§52平面直角坐标系(一)

义务教育课程标准实验教科书苏科版八年级上册§5.2 平面直角坐标系（1）一、教学目标1．理解平面直角坐标系的有关概念，会正确画出平面直角坐标系.2．会在给定的平面直角坐标系中，根据点的坐标描出点的位置，会由点的位置写出点的坐标.3．通过感受数学知识的发生和发展，让学生进一步领会“数形结合”的思想，体验将实际问题数学化的过程与方法.二、教学重点、难点【教学重点】1．理解平面直角坐标系的有关概念，会正确画出平面直角坐标系.2．会在给定的平面直角坐标系中，根据点的坐标描出点的位置，会由点的位置写出点的坐标.【教学难点】理解建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对的一一对应关系.三、教学方法与教学手段启发讲授，合作探究，学习单，多媒体辅助教学．四、教学过程（一）创设情境同学们，今天老师第一次给大家上课，对大家并不熟悉，如果课上我想有针对性的请某位同学回答问题，你能帮老师设计一个简单、可行的办法吗？【设计意图】一改惯用地复习旧知识、引入新课的手法，从学生熟悉的生活实际出发，设计一个引人入胜的生活情境，让学生获得成功的经验，消除刚上课的不适应感，并将小学曾经学过的数对加深认识，提出有序实数对的概念，通过一正一反的过程，使学生感受教室里存在着一个对应的关系，为接下来建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对一一对应作铺垫．（二）新知探究活动一你能描述点P所在的位置吗？【设计意图】将具体问题抽象成数学问题，生活的经验让学生能很快的回答，通过教师一步一步的追问，让学生体会到建立参照物（平面直角坐标系）描述点P的位置的必要性，初步形成平面直角坐标系的雏形，通过“提出问题——构建参照物——说一说对参照物的认识”的过程，让学生亲身经历概念形成的全过程，感受数学概念形成的自然性与合理性，加深学生对平面直角坐标系概念的理解．归纳一平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系.水平方向的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向.铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向.两轴的交点O是原点.请在学习单上自己构建一个平面直角坐标系.【设计意图】让学生自己先构建一个平面直角坐标系，教师通过巡视，发现学生画图时的不规范之处，再进行纠正，加深学生的印象．活动二现在给你一点A，你能精确的描述它所在的位置吗？再给你一点B，请你精确的描述它所在的位置.若我将平面直角坐标系擦掉，这四个点还能像之前一样精确的描述它们所在的位置吗？想一想，平面直角坐标系到底起到了什么作用？【设计意图】第一个点的作用既是学生巩固之前的描述方法，又是用有序实数对表示点的开始，第二个点的作用是让学生巩固用有序实数对来表示点.教师配合幽默的语言，让学生迅速感知到建立平面直角坐标系后，平面内的点可以用有序实数对来表示．再给你一点C，你能写出与它相对应的有序实数对吗？对应的有序实数对吗？【设计意图】此处的问法和之前不同，从“你能精确的描述它的位置吗？”转换成“写出与它相对应的有序实数对”，上升到规范的语言，进一步让学生掌握在平面直角坐标系中由点的位置写出与它相对应的有序实数对的方法．反过来，又会怎么样呢？带着疑问一起研究.若给你一对有序实数(3，2)，你能在平面直角坐标系中，找到一个与它对应的点D吗？再给你一对有序实数(－2，4)，你能在平面直角坐标系中，找到一个与它对应的点E吗？通过这个活动，你发现了什么问题？在平面直角坐标系中，用有序实数对(a，b)描述一个点的位置，如果将这点记为点P，那么它的位置如何确定？【设计意图】由于学生首次接触在平面直角坐标系中根据有序实数对画点,故需进行适当的铺垫，让学生经历由特殊到一般、具体到抽象的过程，使学生初步感知到建立平面直角坐标系后，一对有序实数可以确定一个点的位置．活动三回顾整个过程，一共总结出了两句话，你能合起来说一遍吗？归纳二在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.（建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对一一对应）这样的有序实数对叫做点的坐标.点的坐标通常与表示该点的大写字母写在一起.【设计意图】锻炼学生用简洁、准确的语言表达自己观点的能力．让学生进一步体会建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对一一对应的内涵．（三）例题讲解在平面直角坐标系中.（2）写出点M、N的坐标.【设计意图】通过一个简单的实例，让学生熟练掌握在给定平面直角坐标系中，根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标的方法，进一步体会建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对一一对应的内涵．（四）知识运用再认识将活动和例题中的点放在一起来研究，你可以给这些点分分类吗？归纳三两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.由于坐标轴是象限与象限之间的分界，因此坐标轴不属于任何象限.现在，如果我报几个点的坐标，你能迅速判断出它所在的位置吗？【设计意图】通过这个环节让学生从另一个视角再认识前面的问题，初步培养学生规范化的表达，让学生感受不同象限内的点的坐标的不同之处,之后通过几个快速回答，“逼”出学生模糊的认识：平面直角坐标系各象限内的点的坐标的符号特点及坐标轴上点的坐标的特点．练习在平面直角坐标系中画出下列各点，并指出它们所在象限或坐标轴．A(2，4)，B(－3，3)，C(－2.5，－2)，D(0，－3)．【设计意图】进一步巩固平面直角坐标系的相关概念．（五）小结思考通过今天的学习和研究，你对平面直角坐标系有了哪些认识？今天着重研究了平面内的点，若让你继续研究，你还有什么想研究的吗？【设计意图】建立平面直角坐标系的初步目的是将平面内的“形”与“数”结合起来，但最终目的是用它的思想方法解决更多的问题，达到经验的迁移、能力的提升，从而学以致用、学有所用．故小结思考处，也是拓展延伸处：“你还有想研究的问题吗？”让学生主动地提出问题、发现问题、分析问题、解决问题．此处不仅仅是单纯的知识罗列，应该是画龙点睛之笔，承前启后，适当外延，是对整堂课学习的一个提升．（六）作业布置1．书129页2、3、4；2．网络阅读笛卡尔直角坐标系．【设计意图】进一步巩固平面直角坐标系的相关概念，网络阅读笛卡尔直角坐标系，与时俱进，毕竟这是一个互联网＋的时代．五、教案设计说明教学内容选自苏科版教材八年级上册第五章第一节“平面直角坐标系”. 平面直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的，它使点与数的关系从一维过渡到二维，使有序实数对与平面内的点建立了一一对应的关系，架起了“数”与“形”之间联系的桥梁.本节课的授课内容属于规则下的概念课教学，与其它概念课不同的是本节课的概念可以看作是一个概念群，多而细，所以要逐步让学生理解相应概念，不要操之过急.本节课从学生熟悉的问题入手，让学生一开始“摸得到，看得着”，接着通过描述点P的位置体会建立平面直角坐标系的必要性，从而对其进行深入研究，通过从特殊到一般、具体到抽象的过程，体会建立平面直角坐标系后平面内的点与有序实数对一一对应的关系，最终达到经验的迁移，能力的提升.教学设计突出以下特点：1．以活动为主线本节课的教学中，以学生作为活动的主体，创设恰当的问题情境、环环相扣的活动，引导学生积极思考，大胆探索，最大限度地调动了学生积极参与教学的活动．纵观本节课，共有1个情境，3个活动，情境从学生熟悉的生活情境入手，贯穿一节课，活动一从数学背景切入，凸显出建立平面直角坐标系的必要性，与最后的小结部分首尾呼应，活动二环环相扣，通过从特殊到一般、具体到抽象的过程，让学生归纳出在给定的平面直角坐标系中，根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标的方法，初步感受建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对一一对应的关系，活动三是对难点的再认识，进一步感受建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对一一对应的关系，最终与例题结合再次研究每个象限内的点的坐标的特点．3个活动可谓用“足”、用“透”，以活动开始，以活动结束，贯穿整堂课．2．以方法为支撑课堂上，只有让学生真正“动”起来、“活”起来，学生的学习热情才会高涨，创造力才会加强．所以本节课在教学时，尽可能让学生多说、多做、多悟，让学生充分体会概念的形成过程，力求达到“概念的得出是水到渠成的、自然的，而不是强加于人的”教学境界．3．以思想为灵魂本节课最主要的数学思想就是数形结合的思想，而在整节课的教学时，教师很少提及抽象的“数”、“形”二字，取而代之的是用通俗的语言与学生交流，慢慢渗透“数”与“形”的关系，尊重了学生的认知规律．4．以能力为归宿荷兰数学家弗莱登塔尔提出：学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己发现或创造出来．本节课多次给予学生发现、创造的机会，如一开始描述点P的位置，让学生体会构建参照物描述点P位置的必要性，创造出平面直角坐标系的雏形，在最后小结环节，实际也是拓展延伸环节，让学生尽情的说，提出一个又一个精彩的问题，如“空间内的点如何描述”，充分给予学生思考、比较、类比、抽象、概括等一系列能力提升的机会．。

