浙江省杭州市2020届2020年4月高三统测模拟数学试卷 (解析版)

浙江省杭州市建人2020届高复高三下学期数学4月模拟测试试卷一、单选题（共10题；共20分）1.已知全集2，3，4，5，，集合，，则（）A. {2,6}B. 3，5，6}C. {1，3，4，5}D. {12，3，4，5，6}2.已知a，b∈R，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A. 16+8B. 8+8C. 16+16D. 8+164.如果正数满足，那么（）A. ，且等号成立时的取值唯一B. ，且等号成立时的取值唯一C. ，且等号成立时的取值不唯一D. ，且等号成立时的取值不唯一5.设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2a1a n}为递减数列，则( )A. d<0B. d>0C. a1d<0D. a1d>06.已知实数满足则的最小值是（）A. B. C. D.7.定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的，，令.下面说法错误的是（）A. 若与共线，则B.C. 对任意的D.8.对于给定正数k，定义，设，对任意和任意恒有，则（）A. k的最大值为2B. k的最小值为2C. k的最大值为1D. k的最小值为19.如图，点P在正方体的表面上运动，且P到直线BC与直线的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P的轨迹在展开图中的形状是（）A. B.C. D.10.设函数的最大值为，最小值为，则（）A. B.C. D.二、双空题（共4题；共4分）11.已知，若，则________，________；12.已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为________；展开式中系数最大的项为________.13.将字母放入的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为________；若共有行字母相同，则得k分，则所得分数的数学期望为________；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下）a bc ca b14.已知都是单位向量，且，则的最小值为________；最大值为________三、填空题（共3题；共3分）15.已知方程，若该方程表示椭圆方程，则的取值范围是________；16.已知正四面体ABCD和平面，，正四面体ABCD绕边BC旋转，当AB与平面所成角最大时，CD与平面所成角的正弦值为________17.双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于两点，且，延长AO交双曲线右支于点C，若，则该双曲线的离心率为________四、解答题（共5题；共55分）18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角B的大小；（2）求的取值范围.19.如图所示，和所在平面互相垂直，且，，E，F分别为AC，DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.20.已知各项均为正数的数列{ }的前n项和满足，且（1）求{ }的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：21.已知A,B是抛物线上位于轴两侧的不同两点（1）若CD在直线上，且使得以ABCD为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积.（2）求过A、B的切线与直线围成的三角形面积的最小值；22.设函数f（x）＝e x﹣ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f′（）＜0（f′（x）为函数f（x）的导函数）；（3）设点C在函数y＝f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记t，求（a﹣1）（t﹣1）的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】D二、双空题11.【答案】；12.【答案】10；13.【答案】；（填0.6也对）14.【答案】；三、填空题15.【答案】1＜k＜5或5＜k＜916.【答案】17.【答案】四、解答题18.【答案】（1）解：由题意（2）解：19.【答案】（1）解：证明：（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC= ，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，又EF 面EFO，所以EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B（0,0,0），A(0，-1，),D( ,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,从而，所以.（2）解：（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF.因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO= EC= BC·cos30°= ，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO= ,从而sin∠EGO= ，即二面角E-BF-C的正弦值为.（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为，设平面BEF的法向量，又,由得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为6，且由题意知6为锐角，则，因此sin∠EGO= ，即二面角E-BF-C的正弦值为20.【答案】（1）解：由，因此由得，又，得从而{ }是首项为2公差为3的等差数列，故{ }的通项公式为（2）解：由可得，从而=于是21.【答案】（1）解：设直线联立直线AB与抛物线方程得：易得：直线AB与CD之间的距离为令，可得所以该正方形的边长为或面积为18或50（2）解：设，（由对称性不妨设）则处的切线方程为：，与直线交点记为M，则则处的切线方程为：，与直线交点记为N，则两条切线交点P（令）于是(令)当时取到等号所以该三角形面积的最小值为22.【答案】（1）解：∵f（x）＝e x﹣ax+a，∴f'（x）＝e x﹣a，若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．∴a＞0，令f'（x）＝0，则x＝lna，当f'（x）＜0时，x＜lna，f（x）是单调减函数，当f'（x）＞0时，x＞lna，f（x）是单调增函数，于是当x＝lna时，f（x）取得极小值，∵函数f（x）＝e x﹣ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），∴f（lna）＝a（2﹣lna）＜0，即a＞e2，此时，存在1＜lna，f（1）＝e＞0，存在3lna＞lna，f（3lna）＝a3﹣3alna+a＞a3﹣3a2+a＞0，又由f（x）在（﹣∞，lna）及（lna，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，可知a＞e2为所求取值范围（2）解：∵，∴两式相减得．记，则，设g（s）＝2s﹣（e s﹣e﹣s），则g'（s）＝2﹣（e s+e﹣s）＜0，∴g（s）是单调减函数，则有g（s）＜g（0）＝0，而，∴．又f'（x）＝e x﹣a是单调增函数，且∴．（3）解：依题意有，则⇒x i＞1（i＝1，2）．于是，在等腰三角形ABC中，显然C＝90°，∴，即y0＝f（x0）＜0，由直角三角形斜边的中线性质，可知，∴，即，∴，即．∵x1﹣1≠0，则，又，∴，即，∴（a﹣1）（t﹣1）＝2。

