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5余数问题

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第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。

小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。

余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。

例题讲析【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。

【例2】 1013除以一个两位数，余数是12。

求出符合条件的所有的两位数。

分析：1013-12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有13、77、91 有的同学可能会粗心的认为11也是。

11小于12，所以不行。

大家做题时要仔细认真。

【例3】（小学数学奥林匹克初赛）有苹果、桔子各一筐，苹果有240个、桔子有313个，把这两筐水果分给一些小朋友，已知苹果等分到最后余2个不够分，桔子分封最后还余7个桔子不够再分，求最多有多少个小朋友参加分水果?分析：此题是一道求除数的问题。

原题就是说，已知一个数除240余2，除313余7，求这个数最大为多少，我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况，从而使问题简化，因为240被这个数除余2，意味着240-2=238恰被这个数整除，而313被这个数除余7，意味着这313—7=306恰为这个数的倍数，我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了。

240—2=238(个) ，313—7=306(个) ，(238，306)=34(人) 。

【例4】（北京八中小升初入学测试题）有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。

求这个数。

分析：我们根据解三个余数之和是50这个条件可知：（1）从这三个数的和中把50减掉后，得到的差应是这个整数的整数倍，也就是能被这个数整除。

（2）这个除数也必然要小于70。

（3）因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个要大于16，那么除数大于余数，所以要大于16，这样我们就确定了这个除数的大致范围是17～70。

（4）既然是3 个余数的和是50，那么70、110、160这三个数除以这个数后的余数都不能大于50。

由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。

将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在之间的约数有29和58。

因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。

所求整数是29。

此部分知识的拓展我们还可以参看附加1、2。

的【例5】有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。

分析：在讲解此题之前可以先向学生介绍一下附加3。

法1：39-3=36，51-3=48，147-3=144，（36，48，144）=12，12的约数是1，2，3，4，6，12，因为余数为3要小于除数，这个数是4，6，12；法2：这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据性质2，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。

51-39=12，147-39=108，147-51=96，（12，108，96）=12，所以这个数是4，6，12。

【例6】 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同。

请问学校共有多少个班？分析：所求班级数是除以118，67，33余数相同的数。

那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数，所求答案为17。

【例7】 两位自然数ab 与ba 除以7都余1，并且a ＞b ，求ab ×ba 。

分析：ab -ba 能被7整除，即（10a+b ）-（10b+a ）=9×（a-b ）能被7整除。

所以只能有a-b=7，那么ab 可能为92和81，验算可得当ab =92时，ba =29满足题目要求，ab ×ba =92×29=2668。

可参看附4、5。

的余数）。

【例8】 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？分析：建议教师在讲解这部分知识之前可以先讲解一下附加3。

法1：3、10、13、23、36、69、95、…被3除后的余数依次为0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、…，观察得：余数的排列规律是：0、1、1、2、0、2、2、1为周期重复出现。

1997÷8＝249…5，所以余数为0。

法2:找余数的规律我们还可以这样做：从第三个数起，把前面两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数除以3的余数，这样就很容易算出余数依次为：0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、…，观察得8个一循环，1997÷8＝249…5，所以余数为0。

【例9】 （第五届小数报数学竞赛初赛）"2"20002222个除以13所得余数是_____. 分析：222222=2×111111=2×111×1001=2×111×7×11×13，能被13整除. 因为2000=6×333+2，22÷13=1…9，所以.要求的余数是9.此部分拓展参看附加6。

的余数）。

【例10】（华罗庚金杯竞赛模拟试题）求478×296×351除以17的余数。

分析：先求出乘积再求余数，计算量较大。

可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

【例11】求余数19992000÷7分析：在讲此题之前建议教师先讲解这道题目：请你找找32007 ÷10的余数。

找32007 ÷10的余数也就是在找32007的个位数字，对于这种情况我们常常从简单情况入手找规律，31，32，33，34，35，36……的个位数字是：3，9，7，1，3，9……，（从第3个数起，每个数都是前一个数与3的乘积的个位数字），从中我们发现规律，个位数字4个一周期循环，2007÷4=501……3，所以32007的个位数字是7，即32007 ÷10的余数是7。

其实对于1～9这9个自然数它们都可以统一总结出这样一个规律：a的n次方的个位数字4个一循环（其中有1个一循环，2个一循环，我们都可以统一到4个一循环，方便学生记忆。

教师在课堂上和学生们一起探讨，熟练应用性质4）。

1999÷7的余数是4，所以根据性质（4），19992000 与42000除以7 的余数相同。

然后再找规律，发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4、2、1、4、2、1......这么3个一循环，所以由2000÷3 余2 可以得到42000除以7 的余数是2，故19992000÷7的余数是2。

对于这部分知识的拓展我们还可以参看附加4、5、6。

此部分拓展可参看附加7、8、9。

附加题目【附1】一个两位数除以13的不完全商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。

分析：因为一个两位数除以13的不完全商是6，所以这个两位数一定大于13×6=78，并且小于13×（6+1）=91；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为：78+5=83。