x′＝ λx（ λ>0）， 其中区分变换的前后方向是关键． y′＝ μy（μ>0）
课堂练习
1．若点P(x，y)按伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到Q(x′，
y′)，则此变换的代数形式是
kx＝ x′ A. y＝ y′ x＝ x′ C. ky＝ y′ x＝ kx′ B. y＝ y′ x＝ x′ D. y＝ ky′
要点一 运用坐标法解决解析几何问题 例 1 如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2|＝4，过 动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为 切点)，使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动 点 P 的轨迹方程．
解
以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，
解析 ∵椭圆 x2＋4y2＝16 向着 y 轴进行伸缩变换，伸 缩系数 k＝2，∴伸缩变换 x′＝x，y′＝2y， 1 1 ∴x＝x′，y＝ y′，代入原方程得到 x′2＋4( y′)2＝16， 2 2 ∴x2＋y2＝16.
课堂小结
1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上 起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架 起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的 方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内
C 在此变换下变为
1 x′＝2x， x＝ 2x′， 解 (1)①由伸缩变换 得 y＝ 3y′. y′＝1y， 3 将其代入 5x＋2y＝ 0， 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 5x′ ＋3y′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线． x＝ 2x′， ②将 代入 x2＋y2＝1， y＝ 3y′ x′2 y′2 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 ＋ ＝1. 1 1 4 9 经过伸缩变换后，圆变成了椭圆． (2)设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点．