杭州建人高复2020届第二学期模拟测试数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件B A ,互斥，那么 柱体的体积公式)()()(B P A P B A P +=+； V Sh =如果事件B A ,相互独立，那么 椎体的体积公式)()()(B P A P B A P ⋅=⋅； 13V Sh = 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 球的表面积公式n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 24S R π=k n k k n n P P C k P --=)1()((k = 0,1,…,n). 球的体积公式台体的体积公式 343V R π=选择题部分（共40分）一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1、已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,4}P =，{3,5}Q =，则()U C P Q =U （）A 、{2,6}B 、{2,3,5,6}C 、{1,3,4,5}D 、{1,2,3,4,5,6}2、已知i 是虚数单位，,x y R ∈，则“1x y ==”是“2()2x yi i +=”的（）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A ．88π+B ． 816π+C ． 168π+D ．1616π+4、如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ）A. ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一B. ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一C. ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一D. ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一5、设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >6、已知实数x ,y 满足2246120x y x y +-++=则22x y --的最小值是A.5－ 5B.4－ 5C.5－1D.5 57、定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的(,),(,)a m n b p q ==，令a ⊙ .np mq b -=下面说法错误的是A. 若a 与b 共线，则a ⊙0=bB. a ⊙b b =⊙aC. 对任意的)(,a R λλ有∈⊙a b (λ=⊙)bD. a (⊙222||||)()b a b a b =⋅+2 8、对于给定正数k ，定义(),()(),()k f x f x k f x k f x k≤⎧=⎨>⎩，设252)(22++--=a a ax ax x f ，对任意R x ∈和任意)0,(-∞∈a 恒有)()(x f x f k =，则( )A ．k 的最大值为2B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为19、如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）A. B.C. D.10、设函数22sin 2()cos 2a a x f x a a x ++=++的最大值为()M a ，最小值为()m a ，则（） A 、000,()()2a R M a m a ∃∈⋅=B 、,()()2a R M a m a ∀∈+=C 、000,()()1a R M a m a ∃∈+=D 、,()()1a R M a m a ∀∈⋅=非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11、已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()____,(1)f a f a =-=______；12、已知方程22(1)(9)1k x k y -+-=，若该方程表示椭圆方程，则k 的取值范围是_______;13、已知322()(3)n f x x x =展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______．14、将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______； 若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1,3行字母不同，该情况下1ξ=） ab c cab15 、已知正四面体ABCD 和平面α，BC α⊂，正四面体ABCD 绕边BC 旋转，当AB 与平面α所成角最大时，CD 与平面α所成角的正弦值为______16、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点， 且1||||OF OA =，延长AO 交双曲线右支于点C ，若11||2||CF BF =，则该双曲线的离心率为_________17、已知,,a b c r r r 都是单位向量，且12a b ⋅=-r r ，则11a c b c -⋅+-⋅r r r r 的最小值为_____;最大值为________三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.18.（本小题14分）在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知．Ⅰ 求角 的大小；Ⅱ 求的取值范围．19. （本小题15分） 如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.20. （本小题15分）已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=（1）求{n a }的通项公式；（2）设数列{n b }满足1)12(=-n b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+21. （本小题15分）已知,A B 是抛物线2x y =-上位于y 轴两侧的不同两点（1）若CD 在直线4y x =+上，且使得以ABCD 为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积。

浙江省杭州市高级中学2020届高三数学下学期仿真模拟考试试题（含解析）一､选择题1.已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x，x ＞0}时，A ∩B=（ ） A. {x|x ＞﹣2} B. {x|1＜x ＜2} C. {x|1≤x ≤2} D. ∅【答案】B 【解析】试题分析：由集合A 中的函数2lg(4)y x =-，得到240x ->，解得：22x -<<，∴集合{|22}A x x =-<<，由集合B 中的函数3,0x y x =>，得到1y >，∴集合{}1B y y =，则{|12}A B x x ⋂=<<，故选B ． 考点：交集及其运算． 2.“sin 0α=”是“cos 1α=”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】判断两个命题：sin 0α=⇒cos 1α=和cos 1α=⇒sin 0α=的真假即可得．【详解】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题p q ⇒和q p ⇒的真假．3.二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( )A. 20B. -20C. 160D. -160【答案】D 【解析】【分析】首先写出二项式的通项公式()6621612rrr r r T C x --+=-⋅⋅，然后令3r =求常数项.【详解】()()66621661212rrr rrr r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭当620r -=时，3r = ，所以二项式的常数项为()333612160C -⋅=-.故选：D【点睛】本题考查二项式定理指定项的求法，重点考查通项公式，属于基础题型.4.如图，在矩形ABCD 中，=2=3AB BC ，，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -侧视图的面积为（ ）A.613B.1813C.213D.313【答案】B 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，判断出几何体的结构，由此画出几何体的侧视图，并求得侧视图面积. 【详解】画出几何体的直观图如下图所示.由正视图和俯视图可知，平面ABD ⊥平面BCD . 过A 作AE BD ⊥交BD 于E ，过C 作CF BD ⊥交BD 于F .根据面面垂直的性质定理可知AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD .则AE CF ⊥.由于四边形ABCD 是矩形，AE CF =，所以三棱锥A BCD -的侧视图是等腰直角三角形，画出侧视图如下图所示，其中两条直角边的长度分别等于,AE CF ，由于222313BD =+=，所以112213AB AD AB AD BD AE AE BD ⨯⨯⨯=⨯⨯⇒==， 则13AE CF ==. 所以侧视图的面积为1182131313⨯⨯=.故选：B【点睛】本小题主要考查求几何体的侧视图的面积，属于中档题. 5.