杭州市公益中学2020学年第一学期七年级10月数学质量检测

2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区公益中学九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若，则等于（）A．B．C．D．2．二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）3．在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是（）A．2个B．4个C．18个D．16个4．已知⊙O的半径为5，一条弦的弦心距为3，则此弦的长为（）A．6B．4C．8D．15．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y＝﹣（x+2）2+k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y36．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝20°，则∠D的度数是（）A．70°B．100°C．110°D．120°7．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y＝（s﹣1）x2+（t﹣6）x+1，当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则st的最大为（）A．4B．6C．8D．10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BDC＝3∠ACD，AD＝2，DB＝1，则AC的值为（）A．1+B．3C．2+D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共2分请把答案填在题中的横线上11．已知y＝2x2﹣3x+1，当x＝1时，函数值为．12．一枚质地均匀的骰子，每个面标有的点数是1～6，抛掷骰子，点数是3的倍数的概率是．13．一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC＝1，则⊙O的半径为．14．如图，在△ABC中，AB＝5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE＝∠B，若AD•BC的值为10，则DE 的长为．15．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，点M为上任意一点（点M不与点A、点B重合），连结MB、MO，取BC的中点D，取OM的中点E，连结DE，若∠OED＝α，则∠MBC的度数为．（用含α的代数式表示）16．如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上，DE与AF相交于点P．已知DF＝6，AP＝5．若将矩形ABCD沿AF折叠后，点D恰好与点E重合，则PF＝；△ABE的面积为．三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出必要的文字说明、证明过程成演算步17．（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c．（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．18．已知二次函数y＝x2﹣2x+a过点（1，1）．（1）求二次函数解析式；（2）把函数图象向下平移2个单位，得到的函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB的长．19．“双十一”购物日中不乏冲动消费者，某数学兴趣小组对消费行为进行调查．按购物数量x（件）分为以下4类：A（x≤3），B（x＝4），C（x＝5），D（x≥6），根据调查结果制作了两图统计图（不完整），已知购买4件商品的消费者中，理性购物人数所占比例为80%．根据图中信息回答下列问题：（1）本次调查的总人数为人；（2）补全条形统计图．（3）小张在“双十一”共购进7件商品，其中4件服装购自“天猫商城”，3件电子产品购自“京东商城”，由于冲动消费，小张决定从服装和电子产品中各随机选择1件进行退货，已知“天猫商城”购买的4件服装中仅1件支持退货，“京东商城”购买的电子产品中仅2件支持退货．请用列表或树状图的方法，求小张选出的2件商品均能退货的概率．20．某农场拟建一个梯形饲养场ABCD，其中AD，CD分别靠现有墙DM，DN，其余用新墙砌成，墙DM长为9米，墙DN足够长，两面墙形成的角度为135°，新墙DE将饲养场隔成△CDE和矩形ABED两部分．已知新建墙体总长为30米．设AB＝x米，梯形饲养场ABCD的面积为S米2．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当x为何值时，饲养场ABCD的面积最大，并求出最大面积．21．如图，在四边形ABCD中，E是AD上的一点，EC∥AB，EB∥DC．（1）△ABE与△ECD相似？为什么？（2）设△ABE的边BE上的高为h1，△ECD的边CD上的高为h2，△ABE的面积为3，△ECD的面积为1，求的值及△BCE的面积．22．已知二次函数y1＝ax2﹣bx+c，y2＝cx2﹣bx+a，这里a、b、c为常数，且a＞0，c＜0，a+c≠0．（1）若b＝0，令y＝y1+y2，求y的函数图象与x轴的交点数；（2）若x＝x0时，y1＝p，y2＝q，若p＞q，求x0的取值范围；（3）已知二次函数y1＝ax2﹣bx+c的顶点是（﹣1，﹣4a），且（m﹣1）a﹣b+c≤0，m为正整数，求m的值．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点M是AB边上一点（点M不与点A，B重合），DM的延长线交⊙O于点E，DN⊥DE，且交BC于点N，连结EB，MN．（1）求证：点D是AC的中点；（2）若∠EBA＝30°，求∠NMB的度数；（3）若AM＝2，MB＝4，求DE的长．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若，则等于（）A．B．C．D．【分析】设a＝5k，b＝8k，再把a＝5k，b＝8k代入求出即可．解：∵＝，∴设a＝5k，b＝8k，∴＝＝，故选：A．2．二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣1，∴该函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1），故选：C．3．在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是（）A．2个B．4个C．18个D．16个【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．解：设袋中有黄球x个，由题意得＝0.2，解得x＝16．故选：D．4．已知⊙O的半径为5，一条弦的弦心距为3，则此弦的长为（）A．6B．4C．8D．1【分析】画出图形，连接OA，根据勾股定理求出AC，根据垂径定理求出AC＝BC，再求出答案即可．解：如图所示：连接OA，∵弦AB的弦心距OC＝3，∴OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，由勾股定理得：AC＝＝＝4，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC＝BC＝4，∴AB＝4+4＝8，故选：C．5．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y＝﹣（x+2）2+k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到答案．解：∵抛物线y＝﹣（x+2）2+k，∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，∵A（﹣4，y1）与点（0，y1）关于直线x＝﹣2对称，且﹣2＜﹣1＜0＜2，∴y3＜y1＜y2．故选：C．6．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝20°，则∠D的度数是（）A．70°B．100°C．110°D．120°【分析】连接BC，∠D是圆内接四边形ABCD的一个角，根据圆内接四边形的对角互补，只要求出∠B即可，根据AB是直径，则△ABC是直角三角形，根据内角和定理即可求解．解：连接BC，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝20°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，∵圆内接四边形的对角互补，∴∠D+∠ABC＝180°，∴∠D＝180°﹣70°＝110°，故选：C．7．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°【分析】由垂径定理知∠BOC＝∠AOC＝50°，再根据圆周角定理可得答案．解：∵BD是⊙O的直径，BD⊥AC，∠AOC＝100°，∴∠BOC＝∠AOC＝50°，则∠BDC＝∠BOC＝25°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠BDC＝25°．故选：B．8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】由GE∥BD、GF∥AC利用平行线分线段成比例，可得出＝，，进而可得出，此题得解．解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴＝，，∴．故选：C．9．已知二次函数y＝（s﹣1）x2+（t﹣6）x+1，当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则st的最大为（）A．4B．6C．8D．【分析】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的s，t的取值范围，将st转化为含一个未知数的整式求最值．解：抛物线y＝（s﹣1）x2+（t﹣6）x+1，的对称轴为直线x＝，①当s＞1时，抛物线开口向上，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴≥2，即2s+t≤8．解得t≤8﹣2s，∴st≤s（8﹣2s），∵s（8﹣2s）＝﹣2（s﹣2）2+8，∴st≤8．②当0≤s＜1时，抛物线开口向下，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴≤1，即s+t≤7，解得s≤7﹣t，∴st≤t（7﹣t），t（7﹣t）＝﹣（t﹣）2+，当s＝t＝时，st有最大值，∵0≤s＜1，∴此情况不存在．综上所述，st最大值为8．故选：C．10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BDC＝3∠ACD，AD＝2，DB＝1，则AC的值为（）A．1+B．3C．2+D．【分析】延长BA至E，使AE＝AC，连接CE，设AE＝AC＝a，通过证明△CDA∽△EDC，列比例式可求得CD2＝4+2a，利用勾股定理可得CD2﹣BD2＝AC2﹣AB2，即可得关于a的方程，解方程可求解a值，即可求得AB的长．解：延长BA至E，使AE＝AC，连接CE，设AE＝AC＝a，∴∠E＝∠ACE，∵∠CDB＝∠CAD+∠ACD＝2∠E+∠ACD＝3∠ACD，∴∠ACD＝∠E，∵∠CDA＝∠EDC，∴△CDA∽△EDC，∴CD：ED＝AD：CD，∴CD2＝ED•AD＝2（2+a）＝4+2a，在Rt△CBD中，CB2＝CD2﹣BD2，在Rt△ACB中，CB2＝AC2﹣AB2，∴CD2﹣BD2＝AC2﹣AB2，∴4+2a﹣1＝a2﹣32，解得a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），∴AB＝1+，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共2分请把答案填在题中的横线上11．已知y＝2x2﹣3x+1，当x＝1时，函数值为0．【分析】根据函数值的求法，直接将x＝1代入函数关系式得出即可．解：y＝2x2﹣3x+1，当x＝1时，y＝2×12﹣3×1+1＝0．