06
总结回顾与作业布置
关键知识点总结回顾
平面直角坐标系概念
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直 角坐标系，简称直角坐标系。
点的坐标表示
对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线， 得到P的横坐标和纵坐标，记作P(x,y)。
坐标平面区域划分
根据点的坐标符号特征，将坐标平面划分为四个象限，依 次为第一象限(x>0,y>0)、第二象限(x<0,y>0)、第三象 限(x<0,y<0)、第四象限(x>0,y<0)。
线
空间中一条直线L可以由两个不 同点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2) 确定，或者使用点向式方程表示 ，如：L: (x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0,y0,z0)为直线 上一点，a、b、c为方向向量分
量。
面
空间中一个平面M可以由三个不 共线点P1(x1,y1,z1)、
05
互动环节：学生操作演示与讨论
学生上台操作演示平面直角坐标系相关知识点
绘制坐标系
学生上台使用电子白板或投影展示如何绘制平面直角坐标系，并标 注x轴、y轴及原点。
点的坐标表示
学生演示如何在坐标系中表示点的坐标，包括整数坐标、分数坐标 等不同情况。
坐标平面内点的移动
学生演示点在坐标平面内如何进行平移，包括水平移动和垂直移动。
分组讨论并分享心得体会
01
分组讨论
学生分组进行讨论，探讨平面直角坐标系在实际生活中的应用，如地图
、建筑图纸等。
02
分享心得体会
每组选派代表上台分享讨论成果，包括平面直角坐标系的应用实例、学

平面直角坐标系初一知识点
嘿，同学们！今天咱来聊聊平面直角坐标系这个超有趣的初一知识点呀！
你想想，平面直角坐标系就像一个超级大的地图。

比如说，咱把教室看成这个“地图”，那每个同学就像地图上的一个点。

（咱就说，这是不是很有意思！）咱可以通过横纵坐标，准确知道每个同学在这个“教室地图”里的位置呢！
那什么是横坐标，什么又是纵坐标呢？举个例子，假如王小明同学在第三排，第二列，那第三排就相当于横坐标，第二列就相当于纵坐标啦！（是不是一下子就清楚啦！）平面直角坐标系能帮我们准确找到任何一个点的位置呢，是不是很神奇呀！
而且哦，在这个坐标系里，还可以画出各种图形。

就像是用坐标来搭积木一样，太好玩啦！比如画个正方形，咱只要知道四个顶点的坐标，就能把它画出来啦。

（哇塞，这也太酷了吧！）
总之，平面直角坐标系就是这么牛，这么有趣！它让我们看到了数学世界里的奇妙之处，能帮我们解决好多问题呢！大家一定要好好学呀！。

1：线段BC平行于 轴，垂直于 轴； ：线段 平行于 平行于x轴 垂直于y B、C两点的纵坐标相同 、 两点的纵坐标相同 2：线段CE平行于 轴，垂直于x轴； ：线段 平行于y轴 垂直于 轴 平行于 C、E两点的横坐标相同 、 两点的横坐标相同
• 2、结论 （1）平行于X轴的直线上所有点的 纵坐标相等. 纵坐标相等 （2）平行于Y轴的直线上所有点的 横坐标相等. 横坐标相等
-2
-1
C (-2，-2)
·
D (2，-1)
·
3
4
x
横轴
归纳一： 归纳一：不同象限内点的符号
y
第二象限
— —
纵轴
第一象限
(负，正) 负
| | |
(正，正) 正
| | | |
1—
|
o
第三象限
— — —1第四象限x源自横轴(负，负) 负
(正，负) 正
纵轴
y
3
2
·
B（0，2） A （4，0）
1
2
· -3
（-3，0） C
B(0，-3) ， E(3，3) ， C(3，-3) ， F(0，3) ，
A(-2，0) ， D(4，0) ，
1、猜测 的位置与坐标轴有什么位置关系？ （1）线段 的位置与坐标轴有什么位置关系？ ）线段BC的位置与坐标轴有什么位置关系 B点、C点的坐标之间有什么关系？ 点的坐标之间有什么关系？ 点 点的坐标之间有什么关系 的位置与坐标轴有什么位置关系？ （2）线段 的位置与坐标轴有什么位置关系？ ）线段CE的位置与坐标轴有什么位置关系 C点、E点的坐标之间有什么关系？ 点的坐标之间有什么关系？ 点 点的坐标之间有什么关系
b 1 -1 0 -1 1

