试卷4 A
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《自动控制原理》试卷（四）A1. 控制系统的方框图如图所示，试用梅逊公式求系统的传递函数。
15分2. 已知系统的特征方程如下，判断系统的稳定性。
10分0441086223456=++++++s s s s s s3. 设一反馈控制系统的开环传递函数如下，试绘制K1变化时系统特征方程的根轨迹。
20分)22)(3()()(21+++=s s s s K s H s G4. 已知单位负反馈系统的开环传递函数：)1)(120)(110()12(100)(++++=s ss s s s G试求系统的相角裕度和幅值裕度。
15分 5. 设1型单位反馈系统原有部分的开环传递函数为：)1()(+=s s K s G要求设计串联校正装置，使系统具有K=12及γ=40度的性能指标。
15分 6. 试用等倾线法画出相轨迹。
10分0=++∙∙∙x x x7．采样系统结构图如图所示，)15(10)(1+=s s s W ，采样周期T=1秒，试判断闭环系统的稳定性。
15分{}1)(1-=z zt Z{}e z z e Z aT at ---=《自动控制原理》试卷（四）A 标准答案与评分标准1.（本题15分）………………………………………………3分两条前向通道及三个相互接触的回路为)()()()()()()()()()()()(23231212121423211s H s G s G L s H s G s G L s H s G L s G p s G s G s G p -==-=== …………………………………………5分信号流程图的特征式为：∆=∆=∆+-+=++-=∆21232121123211)()()()()()()()(1)(1s H s G s G s H s G s G s H s G L L L …………4分根据梅逊公式，系统的传递函数为)()()()()()()()()(1)()()()(1)()(4232121123212211s G s H s G s G s H s G s G s H s G s G s G s G p p s G s C ++-+=∆+∆∆=………………………………………………3分 2．（本题10分） 列劳斯表 ……………………………………………………………………………………2分6s 1 6 10 4 5s 2 8 4 4s 2 8 4 3s 0 0劳斯表中第四行所有系数为零，根据劳斯判据，说明系统中有大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
…………………………………1分 用上一行系数构成一个辅助方程：482)(24++=s s s A …………………………………………1分将辅助方程对s 求导得：()s s ds s dA 1683+= ……………………………………………1分将上式中的系数取代全为零的那行系数并继续列劳斯表：………………………………………… 2分3s 8 16 2s 4 4 1s 8s 4劳斯表第一列没有符号变化，说明系统在有半平面没有极点。
但由于第四行各项系数为零，系统有共轭虚数极点。
这些极点刻有辅助方程求得：765.0847.14,32,1j s j s ±=±=由于系统存在共轭虚数极点，系统处于稳定的临界状态，在实际中，处于临界稳定状态的系统是不能够正常工作的。
………………………………………………………………………………3分3．（本题20分）此系统的开环极点为11,3,04,321j p p p ±-=-==无开环零点。
…………………………2分据规则二可知，根轨迹共有4条分支，K1=0时分别从四个开环极点出发，K1趋于无穷时趋向无穷远处。
……………………………………………………………1分 有规则三可见，在实轴上的[-3，0]之间有根轨迹存在。
…………………………………………2分 按规则四和五，可得：25.141133,2,1,0,315,225,135,454180)12(00000=---===+=a a q q σϕ ……………………………2分利用规则六可以确定根轨迹与实轴的交点。
有系统的特征方程可得：)5.1475.3(4)685()22)(3(23123421=+++-=+++-=+++-=s s s dsdK s s s s s s s s K上式的根为：365.0725.0,3.2j s ±--=，显然，3.2=s 为根轨迹与实轴的交点（分离点）…………………………………3分根据相角条件可以判断出分离角为+90度和-90度。