故答案为：0．12．一枚质地均匀的骰子，每个面标有的点数是1～6，抛掷骰子，点数是3的倍数的概率是．【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的有3，6，故骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是＝．故答案为：．13．一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC＝1，则⊙O的半径为1．【分析】连接OB、OC，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝1．解：连接OB、OC，如图，∵∠A与∠BOC都对，∠A＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∵BC＝1，∴OB＝BC＝1，即⊙O的半径为1．故答案为：1．14．如图，在△ABC中，AB＝5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE＝∠B，若AD•BC的值为10，则DE 的长为2．【分析】根据题意，得∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，可求证△ADE∽△ABC，可得，即AD•BC＝AB•DE，即可求解．解：∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，即AD•BC＝AB•DE，∵AB＝5，AD•BC＝10，∴DE＝2．故答案为：2．15．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，点M为上任意一点（点M不与点A、点B重合），连结MB、MO，取BC的中点D，取OM的中点E，连结DE，若∠OED＝α，则∠MBC的度数为60°+α．（用含α的代数式表示）【分析】连接OD，并反向延长，利用垂径定理及其推论可得OD⊥BC，根据轴对称图形的性质可得DO的延长线经过点A；利用等边三角形的内心与外心重合，可得∠OBD＝30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得OD＝OB，利用已知条件可判定△OED为等腰三角形，利用三角形内角和定理的推论可得∠AOM＝2α，利用圆周角定理可求∠ABM，结论可求．解：连接OD，并反向延长，如图，∵D为BC的中点，∴OD⊥BC．∵△ABC是等边三角形，∴DO的延长线经过点A．∵等边△ABC内接于⊙O，∴点O既是三角形的外心也是三角形的内心，∴OB平分∠ABC．∴∠OBC＝×60°＝30°．∵OD⊥BC，∴OD＝OB，∵点E是OM的中点，∴OE＝OM．∵OM＝OB，∴OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED＝α．∴∠AOM＝∠OED+∠ODE＝2α．∵∠ABM＝∠AOM，∴∠ABM＝α．∴∠MBC＝∠ABM+∠ABC＝α+60°．故答案为：60°+α．16．如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上，DE与AF相交于点P．已知DF＝6，AP＝5．若将矩形ABCD沿AF折叠后，点D恰好与点E重合，则PF＝；△ABE的面积为20．【分析】先证明△DFP∽△AFD，可求PF＝，AF＝6，在Rt△ADF中，求出AD＝6，再证△CEF∽△BAE，得到BE＝CF，在Rt△BAE中，由勾股定理得（6）2＝（6+CF）2+（CF）2，求出CF＝4，即可求AB＝10，EB＝4，所以S△AEB＝×AB×EB＝20．解：由折叠可知，DP⊥AF，EF＝DF，AE＝AD，∵∠ADF＝90°，∴∠FDP+∠ADP＝90°，∠ADP+∠DAP＝90°，∴∠FDP＝∠DAP，∴△DFP∽△AFD，∴＝，∵DF＝6，AP＝5，∴＝，∴PF＝，∴AF＝6，在Rt△ADF中，AD＝＝＝6，∴AD＝AE＝6，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠EFC＝90°，∠AEB+∠EAB＝90°，∴∠EFC＝∠EAB，∴△CEF∽△BAE，∴＝，∵EF＝6，∴＝，∴BE＝CF，在Rt△BAE中，AE2＝AB2+BE2，∴（6）2＝（6+CF）2+（CF）2，∴CF＝4，∴AB＝10，EB＝4，∴S△AEB＝×AB×EB＝×10×4＝20．故答案为：，20．三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出必要的文字说明、证明过程成演算步17．（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c．（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．【分析】（1）由c是a，b的比例中项，得到c2＝ab，代入即可求出答案；（2）由黄金分割点的定义进行计算即可．解：（1）∵c是a，b的比例中项，∴c2＝ab＝4.5×2＝9，∴c1＝3，c2＝﹣3，∴c为3或﹣3；（2）∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，∴AC＝AB＝×4＝2﹣2．18．已知二次函数y＝x2﹣2x+a过点（1，1）．（1）求二次函数解析式；（2）把函数图象向下平移2个单位，得到的函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB的长．【分析】（1）把（1，1）代入y＝x2﹣2x+a即可得答案；（2）将函数y＝x2﹣2x+2图象向下平移2个单位后得y＝x2﹣2x，可解得A（0，0）、B（2，0）或B（0，0）、A（2，0），故AB＝2．解：（1）把（1，1）代入y＝x2﹣2x+a得：1＝1﹣2+a，解得a＝2，∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x+2；（2）将函数y＝x2﹣2x+2图象向下平移2个单位后所得函数为：y＝x2﹣2x+2﹣2，即y＝x2﹣2x，在y＝x2﹣2x中，令y＝0得x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，∴A（0，0）、B（2，0）或B（0，0）、A（2，0），∴AB＝2．19．“双十一”购物日中不乏冲动消费者，某数学兴趣小组对消费行为进行调查．按购物数量x（件）分为以下4类：A（x≤3），B（x＝4），C（x＝5），D（x≥6），根据调查结果制作了两图统计图（不完整），已知购买4件商品的消费者中，理性购物人数所占比例为80%．根据图中信息回答下列问题：（1）本次调查的总人数为60人；（2）补全条形统计图．（3）小张在“双十一”共购进7件商品，其中4件服装购自“天猫商城”，3件电子产品购自“京东商城”，由于冲动消费，小张决定从服装和电子产品中各随机选择1件进行退货，已知“天猫商城”购买的4件服装中仅1件支持退货，“京东商城”购买的电子产品中仅2件支持退货．请用列表或树状图的方法，求小张选出的2件商品均能退货的概率．【分析】（1）由A类的理性购物人数除以它所占的百分比得到理性购物人数的总人数为40人，再由B类理性购物人数所占的百分比可计算出B类理性购物人数为16人，利用购买4件商品的消费者中，理性购物人数所占比例为80%可计算出B类购物人数，然后把四类购物人数相加即可得到本次调查的总人数即可；（2）补全条形统计图即可；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出2件商品均能退货的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）理性购物的总人数为12÷30%＝40（人），则B类理性购物人数为40×40%＝16，∴B类购物人数为16÷80%＝20（人），本次调查的总人数为15+20+15+10＝60（人），故答案为：60；（2）补全条形统计图为：（3）用1、2、3、4表示购自“天猫商城的4件服装，且4为支持退货的服装；3件电子产品用5、6、7表示，且6、7为支持退货的电子产品，画树状图为：共有12种等可能的结果，其中小张选出的2件商品均能退货的结果有2种，∴小张选出的2件商品均能退货的概率＝＝．20．某农场拟建一个梯形饲养场ABCD，其中AD，CD分别靠现有墙DM，DN，其余用新墙砌成，墙DM长为9米，墙DN足够长，两面墙形成的角度为135°，新墙DE将饲养场隔成△CDE和矩形ABED两部分．已知新建墙体总长为30米．设AB＝x米，梯形饲养场ABCD的面积为S米2．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当x为何值时，饲养场ABCD的面积最大，并求出最大面积．【分析】（1）根据矩形和等腰直角三角形的性质得出AB＝DE＝CE＝x米，AD＝BE＝30﹣3x米，再由矩形和三角形的面积公式可得S关于x的函数解析式；（2）由墙DM长为9米得出x的取值范围，再将函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质可得最值情况．解：（1）∵四边形ABED是矩形，∴AB＝CE＝x米，∠ADE＝∠DEC＝90°，∵∠ADC＝135°，∴∠EDC＝∠DCE＝45°，∴CE＝DE＝x米，∴BE＝（30﹣3x）米，∴S＝x（30﹣3x）+x2＝﹣x2+30x；（2）∵30﹣3x≤9，∴x≥7，S＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣6）2+90，∵当x＞6时，S随x的增大而减小，∴当x＝7时，S max＝87.5，答：当x＝7时，饲养场ABCD的面积最大，最大面积为87.5平方米．21．如图，在四边形ABCD中，E是AD上的一点，EC∥AB，EB∥DC．（1）△ABE与△ECD相似？为什么？（2）设△ABE的边BE上的高为h1，△ECD的边CD上的高为h2，△ABE的面积为3，△ECD的面积为1，求的值及△BCE的面积．【分析】（1）利用平行可得到∠A＝∠CED，∠BEA＝∠D，可证明△ABE∽△ECD；（2）利用面积可求得相似比，再利用相似三角形对应边上的比等于相似比可求得，再根据△ABE和△BEC 同底，可知其面积比等于，可求得△BCE的面积．解：（1）相似，证明如下：∵AB∥CE，∴∠A＝∠CED，∵BE∥CD，∴∠BEA＝∠D，∴△ABE∽△ECD；（2）∵△ABE∽△ECD，∴＝＝＝，∵S△ABE＝BE•h1，S△BCE＝BE•h2，∴＝＝，∴＝，∴S△BCE＝．22．已知二次函数y1＝ax2﹣bx+c，y2＝cx2﹣bx+a，这里a、b、c为常数，且a＞0，c＜0，a+c≠0．（1）若b＝0，令y＝y1+y2，求y的函数图象与x轴的交点数；（2）若x＝x0时，y1＝p，y2＝q，若p＞q，求x0的取值范围；（3）已知二次函数y1＝ax2﹣bx+c的顶点是（﹣1，﹣4a），且（m﹣1）a﹣b+c≤0，m为正整数，求m的值．【分析】（1）根据题意可得：当b＝0时，y＝（a+c）x2+（a+c），由于△＝﹣4＜0，可得抛物线y＝（a+c）x2+（a+c）与x轴没有交点；（2）分两种情况：当b＜0时，如图1，若m＞n，则x0＜﹣1或x0＞1，当b≥0时，如图2，若m＞n，则x0＜﹣1或x0＞1，即可得出答案；（3）根据二次函数y1＝ax2﹣bx+c的顶点是（﹣1，﹣4a），可得y1＝ax2﹣bx+c＝a（x+1）2+4a＝ax2+2ax﹣3a，可得出a（m﹣2）≤0，运用不等式性质即可求得答案．解：（1）当b＝0时，y＝y1+y2＝（a+c）x2+（a+c），令y＝0，则（a+c）x2+（a+c）＝0，∵a+c≠0，∴x2+1＝0，∵△＝﹣4＜0，∴方程x2+1＝0没有实数根，即抛物线y＝（a+c）x2+（a+c）与x轴没有交点；（2）∵a＞0，c＜0，a+c≠0，∴抛物线y1＝ax2﹣bx+c的开口向上，抛物线y2＝cx2﹣bx+a，开口向下，当x＝1时，y1＝a﹣b+c，y2＝c﹣b+a，∴y1＝y2，当x＝﹣1时，y1＝a+b+c，y2＝c+b+a，∴y1＝y2，当b＜0时，如图1，若p＞q，即y1＞y2，则x＜﹣1或x＞1，即x0＜﹣1或x0＞1，当b≥0时，如图2，若p＞q，即y1＞y2，则x＜﹣1或x＞1，即x0＜﹣1或x0＞1，综上所述，若p＞q，则x0的取值范围为x0＜﹣1或x0＞1；（3）∵二次函数y1＝ax2﹣bx+c的顶点是（﹣1，﹣4a），∴y1＝ax2﹣bx+c＝a（x+1）2﹣4a＝ax2+2ax﹣3a，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∵（m﹣1）a﹣b+c≤0，∴（m﹣1）a+2a﹣3a≤0，∴a（m﹣2）≤0，∵a＞0，∴m﹣2≤0，∴m≤2，∴m的最大值为2．