先横后纵加括号，
中间不忘加逗号。
1
-3 -2
. N
-1
O -1 -2 -3
1
横坐标
-4
·
Q(0,-4)
N（-1.5，-2）在哪里？
平面直角坐标系的建立，使得平面上的点与有序实数对 一一对应，从而架起了数与形之间的桥梁.
应用新知 例１（1）写出平面直角坐标系中的Ａ、Ｂ、O 、P各点的 1
坐标. （2）在平面直角坐标系中画出点Ｅ(-5,-5)、Ｆ(0,-3)、 Ｇ(-4,-3)、Ｈ(-2.5,3)
（－，＋）
-4 -3
3 2 1 1
第一象限
（＋，＋）
2 3 4 x
x轴上的点 的纵坐标 为0，表示 为（a,0）
y轴上的 点的横坐 标为0， 表示为 （0,b）
-2 -1 O -1 -2 -3 -4
第三象限
（－，－）
第四象限
（＋，－）
应用新知 2 例2 （1）在点A（-2，-4）、B（-2，4）、C（3，-4）、
y
5 4 B 3 2 A G
C
R(-3,0)
-1
1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2
-1 E -2
F -3 -4 D
x
-5 -6
挑战自我
y
2、指出A、B、C、D各点的 坐标
B O
-3
2
ห้องสมุดไป่ตู้
A
x
3 -1
C
D
3.在点M（-1，0）、N（0，-1）、P（-2，-1）、O（5，0）、R（0， -5）、S（-3，2）中，在x轴上的点的个数是（ ）B A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

§6.1.2平面直角坐标系北京市永丰中学 钱健教学任务分析教学目标：1、知识与技能：了解平面直角坐标系的产生过程及其应用，熟练掌握由点确定坐标,根据坐标描出点的位置的方法；能利用坐标的符号特征解决相应问题；培养数形结合能力，小组合作交流能力，以及应用数学的能力.2、过程与方法：基本方法：问题式教学, 互动式教学、开放式教学、情境式教学.分别引导学生学会探究、学会合作、学会学习、学会体验.分别包含在情境引入、探索性质、变式训练；动手实践与思考相结合法鼓励学生动手操作.在操作过程中，启发学生思考，使学生操作与思考相结合.3、情感态度价值观：由平面直角坐标系的有关内容，以及由点找坐标，反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇.重点：根据坐标描出点的位置；由点的位置写出点的坐标；不同位置点的坐标的符号特征.难点：根据要求合理建立平面直角坐标系，确定点的坐标；利用坐标的符号特征解决相应问题.教学活动设计【活动一】复习引入：请回答：1、数轴的三要素；2、请画一条数轴，在上面分别标出3和-1.5的点；3、分别写出数轴点A 、B 、C 、D 表示的数.【活动二】明确概念“思考：类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种方法来确定平面内的点的位置呢？（例如如图中，A 、B 、C 、D 个点？）提示：我们可以仿照用数轴表示直线上一个点的方式，构造两条数轴组成的工具，来表示平 AB D面上的一个点，这个工具叫做——平面直角坐标系.概念：1、平面直角坐标系；2、横轴、纵轴、原点；3、坐标；4、象限.【学生活动】写出P42/填空【活动三】实际应用例题1：在平面直角坐标系中，描出下列各点：A（4,5）、B（-2,3）、C（-4，-1），D（2.5，-2），E（0，-4）.探究：如图，正方形ABCD的边长为6，如果以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么y轴式哪条直线？写出正方形的顶点A、B、C、D的坐标.请另建立一个平面直角坐标系，这时正方形的顶点A、B、C、D的坐标又分别是多少？与同学交流一下.【活动四】自主探究1、原点的坐标有什么特点？2、任意在x轴，y轴上各找一个点，观察点的坐标有何特点？3、任意在四个象限内各找一个点，观察点的坐标的符号有何特点？总结：各象限内的点的坐标的符号是：第一象限：（+，+）；第二象限：（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限：（+，-）.【注意】：当平面直角坐标系中的一个点的坐标位置确定后，它的坐标的符号也就确定了，反之，当一个点的坐标的符号确定了，它的位置也就确定了.【学生活动】填表P44/2例题2：指出下列各点所在的象限或坐标轴A（-2,0），B（2，-0.5），C（0，0），D（0，-3.3），E（5,5），F（-2，-4）例题3：已知x、y为实数，且P（x、y）的坐标满足x²+y²=0，则点p必在____________.例题4：在平面直角坐标系中，适合条件8y x 5x =-=，的点P （x ，y ）的个数为_______.s【活动五】课堂练习：书P43/练习，P44/1，P45/3，P46/7.【活动六】作业：P45/4、5、6.。

