高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算教学设计新人教A版必修1

2．1。

1指数与指数幂的运算第一课时根式根式［提出问题]（1）若x2＝9，则x是9的平方根,且x＝±3；(2）若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4;(3）若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3;(4）若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2。

问题1：观察(1)(3），你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示:是．问题2:一个数的奇次方根有几个？提示:1个．问题3:由于22＝4，小明说,2是4的平方根;小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念（1）a的n次方根定义:如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n〉1，且n∈N＊。

（2)a的n次方根的表示：n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数错误!Rn为偶数±错误![0，＋∞）（3)根式：式子错误!叫做根式,这里n叫做根指数，a叫做被开方数．［化解疑难]根式记号的注意点（1）根式的概念中要求n>1，且n∈N＊。

（2）当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为错误!(a∈R);当n为大于1的偶数时，错误!(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－错误!，从而错误!n＝a.根式的性质［提出问题]问题1：错误!3，错误!3，错误!4分别等于多少？提示:2，－2，2.问题2:错误!，错误!，错误!，错误!分别等于多少?提示：－2,2,2,2.问题3：等式错误!＝a及（错误!)2＝a恒成立吗？提示：当a≥0时,两式恒成立；当a〈0时，a2＝－a,（a)2无意义．［导入新知］根式的性质(1）(错误!）n＝a（n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n〉1）．(2)错误!＝错误!(3)错误!＝0。

(4）负数没有偶次方根．[化解疑难]（错误!)n与错误!的区别（1)当n为奇数，且a∈R时，有错误!＝(错误!)n＝a;(2)当n为偶数，且a≥0时，有错误!＝（错误!）n＝a。

高中数学新课标教学计划“一对一”教学设计必修一（约需34课时）第一章集合与函数概念一、本章知识结构框架图二、本章教学约需12课时，具体分配如下：1．1 集合（4课时）1．2 函数及其表示（4课时）1．3 函数的基本性质（3课时）小结（1课时）第二章基本初等函数（Ⅰ）一、本章知识结构框架图二、本章教学约需14课时，具体分配如下：2．1 指数函数（6课时）2．2 对数函数（6课时）2．3 幂函数（1课时）小结（1课时）第三章函数的应用一、本章知识结构框架图二、本章教学约需8课时，具体分配如下：3．1 函数与方程（3课时）3．2函数模型及其应用（4课时）小结（1课时）必修二（约需36课时）第一章空间几何体 +一、本章教学约需8课时，具体分配如下：1．1 空间几何体的结构（2课时）1．2 空间几何体的三视图和直观图（2课时）1．3 空间几何体的表面积与体积（3课时）小结（1课时）第二章点、直线、平面之间的位置关系一、本章知识结构框架图二、本章教学约需10课时，具体分配如下：2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系（3课时）2．2 直线、平面平行的判定及其性质（3课时）2．3 直线、平面垂直的判定及其性质（3课时）小结（1课时）第三章直线与方程一、本章知识结构框架图二、本章教学约需9课时，具体分配如下：3．1 直线的倾斜角与斜率（2课时）3．2 直线的方程（3课时）3．3 直线的交点坐标与距离公式（3课时）小结（1课时）第四章圆与方程一、本章知识结构框架图二、本章教学约需9课时，具体分配如下：4．1 圆的方程（2课时）4．2 直线、圆的位置关系（4课时）4．3空间直角坐标系（2课时）小结（1课时）必修三（约需34课时）第一章算法初步一、本章知识结构框架图二、本章教学约需12课时，具体分配如下：1．1 算法与程序框图（2课时）1．2 基本算法语句（3课时）1．3 算法案例（6课时）小结（1课时）第二章统计一、本章知识结构框架图二、本章教学约需15课时，具体分配如下：2．1 随机抽样（5课时）2．2 用样本估计总体（5课时）2．3 变量间的相关关系（4课时）小结（1课时）第三章概率一、本章教学约需7课时，具体分配如下：3．1 随机事件的概率（2课时）3．2 古典概型（2课时）3．3几何概型（2课时）小结（1课时）一、本章知识结构框架图二、本章教学约需16课时，具体分配如下：1．1 任意角和弧度制（2课时）1．2 任意角的三角函数（3课时）1．3 三角函数的诱导公式（2课时）1．4 三角函数的图象和性质（4课时）1．5 函数的图象（2课时）1．6 三角函数模型的简单应用（2课时）小结（1课时）第二章平面向量一、本章知识结构框架图二、本章教学约需12课时，具体分配如下：2．1 平面向量的实际背景及基本概念（2课时）2．2 平面向量的线性运算（2课时）2．3 平面向量的基本定理及坐标表示（2课时）2．4 平面向量的数量积（2课时）2．5 平面向量应用举例（2课时）小结（2课时）第三章三角恒等变换一、本章教学约需8课时，具体分配如下：3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（3课时）3．2简单的三角恒等变换（4课时）小结（1课时）一、本章知识结构框架图二、本章教学约需8课时，具体分配如下：1．1 正弦定理和余弦定理（3课时）1．2 应用举例（4课时）小结（1课时）第二章数列一、本章知识结构框架图二、本章教学约需12课时，具体分配如下：2．1 数列的概念与简单表示法（2课时）2．2 等差数列（2课时）2．3 等差数列的前n项和（2课时）2．4 等比数列（2课时）2．5 等比数列的前n项和（2课时）小结（2课时）第三章不等式一、本章教学约需12课时，具体分配如下：3．1 不等关系与不等式（2课时）3．2 一元二次不等式及其解法（3课时）3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（3课时）3．3基本不等式（3课时）小结（1课时）。