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点M是AB边上一点（点M不与点A，B重合），DM的延长线交⊙O于点E，DN⊥DE，且交BC于点N，连结EB，MN．（1）求证：点D是AC的中点；（2）若∠EBA＝30°，求∠NMB的度数；（3）若AM＝2，MB＝4，求DE的长．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ADE＝∠ABE＝30°，求得∠BDN＝∠ADM＝30°，根据全等三角形的性质得到DM＝DN，求得∠DMN＝45°，于是得到答案；（3）根据全等三角形的性质得到AM＝BN，根据勾股定理得到MN＝＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴AD＝CD，∴点D是AC的中点；（2）解：∵∠EBA＝30°，∴∠ADE＝∠ABE＝30°，∵DN⊥DE，∴∠MDN＝∠ADB＝90°，∴∠MDN﹣∠MDB＝∠AD﹣∠MDB，即∠BDN＝∠ADM＝30°，∵∠A＝∠DBN＝45°，AD＝BD，∴△ADM≌△BDN（ASA），∴DM＝DN，∴△MDN是等腰直角三角形，∴∠DMN＝45°，∵∠MDN＝90°，∠BDN＝30°，∴∠BDM＝60°，∴∠BMD＝180°﹣∠BDM﹣∠MBD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠BMN＝30°；（3）解：∵△ADM≌△BDN，∴AM＝BN，∵AM＝2，∴BN＝2．∴MN＝＝2，∵△MDN为等腰直角三角形，∠MDN＝90°，∴DN＝MN＝×2＝，∵∠E＝∠A，∠EMB＝∠AMD，∴△EMB∽△AMD，∴＝，∴EM＝＝，∴DE＝EM+DM＝+＝．。

模型10新定义问题（3）【模型分析】知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。

要点突破解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

【经典例题】例1．（2020·杭州市公益中学七年级月考）已知正整数n 小于100，并且满足等式236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则这样的正整数n 有（）A ．6个B ．10个C ．16个D ．20个【分析】由236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦，以及若x 不是整数，则[]x <x 知,,223366n n n n n n⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数，得到n 的值【解析】∵236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若x 不是整数，则[]x <x∴,,223366n n n n n n⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数∴n 值为：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96，共16个，选C 【小结】此题考查有理数的大小比较，取整计算，解题的关键是正确理解[]x 表示不超过x 的最大整数，得到,,223366n n n n n n⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数，由此解决问题.例2．（2021·全国八年级）若一个自然数t能写成t＝x2﹣y2（x，y均为正整数，且x≠y），则称t为“万象数”，x，y为t的一个万象分解，在t的所有万象分解中，若x yx y-+最小，则称x，y为t的绝对万象分解，此时F（t）＝xy．例如：32＝92﹣72＝62﹣22，因为9797-+＝18，6262-+＝12，1182<．所以9和7为32的绝对万象分解，则F（32）＝97．若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“博雅数”．例如2112，4554均为“博雅数”．若一个四位正整数m是“万象数”且能被13整除，“博雅数”n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解，则所有满足条件的数m中F（m）的最大值为______．【分析】设n的个位数字是a，十位数字是b，由“博雅数”和万象分解的定义，可以得到m=99(a+b)(a-b)，再由a与b的取值范围，m同时能被13整除，可以确定m的所有取值可能为1287，3861，6435；再将这三个数进行万象分解，确定F(m)．【解析】设n的个位数字是a，十位数字是b，∵n是“博雅数”，∵n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解，∴m＝（10a+b）2﹣（10b﹣a）2＝99（a+b）（a﹣b），∵m能被13整除，∴（a+b）（a﹣b）是13的倍数，∵1≤a≤9，0≤b≤9，∴a+b＝13，∴a＝6，b＝7；a＝7，b＝6；a＝5，b＝8；a＝8，b＝5；a＝9，b＝4；a＝4，b＝9；∴m的值所有情况为：1287＝99×13×1＝762﹣672＝362﹣32；3861＝99×13×3＝852﹣582＝752﹣422＝692﹣482；6435＝99×13×5＝942﹣492＝1022﹣632＝1142﹣332＝3622﹣3532；∵F（1287）＝7667；F（3861）＝6948；F（6435）＝362353；∴F（m）的最大值为69 48．【小结】本题考査因式分解的应用；能够通过定义，结合数整除的性质，借助因式分解准确找到符合条件的三个数的所有万象分解是解题的关键．例3．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级期末）对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，例如：四位正整数3975，百位数字与十位数字之和是16，个位数字与千位数字之和8，而16是8的两倍，则称四位正整数3975为“希望数”，类似的，四位正整数2934也是“希望数”．根据题中所给材料，解答以下问题：（1）请写出最小的“希望数”是________；最大的“希望数”是_______；（2）对一个各个数位数字均不超过6“希望数m ，设m abcd =，若个位数字是千位数字2倍，且十位数字和百位数字均是2倍数，定义()|()()|F m a b c d =+-+，求()F m 最大值．【分析】（1）根据题意可知，最小的“希望数”要使千位和百位最小，最大的“希望数”要使千位和百位最大，据此写出答案；（2）根据题意直接列出满足条件的“希望数m ，再根据定义()|()()|F m a b c d =+-+求出()F m 即可得出最大值．【解析】（1）千位数最小为1，最大为9，百位数最小为0，最大为9；根据对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，可得：出最小的“希望数”是1020；最大的“希望数”是9990；（2）一个各个数位数字均不超过6的“希望数m ，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，“希望数m ”可能是1062；1602；1242；1422；2664．当m abcd ==1602时，()|(16)(02)|=5F m =+-+；当m abcd ==1062时，()|(10)(62)|=7F m =+-+；当m abcd ==1242时，()|(12)(42)|=3F m =+-+；当m abcd ==1422时，()|(14)(22)|=1F m =+-+；当m abcd ==2664时，()|(26)(64)|=2F m =+-+；故()F m 的最大值为7．【小结】本题考查阅读材料类题目，属于创新题，同时又包含了大量计算，做此类型题目时，应注意从材料中获取解题方法、掌握定义的本质，同时本题考查了数的大小与数位的关系．【巩固提升】1．（2020·新安中学（集团）外国语学校七年级月考）若规定“！”是一种数学运算符号，且1!1=，2!212=⨯=，3!3216=⨯⨯=， ，则100!98!的值为（）A ．5049B ．99C ．9900D ．2【分析】先根据数学运算符号“！”得出100!和98!的值，再计算有理数的乘除法即可得【解析】由题意得：100!10099982198!98979621⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ 10099=⨯9900=，选C 【小结】本题考查了新运算下的有理数的乘除法，理解新运算是解题关键．2．（2020·江苏常州市·七年级期中）定义：一种对于三位数abc (其中在abc 中，a 在百位，b 在十位，c 在个位，a 、b 、c 不完全相同)的F 运算：重排abc 的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)，例如abc ＝463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次F 运算都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的F 运算也会得到一个定值，这个定值为（）A ．4159B ．6419C ．5179D ．6174【分析】设这个四位数为1234，再进行若干次F 运算即可得到这个定值．【解析】由题意，不妨设这个四位数为1234，则经过第1次F 运算的结果为432112343087-=，经过第2次F 运算的结果为87303788352-=，经过第3次F 运算的结果为853*********-=，经过第4次F 运算的结果为764114676174-=，由此可知，这个定值为6174，选D ．【小结】本题考查了数字类的规律型问题，掌握理解F 运算的定义是解题关键．3．（2020·浙江金华市·七年级期中）已知a 是不等于1-的数，我们把11a+称为a 的和倒数．如：2的和倒数为11123=+，已知211,a a =是1a 的和倒数，3a 是2a 的和倒数，4a 是3a 的和倒数，…，依此类推，则31212a a a a ⋅⋯⋅=______．【分析】根据和倒数的定义分别计算出a 1、a 2、a 3、…a 12的值，代入计算即可求解．【解析】a 1＝1，a 211112==+，a 3121312==+，413a 2513==+，515a 3815==+，618a 51318==+，7113a 821113==+，8121a 1334121==+，9134a 2155134==+，10155a 3489155==+，11189a 55144189==+，121144a 892331144==+，则a 1•a 2•a 3…a 12＝1123581321345589144123581321345589144233233⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=【小结】本题为新定义问题，理解和倒数的定义，并根据定义依次计算出a 1，a 2，a 3，a 4，a 5…a 12的值是解题关键．4．（2020·江门市新会尚雅学校八年级期中）定义：若两个二次根式a 、b 满足a b c ⋅=，且c 是有理数，则称a 与b 是关于c的共轭二次根式．若与是关于2的共轭二次根式，则m 的值为___．【分析】根据共轭二次根式的定义列等式即可得出m 的值；【解析】∵与是关于2的共轭二次根式，∴=2⨯∴1=12m 【小结】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算．5．（2020·重庆市凤鸣山中学八年级期中）进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n 个则称为n 进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个(210)n n ≤≤进制表示的数通常使用n 个阿拉伯数字()01--n 作为基数，特点是逢n 进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数()252342535469=⨯+⨯+=，则()523469=，七进制数()271361737676=⨯+⨯+=（1）请将以下两个数转化为十进制：()5333=，（746)=．