§5.2 平面直角坐标系（1）学案【教师寄语】：不要学花儿只把春天等待，要学燕子把春天衔来。

【学习目标】1、理解平面直角坐标系的有关概念，并学会正确地画出直角坐标系；理解平面内点的坐标的意义，会根据坐标确定点和由点求得坐标。

2、通过对平面直角坐标系的概念理解，感受一种量随另一种量变化的现象，体会数形结合思想的作用。

3、通过平面直角坐标系点与坐标之间关系的探究过程及解决简单的实际问题，培养好奇心，创新精神，通过参与数学活动增强团队精神，培养学生合作意识。

【学习重点】1.在给定的平面直角坐标系中，会根据点的位置写出它的坐标。

2.由点的坐标观察，点的坐标有什么特点。

【学习难点】坐标轴上点的坐标有什么特点的总结。

【学案使用】预习课本P 83-84内容，自主解答【自主学习，小组交流】中的第一.二.三部分，【自主学习，合作探究】部分小组讨论，合作解答，遇到不会的地方做好标记。

【回顾与思考】1、请画一条数轴，并指出它的三要素。

并说出数轴上任意两个点表示的数。

2、在平面内确定物体的位置一般需要几个数据？3、利用上节课学过的知识，寻找“大成殿”在“中心广场”的什么位置？【自主学习，小组交流】一.平面直角坐标系的的相关概念：在平面内， 组成平面直角坐标系。

水平的数轴叫做 或 ，向____为正方向。

铅直的数轴叫做 或 ，向____为正方向。

统称坐标轴，公共原点O 称为直角坐标系的 . 巩固练习：(小组讨论)判断下面四个图形中，哪些是平面直角坐标系并说明理由。

二. 平面直角坐标系中，象限的划分：x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分，称之为四个象限。

那么，四个象限是怎么划分的呢？四个象限是按什么方向排列的？请同学们填在右图的坐标系上。

【自主学习，合作探究】 三.点的坐标：1、点A 、点B 的坐标如何表示？你是如何确定的？有序实数对(a ，b )叫做点的 。

横纵坐标的表示顺序是怎样的？（小组讨论）①请在平面直角坐标系中写出其它几个点的坐标？②请在直角坐标系中标出K(1,-2)J （-3，3）L （-2，-4）的位置。

斜截式
两点式
一般式
通过直线上的一个点和 斜率来表示直线方程。
通过直线的斜率和与y轴 的截距来表示直线方程
。
通过直线上的两个点来 表示直线方程。
包含直线上的所有点， 用x和y的项表示。
直线与圆的位置关系
相离
直线与圆没有交点，相离时圆心到直线的距离大于圆的半径。
相交
直线与圆有两个交点，相交时圆心到直线的距离小于圆的半径。
。
坐标系的基本元素
原点、x轴、y轴、正方向、单位长 度等。
点的坐标表示方法
用有序数对(x,y)表示，其中x是横坐 标，y是纵坐标。
象限与轴对称
象限定义
轴对称的性质
在平面直角坐标系中，将点(x,y)分为 四个象限，分别称为第一象限、第二 象限、第三象限和第四象限。
对称点的连线与对称轴垂直，且两点 到对称轴的距离相等。
内切
两个圆只有一个交点 ，且圆心距等于两个 圆的半径之差。
内含
两个圆无交点，且圆 心距小于两个圆的半 径之差。
05 平面直角坐标系中的变换
平移变换
总结词
通过在坐标系中沿特定方向和距离移动点来达到平移的目的 。
详细描述
平移变换是平面直角坐标系中最基本的变换之一。它是指将 点沿特定方向移动一定距离，距离可以是负数。平移变换不 改变图形的大小、形状和相对位置。
距离最短
在平面直角坐标系中，求解两点之间距离最短的问题通常 转化为求解斜率的问题，斜率等于0时距离最短。
面积最大
在平面直角坐标系中，求解由给定点构成的三角形或平行 四边形的最大面积问题，可以通过调整边长或高来实现。
平面直角坐标系中的轨迹问题
点的轨迹
在平面直角坐标系中，点的轨迹问题 通常涉及求直线、圆、椭圆、抛物线 等曲线的方程，通过已知条件确定曲 线方程。