函数22xy x =-的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【详解】因为2、4是函数的零点，所以排除B 、C ； 因为1x =-时0y <，所以排除D,故选A6.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和()n n N *∈个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若()1D X =，则()E X =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】由题意，()~4,X B P ，()()1411,2D X P P P =-=∴=，()14422E X P ==⨯=，故选B.7.已知a R ∈，函数()f x 满足：存在00x >，对任意的0x >，恒有0()()f x a f x a -≤-.则()f x 可以为（ ）A. ()lg f x x =B. 2()2f x x x =-+ C. ()2x f x = D. ()sin f x x =【答案】D 【解析】对于选项A,由于()lg f x x =在0x >上是增函数，值域是R ，所以不满足()()0f x a f x a -≤-恒成立；对于选项B ，()22f x x x =-+在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞是减函数，值域是(,1]-∞，所以不满足()()0f x a f x a -≤-恒成立；对于选项C ，()2xf x =在在0x >上是增函数，值域是(1,)+∞，所以不满足()()0f x a f x a -≤-恒成立；对于选项D,()sin f x x =在x>0时的值域为[-1,1],总存在00x >，对任意的0x >，恒有()()0f x a f x a -≤-.故选D.点睛：本题的难点在于图像分析，函数()f x 满足：存在00x >，对任意的0x >，恒有()()0f x a f x a -≤-.实际上就是说函数在x>0时，必须有最大值和最小值.8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确是（ ） A. 若30S >，则20200a > B. 若30S <，则20200a < C. 若21a a >，则20212020a a > D. 若2111a a >，则20212020a a < 【答案】D 【解析】 【分析】由特殊化思想，选择合适等比数列，利用排除法即可求解. 【详解】考查等比数列：11a =，22a =-，34a =，()1,2n n a -=-，满足30S >，但是20200a <，选项A 错误； 考查等比数列：14a =-，22a =，31a =-，()31,12n nn a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，满足30S <，但是20200a >，选项B 错误；该数列满足21a a >，但是202120200a a <<，选项C 错误； 对于D ，若10a >，由211111111101q a a a q a q>⇔>⇔>⇒<<，所以数列{}n a 为递减数列， 故20212020a a <正确，若10a <，由21111111110q a a a q a q>⇔>⇔<⇒<或1q >， 当1q >时，数列{}n a 为递减数列，故20212020a a <正确；当0q <时，偶数项为正，奇数项为负，故20212020a a <，综上D 选项正确. 故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，考查了推理运算能力，特殊化思想，属于中档题.9.已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，O为坐标原点，以12F F 为直径的圆O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P、Q，点B为圆O与y轴正半轴的交点，若2POF QOB∠=∠，则双曲线C的离心率为（）A. 35+ B.35+C. 15+ D.15+【答案】D【解析】【详解】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为by xa=，以12F F 为直径的圆O的方程为222x y c+=．由222by xax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x ay b=⎧⎨=⎩，故点P的坐标为(,)a b；由22222221x ya bx y c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得222x b cbyc⎧=+⎪⎨=⎪⎩，故点Q的坐标为222()b c bc c+．∵2POF QOB∠=∠，∴2sin sinPOF QOB∠=∠，∴22b a b cc+=，整理得2b ac=，∴22c a ac-=，故得210e e--=，解得152e+=．选D ． 点睛：求双曲线的离心率时，可将条件中所给的几何关系转化为关于,,a b c 等式或不等式，再由222c a b =+及ce a=可得到关于e 的方程或不等式，然后解方程（或不等式）可得离心率（或其范围）．解题时要注意平面几何知识的运用，如何把几何图形中的位置关系化为数量关系是解题的关键．10.在三棱锥S ABC -中，ABC ∆为正三角形，设二面角S AB C --，S BC A --，S CA B --的平面角的大小分别为,,,,2παβγαβγ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A. 111tan tan tan αβγ++的值可能是负数 B. 32παβγ++<C. αβγπ++>D.111tan tan tan αβγ++的值恒为正数 【答案】D 【解析】 【分析】作S 在底面ABC 的投影为O ,再分别作,,OM AB ON BC OP AC ⊥⊥⊥,进而分析,,αβγ的正切值再判断即可.【详解】作S 在底面ABC 的投影O ,再分别作,,OM AB ON BC OP AC ⊥⊥⊥,设ABC ∆边长为a .①当O 在ABC ∆内时,易得,,αβγ分别为,,SMO SNO SPO ∠∠∠.由ABCABOBCOACOSSSS=++可得1110tan tan tan MO NO PO aSO SO SO SOαβγ++=++=>. 当S 无限接近O 时易得αβγ++接近0,故C 错误.②当O 在ABC ∆外时,不妨设O 在,AC BC 的延长线构成的角内. 易得,,αβγ分别为,,SMO SNO SPO ππ∠-∠-∠.由ABCABOBCOACOSSSS=--可得1110tan tan tan MO NO PO aSO SO SO SOαβγ++=--=>. 且当S 无限接近O 时易得αβγ++接近2π,故B 错误.综上,A 也错误. 故选：D【点睛】本题主要考查了二面角的分析,需要画图理解,表达出对应的二面角的平面角,再根据平面内任一点到正三角形三边的距离关系求解分析,同时也要有极限的思想分析二面角的范围问题.属于难题. 二､填空题11.复数z满足：1za ii=-+(其中0a>，i为虚数单位)，z=a=________；复数z的共轭复数z在复平面上对应的点在第________象限.【答案】 (1). 2 (2). 四【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，可求得z，再根据复数求模公式可求得a的值，进而求得z在复平面内对应点的象限。

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。