2.1.1 指数与指数幂的运算整体设计教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP 的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用有理指数幂的性质进行化简、求值．教学难点(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)有理指数幂性质的灵活应用．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1．同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的．教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算．思路2．同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n 次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算．推进新课新知探究提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？(2)如x4＝a，x5＝a，x6＝a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？(4)可否用一个式子表达呢？活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维．讨论结果：(1)若x2＝a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：－8的立方根为－2.(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根．一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根．一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根．(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根．(4)用一个式子表达是，若x n＝a，则x叫a的n次方根．教师板书n次方根的意义：一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例．提出问题(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？(多媒体显示以下题目).①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤－32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，－32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢？活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，－2的5次方等于－32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，－32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，－2,0，a2.(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数．总的来看，这些数包括正数，负数和零．(3)一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数．类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用－na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a＞0)．②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示．③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零．上面的文字语言可用下面的式子表示：a 为正数：⎩⎨⎧n 为奇数， a 的n 次方根有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根有两个为±n a .a 为负数：⎩⎪⎨⎪⎧ n 为奇数， a 的n 次方根只有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根不存在.零的n 次方根为零，记为n0＝0. 可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例．思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况？活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题．解：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，－27的5次方根为5－27，而－27的4次方根不存在等．其中5－27也表示方根，它类似于n a 的形式，现在我们给式子n a 一个名称——根式．根式的概念： 式子na 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数． 如3－27中，3叫根指数，－27叫被开方数．思考 n a n 表示a n 的n 次方根，式子n a n ＝a 一定成立吗？如果不一定成立，那么n a n 等于什么？ 活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生多举实例，分组讨论．教师点拨，注意归纳整理． 〔如3(－3)3＝3－27＝－3，4(－8)4＝|－8|＝8〕．解答：根据n 次方根的意义，可得：(n a )n ＝a .通过探究得到：n 为奇数，n a n＝a .n为偶数，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，－a，a≥0，a<0.因此我们得到n次方根的运算性质：①(na)n＝a.先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数．②n为奇数，na n＝a.先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数．n为偶数，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，－a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值．应用示例思路1 例求下列各式的值：(1)3(－8)3；(2)(－10)2；(3)4(3－π)4；(4)(a－b)2(a＞b)．活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析．观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药．