（2）若一个正数可以用7进制表示为()7abc ，也可用五进制表示为()5cba ，求出这个数并用十进制表示．【分析】（1）根据进制的规则列式计算即可；（2）根据题意列得227755a b c c b a ++=++，化简成24a +b =12c ，根据a 、b 、c 的取值范围分别将a 从1开始取值验证，即可得到答案．【解析】（1）()253333535393=⨯+⨯+=，7(46)47634=⨯+=，故答案为：93，34；（2）根据题意得：227755a b c c b a ++=++，∴24a +b =12c ，∴212bc a =+，∵a 、b 、c 均为整数，且04b ≤≤，∴b =0，c =2a ，∵04a <≤，04c <≤，∴12a c =⎧⎨=⎩或24a c =⎧⎨=⎩，∵27(102)170251=⨯++=，27(204)2704102=⨯++=．∴这个数用十进制表示为51或102．【小结】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，列代数式，正确理解题意是解题的关键．6．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线．（2）如图3，已知抛物线2132y x x m =-+与x 轴交于点(2,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．①求m 的值和点D 的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，C ，D ，P 为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O ．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线；（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，顶点为1(3,)2D -；②根据抛物线解析式求出(2,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C ，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为37(,)24，中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标(1,2)．中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为51(,24-，中分线解析式为110y x =-．【解析】（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线，（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，∴抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，∴顶点为1(3,)2D -；②将0y =代入抛物线解析式21342y x x =-+，得234201x x -+=，解得2x =或4，(2,0)A ∴，(4,0)B ，令0x =，则4y =，(0,4)C ∴，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为14032(,)22-+，即37(,)24，中分线经过点O ，∴中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标为2004(,22++，即(1,2)． 中分线经过点O ，∴中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为10232(,)22-+，即51(,)24-，中分线经过点O ，∴中分线解析式为110y x =-，综上，中分线的解析式为式为76y x =或为2y x =或为110y x =-．【小结】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．模型11新定义问题（4）【模型分析】知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

2020-2021学年浙江省杭州市西湖区公益中学九年级（下）开学数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.若270y x -=，则:x y 等于（）A.2:7B.4:7C.7:2D.7:42.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝3，AC ＝4，则sin B 的值为（）A.45B.35C.34 D.433.下列说法正确的是（）A.某一事件发生的可能性非常大就是必然事件B.概率很小的事情不可能发生C.2022年1月27日杭州会下雪是随机事件D.投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次4.如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A 为60°角与直尺交点，点B 为光盘与直尺唯一交点，若 =3AB ，则光盘的直径是（）．A. B. C.6 D.35.已知抛物线2y ax bx =+经过点(3,3)A --，且该抛物线的对称轴经过点A ，则该抛物线的解析式为（）A.2123y x x =-- B.2123y x x =-+ C.2123y x x =- D.2123y x x =+6.如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD 内，点E 是AB 的黄金分割点，BE ＞AE ，若AB=2a ，则BE 长为（）A.+1）aB.1）a C.（3﹣a D.（2）a7.如图，点A 、B 、C 、D 在O 上， CBCD =，30CAD ∠=︒，50ACD ∠=︒，则ADB =∠（）A.30°B.50°C.70°D.80°8.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ：CE ＝2：3，连结AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ：S △ADF ：S △ABF 等于（）A.2：3：5B.4：9：25C.4：10：25D.2：5：259.已知函数21y x x =+-，当2m x m ≤≤+时，514y -≤≤，则m 的取值范围是（）A.2m ≥- B.21m -≤≤- C.122m -≤≤-D.1m ≤-10.如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =12，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D ．设BD =x ，tan ∠ACB =y ，则()A.x –y 2=3B.2x –y 2=9C.3x –y 2=15D.4x –y 2=21二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.四边形ABCD 是☉O 的内接四边形，50D ︒∠=，则ABC ∠的度数为____________.12.二次函数2(1)5y x =--的最小值是__．13.如图，AB 是O 的直径，弦,30,3CD AB CDB CD ⊥∠=︒=，则阴影部分图形的面积为___________．14.如图，△ABC 中，D 、F 在AB 边上，E 、G 在AC 边上，DE //FG //BC ，且AD ：DF ：FB ＝3：2：1，若AG ＝15，则EC 的长为_____．15.二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在14x -<<的范围内解，则t 的取值范围是______．16.在ABC ∆中，AB AC =．点D 在直线BC 上，3DC DB =，点E 为AB 边的中点，连接AD ，射线CE 交AD 于点M ，则AMMD的值为__________．三、解答题（本大题共7小题，共66分）17.计算：sin30°+cos30°•tan60°．18.一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球3个，白球1个．（1）求任意摸出一球是白球的概率；（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用画树状图或列表的方法求两次摸出都是红球的概率．19.如图，//AB CD ，90ACB BDC ∠=∠=︒，CE AB ⊥于点E ，DF CB ⊥于点F ．（1）求证：ABC BCD △∽△；（2）已知tan 2ABC ∠=，求DFCE的值．20.如图，小明在大楼30米高（即PH ＝30米）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为13P 、H 、B 、C 、A 在同一个平面上．点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC ．（1）山坡坡角（即∠ABC ）的度数等于度；（2）求A 、B 两点间的距离（结果精确到0.13）．21.如图，已知A 、B 、C 分别是O 上的点，B 60 ∠=，P 是直径CD 的延长线上的一点，且AP AC =．(1)求证：AP 与O 相切；(2)如果PD 3=，求AP 的长．22.已知二次函数y =x 2﹣2bx +c 的图象与x 轴只有一个交点．（1）请写出b 、c 的关系式；（2）设直线y =7与该抛物线的交点为A 、B ，求AB 的长；（3）若P （a ，﹣a ）不在抛物线y =x 2﹣2bx +c 上，请求出b 的取值范围．23.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，连结EB ，交OD 于点F ．（1）求证：OD ⊥BE ；（2）若DE 10，AB ＝10，求AE 的长；（3）若△CDE 的面积是△OBF 面积的56，求BCAC 的值．2020-2021学年浙江省杭州市西湖区公益中学九年级（下）开学数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.若270y x -=，则:x y 等于（）A.2:7B.4:7C.7:2D.7:4【答案】A【分析】由已知270y x -=可化为27y x =，进而可求得结果．【详解】∵270y x -=，∴27y x =，∴27x y=，∴:2:7x y =.故选：A ．【点睛】本题考查了比例的性质，这是在三角形相似问题中经常用到的变形，务必熟练．2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝3，AC ＝4，则sin B 的值为（）A.45B.35C.34 D.43【答案】A【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【详解】解：如图，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，∴AB 5==，∴sinB ＝AC AB ＝45故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3.下列说法正确的是（）A.某一事件发生的可能性非常大就是必然事件B.概率很小的事情不可能发生C.2022年1月27日杭州会下雪是随机事件D.投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件、概率的含义去判断即可．【详解】A 、某一事件发生的可能性非常大也是随机事件，故此选项错误；B 、概率很小的事情也可能发生，故此选项错误；C 、2022年1月27日杭州会下雪是随机事件，正确；D 、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数是500次，是随机事件，故此选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件、概率的含义，理解这些概念的含义是正确解答的关键．