杭州建人高复2020届第二学期模拟测试数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+；V Sh =如果事件,A B 相互独立，那么椎体的体积公式()()()P A B P A P B ⋅=⋅；13V Sh =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么球的表面积公式n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率24S R π=()(1)k kn k n n P k C P P -=-（k =0，1，…，n ）.球的体积公式台体的体积公式343V R π=选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,U =2，3，4，5，6}，集合{}1,4P =，{}3,5Q =，则()(UP Q ⋃=)A. {}2,6B. {2,3，5，6}C. {1,3，4，5}D. {1,2，3，4，5，6}【答案】A 【解析】 【分析】进行并集、补集的运算即可．【详解】P ∪Q={1，3，4，5}；∴∁U （P∪Q）={2，6}． 故选A ．【点睛】考查列举法表示集合概念，并集、补集的运算,属于基础题. 2.已知a ，b ∈R ，21i =-则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的基本运算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：因为2222()a abi b a bi =+-+， 若1a b ==，则等式成立，即充分性成立，若2(i)2i a b +=成立，即2222a abi b i -=+，所以22022a b ab ⎧-=⎨=⎩解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩即必要性不成立，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复数的基本运算是解决本题的关键，属于基础题．3.某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A. 16+8πB. 8+8πC. 16+16πD. 8+16π【答案】A 【解析】试题分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体， 半圆柱的底面半径为2，故半圆柱的底面积212=22S ππ=⨯⨯，半圆柱的高4h =． 故半圆柱的体积为8π，长方体的长宽高分别为422，，，故长方体的体积为42216⨯⨯=， 故该几何体的体积为168π+，选A 考点：三视图，几何体的体积4.如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） A. ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 B. ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 C. ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 D. ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 【答案】A 【解析】正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2，选A ．5.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A. 0d < B. 0d >C. 10a d <D. 10a d >【答案】C 【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2111(1)1(1)22n a a a a n dn a a n d +-=+-∴=，又由于{}12na a 为递减数列，所以1111-01221202nn a a a d a a a d +=>=∴<，故选C.考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.6.已知实数,x y 满足2246120x y x y +-++=则22x y --的最小值是（ ）A. 55-B. 45-C. 51-D. 55【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件把2246120x y x y +-++=转化为圆的标准方程，可得到圆心坐标及半径，而22x y --可转化为2255x y --⨯即可看到圆上的点到直线220x y --=距离的最小值. 【详解】2246120x y x y +-++=，()()22231x y ∴-++=，即圆心C ()2,3-，半径1r =，222255x y x y ----=⨯，∴225x y --可看到圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离，∴圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离的最小值为圆心C 到直线220x y --=距离d 减去半径即d r -，43255d +-==∴圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离的最小值为51d r -=， ∴22x y --的最小值为55【点睛】本题考查了圆上的点到定直线的距离的最小值，考查了学生的计算能力，属于一般题.7.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np =-.下面说法错误的是A. 若a b 与共线，则0a b =B. ab b a =C. 对任意的,()R a b a b λλλ∈=有（）D. 2222()()ab a b a b +⋅=【答案】B 【解析】【详解】若a 与b 共线，则有=mq-np=0ab ，故A 正确；因为，而=mq-np a b ，所以有a b b a ≠，故选项B 错误；因为(,)(,)a b m n p q mq nq λλλλλ==-（），()()ab mq np mq np λλλλ=-=-，所以选项C 正确；2222222222222222()()()()()()ab a b mq np mp nq m q n p m p n q m n q p +⋅=--+=+++=++，222222=()()m n a p q b ++，所以选项D 正确.故选B ．8.对于给定正数k ，定义(),()(),()k f x f x k f x k f x k≤⎧=⎨>⎩，设22()252f x ax ax a a =--++，对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =，则（ ） A. k 的最大值为2 B. k 的最小值为2 C. k 的最大值为1 D. k 的最小值为1 【答案】B 【解析】根据已知条件可得：()f x k ≤对任意x ∈R 恒成立，即max ()k f x ≥，结合二次函数的性质可求函数()f x 的最大值即可.【详解】因为对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =， 根据已知条件可得：()f x k ≤对任意x ∈R 恒成立， 即max ()k f x ≥，()22()252,,0f x ax ax a a a =--++∈-∞，()22()1252f x a x a a ∴=--++， ∴当1,0x a ==时有max ()2f x =，即2k ≥故选：B【点睛】本题考查了不等式恒成立问题以及二次函数的性质，属于一般题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】在平面BCC1B1上，P到直线C1D1的距离为|PC1|，∵P到直线BC与直线C1D1的距离相等，∴点P到点C1的距离与到直线BC的距离相等，∴轨迹为抛物线,且点C1为焦点，BC为准线；故排除C，D，同理可得，在平面ABB1A1上，点P到点B的距离与到直线C1D1的距离相等，从而排除A ， 本题选择B 选项.10.设函数22sin 2()cos 2a a x f x a a x ++=++的最大值为()M a ，最小值为()m a ，则（ ）A. 000,()()2a R M a m a ∃∈⋅=B. ,()()2a R M a m a ∀∈+=C. 000,()()1a R M a m a ∃∈+=D. ,()()1a R M a m a ∀∈⋅=【答案】D 【解析】 【分析】将函数整理为()()()2sin cos 21a x y x a y -=+-，再由辅助角公式和正弦函数的值域，得到不等式，结合韦达定理，即可得到答案.【详解】因为22sin 2cos 2a a x y a a x ++=++，所以有()()()2sin cos 21a x y x a y -=+-，即()()()221x a y ϕ-=+-，ϕ为辅助角，因为()()sin 1x x R ϕ-≤∈，所以()()221a y +-≤，化简得：()()()24222423422340a a y a y a a ++-++++≤，由于42340a a ++>恒成立， 则判别式：()()()422422424243442780a a a a a a ∆=+-++=++>恒成立，即有不等式的解集为{}(),()m a M a ， 由韦达定理可得,()()1a R M a m a ∀∈⋅= 故选：D【点睛】本题考查了利用三角函数的范围，辅助角公式以及韦达定理，考查了学生的计算能力，属于较难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =_______，(1)f a -=______；【答案】3- 【解析】 【分析】根据已知条件可得()4log 30,1a =∈，所以直接把4log 3a =代入即可求出()f a ，()11,0a -∈-，即有()10,1a -∈，再代入计算即可.【详解】()4log 30,1a =∈，4log 3()22a f a ∴===()11,0a -∈-， ()10,1a ∴-∈，444log 1log 313(1)2223af a --∴-====，(1)f a ∴-=3-【点睛】本题考查了对数，指数的运算，考查了学生的计算能力，属于一般题.12.