式：13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?※ 动手试试练1. 等比数列中，33139,.22a S a q ==,求及练2. 一个球从100m 高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m ）【学习反思】 ※ 学习小结1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法；3. “知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.※ 知识拓展1. 若1q ≠-，*m N ∈，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅构成新的等比数列，公比为m q .2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,,aa aq q. 若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为33,,,a aaq aq q q.3. 证明等比数列的方法有：（1）定义法：1n n aq a +=；（2）中项法：212n n n a a a ++=.4. 数列的前n 项和构成一个新的数列，可用递推公式111(1)nn n S a S S a n -=⎧⎨=+>⎩表示.【基础达标】※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（ ）.A. 11n a a --B. 111n a a +--C. 211n a a+-- D. 以上都不对2. 等比数列中，已知1220a a +=，3440a a +=，则56a a +=（ ）. A. 30 B. 60 C. 80 D. 1603. 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比为2，且30123302a a a a ⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅=（ ）. A. 102 B. 202 C. 1 D. 6024. 等比数列的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项和为 .5. 等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a ＝ . 【拓展提升】1. 等比数列中，已知1441,64,.a a q S =-=求及2. 在等比数列{}n a 中，162533,32a a a a +==，求6S .。

2.5 等比数列的前n 项和(一)自主学习知识梳理1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝ (q ≠1)(q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和的一个常用性质：在等比数列中，若等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝－1，且m 为偶数时，S m ＝S 2m ＝S 3m＝0，此时S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 不成等比数列；当q ≠－1或m 为奇数时，S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 成等比数列．3．推导等比数列前n 项和的方法叫__________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．自主探究阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程．方法一：设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和是S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .由等比数列的通项公式可将S n 写成S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① ①式两边同乘以q 得qS n ＝________________________________.②①－②，得(1－q )S n ＝____________，由此得q ≠1时，S n ＝__________，因为a n ＝________，所以上式可化为S n ＝________.当q ＝1时，S n ＝__________.方法二：由等比数列的定义知a 2a 1＝a 3a 2＝…＝a na n －1＝q .当q ≠1时， a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n ＝q .故S n ＝____________.当q ＝1时，S n ＝____________.方法三：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2) ＝a 1＋qS n －1＝a 1＋q (S n －a n )当q ≠1时，S n ＝____________＝____________. 当q ＝1时，S n ＝________.对点讲练知识点一 有关等比数列前n 项和的计算例1 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n .总结涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错．变式训练1在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a3a n－2＝128，S n＝126，求n和q.知识点二利用等比数列前n项和的性质解题例2在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.总结通过两种解法比较，可看出，利用等比数列前n项和的性质解题，思路清晰，过程较为简捷．变式训练2等比数列的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝30，S60＝630，求S70的值．知识点三 错位相减法的应用例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0，n ∈N *)．总结 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用这一思路和方法．变式训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．教材中的推导方法叫做错位相减法，这种方法是我们应该掌握的重要方法之一．它适合数列{a n b n }的求和，其中{a n }代表等差数列，{b n }代表等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法.课时作业一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．1282．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．333．已知公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( )A.q n S nB.S n q nC.1S n q n －1D.S n a 21qn －1 4．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510 5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30题 号 1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________.7．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 8．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________. 三、解答题 9．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．§2.5 等比数列的前n 项和(一)知识梳理1．(1)a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－qna 13．错位相减 自主探究a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1qn －1＋a 1q na 1－a 1q na 1(1－q n )1－q a 1q n －1 a 1－a n q 1－qna 1a 1－a n q1－qna 1 a 1－a n q 1－q a 1(1－q n )1－q na 1 对点讲练例1 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝72，S 6＝632，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝72， ①a 1(1－q 6)1－q ＝632. ②②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝12，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.变式训练1 解 ∵a 3·a n －2＝a 1·a n ， ∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n＝66，得①⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，或②⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝64.将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q＝126，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q ，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.例2 解 方法一 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48a 1(1－q2n)1－q＝60①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q ＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 方法二 因为{a n }为等比数列，且q ≠1， 所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63.变式训练2 解 设b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，…，则b 7＝S 70－S 60.因为q ≠1，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 70－S 60成等比数列，所以b 1，b 2，…，b 7成等比数列，首项为b 1＝10，公比为q ＝b 2b 1＝2010＝2.求得b 7＝10·26＝640.由S 70－S 60＝640，得S 70＝1 270.例3 解 (1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，①xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，②①－②得，(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).变式训练3 解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)n 2(a ＝1)1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).课时作业1．C [设公比为q ，则由a 1＝1，a 5＝16得a 5＝a 1q 4， 即16＝q 4，由q >0，得q ＝2.则S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127.]2．D [由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q ＝1＋q 5＝1＋25＝33.] 3．D [数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，且首项为1a 1，公比为1q ，其前n 项和为：1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q n 1－1q＝1a 21q n －1·a 1(q n －1)q －1＝S na 21qn －1.] 4．D [由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.]5．C [q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q ＝10a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3或q 10＝－4(舍去)，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.] 6.152解析 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 7．10解析 ∵S n ＝a 1－a n q1－q ，∴－341＝1＋512q1－q ，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.8．2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， ∴a 1＝2a 1－1， ∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.9．解 方法一 由已知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1(1－q 4)1－q＝5×a 1(1－q 2)1－q ， ② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)．∴(q 2－4)(q 2－1)＝0.又q <1.∴q ＝－1或q ＝－2.当q ＝－1时，a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1.当q ＝－2时，a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1.方法二 ∵S 4＝5S 2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)．∴a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)．(1)当a 1＋a 2＝0，即a 2＝－a 1， 即q ＝－1时，a 3＋a 4＝0适合；∵a 3＝2，∴a 1＝2(－1)2＝2，∴a n ＝2×(－1)n －1.(2)当a 1＋a 2≠0时，a 3＋a 4a 1＋a 2＝4.即q 2＝4.又q <1，∴q ＝－2，a 1＝2(－2)2＝12，此时，a n ＝12×(－2)n －1. 10．(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13(a n －1)－13(a n －1－1)， 得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．。