4.如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A 为60°角与直尺交点，点B 为光盘与直尺唯一交点，若 =3AB ，则光盘的直径是（）．A. B. C.6 D.3【答案】A【分析】设三角板与圆的切点为C ，连接OA OB 、，由切线长定理得出3AB AC ＝＝、60OAB ∠︒＝，根据OBtan OAB AB∠=可得答案．【详解】解：设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，如下图所示：由切线长定理知3AB AC OA BAC ∠＝＝，平分，∴60OAB ∠︒＝，在Rt ABO 中，OB tan OAB AB∠=∴ 3OB ABtan OAB ∠⨯=＝＝∴光盘的直径为，故选A ．【点睛】本题主要考查切线的性质，掌握切线长定理和解直角三角形的应用是解题关键．5.已知抛物线2y ax bx =+经过点(3,3)A --，且该抛物线的对称轴经过点A ，则该抛物线的解析式为（）A.2123y x x =-- B.2123y x x =-+ C.2123y x x =- D.2123y x x =+【分析】根据抛物线图象性质可得A 点是抛物线顶点坐标，再根据顶点坐标公式进行求解即可.【详解】∵抛物线2y ax bx =+经过点(3,3)A --，且该抛物线的对称轴经过点A ，∴函数的顶点坐标是(3,3)--，∴232034b a b a ⎧-=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得132a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，经检验均符合∴该抛物线的解析式为2123y x x =+.故选D.【点睛】本题主要考查抛物线的性质和顶点坐标公式，解决本题的关键是要熟练掌握抛物线的性质和顶点坐标公式.6.如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD 内，点E 是AB 的黄金分割点，BE ＞AE ，若AB=2a ，则BE 长为（）A.+1）a B.1）a C.（3﹣a D.（2）a【答案】B【分析】直接根据黄金分割的定义求解．【详解】解：∵点E 是AB 的黄金分割点，BE ＞AE ，∴2a=1）a ．故选B ．【点睛】考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC=12AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．7.如图，点A 、B 、C 、D 在O 上， CBCD =，30CAD ∠=︒，50ACD ∠=︒，则ADB =∠（）A.30°B.50°C.70°D.80°【答案】C【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可分别得到30BAC CAD ∠=∠=︒，50ABD ACD ∠=∠=︒，再由三角形内角和定理即可求得∠ADB 的度数．【详解】∵在O 中， CBCD =，∴30BAC CAD ∠=∠=︒，∴303060BAD BAC CAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵ AD AD =，∴50ABD ACD ∠=∠=︒，∴180ADB BAD ABD ∠=︒-∠-∠1806050=︒-︒-︒70=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．8.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ：CE ＝2：3，连结AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ：S △ADF ：S △ABF 等于（）A.2：3：5B.4：9：25C.4：10：25D.2：5：25【答案】C【分析】根据平行四边形性质得出DC ＝AB ，DC ∥AB ，求出DE ：AB ＝2：5，推出△DEF ∽△BAF ，求出DEFABF S S ∆∆＝（DE AB ）2＝425，EF AF ＝DE AB ＝25，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出DEF ADF S S ∆∆＝EF AF ＝25＝410，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ＝AB ，DC ∥AB ，∵DE ：CE ＝2：3，∴DE ：AB ＝2：5，∵DC ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，∴DEF ABF S S ∆∆＝（DE AB ）2＝425，EF AF ＝DE AB ＝25，∴DEF ADF S S ∆∆＝EF AF ＝25＝410（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），∴S △DEF ：S △ADF ：S △ABF 等于4：10：25，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与相似三角形的判定和性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似9.已知函数21y x x =+-，当2m x m ≤≤+时，514y -≤≤，则m 的取值范围是（）A.2m ≥-B.21m -≤≤- C.122m -≤≤-D.1m ≤-【答案】B【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到关于m 的不等式组，从而可以求得m 的取值范围．【详解】解： 函数22151(24y x x x =+-=+-，∴该函数图象开口向上，当12x =-是，该函数取得最小值54-，当1y =时，12x =-，21x =，当2m x m + 时，514y -，∴1221212m m ⎧--⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩ 解得21m --，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10.如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =12，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D ．设BD =x ，tan ∠ACB =y ，则()A.x –y 2=3B.2x –y 2=9C.3x –y 2=15D.4x –y 2=21【答案】B【分析】过A 作AQ ⊥BC 于Q ，过E 作EM ⊥BC 于M ，连接DE ，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x ，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y ，AQ=6y ，在Rt △DEM 中，根据勾股定理即可得.【详解】过A 作AQ ⊥BC 于Q ，过E 作EM ⊥BC 于M ，连接DE ，∵BE 的垂直平分线交BC 于D ，BD=x ，∴BD=DE=x ，∵AB=AC ，BC=12，tan ∠ACB=y ，∴EM AQMC CQ==y ，BQ=CQ=6，∵AQ ⊥BC ，EM ⊥BC ，∴AQ ∥EM ，∵E 为AC 中点，∴CM=QM=12CQ=3，∴EM=3y ，∴DM=12-3-x=9-x ，在Rt △EDM 中，由勾股定理得：x 2=（3y ）2+（9-x ）2，即2x-y 2=9，故选B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.四边形ABCD 是☉O 的内接四边形，50D ︒∠=，则ABC ∠的度数为____________.【答案】130°【分析】根据圆内接四边形的对角互补，得∠ABC=180°-∠D=130°．【详解】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴∠ABC+∠D=180°,∵∠D=50°,∴∠ABC=180°-∠D=130°．故答案为：130°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆内接四边形对角互补．12.二次函数2(1)5y x =--的最小值是__．【答案】-5【分析】根据二次函数的性质进行解答即可得．【详解】解：二次函数2(1)5y =x --的图像开口向上，有最小值，当x =1时，最小值为5-，故答案为：5-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．13.如图，AB 是O 的直径，弦,30,CD AB CDB CD ⊥∠=︒=，则阴影部分图形的面积为___________．【答案】23π【分析】根据垂径定理求得3CE ED ==60COE ∠=︒，然后通过解直角三角形求得线段OC 、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入COE BED OCB S S S S ∆∆=-+阴影扇形．【详解】解：如图，假设线段CD 、AB 交于点E ，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，3CE ED ∴==，又30CDB ∠=︒ ，260COE CDB ∴∠=∠=︒，30OCE ∠=︒，3133OE ∴===，22OC OE ==，2,211,OB BE ∴==-=,COE DBE S S ∴= 26023603COE BED OCB OC S S S S ππ∆∆⨯∴=-+==阴影扇形．故答案为：23π．【点睛】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．14.如图，△ABC 中，D 、F 在AB 边上，E 、G 在AC 边上，DE //FG //BC ，且AD ：DF ：FB ＝3：2：1，若AG ＝15，则EC 的长为_____．【答案】9【分析】根据平行线分线段成比例定理和已知条件得出AD ：DF ：FB ＝AE ：EG ：GC ＝3：2：1，设AE ＝3x ，则EG ＝2x ，GC ＝x ，根据AG ＝15得到方程3x+2x ＝15，求出x ，再求出答案即可．【详解】解：∵DE ∥FG ∥BC ，∴AD ：DF ：FB ＝AE ：EG ：GC ，∵AD ：DF ：FB ＝3：2：1，∴AE ：EG ：GC ＝3：2：1，设AE ＝3x ，则EG ＝2x ，GC ＝x ，∵AG ＝15，∴3x+2x ＝15，解得：x ＝3，∴AE ＝9，EG ＝6，GC ＝3，∴EC ＝EG+GC ＝6+3＝9，故答案为：9．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理得到比例式，并设元求出各段的长是解题关键．15.二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在14x -<<的范围内解，则t 的取值范围是______．【答案】18t -≤<【分析】根据对称轴求出b 的值，从而得到14、x =-时的函数值，再根据一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在14x -<<的范围内有解相当于2y x bx =+与y t =在x 的范围内有交点解答．【详解】对称轴为直线x =−21b ⨯=1，解得b =−2，∴二次函数解析式为22y x x =-，即()211y x =--，=1x -时，123=+=y ，4x =时，16248y =-⨯=，∵20x bx t +-=的解相当于2y x bx =+与直线y t =的交点的横坐标，∴当18t -≤<时，它们交点的横坐标均可在14x -<<的范围内，故答案为：18t -≤<．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质，利用对称轴会求b 的值是解决问题的关键．16.在ABC ∆中，AB AC =．点D 在直线BC 上，3DC DB =，点E 为AB 边的中点，连接AD ，射线CE 交AD 于点M ，则AM MD的值为__________．