已知方程22(1)(9)1k x k y -+-=，若该方程表示椭圆方程，则k 的取值范围是_______； 【答案】15k <<或59k << 【解析】 【分析】先对方程进行化简成椭圆的标准方程，再利用椭圆的定义可得到k 的取值范围. 【详解】因为方程22(1)(9)1k x k y -+-=，所以22111(1)(9)x y k k +=--，所以有10(1)10(9)11(1)(9)k k k k ⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪≠⎪--⎩即15k <<或59k <<故答案为：15k <<或59k <<【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了学生的计算能力，属于较易题.13.已知2()3)n f x x =展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______. 【答案】 (1). 10 (2). 263405x 【解析】 【分析】由题意令1x =可得展开式中各项系数和为4n ，二项式系数和2n ，再根据已知条件可得到5n =，即可求出.【详解】2()3)n f x x =，∴令1x =可得展开式中各项系数和为4n ，且二项式系数和2n ，展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，∴42992n n -=解得5n =，则展开式中最大的二项式系数为235510C C ==； 设展开式中第1k +项的系数最大， 由二项式定理可得展开式()()2104523315533k k kk k kk T C xx C x+-+==，则115511553333k k k k k k k k C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，所以3161351k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得：7922k ≤≤， 因为k Z ∈， 所以4k =，因此当4k =时展开式中第5项系数最大的项为263405x 故答案为：10；263405x【点睛】本题考查了二项式的展开式以及系数和，考查了学生的计算能力，属于一般题. 14.将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）【答案】 (1). 215 (2). 35（填0.6也对） 【解析】 【分析】分类讨论计算出满足条件的基本事件个数，以及所有的基本事件个数，代入概率计算公式即可；计算出对对应的得分数ξ的概率，代入期望公式即可. 【详解】第一种：当每一列都不一样时有：第一列,,a b c 三个全排有33A ，第二列剩下的,,a b c 三个全排也有33A ，第二种：在一列中有其中两个是一样的则有：12113323C C C C ，所以总的基本事件个数有：33121133332390N A A C C C C =+=，当每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的基本事件个数有：3113212N A C ==，记事件“每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同”为A ， 则()11229015N p A N ===； 因为所得分数ξ可能取值为：0，1，3，则有：()()()483660,1,3909090p p p ξξξ======， 所以有48366543139090909005E ξ+⨯+⨯===⨯ 故答案为：215；35【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率和期望的计算，考查了学生的计算能力，属于一般题.15.已知正四面体ABCD 和平面α，BC α⊂，正四面体ABCD 绕边BC 旋转，当AB 与平面α所成角最大时，CD 与平面α所成角的正弦值为______【解析】 【分析】由已知条件可得当AB 与平面α所成角最大时即平面ABC α⊥，以BC 的中点为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，代入线面角公式即可求出.【详解】由题意可得：当AB 与平面α所成角最大时即平面ABC α⊥， 以BC 的中点为原点建立空间直角坐标系O xyz -（如图），过D 作DE ⊥平面ABC ，垂足为E ，设2BC =，则()2631,0,0,0,33C D ⎛ ⎝⎭，即2631,33CD →⎛=- ⎝⎭,设CD 与平面α所成角为θ，平面α的法向量为()0,0,1n →=，则3sin cos ,6CD nCD n CD nθ→→→→→→===即CD 与平面α所成角的正弦值为363【点睛】本题考查了利用向量法求线面角的正弦值，考查了学生的计算能力，属于一般题.16.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，且1||||OF OA =，延长AO 交双曲线右支于点C ，若11||2||CF BF =，则该双曲线的离心率为_________ 17【解析】 【分析】取双曲线的右焦点2F ,连接2CF ，延长交双曲线于D ，连接21,AF DF ，由平面几何的性质可得四边形12F AF C 为矩形，设1122CF BF m ==，运用双曲线的定义和对称性，结合勾股定理，化简可得34m a =，代入方程结合离心率公式即可求出.【详解】取双曲线的右焦点2F ,连接2CF ，延长交双曲线于D ，连接21,AF DF ，（如图）由12OA OF OC OF c ====， 可得四边形12F AF C 为矩形， 设1122CF BF m ==，由对称性可得：2DF m =，22144AF c m =-即有22244CF c m =-由双曲线的定义可得：22122244a CF CF m c m =-=-在直角三角形1DCF 中，221144,2,2DC m c m CF m DF a m =-==+，可得()()(222222244a m m m c m+=+-，②由①②可得34m a =，即43am =， 代入①可得：22228642244439a a a m c m c =-=-化简可得：22179c a =， 即有173c e a ==17【点睛】本题考查了双曲线的定义以及性质，考查了学生的计算能力，属于较难题.17.已知,,a b c 都是单位向量，且12a b ⋅=-1b c +-⋅的最小值为_____；最大值为________【答案】 【解析】 【分析】根据题意可设()()[]131,0,,,cos ,sin ,0,222a b c θθθπ⎛⎫==-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，再代入1b c +-⋅，利用二倍角公式进行化简、求三角函数的值域即可.【详解】因为,,a b c 都是单位向量，且12a b ⋅=-， 设()()[]131,0,,,cos ,sin ,0,222a b c θθθπ⎛⎫==-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，11cos b c +-⋅=-2226θθθπ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭取当取sin0,cos 0226θθπ⎛⎫≥+≥ ⎪⎝⎭时， 即20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12sin226b c θθπ⎛⎫+-⋅=++ ⎪⎝⎭22623θθπθπ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，61,b c ⎡+-⋅∈⎢⎣， 同理当2,23πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有12sin226b c θθπ⎛⎫+-⋅=+ ⎪⎝⎭22626θθπθπ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,23πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，61,2b c ⎡+-⋅∈⎢⎣1b c +-⋅的最小值为2【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数的化简、求值域，考查了学生的计算能力，属于较难题.三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.18.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 3a b C B =+. （1）求角B 的大小；（2）求22sin sin A C +的取值范围. 