求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数．解：(1)3(－8)3＝－8；(2)(－10)2＝10；(3)4(3－π)4＝π－3；(4)(a－b)2＝a－b(a＞b)．点评：不注意n的奇偶性对式子na n的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用．例1 下列各式中正确的是( )A．4a4＝aB．6(－2)2＝3－2C．a0＝1D．10(2－1)5＝2－1活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答．解析：(1)4a4＝a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写na n＝|a|，故A项错．(2)6(－2)2＝3－2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(－2)2＝32，故B项错．(3)a0＝1是有条件的，即a≠0，故C项也错．(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确．所以答案选D. 答案：D点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心．例2 3＋22＋3－22＝__________.活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式．正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路．解析：因为3＋22＝1＋22＋(2)2＝(1＋2)2＝2＋1，3－22＝(2)2－22＋1＝(2－1)2＝2－1，所以3＋22＋3－22＝2 2.答案：2 2点评：不难看出3－22与3＋22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式．思考上面的例2还有别的解法吗？活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“＋”，一个是“－”，去掉一层根号后，相加正好抵消．同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法．另解：利用整体思想，x＝3＋22＋3－22，两边平方，得x2＝3＋22＋3－22＋2(3＋22)(3－22)＝6＋232－(22)2＝6＋2＝8，所以x＝2 2.点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A＋2B±A－2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解．(教师用多媒体显示在屏幕上) 1．以下说法正确的是( ) A．正数的n次方根是一个正数B．负数的n次方根是一个负数C．0的n次方根是零D．a的n次方根用na表示(以上n＞1且n∈N*)答案：C2．化简下列各式：(1)664；(2)4(－3)2；(3)4x8；(4)6x6y3；(5)(x－y)2.答案：(1)2；(2)3；(3)x2；(4)|x|y；(5)|x－y|. 3．计算7＋40＋7－40＝__________.解析：7＋40＋7－40＝(5)2＋25·2＋(2)2＋(5)2－25·2＋(2)2＝(5＋2)2＋(5－2)2＝5＋2＋5－ 2＝2 5.答案：2 5拓展提升问题：na n＝a与(na)n＝a(n＞1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明．活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义．通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下．再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论．解：(1)(na)n＝a(n＞1，n∈N)．如果x n＝a(n＞1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x＝na一定是它的一个n次方根，所以(na)n＝a恒成立．例如：(43)4＝3，(3－5)3＝－5.(2)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a，|a|，当n为奇数，当n为偶数.当n为奇数时，a∈R，na n＝a恒成立．例如：525＝2，5(－2)5＝－2.当n为偶数时，a∈R，a n≥0，na n表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么na n＝a.例如434＝3，40＝0；如果a＜0，那么na n＝|a|＝－a，如(－3)2＝32＝3，即(na)n＝a(n＞1，n∈N)是恒等式，na n＝a(n＞1，n∈N)是有条件的．点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解．课堂小结学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上．1．如果x n＝a，那么x叫a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数．(1)当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用－na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a＞0)．(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示．(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零．2．掌握两个公式：n为奇数时，(na)n＝a，n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，－a，a≥0，a<0.作业课本习题2.1A组 1. 补充作业：1．化简下列各式：(1)681；(2)15－32；(3)6a2b4.解：(1)681＝634＝332＝39；(2)15－32＝－1525＝－32；(3)6a2b4＝6(|a|·b2)2＝3|a|·b2.2．若5＜a＜8，则式子(a－5)2－(a－8)2的值为__________．解析：因为5＜a＜8，所以(a－5)2－(a－8)2＝a－5－8＋a＝2a－13.答案：2a－133．5＋26＋5－26＝__________.解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，不难看出5＋26＝(3＋2)2＝3＋ 2.同理5－26＝(3－2)2＝3－ 2.所以5＋26＋5－26＝2 3.