【答案】23或43【分析】分当点D 在线段BC 上时和当点D 在线段CB 的延长线上时两种情况讨论，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：当点D 在线段BC 上时，如图，过点D 作DF//CE ，∵3DC DB =，∴14BF BD BE BC ==，即EB=4BF,∵点E 为AB 边的中点，∴AE=EB ，∴4433AM AE BF MD EF BF ===，当点D 在线段CB 的延长线上时，如图，过点D 作DF//CE ，∵3DC DB =，∴12DF BD FM BC ==，即MF=2DF,∵点E 为AB 边的中点，∴AE=EB ，∴AM=MF=2DF ∴2233AM DF MD DF ==，故答案为23或43．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分）17.计算：sin30°+cos30°•tan60°．【答案】2【分析】分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．【详解】原式=1322+=1322+=218.一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球3个，白球1个．（1）求任意摸出一球是白球的概率；（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用画树状图或列表的方法求两次摸出都是红球的概率．【答案】（1）14；（2）12【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）任意摸出一球是白球的概率＝14；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出都是红球的结果数为6，∴两次摸出都是红球的概率＝612＝12．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．19.如图，//AB CD ，90ACB BDC ∠=∠=︒，CE AB ⊥于点E ，DF CB ⊥于点F ．（1）求证：ABC BCD △∽△；（2）已知tan 2ABC ∠=，求DF CE的值．【答案】（1）证明见解析；（2）55【分析】（1）根据平行线性质得∠ABC =∠BCD ，即可求证△ABC ∽△BCD ；（2）设BC =k ，则AC =2k ，根据勾股定理可求得AB ，再根据△ABC ∽△BCD 得对应边比值相等即可解题．【详解】（1）∵//AB CD ，∴ABC BCD ∠=∠，又∵90ACB BDC ∠=∠=︒∴ABC BCD △∽△；（2）∵tan 2ABC ∠=∴可设2AC k =，则BC k =，∵90ACB ∠=︒，∴22225AB AC BC k =+=，∴AB =，∵ABC BCD △∽△，∴BAC CBD ∠=∠，90ACB BDC ∠=∠=︒，∴sin sin BAC CBD ∠=∠，∵CE AB ⊥于点E ，DF CB ⊥于点F ，∴5DF DF BC CE BD AB ====．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质．20.如图，小明在大楼30米高（即PH ＝30米）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为1P 、H 、B 、C 、A 在同一个平面上．点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC ．（1）山坡坡角（即∠ABC ）的度数等于度；（2）求A 、B 两点间的距离（结果精确到0.13）．【答案】（1）30．（2）34.6米．【分析】（1）根据特殊角度的三角函数值即可求解；（2）在直角△PHB 中，根据三角函数即可求得PB 的长，然后在直角△PBA 中利用三角函数即可求解．【详解】（1）∵山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为13．∴tan ∠ABC =33，∴∠ABC =30°；故答案为：30；（2）设过点P 的水平线为PQ ，则由题意得：15,60QPA QPB ∠=︒∠=︒60,PBH QPB APB QPB ∴∠=∠=︒∠=∠=45°13tan 33ABC ∠== 30ABC ∴∠=︒90ABP ∴∠=︒在Rt △PBH 中，30sin sin 60PH PB PBH ===∠︒3在Rt △PBA 中，AB PB ==20334.6≈答：A 、B 两点间的距离约34.6米．21.如图，已知A 、B 、C 分别是O 上的点，B 60 ∠=，P 是直径CD 的延长线上的一点，且AP AC =．(1)求证：AP 与O 相切；(2)如果PD 3=，求AP 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)3.【分析】（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠P =∠ACP =∠OCA =∠OAC =30°，∠PAC =120°，进而得出∠PAO =90°，即可得出答案；（2）首先根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求得半径，从而求得OA 、OP ，进而利用勾股定理得出AP的长．【详解】（1）连接AO．∵∠B=60°，∴∠AOC=120°．∵AO=CO，AP=AC，∴∠P=∠ACP，∠OCA=∠OAC=30°，∴∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，∴∠PAC=120°，∴∠PAO=90°，∴AP是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R，则OA=OD=R，OP=R．∵∠PAO=90°，∠P=30°，∴OP=2OA R=2R，解得：R，∴OA OP=2，∴PA==3．【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理定理和切线的判定、等腰三角形的性质等知识，根据已知得出圆的半径是解题的关键．22.已知二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点．（1）请写出b、c的关系式；（2）设直线y=7与该抛物线的交点为A、B，求AB的长；（3）若P（a，﹣a）不在抛物线y=x2﹣2bx+c上，请求出b的取值范围．【答案】（1）b2=c；（2）；（3）b＞1 4．【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个交点，则b2-4ac=0，由此可得到b、c应满足关系；（2）根据根与系数的关系x1+x2=2b，x1x2=c-7，结合b2=c，即可求得AB的长；（3）由题意可知方程-x=x2-2bx+c没有实数根，根据根的判别式即可求得．【详解】（1）∵二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点，令y=0得：x2﹣2bx+c=0，∵△=（﹣2b）2﹣4c=0，∴b2=c．（2）设A（x1，0），B（x2，0），∵直线y=7与抛物线的交点A、B的横坐标就是方程x2﹣2bx+c﹣7=0的两个根x1、x2．∴AB=|x1﹣x2|，∵x1+x2=2b，x1x2=c﹣7，b2=c．∴AB=|x1﹣x2|=．（3）P（a，﹣a）不在曲线y=x2﹣2bx+c上，∴直线y=﹣x与曲线y=x2﹣2bx+c没有交点，即方程﹣x=x2﹣2bx+c没有实数根，∴x2+（1﹣2b）x+c=0的△＜0，即（1﹣2b ）2﹣4c ＜0，整理得，1﹣4b +4b 2﹣4c ＜0，∵b 2=c ．∴1﹣4b ＜0，∴b ＞14．23.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，连结EB ，交OD 于点F ．（1）求证：OD ⊥BE ；（2）若DE，AB ＝10，求AE 的长；（3）若△CDE 的面积是△OBF 面积的56，求BC AC的值．【答案】（1）见解析；（2）8；（3）17【分析】（1）连接AD ．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；（2）设AE ＝x ．根据圆周角定理的推论和勾股定理进行求解；（3）设S △CDE ＝5k ，S △OBF ＝6k ，求得S △CDE ＝S △BDE ＝5k ，根据相似三角形的性质得到214OBF ABE S OB S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，求得S △ABE ＝4S △OBF ，于是得到S △CAB ＝S △CDE +S △BDE +S △ABE ＝34k ，再由相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）连接AD ，∵AB 是⊙O 直径，∴∠AEB ＝∠ADB ＝90°，∵AB ＝AC ，∴ BDED =，∴OD ⊥BE ；（2）∵∠AEB ＝90°，∴∠BEC ＝90°，∵BD ＝CD ，∴BC ＝2DE＝，∵四边形ABDE 内接于⊙O ，∴∠BAC+∠BDE ＝180°，∵∠CDE+∠BDE ＝180°，∴∠CDE ＝∠BAC ，∵∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CAB ，∴CE DE CB AB =1010=，∴CE ＝2，∴AE ＝AC ﹣CE ＝AB ﹣CE ＝8；（3）∵56CDE OBF S S = ，∴设S △CDE ＝5k ，S △OBF ＝6k ，∵BD ＝CD ，∴S △CDE ＝S △BDE ＝5k ，∵BD ＝CD ，AO ＝BO ，∴OD ∥AC ，∵△OBF ∽△ABE ，∴214OBF ABE S OB S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴S △ABE ＝4S △OBF ，∴S △ABE ＝4S △OBF ＝24k ，∴S △CAB ＝S △CDE +S △BDE +S △ABE ＝34k ，∵△CDE ∽△CAB ，∴2534CDE CAB S CD S CA ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴17034CD CA ==，∵BC ＝2CD ，∴17BC AC =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的在识别图形是解题的关键．。