【附2】（第五届小学数学报竞赛决赛）用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r 。

分析：这道题是性质（1）中：“被除数=除数×商+余数”的灵活应用。

既然1992是a的46倍还多r, 那么当然也可以理解成1992是46的a倍还多r.所以可以得到：1992÷46=43……14 得 1992=46×43＋14，所以 a=43，r=14【附3】请你写出10个连续的被7除余3的数，并说说它们有什么特点？分析：我们不妨从最小的那个数写起：3、10、17、24、31、38、45、52、59、66 ；发现它是一个等差数列，其差为7。

那么请你再写出一些被5除余2的数，你会发现它们也是一个等差数列，差为5。

【附4】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33。

求这个数？分析：由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33。

所以所求的数为：（543-345）÷33=6。

【附5】（第四届小数报数学竞赛决赛）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、97人.现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组是A名游客，以便乘车前往参观游览.已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，问丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩几人?分析：由85-69=16，93-85=8，推出A=8或4或2，所以丁团分成每组A人的若干组后还剩1人.【附6】（第五届希望杯培训试题）黑板上写着从1开始的2007个连续自然数，团团每次抹去其中的若干个数，园园就写上被抹去数之和除以18得到的余数.最后黑板上剩下三个不同的数，其中最小的是5，那么最大的数不可能超过 .分析：原先黑板上各数之和为：1+2+3+……4+2007=(1+2007)×2007÷2=2015028，能被18整除.所以最后在黑板上剩下的三个数之和也能被18整除，若其中较小的两个数为5和6，则另一个数被18除余7，这个数的最大可能值是2005.所以剩下的最大数不可能超过2005.【附7】（南京市第二届兴趣杯少年数学邀请赛试题）甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。

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【教师版】小学奥数5-5-2 带余除法(二).专项练习及答案解析

【教师版】小学奥数5-5-2 带余除法(二).专项练习及答案解析

1.能够根据除法性质调整余数进行解题 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4. 根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．模块一、带余除法的估算问题例题精讲知识点拨教学目标5-5-2.带余除法（二）【例 1】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。

问修改后的这个数是几？【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】本题采用试除法。

823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动．有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823×2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．【答案】33743【例 2】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【关键词】小学数学夏令营【解析】由48412÷=÷=，48412÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，4859.6知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【答案】10【例 3】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678⨯=，并且小于⨯+=；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数13(61)91为78583+=．【答案】83【例 4】在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余0)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．【答案】99【例 5】托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【关键词】圣彼得堡数学奥林匹克【解析】除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过++=，既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该25815数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]18=，设该数为a，则181=-，即a m18(1)17=-+（m为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17．a m【答案】17模块二、多位数的余数问题【例 6】 2000"2"2222个除以13所得余数是_____.【考点】多位数的余数问题 【难度】3星 【题型】填空【解析】 方法一、我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。

五年级数学余数的性质

五年级数学余数的性质

余数的性质知识结构一、 三大余数定理：（1） 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（2） 余数的减法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4（3） 余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．例题精讲【例 1】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2004年，少年数学智力冬令营【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()2000,2003，()1998,2000,2003 ，()2000,2003,2001,1995 ，()1998,2000,2003,2001,1995．【答案】4【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。

小学奥数王峰数论(5)余数问题

小学奥数王峰数论(5)余数问题

教案教师：__ 王鑫___ 学生：_ 王峰上课时间：学生签字：____________【知识点概述】一、带余除法的定义及性质：1.带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数)性质1：余数小于除数被除数除数商余数性质2：=⨯+除数（被除数-余数）商=÷商（被除数-余数）除数=÷性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)⨯除以5的余数等于⨯=。

313当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)⨯除以5的余数等于3412⨯=除以5的余数，即2.【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。

二、数的同余1.同余定义若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )同余式读作：a同余于b，模m由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。

六同第五讲 余数问题

六同第五讲 余数问题

第五讲余数问题教学课题：余数问题教学课时：两课时教学目标：1、熟悉被除数，除数，商，余数之间的关系。

2、了解同余的定义。

3、掌握同余的性质。

4、结合质数合数分解质因数内容解决综合性题目。

教学重点：掌握同余的3个重要性质。

教学难点：运用同余解决实际问题。

教学准备：教学过程：一、导入（韩信点兵）汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。

现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。

”韩信满不在乎地说：“可以可以。

”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。

”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。

”“刘邦又传令：“每五人站成一排。

”小队长报告：“最后一排只有三人。

”刘邦再传令：“每七人站成一排。

”小队长报告：“最后一排只有二人。

”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。

”聪明的同学们知道是怎么算出来的吗？学完今天的内容大家就会算了，让我们一起学习今天的课程吧！二、新课学习例1：□÷17=38……□，问要使余数最大，被除数是多少？师：余数最大能够是多少呢？生：16。

师：那么被除数怎么求解呢？生：被除数=商╳除数+余数师：对，被除数为17×38+16=662例2：一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数？师：A除B，A除以B的区别是什么大家知道吗？生：A除B=B÷A，A除以B=A÷B师：能否把余数37先踢走呢？则310－37=273。

该两位数一定是273的什么数呢？生：两位数一定是273的因数。

273 = 3×13×73、13、7 相乘可以组合的2位数有13、21、39、91根据余数大于除数，其中符合除310余37的有39和91例3：两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和为866。