答案：2 3设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a＞0，a＜0，a＝0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学．第2课时作者：郝云静导入新课思路1．碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂．思路2．同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂．推进新课新知探究提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？(2)观察以下式子，并总结出规律：a＞0，1025a a===；②a8＝(a4)2＝a4＝82a，；③4a12＝4(a3)4＝a3＝124a；④2a10＝2(a5)2＝a5＝102a.(3)利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？x>0，m，n∈N*，且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？(5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n＝a·a·a·…·a，a0＝1(a≠0)；00无意义；a－n＝1a n(a≠0)；a m·a n＝a m＋n；(a m)n＝a mn；(a n)m＝a mn；(ab)n＝a n b n.(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根．实质上①5a10＝105a，②a8＝82a，③4a12＝124a，④2a10＝102a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．(3)利用(2)的规律，453＝345，375＝537，5a7＝75a，n x m＝mnx.(4)53的四次方根是345，75的三次方根是537，a7的五次方根是75a，x m的n次方根是mnx.结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．(5)如果a＞0，那么a m的n次方根可表示为na m＝mna，即mna＝n a m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．提出问题(1)负整数指数幂的意义是怎样规定的？(2)你能得出负分数指数幂的意义吗？(3)你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？(4)综合上述，如何规定分数指数幂的意义？(5)分数指数幂的意义中，为什么规定a＞0，去掉这个规定会产生什么样的后果？(6)既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a＞0的必要性，教师及时作出评价．讨论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a－n＝1a n(a≠0)，n∈N*.(2)既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是mna-＝1mna＝1na m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(3)规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(4)教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是mna-＝1mna＝1na m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(5)若没有a＞0这个条件会怎样呢？如13(1)-＝3－1＝－1，26(1)-＝6(－1)2＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a ＞0的条件，比如式子3a 2＝23||a ，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．(6)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r ，s ，均有下面的运算性质： ①a r·a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )，②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )， ③(a ·b )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．应用示例例1 求值：(1)238；(2)1225-；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5；(4)341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成⎝ ⎛⎭⎪⎫234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．解：(1)222333338(2)2⨯==＝22＝4； (2)1112222225(5)5⎛⎫⨯--- ⎪⎝⎭==＝5－1＝15；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32； (4)33444162813⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝278.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如238＝382＝364＝4.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式．a 3·a ；a 2·3a 2；a 3a (a ＞0)．活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．解：a3·a＝a3·12a＝17322a a+=；a2·3a2＝a2·23a＝28233a a+=；a 3a＝1421133322()()a a a a⋅==.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．例3 计算下列各式(式中字母都是正数)．(1)211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-；(2)31884()m n-.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤．解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]211115326236a b+-+-＝4ab0＝4a；(2)33311188888888444()()()m n m n m n---⨯⨯==＝m2n－3＝m2n3.