苏科版数学八年级上册《52 平面直角坐标系》教学设计一. 教材分析《52 平面直角坐标系》是苏科版数学八年级上册的一章内容。

本章主要介绍平面直角坐标系的定义、特点以及坐标轴上的点坐标的概念。

通过本章的学习，学生能够理解平面直角坐标系的意义，掌握坐标轴上点的坐标表示方法，并能运用坐标系解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经学习了代数和几何的基础知识，具备一定的数学思维能力。

但部分学生可能对坐标系的概念和运用还存在困惑，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.了解平面直角坐标系的定义和特点，理解坐标轴上点的坐标表示方法。

2.能够运用平面直角坐标系解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.平面直角坐标系的定义和特点。

2.坐标轴上点的坐标表示方法。

3.运用平面直角坐标系解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和探索来理解和掌握平面直角坐标系的概念和方法。

2.利用多媒体课件和实物模型，直观地展示平面直角坐标系的定义和特点，帮助学生建立空间想象能力。

3.通过实例和练习，让学生动手操作，巩固对坐标轴上点的坐标表示方法的理解。

4.小组讨论和合作交流，促进学生之间的互动和合作，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体课件和实物模型。

2.练习题和实际问题案例。

3.坐标轴图示和坐标轴模板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“什么是平面直角坐标系？它在数学和科学中有何应用？”引发学生的思考和兴趣，激发学生对平面直角坐标系的探究欲望。