2021-2022中考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，菱形ABCD 中，E. F 分别是AB 、AC 的中点，若EF=3，则菱形ABCD 的周长是（ ）A ．12B ．16C ．20D ．242．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）A ．35B ．34C ．23D ．573．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则BD 两点间的距离为（ ）A ．2B ．22C 10D ．54．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是55．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝12x x ，P 为对角线AC 上的动点，PQ ⊥AC 交折线A ﹣D ﹣C 于点Q ，设AP ＝x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 的函数图象正确的是（ ）A．B．C．D．6．2016的相反数是（）A．12016-B．12016C．2016-D．20167．在代数式3mm-中，m的取值范围是（）A．m≤3B．m≠0C．m≥3D．m≤3且m≠08．﹣18的相反数是（）A．8 B．﹣8 C．18D．﹣189．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b<0；②-1≤a≤-；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC 的长为（）A．43B．42C．6 D．411．如图，已知反比函数kyx=的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD、OC，若△ABO的周长为426+，AD=2，则△ACO的面积为（）A．12B．1 C．2 D．412．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB=2，BC=1．连接AI，交FG于点Q，则QI=（）A．1 B．616C．666D．43二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展．预计达州市2018年快递业务量将达到5.5亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为_____．14．如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为_____度（只需写出0°～90°的角度）．15．计算：（﹣12）﹣2﹣2cos60°=_____．16．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为_____．17．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的处，则AP的长为__________．18．图，A，B是反比例函数y=kx图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A4 的打印纸等，这些矩形的长与宽之比都为2：1，我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1），在“完美矩形”ABCD 中，点P 为AB 边上的定点，且AP＝AD．求证：PD＝AB．如图（2），若在“完美矩形“ABCD 的边BC 上有一动点E，当BECE的值是多少时，△PDE 的周长最小？如图（3），点Q 是边AB 上的定点，且BQ＝BC．已知AD＝1，在（2）的条件下连接DE 并延长交AB 的延长线于点F，连接CF，G 为CF 的中点，M、N 分别为线段QF 和CD 上的动点，且始终保持QM＝CN，MN 与DF 相交于点H，请问GH 的长度是定值吗？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．20．（6分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查(每名学生必须选择且只能选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．请你根据图中信息，回答下列问题：(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；(2)在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；(3)九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？21．（6分）解方程：3x2﹣2x﹣2＝1．22．（8分）计算：2sin60°+|3﹣3|+（π﹣2）0﹣（12）﹣123．（8分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF 交AC的延长线于F．（1）求证：∠CBF=12∠CAB．（2）若AB=5，sin∠CBF=55，求BC和BF的长．24．（10分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P 是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，12），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：这项被调查的总人数是多少人？试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．26．（12分）先化简，后求值：22321113x x xx x-++⋅---，其中21x=．27．（12分）为响应“植树造林、造福后人”的号召，某班组织部分同学义务植树180棵，由于同学们的积极参与，实际参加的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵，问实际有多少人参加了这次植树活动？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AD，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解.【详解】E、F分别是AC、DC的中点，∴EF是ADC的中位线，∴2236AD EF==⨯=，∴菱形ABCD的周长44624AD==⨯=．故选：D.【点睛】本题主要考查了菱形的四边形都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键.2、A【解析】∵△DEF是△AEF翻折而成，∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，∴∠BED=∠CDF，设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，∴DF=FA=2-x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2，即x2+1=（2-x）2，解得x=34，∴sin∠BED=sin∠CDF=35 CFDF=．故选：A．3、C【解析】解：连接BD．在△ABC中，∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=2．∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=2．在Rt△BED中，BD=22221310BE DE+=+=．故选C．点睛：本题考查了勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．4、D【解析】分别计算该组数据的平均数、中位数、众数及极差后即可得到正确的答案平均数为（12+5+9+5+14）÷5=9，故选项A正确；重新排列为5，5，9，12，14，∴中位数为9，故选项B正确；5出现了2次，最多，∴众数是5，故选项C正确；极差为：14﹣5=9，故选项D错误．故选D5、B【解析】∵在正方形ABCD 中, AB =∴AC ＝4，AD ＝DC ＝DAP ＝∠DCA ＝45o ，当点Q 在AD 上时，PA ＝PQ ，∴DP=AP=x,∴S ＝211·22PQ AP x = ； 当点Q 在DC 上时，PC ＝PQCP ＝4－x,∴S ＝221111·(4)(4)(168)482222PC PQ x x x x x x =--=-+=-+； 所以该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下,故选B.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q 在AP 、DC 上这两种情况．6、C【解析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可知：2016的相反数是-2016.故选C.7、D【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【详解】由题意可知：300m m -≥⎧⎨≠⎩解得：m≤3且m≠0故选D ．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．8、C【解析】互为相反数的两个数是指只有符号不同的两个数，所以18的相反数是18，故选C．9、D【解析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=-3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点可对④进行判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，而抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=-3a，∴2≤-3a≤3，∴-1≤a≤-，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．10、B【解析】由已知条件可得ABC DAC ~,可得出AC BC DC AC =,可求出AC 的长． 【详解】解：由题意得：∠B =∠DAC ，∠ACB=∠ACD,所以ABC DAC ~，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BC DC AC=，又AD 是中线，BC =8，得DC=4,代入可得AC=42,故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．11、A【解析】在直角三角形AOB 中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出OB 的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边AB =x ，表示出OA ，利用勾股定理求出AB 与OA 的长，过D 作DE 垂直于x 轴，得到E 为OA 中点，求出OE 的长，在直角三角形DOE 中，利用勾股定理求出DE 的长，利用反比例函数k 的几何意义求出k 的值，确定出三角形AOC 面积即可．【详解】在Rt △AOB 中，AD =2，AD 为斜边OB 的中线，∴OB =2AD =4，由周长为6，得到AB +AO 6，设AB =x ，则AO 6-x ，根据勾股定理得：AB 2+OA 2=OB 2，即x 2+（6-x ）2=42，整理得：x 26x +4=0，解得x 1，x 2∴AB ，OA ，过D 作DE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，可得E 为AO 中点，∴OE =12OA =12（假设OA ，与OA ，求出结果相同），在Rt △DEO 中，利用勾股定理得：DE 12)），∴k =-DE •OE =-12)）×12）=1. ∴S △AOC =12DE •OE =12， 故选A ．【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例函数k 的几何意义，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键．12、D【解析】解：∵△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，∴HI =AB =2，GI =BC =1，BI =2BC =2，∴AB BI =24=12BC AB ，=12，∴AB BI =BC AB ．∵∠ABI =∠ABC ，∴△ABI ∽△CBA ，∴AC AI =AB BI．∵AB =AC ，∴AI =BI =2．∵∠ACB =∠FGE ，∴AC ∥FG ，∴QI AI =GI CI =13，∴QI =13AI =43．故选D ． 点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB ∥CD ∥EF ，AC ∥DE ∥FG 是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、5.5×1．【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．详解：5.5亿=5 5000 0000=5.5×1， 故答案为5.5×1． 点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．14、1．【解析】设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠ABP=65°，因而∠PAB=90°﹣65°=25°，在大量角器中弧PB所对的圆心角是1°，因而P在大量角器上对应的度数为1°．故答案为1．15、3【解析】按顺序先进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法运算即可.