点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法．有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了．本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用．(1)(325－125)÷425；(2)a2a·3a2(a＞0)．活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．解：(1)原式＝121131 332422 (25125)25(55)5 -÷=-÷＝21131326225555---=-＝65－5；(2)a2a·3a2＝125222362132aa aa a--==⋅＝6a5.知能训练课本本节练习1,2,3.【补充练习】教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励．1．(1)下列运算中，正确的是( )A．a2·a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2C．(a－1)0＝0 D．(－a2)3＝－a6(2)下列各式①4(－4)2n，②4(－4)2n＋1，③5a4，④4a5(各式的n∈N，a∈R)中，有意义的是( )A．①② B．①③ C．①②③④ D．①③④(3)(34a6)2·(43a6)2等于( )A．a B．a2 C．a3 D．a4(4)把根式－25(a－b)－2改写成分数指数幂的形式为( )A．252()a b--- B．522()a b---C．22552()a b---- D．55222()a b----(5)化简2115113366221()(3)3a b a b a b⎛⎫⎪-÷⎪⎝⎭的结果是( )A．6a B．－a C．－9a D．9a2．计算：(1)130.027-－⎝⎛⎭⎪⎫－17－2＋34256－3－1＋(2－1)0＝__________.(2)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝__________.3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求11221122x yx y-+的值．答案：1．(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2．(1)19 (2)83．解：11111111 22222222111111222222()()2()()x y x y x y x x y yx yx y x y x y----+==-++-.因为x＋y＝12，xy＝9，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝144－36＝108＝4×27.又因为x＜y，所以x－y＝－2×33＝－6 3.所以原式＝122()x y xyx y+--＝12－6－63＝－33.拓展提升1．化简：132111333311111 x x x xx x x x-+-+-+++-.活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：x－1＝133()x－13＝121333(1)(1)x x x-++；x＋1＝133()x＋13＝121333(1)(1)x x x+-+；1111112333333[()1](1)(1) x x x x x x x-=-=-+．构建解题思路教师适时启发提示．解：132111 333311111 x x x x x x x x-+-+-+++-＝11121 333333333 21113333 ()1()1111 x x x x x x x x x-+-+-+++-＝12112111133333333321113333(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)x x x x x x x x x x x x x-+++-+-++-+++-＝12121 33333 11x x x x x -+-+--＝13x-.点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，11112222()()a b a b-+＝a－b，11222()a b±＝a±11222a b＋b，112112333333()()a b a a b b±+＝a±b.2．已知11223a a-+=，探究下列各式的值的求法．(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)33221122a aa a----.解：(1)将11223a a-+=，两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7；(2)将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47；(3)由于331133 2222()()a a a a---=-，所以有331111122222211112222()()a a a a a a a aa a a a--------++=--＝a＋a－1＋1＝8.点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．课堂小结活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是mna-＝1mna＝1na m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)，②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)，③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．(4)说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用()m m n n nnaa⨯=＝a m来计算．作业课本习题2.1A 组 2,4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务．第3课时 作者：郑芳鸣导入新课思路1．同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂．思路2．同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题．推进新课新知探究 提出问题(1)我们知道2＝1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？(2)多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？。