【答案】（1）3π（2）33(,]42【解析】 【分析】(1)根据题意可利用正弦定理把边转化为角，再用两角和的正弦即可；(2)先利用二倍角公式进行化简，再利用角度范围即可求22sin sin A C +的取值范围. 【详解】（1）由题意sin sin cos sin 3A B C C B =+sin()sin cos sin 3B C B C C B +=+sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=3cos sin sin sinB C C B=sinC0≠()3cos sin,0,3tan33B B BBBππ∴=∈∴=∴=（2）221cos21cos21sin sin1(cos2cos2C)222A CA C A--+=+=-+12141[cos2cos2()]1[cos2cos(2)]232311311(cos2sin2)1cos(2)2223A A A AA A Aπππ=-+-=-+-=--=-+2(0,)352(,)333AAππππ∈∴+∈1cos(2)[1,)32Aπ∴+∈-22133sin A sin C1cos(2)(,]2342Aπ∴+=-+∈【点睛】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，二倍角公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.19.如图所示，ABC∆和BCD∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD===，120ABC DBC∠=∠=，E，F分别为AC，DC的中点.（1）求证：EF BC⊥；（2）求二面角E BF C--的正弦值.【答案】(1)见解析(2)255【解析】试题分析：（1）（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=2π，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可证明EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得1331(0,,),(,,0)2222E F,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC=-=，因此0EF BC⋅=,从而得EF BC⊥；（2）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF，因此∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角；在△EOC中，EO=12EC=12BC·cos30°=3，由△BGO∽△BFC知，34BOOG FCBC=⋅=,因此tan∠EGO=2EOOG=,从而sin∠EGO=25，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为1(0,0,1)n=，设平面BEF的法向量2(,,)n x y z=，又,由22{n BFn BE⋅=⋅=得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos cos,5n nn nn nθ⋅===⋅，因此25，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（1）证明：（方法一）过E 作EO⊥BC，垂足为O ，连OF ，由△ABC≌△DBC 可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=2π，即FO⊥BC， 又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO ， 又EF ⊂面EFO ，所以EF⊥BC.（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B （0,0,0），A(0，-133,-1,0)，C(0,2,0),因而1331(0,,0)22E F ,所以33(,0,),(0,2,0)EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥，所以EF BC ⊥.（2）（方法一）在图1中，过O 作OG⊥BF，垂足为G ，连EG ，由平面ABC⊥平面BDC ，从而EO⊥平面BDC ，从而EO⊥面BDC ，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG 垂直BF. 因此∠EGO 为二面角E-BF-C 的平面角； 在△EOC 中，EO=12EC=12BC·cos30°=32，由△BGO∽△BFC 知，3BO OG FC BC =⋅=,因此tan∠EGO=2EO OG=,从而25，即二面角E-BF-C 25.（方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又3113(,,0),(0,,)222BF BE ==,由220{0n BF n BE ⋅=⋅=得其中一个，设二面角E-BF-C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos cos ,5n n n n n n θ⋅===⋅，因此25，即二面角E-BF-C 的正弦值为25. 考点：1.线面垂直的判定；2.二面角.20.已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1n S >，且*6(1)(2),n n n S a a n N =++∈（1）求{n a }的通项公式；（2）设数列{}n b 满足(21)1n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：*231log (3),n n T a n N +>+∈【答案】（1）31n a n =-（2）见解析 【解析】 【分析】(1)利用已知n S 与n a 的关系求{n a }的通项公式； (2)先根据(1)的结论求出23log 31n nb n =-，再求出{}n b 的前n 项和n T ，利用放缩法证明不等式.【详解】解：（1）由1112111(1)(1),16a S a a a S ==++=>结合，因此12a = 由111111(1)(2)(1)(2)66n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++-++得11()(3)0n n n n a a a a +++--=，又0n a >，得13n n a a +-=从而{n a }是首项为2公差为3的等差数列，故{n a }的通项公式为31n a n =- （2）由(21)1n bn a -=可得23log 31n nb n =-，从而 2363log (...)2531n nT n =⋅⋅⋅-323633log (...)2531n n T n =⋅⋅⋅-=3332363log [()()...()]2531n n ⋅⋅⋅- 3313231331n n n n n n ++>>-+ 3333132()3131331n n n n n n n n ++∴>⋅⋅--+ 于是33323633log [()()...()]2531n n T n =⋅⋅⋅- 223456783313232log [()()...()]log 234567313312n n n n n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-+ 2231log (32)log (3)n n T n a ∴+>+=+【点睛】本题考查了已知n S 与n a 的关系求{n a }的通项公式以及利用放缩法证明不等式，属于较难题.21.已知,A B 是抛物线2x y =-上位于y 轴两侧的不同两点 （1）若CD 在直线4y x =+上，且使得以ABCD 为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积.（2）求过A 、B 的切线与直线1y =-围成的三角形面积的最小值；【答案】（1）18或50；（2）9 【解析】【分析】(1)联解直线方程和抛物线方程，可求出AB 的弦长||AB =，再结合已知条件以ABCD 为顶点的四边形为正方形可得到正方形的边长，从而可求得面积；(2)分别求出切线方程，由切线方程求出交点坐标，代入三角形的面积公式，利用基本不等式求出面积的最小值.【详解】（1）设直线:AB y x b =+ 联立直线AB 与抛物线方程得：20x x b ++=易得：||AB =直线AB与CD=26b=--或所以该正方形的边长为面积为18或50；（2）设2(,)A a a-，2(,)B b b-（由对称性不妨设0,0a b<>）则A处的切线方程为：22y ax a=-+，与直线1y=-交点记为M，则21(,1)2aMa+-则B处的切线方程为：22y bx b=-+，与直线1y=-交点记为N，则21(,1)2bNb+-两条切线交点P(,)2a bab+-2222111()(1)222()(1)(1)()4()(1)4)4PMNb aS abb ab a ab abt aabb t btbtbtbt++=--+---+==-++=+≥△令于是2222222()(1)21111333(1)29qqqq qqq==+=+=+++≥+∴≥=当3b a=-=时取到等号【点睛】本题考查了直线与抛物线位置关系求弦长，求过点的切线方程，利用基本不等式求最小值，考查了学生的计算能力，属于较难题.22.