2.呈现（10分钟）利用多媒体课件和实物模型，呈现平面直角坐标系的定义和特点，引导学生直观地理解坐标系的概念。

通过图示和动画，展示坐标轴上点的坐标表示方法，让学生初步掌握坐标系的运用。

3.操练（10分钟）让学生分组进行坐标系的绘制和点的坐标表示的练习。

平面直角坐标系平面直角坐标系是指利用两个垂直的数轴（x轴和y轴）来确定平面上的点位置的一种坐标系统。

它是数学中常用的一种工具，用于描述平面上的几何图形和解决各种问题。

在平面直角坐标系中，点的位置由两个数值（x，y）表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

一、坐标轴平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。

坐标轴的交点称为原点，记作O。

x轴向右延伸为正方向，向左延伸为负方向。

y轴向上延伸为正方向，向下延伸为负方向。

x轴和y轴的单位长度可以任意选择，常用的单位长度是1。

二、坐标表示在平面直角坐标系中，每个点的位置都可以用一个有序数对（x，y）表示。

x表示点在x轴上的位置，可以是正数、负数或零。

y表示点在y轴上的位置，也可以是正数、负数或零。

由于存在四个象限，具体的位置表示可能是不同的。

三、象限划分平面直角坐标系将平面划分为四个象限，如下所示：第一象限：x轴和y轴的正半轴构成，x和y均为正数。

第二象限：x轴的负半轴和y轴的正半轴构成，x为负数，y为正数。

第三象限：x轴和y轴的负半轴构成，x和y均为负数。

第四象限：x轴的正半轴和y轴的负半轴构成，x为正数，y为负数。

四、坐标变换在平面直角坐标系中，可以进行坐标变换来描述图形的移动、旋转和缩放等操作。

常见的坐标变换包括平移、旋转和缩放。

平移：平移是将图形沿着x轴或y轴方向进行移动。

平移图形的x坐标和y坐标分别加上相应的平移量。

旋转：旋转是将图形绕着原点或其他点旋转一定角度。

旋转图形可以利用旋转矩阵进行计算。

缩放：缩放是将图形在x轴和y轴方向上进行拉伸或压缩。

缩放图形可以将图形的每个点的x坐标和y坐标分别乘以缩放因子。

五、应用领域平面直角坐标系被广泛应用于各个学科和领域中。

在几何学中，平面直角坐标系被用于描述图形的性质和计算图形的面积、周长等。

在物理学中，平面直角坐标系用于描述物体的运动轨迹和力的作用方向等。

在经济学和社会科学中，平面直角坐标系被用于建立数学模型和分析数据等。

高小草, 孔维晨
3.请找出以下几个坐标指的是哪个同学的 位置：（3，2） （-2，4） （0，3）
y
Hale Waihona Puke 5 4 3Q（2，3）（2，3） .Q p （3，2） ·
N
2 1
M
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 X
在建立了平面直角坐标系后，平 -4 面上的点与有序实数对 一一对应 。
垂线的交点就是该坐标对应的点。
一对有序实数对
10
坐标平面上的点
练习6.设计图案
如图请用红笔把以下 位置的五角星涂上颜 色。
（0 （1 （3 （2 （4 ，1） ，0） ，-2） ，-2） ，-1）
y
3 2 1
-2
-1
O -1
1
2
3
4
x
-2
-3
（-2 ，2）
（-1 ，2）
小游戏
1.以何雯所在排为横轴、刘蝉鑫所在列为 纵轴建立平面直角坐标系，你能用坐标 表示你的位置吗？ 2.请说出以下同学所在位置的坐标:
7.1.2平面直角坐标系
学习目标:
1.了解平面直角坐标系,知道如何构建
平面直角坐标系.
2.会在平面直角坐标系中由已知点写出坐标,
3.会在平面直角坐标系中根据已知点的坐标描点
复习
1、什么是数轴？
规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。 通过数轴我们可以确定数轴上点的位置。
2、我们怎样表示平面上点的位置呢?
7
练习3.快速说出图中各点的坐标
y
5 (-2,3) 4 C 3 2 1 B (5,3) A(3,2)
F(-7,2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 E(5,-4) G(-5,-4) -4 H (3,-5) D (-7,-5) -5

变式2：已知A(a，b)、B(b，a)表示同一个点，那么这个点一定在( B )
A．第二、四象限的角平分线上 B．第一、三象限的角平分线上
C．平行于x轴的直线
D．平行于y轴的直线上
拓展提高
已知点A(-3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上， 且点B到x轴的距离等于3，求点B的坐标．
拓展提高
1、象限的角平分线上点坐标的特征？ 2、关于坐标轴对称的点的坐标特征？
新知讲解
（1）当点P落在一、三象限的两条坐标轴夹角平分 线上时，横、纵坐标相等，可表示为(a，a)
y
3
P（a，a）
2
1
-4
-3
-2
-1
O -1
12345 x
-2 P -3
a=b
新知讲解
（2）当点P落在二、四象限的两条坐标轴夹角平分线上时,
新知讲解
y D
连接起来的图
E
C
形像“房子”
F
B
根据图形回答下列问题： G
oA
x
（1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？
（2）线段 EC 与 x 轴有什么位置关系？点 E 和点 C 的坐标有什么特点？线段 EC 上
其他点的坐标呢？
（3）点 F 和点G 的横坐标有什么共同特点，线段 F-G1与 y 轴有怎样的位置关系？
新知讲解
如图所示的笑脸中， （1）在“笑脸”上找出几个位于第一象限 的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标 有什么特点。 解：（1）第一象限的点的坐标有：（1,1） ，（1,2），（2,1），（2,2），（2,3）， （5,2），它们的横坐标与纵坐标都是正实 数．
新知讲解
（2）在其他象限内分别找几个点，看看其