12.1.1指数与指数幂的运算一．根式(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正负两个n次方根可以合写为±na(a＞0)．③nan＝a.；④当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝a＝aa－aa＜.⑤负数没有偶次方根．二．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：an＝(n∈N*)；②零指数幂：a0＝1(a≠0)；③负整数指数幂：a－p＝1ap(a≠0，p∈N*)；④正分数指数幂：amn＝nam(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；⑤负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a＞0，m、n∈N*且n ＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．例1、计算或化简下列各式323424(1)8(2)10(3)3(4)abab例2、计算下列各式2（1）48373271021.097203225.0（2）24130.753323(3)0.04[(2)]168（3）014323112325671027.0（4）43512525（5）5.00312603.1232366141例3.（1）化简321132132)(abbababa=__________.（2）化简382313232xxxxxx=__________.例4.(1).已知11223aa，求下列各式的值（1）1aa=；（2）22aa=（2）若11225xx，则21xx的值是变式、已知,32121xx求3212323xxxx练习巩固1.下列命题中，正确命题的个数为①nna=a②若a∈R,则(a2－a+1)0=1③yxyx34334④623)5(5A.0B.1C.2D.32.与aa1的值相等是（）A.aB.aC.aD.a3.使代数式(x－1)31有意义的x的取值范围为（）A.x≥1B.－1<x<1C.x>1D.x≠±14.若10x=3,10y=4,则102x－y=__________.5.计算0.02731－(－71)－2+25643－3－1+(2－1)0=__________.3．若210,5100ba，则ba2的值为（）A、0B、1C、2D、32.1.2指数函数及其性质31．指数函数的定义一般地，函数xay叫做指数函数（其中1,0aa且），x是自变量，函数的定义域为Rx。

2.1.1 指数与指数幂的运算疱丁巧解牛知识·巧学·升华指数与指数幂的运算 1．整数指数幂 （1）正整数指数幂正整数指数幂a m（a ＞0，m ∈N *）事实上是一种缩写，即 个m ma a a a .=⋅⋅⋅•.根据缩写的这种意义可以得到如下的性质:（1）a m×a n=a m+n;（2）a m÷a n=a m-n；（3）(a m )n=a mn；(4）a n b n=(ab)n;(5)(ba )n =n nb a （b ≠0）.（2）负整数指数幂 ∵a n·a -n=a n-n=a 0=1，∴a -n=na 1. 这一规定把除法与乘法统一起来了，a n÷b m=m n ba =a n ·b -m.由于a 0与a -n（n ∈N *）都是由数学式子中除数a n产生的，根据0作除数无意义，所以规定a 0与a -n 的同时，必须有a n≠0即a ≠0，这样的规定才与已往有的除法运算相一致.就这样，正整数指数幂推广到了整数指数幂.要点提示 整数指数幂的底数应使等号两边都有意义.正整数指数幂的底数是a ∈R ；零指数和负整数指数幂的底数a ∈R 且a ≠0.指数可以是任意整数. 2．根式（1）平方根：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根（或二次方根），其中a 叫做被开方数，次数2叫做根指数，x 叫做a 的平方根.当a ＞0时，它有两个互为相反数的平方根，记作：a ，-a ；当a=0时，0=0；当a ＜0时，在实数范围内没有平方根.例如：x 2=9，则x=±9=±3是9的平方根，若x 2=-4＜0，则在实数范围内-4没有平方根. 或者平方根可由二次函数y=x 2的图象与性质去理解.要点提示 平方根存在与否以及平方根的个数仅仅与被开方数有关.（2）立方根：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根（或三次方根）.它的被开方数、根指数、根分别是a 、3、x.在实数范围内，对任意a ∈R ，它都有唯一的立方根3a ，其中3a 叫做根式.（3）n 次方根：如果存在实数x ，使得x n=a （a ∈R ，n ＞1，n ∈N ），则x 叫做a 的n 次方根. 如果n 是偶数，它同平方根一样，当a ＞0时，它有两个n 次方根，即±n a ；当a=0时，n 0=0；当a ＜0时，在实数范围内无偶次方根.如果n 是奇数，它同立方根一样，对任意a ∈R ，它都有唯一的n 次方根n a .要点提示 (1)只有当n a 有意义时，才能称为根式.n 次方根是平方根和立方根的推广.根指数是大于1的整数.(2）无论根指数是大于1的偶数还是奇数，当被开方数是0时，它的n 次方根是0. 3．方根性质（1）n 次方根的性质x=⎪⎩⎪⎨⎧=±+=kn a k n a n n 2,12,(k ∈N *,n>1,n ∈N )式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 由n 次方根的定义，我们可以得到根式的运算性质． （2）根式的运算性质①nn a )(=a （n ＞1，n ∈N ）理解这一性质的关键是紧扣n 次方根的定义，如果x n=a(n>1,且n ∈N )有意义，则无论n是奇数或偶数，x=n a 一定是它的一个n 次方根，所以n n a )(=a 恒成立.例如：44)3(=3，33)5(-=-5.记忆要诀 先开方，再乘方（同次），结果为被开方数. 当n 为奇数时，a ∈R ，由n 次方根的定义可得n n a =a 恒成立，当n 为偶数时，a ∈R ，a n≥0，nn a 表示正的n 次方根或0，所以如果a ≥0，那么n n a =a.例如443=3，40=0；如果a ＜0，那么n n a =|a|=-a ，如2)3(-=23=3.从而归纳得到以下根式的性质：②⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==.,0,,0,||,,为偶数为奇数n a a a a a n a a nn利用根式的运算性质对根式的化简的过程中，根指数n 为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n 为偶数的运算.记忆要诀 先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数；先偶次乘方，再开方（同次），结果为被开方数的绝对值. 4.