设函数()()xf x e x a a α=-+∈R ，其图象与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围；（2）证明：f 0（f ′（x ）为函数f （x ）的导函数）；（3）设点C 在函数y ＝f （x ）的图象上，且△ABC =t ，求（a ﹣1）（t ﹣1）的值．【答案】（1）见解析; （2）见解析（3）2【解析】【详解】（1）∵f （x ）＝e x ﹣ax +a ，∴f '（x ）＝e x ﹣a ， 若a ≤0，则f '（x ）＞0，则函数f （x ）是单调增函数，这与题设矛盾． ∴a ＞0，令f '（x ）＝0，则x ＝lna ， 当f '（x ）＜0时，x ＜lna ，f （x ）是单调减函数， 当f '（x ）＞0时，x ＞lna ，f （x ）是单调增函数， 于是当x ＝lna 时，f （x ）取得极小值， ∵函数f （x ）＝e x﹣ax +a （a ∈R ）的图象与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2）， ∴f （lna ）＝a （2﹣lna ）＜0，即a ＞e 2， 此时，存在1＜lna ，f （1）＝e ＞0， 存在3lna ＞lna ，f （3lna ）＝a 3﹣3alna +a ＞a 3﹣3a 2+a ＞0，又由f （x ）在（﹣∞，lna ）及（lna ，+∞）上的单调性及曲线在R 上不间断，可知a ＞e 2为所求取值范围． （2）∵121200x x e ax a e ax a ⎧-+=⎨-+=⎩，∴两式相减得2121x x e e a x x -=-． 记()2102x x s s -=＞，则()121221212221'222x x x x x x s s x x e e e f e s e e x x s ++-+-⎛⎫⎡⎤=-=-- ⎪⎣⎦-⎝⎭， 设g （s ）＝2s ﹣（e s ﹣e ﹣s ），则g '（s ）＝2﹣（e s +e ﹣s）＜0，∴g （s ）是单调减函数，则有g （s ）＜g （0）＝0，而12202x x e s+＞， ∴12'02x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭＜． 又f '（x ）＝e x ﹣a是单调增函数，且122x x +∴'0f ＜．（3）依题意有0i x i e ax a -+=，则()10i xi a x e -=＞⇒x i ＞1（i ＝1，2）． 于是122x x e +=，在等腰三角形ABC 中，显然C ＝90°，∴()120122x x x x x +=∈，，即y 0＝f （x 0）＜0， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， ∴21002x x y -+=， 即()1221212022x x x x a ex x a +--+++=，∴()2112022x x ax x a -+++=，即()()()()21121111022x x a x x ---⎡⎤-+-+=⎣⎦． ∵x 1﹣1≠0，则2211111110212x x x a x --⎛⎫--++= ⎪-⎝⎭，t =， ∴()()22111022a at t t -++-=， 即211a t =+-， ∴（a ﹣1）（t ﹣1）＝2．点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数的有关知识在研究函数的单调性与极值（最值）等方面的综合运用．求解第一问时，充分借助题设条件运用分析推证的思想方法求解；解答第二问时，则借助题设中的坐标进分析推证；第三问则依据等边三角形的题设条件进行分析探求，综合运用等价转化的数学思想及数形结合的思想和意识，从而使得问题简捷、巧妙地获解．。

浙江省2020届高三数学4月高考适应性测试卷一、单选题1．已知,x y R ∈，设集合(){}2ln 1A x y x ==-，(){}2ln 1B y y x ==-，则RB A ⋂=( )A ．()0,1 B ．(],1-∞- C ．[)0,1D ．(),1-∞-2．下列通项表达式中能表达数列,1,,1,,1,, 1......i i i i ----的是( ) A ．n iB ．n i -C ．3n iD ．3n i -3．某几何体三视图如图所示（单位：cm ），其左视图为正方形，则该几何体的体积（单位：cm 3）是( )A ．8243π-B ．16243π-C ．8303π-D ．16303π-4．以下说法正确的是（ ） A ．空间异面直线的夹角取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．直线与平面的夹角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦C ．二面角的取值范围是[]0,π D ．向量与向量夹角的取值范围是0,5．已知牌堆中有5张扑克牌，其中2张“2”和3张“3”，从牌堆中任取两张扑克牌（无放回且每张牌取到的机会相等），规定：（a ）取出“2”得2分，取出“3”得3分，取出2张牌所得分数和记为随机变量1ξ（b ）取出“2”得3分，取出“3”得2分，取出2张牌所得分数和记为随机变量2ξ则（ ） A ．()()12EE ξξ<，()()12D D ξξ=B ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<C ．()()12E E ξξ>，()()12DD ξξ= D ．()()12EE ξξ<，()()12D D ξξ<6．以下方程能表达该图象的是( )A ．()221xy x y -=B ．()221xy y x -=C ．221xy x y-=D ．()221xy x y -=7．设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c a =++∈>R ，则“02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭”是“()f x 与(())f f x ”都恰有两个零点的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知0x >，则92535x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( ) A ．1215 B ．48C ．79316D ．609．如图所示，在顶角为3π圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1,4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于EF ，则截面所表示的椭圆的离心率为( ) （注：在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点,BC ，由相切的几何性质可知，AE AC =，AF AB =，于是AE AF AB AC BC +=+=，为椭圆的几何意义）A ．12B ．815C ．1127D ．1563二、多选题10．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln aa b a b -≥-恒成立 D ．2ln aab b e e-<恒成立 三、填空题 11．已知奇函数()f x 的定义域为R 且在R 上连续.若0x >时不等式()1f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为()2,3，则x ∈R时()1f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为______. 12．已知在五位车牌中，字母最多有两个，且为防止混淆1和l ，0和O ，车牌中不设置字母l 和O ，则“浙A ”的五位车牌最多有______块. 13．已知函数()ln x xf x ae x=1+-恰有一个零点，则实数a 的取值范围是______．四、双空题14．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.15．()91ax +的二项展开式中系数最大的是第三项，且a N +∈，则a =______，展开式中二项式系数最大的是第______项.16．设实数x 、y 满足条件30x y -≥、2x y +≤，则可行域面积为______，xy 最大值为______.17．已知三角形ABC 的外接圆半径为1，外接圆圆心为O ，且O 点满足2340OA OB OC++=，则cos ACB ∠=______，AB OA ⋅=______.