平面直角坐标系
平面直角坐标系，又称笛卡尔坐标系，是一种在二维空间里应用的坐标系。

它是由两个互相垂直的直线组成的，分别叫做X轴和Y轴，可以将二维平面上的任何一点定位。

一般来说，平面直角坐标系的原点为坐标原点(0,0)，X轴水平向右延伸，Y轴垂直向上延伸。

每一点都可以用一对数字来表示，分别表示其在X轴和Y轴上的坐标。

用坐标显示出来形成一个坐标轴，已经有助于理解平面坐标系。

平面直角坐标系的使用非常广泛，应用于数学、物理、地理等诸多学科，是学习和处理二维数据的非常有用的工具。

它可以帮助我们更好地理解物体的位置和运动路径，以及分析函数的结构和趋势。

同时，平面直角坐标系还可以帮助我们将二维地图投影到平面上，帮助人们更清楚地理解地形和地貌。

可以说，平面直角坐标系是研究和处理二维数据的必不可少的工具。

在科学研究中，平面直角坐标系是一种非常重要的技术，它被广泛用于表达空间结构，分析和模拟各种现象，有很多强大的数学工具，可以帮助我们更好地了解这些现象。

当然，也可以用平面直角坐标系来研究各种曲线问题，比如椭圆、抛物线、双曲线等等。

总而言之，平面直角坐标系是一种重要的坐标系，应用于数学、物理和地理等多个领域，被广泛用于研究和处理二维数据。

它是一个强大的工具，对于理解二维空间中的物体结构和现象非常有用，也是研究函数曲线的重要基础。

平面直角坐标系平面直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述平面上的几何图形和点的位置关系。

它由两个互相垂直的坐标轴组成，分别称为X轴和Y轴。

每个点在这个坐标系中都可以由一个有序对 (x, y) 表示，其中 x 表示点在X轴上的位置，y表示点在Y轴上的位置。

在平面直角坐标系中，点的位置可以通过坐标进行准确描述。

X轴和Y轴的交点被称为坐标原点，用符号 O 表示。

X轴向右延伸的方向为正方向，Y轴向上延伸的方向为正方向。

根据这个规定，可以得出以下性质：1. 同一平面上的两点可以通过直线连接。

一条直线可以由平面上的两个点确定。

2. X轴和Y轴上的点的坐标有特殊含义。

当某点的Y坐标为0时，说明该点在X轴上；当某点的X坐标为0时，说明该点在Y轴上。

3. 平面上的点可以分为四个象限。

第一象限包含所有X坐标和Y坐标都为正数的点；第二象限包含所有X坐标为负数、Y坐标为正数的点；第三象限包含所有X坐标和Y坐标都为负数的点；第四象限包含所有X坐标为正数、Y坐标为负数的点。

4. 两个点的距离可以通过坐标计算得出。

设两点分别为A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，则点 A 到点 B 的距离为 d =√((x2 - x1)^2 + (y2-y1)^2)。

平面直角坐标系在几何学和代数学中有广泛的应用。

通过坐标表示，我们可以方便地计算两点之间的距离、两条线段的交点、图形的面积等。

它简化了几何图形的描述和计算，使得解决几何问题更加直观和高效。

在平面直角坐标系中，我们也可以进行坐标变换和平移。

通过改变坐标轴的位置和方向，我们可以将一个图形在平面上进行平移、旋转和缩放。

这种灵活性使得平面直角坐标系成为数学和工程学科中不可或缺的工具。

总之，平面直角坐标系是一种简单有效的坐标系统，用于描述平面上点的位置关系和几何图形的性质。

通过坐标的运算和计算，我们可以方便地解决各种几何和代数问题。

这种坐标系统在数学、物理、工程等领域中被广泛使用，并为解决实际问题提供了有力的工具。

一、知识要点例题设计：1．定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

2．各个象限内点的特征:第一象限：（＋，＋）点P（x，y），则x＞0，y＞0；第二象限：（－，＋）点P（x，y），则x＜0，y＞0；第三象限：（－，－）点P（x，y），则x＜0，y＜0；第四象限：（＋，－）点P（x，y），则x＞0，y＜0；四个象限的特点：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）在x轴上：（x，0）点P（x，y），则y＝0；在x轴的正半轴：（＋，0）点P（x，y），则x＞0，y＝0；在x轴的负半轴：（－，0）点P（x，y），则x＜0，y＝0；在y轴上：（0，y）点P（x，y），则x＝0；在y轴的正半轴：（0，＋）点P（x，y），则x＝0，y＞0；在y轴的负半轴：（0，－）点P（x，y），则x＝0，y＜0；坐标原点：（0，0）点P（x，y），则x＝0，y＝0；3. 点到坐标轴的距离：点P （x ，y ）到x 轴的距离为|y|，到y 轴的距离为|x|。

4．中点与两点间的距离： 已知点A ),(11y x ，B ),(22y x 中点P 的坐标为：)2,2(2121y y x x ++ 5．点的对称：点P(m ，n)，关于x 轴的对称点坐标是(m ，－n)， 关于y 轴的对称点坐标是(－m ，n) 关于原点的对称点坐标是(－m ，－n)例题1：点A （－1，2）关于y 轴的对称点坐标是 ；点A 关于原点的对称点的坐标是 。

点A 关于x 轴对称的点的坐标为 6．平行线：平行于x 轴的直线上的点的特征：纵坐标相等；如直线PQ ，P ),(n m Q ),(n p 平行于y 轴的直线上的点的特征：横坐标相等；如直线PQ ，P ),(n m Q ),(p m 例2：已知点)1,5(-m A ，点)1,4(+m B ，且直线y AB //轴，则m 的值为多少？ 7．象限角的平分线：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，可记作：),(m m P点P(a ，b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b ， a) 第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，可记作：),(m m P - 点P(a ，b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(－b ，－a)例3：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标相等，在平面直角坐标系中表示出点P 的位置.例4：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标互为相反数，在平面直角坐标系中表示出点P 的位置.例5：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标满足|1|-=x y ，在平面直角坐标系中表示出点P 的位置.xyOxyOxyO6．点的平移：在平面直角坐标系中，将点（x ，y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（x ＋a ，y ）； 将点（x ，y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x －a ，y ）； 将点（x ，y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x ，y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。