【最新整理，下载后即可编辑】§2.3.3双曲线的渐近线学习目标知识与能力：掌握双曲线的渐近线方程并能熟练求解过程和方法：通过学习，培养学生的观察、归纳、分析能力情感态度与价值观：引导学生通过类比思想发现共渐近线的双曲线方程的特点重点、难点：双曲线的渐近线方程及对共渐近线双曲线系方程的求解教学方法：启发引导式教学安排：1课时教学过程：一、课前回顾双曲线几何性质回顾表格（学生填写）二、知识归纳8642-2-4-6-8-15-10-551015N2N1F1F2O M1M2 1、双曲线的渐近线方程（1）若双曲线方程为（a>0,b>0），则该双曲线的渐进线方程为。
（2）若双曲线方程为（a>0,b>0），则该双曲线的渐进线方程为。
2、等轴双曲线（1）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线（2）等轴双曲线的渐进线方程为y=±x，且两条直线互相垂直。
例1：若等轴双曲线的一个焦点是F（-6,0），则它的方程为。
（老师分析，学生求解）3、共渐近线的双曲线系方程（学生讨论）（1）与双曲线（a>0,b>0）共渐近线的双曲线系方程可设为（2）与双曲线（a>0,b>0）共渐近线的双曲线系方程可设为例2求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程.解：设所求双曲线方程为将点代入，得则所求双曲线方程为三、课堂练习1.双曲线的渐近线方程为（C ）A. B. C. D.2.已知，直线x是双曲线的一条渐近线，则3.已知双曲线的渐近线方程为x，求此双曲线的离心率。
四、拓展延伸（高考链接）已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（A ）A. B. C. D.五、作业课本习题2.3 A组3,6。
巧求共渐近线的双曲线方程江苏 尚月如 当双曲线12222=-b y a x 的各支向外延伸时，与两条直线0=±by a x 逐渐接近。
也就是说：当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0，但永远不相交，我们把这样的两条直线0=±by a x 叫做双曲线12222=-by a x 的渐近线。
因此已知双曲线的标准方程可以求出它的渐近线方程的方法，其实就是把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程——这是已知双曲线方程求它的渐近线最简单且实用的方法。
反过来，如果已知渐近线的方程如何求双曲线的方程呢？我们不妨先看下面一个具体的例子的两种解法。
例：求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过点)3,33(-A 的双曲线的方程 分析1：先利用点A 的坐标以及渐近线的方程，确定焦点所在的坐标轴；然后设出双曲线的标准方程，利用待定系数法求出a 、b 的值。
解法1：由于双曲线的方程是191622=-y x ，所以其渐近线的方程是x y 43±=，容易判断点)3,33(-A 在直线x y 43=的下方并且在直线x y 43-=的上方，故所求双曲线的焦点在x 轴上，所以设双曲线的方程是12222=-by a x 。
根据已知条件有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=19274322b a a b ，解得112=a ，16992=b 。
所以所求双曲线方程是199161122=-y x 。
分析2：对于双曲线=-91622y x λ（λ0≠）来说我们发现： 当λ0>时，双曲线=-91622y x λ的焦点在x 轴上，这时其渐近线方程是x y λλ34±=，即x y 34±=； 当λ0<时，所求双曲线=-91622y x λ的焦点在y 轴上，这时双曲线的标准方程是1)(9)(1622=---λλx y ，其渐近线方程是x y λλ--±=34，即x y 34±=。
已知渐近线方程怎么设双曲线方程要确定双曲线方程，我们首先需要知道两条渐近线。
渐近线是指曲线在无穷远处趋于无限大时与直线的位置关系。
设双曲线的方程为y=f(x)。
我们可以通过两个关键点来确定渐近线：离曲线最近的一个点和离曲线最远的一个点。
考虑以下三种情况：曲线有水平渐近线、斜渐近线和倾斜渐近线。
1.若曲线有水平渐近线：水平渐近线的方程可设为y=k，其中k为常数。
这意味着当y无限增大或无限减小时，x的值没有约束。
然而，2自由度可以通过一个常量来约束，例如k=0。
因此，当y趋于正无穷和负无穷时，f(x)也应趋于正无穷和负无穷。
2.若曲线有斜渐近线：斜渐近线的方程可设为y = mx + b，其中m和b是常数。
若斜渐近线存在，它们将与曲线无限接近且趋于无穷远。
在斜渐近线上，我们可以选择一个特定的点，然后通过这个点和斜率来决定斜渐近线的方程。
通过选择一个点(x₀,y₀)在曲线上，我们可以得到方程y₀=f(x₀)。
然后，我们可以确定斜率为m，使得斜渐近线通过这个点。
斜渐近线方程可以通过计算得到：y-y₀=m(x-x₀)3.若曲线有倾斜渐近线：倾斜渐近线是通过两个无限远处的点，而不是曲线上的点。
为了得到倾斜渐近线的方程，我们需要选择离曲线最近和最远的两个点。
设曲线上的点为(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，其中x₁<x₂。
然后我们可以计算斜率m：m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)接下来，我们通过选择一个点(x₀,y₀)来计算截距b：b=y₀-m*x₀倾斜渐近线方程为：y = mx + b综上所述，根据曲线的渐近线情况，我们可以设定双曲线的方程。
具体步骤如下：1.确定曲线的渐近线是否为水平线。
若是，则方程为y=k，其中k为常数。
2.确定曲线的渐近线是否为斜线。
若是，则通过选择曲线上的一个点(x₀,y₀)来计算斜率m，并得到斜渐近线方程为y-y₀=m(x-x₀)。
3. 确定曲线的倾斜渐近线，并通过选择离曲线最近和最远的两个点(x₁, y₁)和(x₂, y₂)来计算斜率m和截距b。
双曲线与渐近线有关：对称性、二倍角、角平分线面积结论：过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点做切线，与两渐进性的交点为A 、B,则△ABO 的面积为定值ab 。
距离之积结论：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点到两渐近线距离之积为2222b a b a +。
例1（2017全国卷）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线的渐近线C 的一条渐进性交于M 、N 两点，若∠MAN=60°则C 的离心率为________。
例2（2018全国卷）已知双曲线1322=-y x ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐进性交于点M 、N ，若△OMN 为直角三角形，则|MN|=例3（2019全国卷）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 焦点分别为21,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐进性交于点A 、B 两点，若0,211=⋅=B F B F AB A F ·则C 的离心率为_________例4已知F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，AF 延长线与双曲线交于点B ，若FB=2AF ，则双曲线C 的离心率是例5（2008全国卷）双曲线的中心为O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别是21,l l 经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交21,l l 于A 、B 两点，已知|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，且BF 与FA 同向，求双曲线的离心率________例6（南京一模第7题）设)0,0(1,222221>>=-b a by a x F F 是的左，右焦点，圆1F 与双曲线的渐近线相切，过2F 与圆1F 相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为__________例7.已知双曲线12222)0,0(1:F b a by a x C 的左焦点为>>=-，P 为双曲线上一点，1PF 与双曲线||||1PF PO C =的渐近线平行，且,O 为坐标原点，则双曲线的离心率为________例8已知双曲线F b a by a x C 的左焦点为)0,0(1:2222>>=-，过点F 做双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足H,垂线l 与双曲线的另一渐近线相交于点P ，O 为坐标原点，若△POF 为等腰三角形，则双曲线的离心率为_______。