对应于分离点的K1可以求出：[]33.464.1*64.1*7.0*3.2111133.21==-++++=-=s j s j s s s K ……………2分根据规则七可以求出根轨迹在p3的出射角00006.71)6.2690135()12(180-=---++=q p ϕ………………………………………2分根据规则八确定根轨迹的两条分支与虚轴的交点，用劳斯判据，特征方程为06851234=+++K s s s ss4 1 8 K1 s3 5 6 s2 34/5 K1s1 5/3455/2041K - 0s0 K1 0令劳斯表中s1行的首项为零，求得K1=8.16.根据表中s2行的系数写出辅助方程()05/3412=+K s 令s=jw,K1=8.16代入上式取得=±1.1 。
由此可见根轨迹的两条分支与虚轴交于1.1和-1.1处，对应的K1=8.16。
………………………3分-8-6-4-2024-505Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s……………………………3分4．（本题15分）由题给出的传递函数知，系统的交接频率依次为1，2，10和20。
低频段的渐近线的斜率为-20，且过（1，40db ）点。
系统相频特性按下式计算()20102900ωωωωωϕarctgarctgarctg arctg---+-= …………………………3分-1000100M a g n i t u d e (d B )10-210-110101102103-270-225-180-135-90P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)………2分由对数幅频渐进特性求得c ω的近似值为14.1 用试探法求得 c ω=13.1 ………………………………………………………………2分 系统的穿越频率 r ω=18 ……………………………………………………………2分 系统的幅值裕度和相角裕度分别为()()001.16180512.01-=+===r c j G h ωϕγω ……………………………………6分5．（本题15分）解：当K=12时，未校正系统的伯德图如图中的曲线G 0，可以计算出其剪切频率ωc1。
由于伯德曲线自ω=1s -1开始以-40Db/dec 的斜率与零分贝线相交于ωc1，故存在下述关系：40/lg 12lg 20=ωωc由于ω=1s -1故 11146.312--==s s c ω 于是未校正系统的相角裕度为000402.1690180<=--=c arctg ωγ …………………2分 为使系统相角裕量满足要求，引入串联超前校正网络。
………………………………………2分在校正后系统剪切频率处的超前相角应为 m o ϕϕ=+-=00012.612.1640因此 334.030sin 130sin 10=+-=α (1)分在校正后系统剪切频率m c ωω=2处校正网络的增益应为10lg(1/0.334)=4.77dB ………………1分根据前面计算ωc1的原理，可以计算出未校正系统增益为-4.77dB 处的频率即为校正后系统之剪切频率ωc2，即40/lg )334.0/1lg(1012=c c ωω或)334.0/1lg(41lg12=c c ωω于是 m c c s ωωω===-141255.43 ………………………………2分校正网络的两个交接频率分别为12119.7//163.2/1--======s s m m αωατωαωτω ………………………2分为补偿超前校正网络衰减的开环增益，放大倍数须提高1/α=3倍。
经过超前校正后，系统开环传递函数为 ………………………………………………2分)19.7/)(1()163.2/(12)()()(+++==s s s s s G s G s G o c其相角稳定裕度为004.429.7/55.455.463.2/55.490180=--+-=arctg arctg arctg γ………1分符合给定相角裕度的要求。
……………………………………………2分6．（本题10分） 由原式令∙=x y1+-==--=--=∙∙∙∙∙∙c x y c xxx dx x d xx x ……………………………………………3分由上式可知，等倾线为一簇过原点的直线，斜率是c k +-=11，给定不同的c,便可画出的相轨迹为 ……………………………………………………4分7．（本题15分）解：开环脉冲传递函数为：)1(10}2.011{10})15(10{)}({)(2.01TK e z z z z s s Z s s Z s W Z z W ----=+-=+==即：TK e z e z e z z W 2.0)1()1(10)(-++--=， (5)分其闭环特征方程式为：1+W K (z)=0，即： ……………………………………………………2分0)11010(2.02.02.02=+---+---TTTez eez ，代入T=1，得：0819.0009.02=+-z z ， ………………………………………………………………………3分解得特征根为：z 1,2≈0.0045±j0.904，其模为： ………………………………………2分∣z 1,2∣=0.904<1，所以，系统稳定。
…………………………………………………………3分<FONT。
