高等数学（Ⅱ）参考答案1.设函数x yz )31(=，则=∂∂xz 3ln 31 .2.设),(y x f 连续，交换二次积分次序：=⎰⎰dy y x f dx x112),(dx y x f dy y⎰⎰1),( .3.设∑是上半球面224y x z --=，则曲面积分=+++⎰⎰∑dS zy x 22211π38 .4.设k z x z j z x y i z x x A)1()1()1(222-+-++=，则=A div3 .5.函数)21ln()(x x f +=展开成x 的幂级数为]21,21(,2)1(11-∈-∑∞=-x x nnn nn . 6.已知幂级数n n n x a )1(0-∑∞=在1-=x 收敛，则该级数在23=x 的敛散性为 绝对收敛 .7.已知0)()4(2=+++dy y ax dx y x 是全微分方程，则=a 4 . 8.微分方程xdx dy x y =-21的通解为2212x C y --= .二、（6分）设)(x y y =是由方程y x e e xy -=确定的函数，试计算0|=x dy .解：设 y x e e xy y x F +-=),(，则 xx e y y x F -='),(，yy e x y x F +='),(，于是yxy x ex y e y x F y x F dxdy +-=''-=),(),(，又方程yx ee xy -=当0=x 时0=y ，则1000=+-====y x yxx ex y e dxdy ，所以dx dx dy x =⋅==1|0.三、（8分）设f 是任意二阶可导函数，并设)(x ay f z +=满足方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂yz yx z xz ，试确定a 的值.解：令 y ax u +=，则)(u f xz '=∂∂，)(22u f x z ''=∂∂，a u f yx z ⋅''=∂∂∂)(2，a u f yz ⋅'=∂∂)(，222)(a u f yz ⋅''=∂∂，代人0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂yz yx z xz 得0)()()(62=''-''+''u f a u f a u f ， 即062=--a a ，解得3=a 或2-=a .四、（6分）计算dy xy y dx xy x L⎰-+-)2()2(22，其中L 是抛物线2x y =上点)1,1(-到)1,1(的一段弧.解：由2x y =，11:→-x ，则1514}2]2)[()2{()2()2(112222222-=⋅-+⋅-=-+-⎰⎰-dx x x x x x x x dy xy y dx xy x L五、判别下列级数的敛散性：1.（4分）∑∞=1!3n nnnn ；解：级数为正项级数，由比值审敛法有 13111lim 313lim !3)1(!)1(3limlim111>=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅++=∞→∞→++∞→+∞→e n n n n nn n u u n n nn n nn n n nn n 所以∑∞=1!3n nnnn 发散.2.（6分）αnn n 1sin)1(11+∞=∑-. 若收敛，指明是条件收敛还是绝对收敛.解：① 当0≤α时，01sin)1(lim 1≠-+∞→αnn n ，由必要条件知级数发散；② 当0>α时，交错级数满足αα)1(1sin1sin+>n n，01sinlim =∞→αnn ，由莱布尼兹定理知该交错级数收敛.该级数取绝对值后的级数为∑∞=11sinn nα，且111sinlim=∞→ααnn n ，又∑∞=11n nα当10≤<α发散，当1>α时收敛（-p 级数），所以当10≤<α条件收敛，当1>α时绝对收敛.六、（8分）将函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<=<≤--=ππx x x x f 0,10,00,1)( 展成傅里叶级数.解：)(x f 为奇函数，则),3,2,1,0(0 ==n a n ，])1(1[2cos 12sin 12nn nx n nxdx b --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅=⎰πππππ即),3,2,1(0,1214212 ==-=-n b n b n n π所以),,0()0,()12sin(1214)(1πππ-∈--=∑∞=x xn n x f n当π±=,0x 时，傅里叶级数收敛于0.七、（10分）球幂级数nn x n ∑∞=+0)12(的收敛域及和函数，并求∑∞=+-02)12()1(n nnn 的值.解：由于ρ==++=∞→+∞→11232limlim1n n a a n nn n ，则1=R ，当1±=x 时，n n n )1()12(1±+∑∞=发散，所以收敛域为)1,1(-.设=)(x s nn xn ∑∞=+0)12()()(2221011x s x xs xnxx n nn n +=+=∑∑∞=∞=-，而xx xdt ntdt t s n nn xn x-===∑∑⎰⎰∞=∞=-1)(1111，则 21)1(1)(x x s -=，又xx s -=11)(2，所以)1,1()1(111)1(2)(22-∈-+=-+-=x x x xx x x s ，从而有92)21(2)12()1(0=-=+-∑∞=s n n nn.八、（10分）计算曲面积分dxdy z dzdx z y dydz z xI )1()1()1(333+++++++=⎰⎰∑，其中∑是上半球面221y x z --=的上侧.dxdy z dzdx z y dydz z x)1()1()1(3331+++++++⎰⎰∑+∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=++=Ω212220222sin 3)(3ππϕϕθr d r r d d dv z y xππ5651123=⨯⨯⨯=解：取)1(0:22=+=∑y x z ，方向下侧，由高斯公式dxdy z dzdx z y dydz z x )1()1()1(3331+++++++⎰⎰∑+∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=++=Ω212220222sin 3)(3ππϕϕθr d r r d d dv z y xππ5651123=⨯⨯⨯=而dxdy z dzdx z y dydz z x )1()1()1(3331+++++++⎰⎰∑π-=+-=+=⎰⎰⎰⎰≤+∑dxdy dxdy zy x 133221)10()1(，所以πππ511)(5611=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑∑.九、（10分）已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点的切线平行直线052=+-y x ，而)(x y 满足微分方程xey y y 396=+'-''，求此曲线方程.解：由题意知求微分方程 x e y y y 396=+'-'' 满足初始条件2)0(,0)0(='=y y 的解.原方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0962=+-r r 的特征根3=r 为二重根，又xex f 3)(=中3=λ，则原方程的特解为x e Ax y 32*=，代入得12=A ，即21=A .于是原方程的通解为xxex ex C C y 3232121)(++=，由初始条件求得2,021==C C ,所以曲线方程为 xxex y 3)212(+=.十、（8分）设定义在),(∞+-∞上的函数)(x f ，对任意),(,∞+-∞∈y x ，满足xye yf e x f y x f )()()(+=+，且)0()0(≠='a a f .（1）证明：对任意)(),,(x f x '∞+-∞∈存在，并求)(x f ；证：由条件x y e y f e x f y x f )()()(+=+，取0==y x ，代入得0)0(=f ；又取x y x x ∆==,，得 ))0()(()1)(()()()()()(f x f e ex f x f e x f ex f x f x x f xxx x-∆+-=-∆+=-∆+∆∆则xf x f exex f xx f x x f xx∆-∆+∆-=∆-∆+∆)0()(1)()()(于是xf x f e xex f x f x xxx ∆-∆+∆-='→∆∆→∆)0()(lim1lim)()(0xx e a x f f e x f +='⋅+=)()0()(，方程为满足0)0(=f 的一阶线性微分方程，可求得特解为 xe ax xf =)(. （2）将)(x f 展成)1(-x 的幂级数，并求)1()2007(f.解：由于 ),(!10∞+-∞∈=∑∞=x xn e nn x，则1]1)1[()(-⋅+-==x xee x a eax x f})1(!1)1(!1{010nn n n x n x n e a -+-=∑∑∞=+∞=),()1(!10∞+-∞∈-+=∑∞=x x n n e a nn ；则有e a e a f2008)12007()1()2007(=+=.。