分数指数幂（1）根式与分数指数幂的转化为了使同底数幂的运算变成指数的简单运算，有必要对分数指数幂规定为：n mnma a =（a ≥0，n 、m ∈N *，n ≥2），nm nm aa1=（a ＞0，n 、m ∈N *，n ≥2）．分数指数幂是根式的另一种写法，这种写法更便于指数运算.同0指数幂、负整数指数幂一样，负分数指数幂中，nm a ≠0，即a ≠0.指数的概念在引入了0指数、负整数指数、分数指数以后，指数的概念就实现了由整数到有理数的扩充，扩充后同底数的有理次幂的乘法、除法、开方都可以化为指数的运算，为化简根式带来了很大的方便.要点提示 （1）{有理数}={分数}=Q .（2）零的正分数次幂为零，零的负分数次幂无意义.（3）对分数指数幂和根式的互化，要紧扣方根的定义. （2）分数指数幂的运算法则设a ＞0，b ＞0，α、β∈Q ，则 ①a α·a β=a α+β；②（a α）β=a αβ；③（ab ）α=a α·b α.分数指数幂的运算法则同整数指数幂一样，a α是一个确定的实数. 根式n m a 化成分数指数幂nm a 的形式，若对nm约分，有时会改变a 的范围.例如：214242)2()2()2(-≠-=-.所以考虑清楚a 的范围后再化简nm . 要点提示 化简代数式的关键是把问题化归成我们熟悉的、已知其运算法则的分数指数幂的形式，利用其法则去计算；对于代数式的化简结果，可用根式或分数指数幂中的一种形式，但不能同时出现根式和分数指数幂的形式，也不能既有分母，又有负指数. 5.无理指数幂无理指数幂教材中没有给出严格的定义，可阅读教材61页，通过计算器计算，体会“有理数逼近无理数”的思想，感受一下它的逼近程度.一般地，当a ＞0，α为无理数时，a α也是一个确定的实数.整数指数幂的运算法则就推广到了实数范围内，也就是说，设a ＞0，b ＞0，α、β∈R ，则（1）a α·a β=a α+β；（2）（a α）β=a αβ；（3）（ab ）α=a α·b α.恒成立. 问题·思路·探究问题 为什么正数的偶次方根有两个并且互为相反数，而负数没有偶次方根？ 思路：根据方根的定义，考虑偶次方与偶次方根的联系．探究:根据方根定义，若x 是a(a>0)的n 次方根（n 为偶数），则x n =a ，这时（-x ）n=a ，即-x 也是a(a>0)的n 次方根．假设x 是a(a<0)的n 次方根（n 为偶数）,则x n =a ．因为x n≥0，a<0，所以x n=a 不成立，与方根定义矛盾． 典题·热题·新题例1 下列命题中,错误的是（ ）A.当n 为奇数时,n n x =xB.当n 为偶数时,n n x =xC.当n 为奇数时,n n x )(=xD.当n 为偶数时,n n x )(=x思路解析：由对根式性质中奇偶条件限制的理解,很容易知道选B. 答案：B深化升华 当n 是奇数时，n n n n a a =)(=a.例2 已知函数y=n m x 的定义域为R ,则下列给出的n, m 中,不能取的一对值是（ ） A.n=3,m=7 B.n=2,m=4 C.n=4,m=3 D.n=3,m=4 思路解析：如果n 是奇数，对任意a ∈R ，它都有唯一的n 次方根n a ；故A 、D 项符合要求．如果n 是偶数，它同平方根一样，当a ＞0时，它有两个n 次方根，当a=0时，n 0=0,当a ＜0时，在实数范围内无偶次方根，B 项中x 4符合要求，而C 项中x 3未必为非负数，如x=-1就不行． 答案：C误区警示 当a ＜0时，在实数范围内a 无偶次方根，容易忽视． 例3 利用函数计算器计算（精确到0.001）. （1）0.32.1；（2）3.14-3；（3）431.3；（4）33.思路解析：对于（1），可先按底数0.3，再按 2.1，最后按□=，即可求得它的值；对于（2），先按底数3.14，再按□-键，再按3，最后按□=即可；对于（3），先按底数3.1，再按3□÷4，最后按□=即可.对于（4），这种无理指数幂，可先按底数3，其次按3，最后按□=键.有时也可按.答案：（1）0.32.1≈0.080；（2）3.14-3≈0.032；（3）431.3≈2.336；（4）33≈6.705.深化升华 熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受一下现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会.用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n 位，只需看第（n+1）位能否进位即可.例4 比较55，33，2的大小.思路解析：底数不同根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的数再作比较.解：61613218)2(22===，616123139)3(33===，而8＜9， ∴36161398<<，10110152132)2(22===，1012515)5(55==，而25＜32.∴55＜2.总之，55＜2＜33.拓展延伸 比较幂值的大小，如果底数与指数都不相同时，能化为同底，则先化为同底，不能化为同底，就化为同指数，这些都是通过代数变形转化的方法来实现的.转化是解题的万能钥匙.例5 已知x+x -1=3,求下列各式的值. (1)2121-+xx ;(2)2323-+xx思路解析：（1）题若平方则可出现已知形式,但开方时应注意正负的讨论;(2)题若立方则可出现(1)题形式与已知条件,需将已知条件与(1)题结论综合;或者可仿照(1)题作平方处理,进而利用立方和公式展开. ∵221212122122121)(2)()(---+•+=+x xx x x x =x+x -1+2=3+2=5,∴2121-+xx =±5.又由x+x -1=3得x>0，所以52121=+-x x .（2）解法一：3213212323)()(--+=+x x x x=])())[((22121212212121---+•-+x x x x x x=)(2121-+xx （x-1+x -1）=)13(5-=52 解法二：22323][-+x x=2232323223)(2)(--+•+x xx x=x 3+x -3+2而x 3+x -3=(x+x -1)(x 2-1+x -2)=(x+x -1)［(x+x -1)2-3］=3×(32-3)=18 ∴22323][-+xx =20.又由x+x -1=3,得x>0, ∴52202323==+-xx .误区警示 (1)题注重了已知条件与所求问题之间的内在联系,但开方时正负的取舍容易被学生忽视,应强调以引起学生注意.拓展延伸 (2)题解法一注意了(1)题结论的应用,显得颇为简捷,解法二注重的是与已知条件的联系,体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用,而且具有一定的层次,需看透问题实质方可解决得彻底,否则可能半途而废.另外,(2)题也体现了一题多解. 深化升华 条件代数式的化简遵循以下三个原则.（1）若条件复杂，结论简单，可把条件化简成结论的形式.（2）若结论复杂，条件简单，可把结论化简成条件的形式.（3）若条件结论均复杂，可同时化简它们，直到找到它们之间的联系为止.。