【详解】（﹣12）﹣2﹣2cos60°=4-2×1 2=3，故答案为3.【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.16、36°或37°．【解析】分析：先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x＜25°，进而得到∠C的度数．详解：如图，过E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，设∠CEF=x，则∠AEC=2x，∴x+2x=∠BAE+60°，∴∠BAE=3x-60°，又∵6°＜∠BAE＜15°，∴6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x＜25°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，∴∠C=60°-23°=37°或∠C=60°-24°=36°，故答案为：36°或37°．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等．17、32或94【解析】①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x，则BP=4﹣x，∵BP2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x）2=x2+22，解得：x=32，∴AP=32；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，∴AD AB AP BC=，∴AP=AD BCAB=334⨯=94．故答案为32或94．18、1．【解析】先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（2a，2b），A的坐标为（4a，b），再根据△AOD的面积为3，列出关系式求得k的值．解：设点D坐标为（a，b），∵点D为OB的中点，∴点B的坐标为（2a，2b），∴k=4ab，又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，∴A的坐标为（4a，b），∴AD=4a﹣a=3a，∵△AOD的面积为3，∴×3a×b=3，∴ab=2，∴k=4ab=4×2=1．故答案为1“点睛”本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积为1列出关系式是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）证明见解析（2）222（32【解析】（1）根据题中“完美矩形”的定义设出AD与AB，根据AP=AD，利用勾股定理表示出PD，即可得证；（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，设AD=PA=BC=a，表示出AB与CD，由AB-AP表示出BP，由对称的性质得到BP=BP′，由平行得比例，求出所求比值即可；（3）GH=2，理由为：由（2）可知BF=BP=AB-AP，由等式的性质得到MF=DN，利用AAS得到△MFH≌△NDH，利用全等三角形对应边相等得到FH=DH，再由G为CF中点，得到HG为中位线，利用中位线性质求出GH的长即可．【详解】（1）在图1中，设AD=BC=a，则有AB=CD=2a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵PA=AD=BC=a，∴PD=22AD PA+=2a，∵AB=2a，∴PD=AB；（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，设AD=PA=BC=a，则有2a，∵BP=AB-PA，∴2a-a，∵BP′∥CD，∴2222BE BP a aCE CD a--===；（3）2，理由为：由（2）可知BF=BP=AB-AP，∵AP=AD，∴BF=AB-AD ，∵BQ=BC ，∴AQ=AB-BQ=AB-BC ，∵BC=AD ，∴AQ=AB-AD ，∴BF=AQ ，∴QF=BQ+BF=BQ+AQ=AB ，∵AB=CD ，∴QF=CD ，∵QM=CN ，∴QF-QM=CD-CN ，即MF=DN ，∵MF ∥DN ，∴∠NFH=∠NDH ，在△MFH 和△NDH 中，{MFH NDHMHF NHD MF DN∠∠∠∠＝＝＝ ，∴△MFH ≌△NDH （AAS ），∴FH=DH ，∵G 为CF 的中点，∴GH 是△CFD 的中位线，∴GH=12CD=122⨯×2=2． 【点睛】此题属于相似综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．20、（1）共调查了50名学生；统计图见解析；（2）72°；（3）.【解析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数,先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：(1)14÷28%＝50， ∴本次共调查了50名学生．补全条形统计图如下．(2)在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝72°.(3)设一班2名学生为数字“1”，“1”，二班2名学生为数字“2”，“2”，画树状图如下．共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，∴抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率P ＝＝.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．21、121717x x +-== 【解析】先找出a ，b ，c ，再求出b 2-4ac=28，根据公式即可求出答案．【详解】解：x 22-2-43-2±⨯⨯（）（） =173 即121717x x +-==∴原方程的解为12x x ==. 【点睛】 本题考查对解一元二次方程-提公因式法、公式法，因式分解法等知识点的理解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二次方程是解此题的关键．22、1【解析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可．【详解】原式﹣1=1． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．23、（1）证明略；（2）BC=52，BF=320. 【解析】试题分析：（1）连结AE.有AB 是⊙O 的直径可得∠AEB=90°再有BF 是⊙O 的切线可得BF ⊥AB ，利用同角的余角相等即可证明；（2）在Rt △ABE 中有三角函数可以求出BE ，又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,过点C 作CG ⊥AB 于点G .可求出AE,再在Rt △ABE 中，求出sin ∠2，cos ∠2.然后再在Rt △CGB 中求出CG ，最后证出△AGC ∽△ABF 有相似的性质求出BF 即可.试题解析：（1）证明：连结AE.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°.∵BF 是⊙O 的切线，∴BF ⊥AB ， ∴∠CBF +∠2=90°.∴∠CBF =∠1.∵AB=AC ，∠AEB=90°， ∴∠1=21∠CAB. ∴∠CBF=21∠CAB.（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于点G .∵sin ∠CBF=55，∠1=∠CBF ， ∴sin ∠1=55. ∵∠AEB=90°，AB=5. ∴BE=AB·sin ∠1=5.∵AB=AC ，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=52.在Rt △ABE 中，由勾股定理得5222=-=BE AB AE .∴sin ∠2=552，cos ∠2=55. 在Rt △CBG 中，可求得GC=4，GB=2. ∴AG=3.∵GC ∥BF ， ∴△AGC ∽△ABF. ∴ABAG BF GC =， ∴320=⋅=AG AB GC BF . 考点：切线的性质，相似的性质，勾股定理.24、（1）y=﹣12x 2+32x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF 是平行四边形；（3）点Q 的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似．【解析】分析：（1）待定系数法求解可得；（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=12x-2，则Q （m ，-12m 2+32m+2）、M （m ，12m-2），由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF ，据此列出关于m 的方程，解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ =，即214132222m m m -=-++，解之即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4），将点C （0，2）代入，得：-4a=2，解得：a=-12， 则抛物线解析式为y=-12（x+1）（x-4）=-12x 2+32x+2； （2）由题意知点D 坐标为（0，-2）， 设直线BD 解析式为y=kx+b ，将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：402k b b +⎧⎨-⎩＝＝，解得：122k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线BD 解析式为y=12x-2， ∵QM ⊥x 轴，P （m ，0），∴Q （m ，-12m 2+32m+2）、M （m ，12m-2）， 则QM=-12m 2+32m+2-（12m-2）=-12m 2+m+4， ∵F （0，12）、D （0，-2）， ∴DF=52， ∵QM ∥DF ，∴当-12m 2+m+4=52时，四边形DMQF 是平行四边形， 解得：m=-1（舍）或m=3，即m=3时，四边形DMQF 是平行四边形； （3）如图所示：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，则21=42 DO MBOB BQ==，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴BM BPBQ PQ=，即214132222mm m-=-++，解得：m1=3、m2=4，当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．【详解】请在此输入详解！25、（1）50；（2）108°；（3）12．【解析】分析：（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；（2）画出树状图，由概率公式即可得出答案．本题解析：解：(1)调查的总人数是：19÷38%＝50(人)．C组的人数有50－15－19－4＝12(人)，补全条形图如图所示．(2)画树状图如下．共有12种等可能的结果，恰好选中甲的结果有6种，∴P (恰好选中甲)＝61122=．点睛：本题考查了列表法与树状图、条形统计图的综合运用．熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．26、21x -2 【解析】 分析：先把分值分母因式分解后约分，再进行通分得到原式=21x -，然后把x 的值代入计算即可． 详解：原式=311x x x -+-（）（）•213x x （）+-﹣1 =11x x +-﹣11x x -- =21x - 当x 2+1时，原式211+-2． 点睛：本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．27、45人 【解析】解：设原计划有x 人参加了这次植树活动依题意得：18018021.5x x=+ 解得 x=30人经检验x=30是原方程式的根实际参加了这次植树活动1.5x=45人答实际有45人参加了这次植树活动．。