五、解答题18．三角形ABC 的内角ABC 所对的边分别是a ，b ，c ，且24cos 2cos cos 25C A B += （1）若三角形是锐角三角形，且A B ∠>∠，求tan B 的取值范围； （2）若4a =，3b =，求三角形ABC 的面积．19．在四面体ABCD 中，已知2AC BC DC DA DB =====，AB x =. （1）当四面体体积最大时，求x 的值；（2）当3x =时，设四面体ABCD 的外接球球心为O ，求AO 和平面BCD 所成夹角的正弦值.20．已知数列11(1)n n na ab +=+，n *∈N ，且11a =． （1）若{}n b 的前n 项和为22n，求{}n a 和{}n b 的通项公式（2）若2n b n =，求证：92n a <21．已知抛物线21:4C y x =和x 轴上的定点()4,0M，过抛物线焦点作一条直线交1C 于A 、B 两点，连接,AM BM 并延长，交1C 于C 、D 两点.（1）求证：直线CD 过定点；（2）求直线AB 与直线CD 最大夹角为θ，求tan θ.22．已知函数()()()21ln f x x a x a R =--∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，且关于x 的方程()()f x b b R =∈恰有三个实数根3x ，4x ，5x ()345x x x <<，求证：()21532x x x x ->-.解析浙江省2020届高三数学4月高考适应性测试卷一、单选题1．已知,x y R ∈，设集合(){}2ln 1A x y x ==-，(){}2ln 1B y y x ==-，则RB A ⋂=( )A ．()0,1 B ．(],1-∞- C ．[)0,1D ．(),1-∞-【答案】A 【解析】由题意{}11A x =-<<，{}0B y y =≤，利用补集和交集的概念计算即可.【详解】 由题意(){}{}{}22ln 11011A x y x x xx ==-=->=-<<，(){}{}{}2ln 1ln10B y y x y y y y ==-=≤=≤，所以() 0,RB =+∞，() 0,1RB A ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域和值域的求解，考查了集合的运算，属于基础题. 2．下列通项表达式中能表达数列,1,,1,,1,, 1......i i i i ----的是( )A ．n iB ．n i -C ．3n iD ．3n i -【答案】D【解析】根据数列中的项和通项公式逐项排除即可得解. 【详解】当1n =时，1a i =，而1i i -=-，3i i =-，故排除B 、C 选项；当2n =时，21a =，而21i =-，故可排除A 选项. 故选：D. 【点睛】本题考查了数列通项的应用和复数的运算，属于基础题.3．某几何体三视图如图所示（单位：cm ），其左视图为正方形，则该几何体的体积（单位：cm 3）是( )A ．8243π-B ．16243π-C ．8303π-D ．16303π-【答案】C【解析】由三视图还原出几何体为一个长方体截去一个三棱锥和一个半圆柱构成，分别求出各部分体积即可得解. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去一个三棱锥和一个半圆柱构成， 长方体的体积为134336V =⨯⨯=；截去的三棱锥有三个两两垂直的棱，长度分别为3，3，4， 则截去的三棱锥体积为211334632V =⨯⨯⨯⨯=； 截去的半圆柱的底面半径r 满足()11543422r ⋅+=⨯⨯即43r =，高为3，则截去的半圆柱的体积为231483233V ππ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭；所以该几何体体积123883663033V V V V ππ=--=--=-.故选：C. 【点睛】本题考查了三视图的识别和组合体体积的求解，属于基础题. 4．以下说法正确的是（ ）A ．空间异面直线的夹角取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．直线与平面的夹角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦C ．二面角的取值范围是[]0,πD ．向量与向量夹角的取值范围是0,【答案】C【解析】本题可根据直线与直线、直线与平面、平面与平面以及向量与向量所成的角的取值范围对四个选项依次进行判断，即可得出结果. 【详解】A 项：空间异面直线的夹角取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，A 错误；B 项：直线与平面的夹角的取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B 错误；C 项：二面角的取值范围是[]0,π，C 正确；D 项：向量与向量夹角的取值范围是[]0,π，D 错误，故选：C. 【点睛】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面以及向量与向量所成的角的取值范围，考查学生对基础知识的熟练度，体现了基础性，是简单题.5．已知牌堆中有5张扑克牌，其中2张“2”和3张“3”，从牌堆中任取两张扑克牌（无放回且每张牌取到的机会相等），规定：（a ）取出“2”得2分，取出“3”得3分，取出2张牌所得分数和记为随机变量1ξ（b ）取出“2”得3分，取出“3”得2分，取出2张牌所得分数和记为随机变量2ξ则（ ） A ．()()12EE ξξ<，()()12D D ξξ=B ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ= D ．()()12EE ξξ<，()()12D D ξξ<【答案】C【解析】先写出14,5,6ξ=，24,5,6ξ=，再求出每种得分对应的概率值，根据期望和方差公式计算即可求解 【详解】可将抽牌结果分为三种情况：两张“2”，一张“2”和一张“3”，两张“3” 取出两张“2”的概率为：251110P C ==； 取出一张“1”，一张“2”的概率为：11232535C C P C ⋅==；取出两张“3”的概率为：2325310C P C ==按（a ）种规定的得分共有：4分，5分，6分三种情况，即14,5,6ξ=； 按（b ）种规定的得分共有：6分，5分，4分三种情况，即24,5,6ξ=； 列出随机变量1ξ与2ξ的分布列，如下表：1ξ4 5 6P110 35 3102ξ4 5 6P31035 110则()()123733,1010E E ξξ==，()()12E E ξξ> ()22213713733732610456101010510101000D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()22223333333312610456101010510101000D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()12D D ξξ=故()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ=故选：C【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差的求值，属于中档题 6．以下方程能表达该图象的是( )A ．()221xy x y-=B ．()221xy y x-=C ．221xy x y -=D ．()221xy x y -=【答案】A【解析】由图象的特征对比方程的性质，逐项排除即可得解. 【详解】 设点(),a b 为该图象上一点，对于B ，图象在第一象限存在点满足a b >即22a b >，此时()2201abba -<≠，故B 错误； 对于C ，图象经过第二、四象限即存在点满足0ab <的情况，则2201ab a b -<≠，故C 错误；对于D ，()()()2222a b a b ab a b ⋅--=-，由(),a b -不在图象上，故D 错误.故选：A.【点睛】本题考查了由图象识别方程，关键是找到选项的差异，属于基础题. 7．设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c a =++∈>R ，则“02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭”是“()f x 与(())f f x ”都恰有两个零点的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】【详解】 显然2b f a ⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的最小值，若()f x 有两个零点，设12,x x ，且12x x <，由()()0f f x =得()1f x x =或()2f x x =，由题意()()0ff x =只有两个零点，因此()1f x x =无解，()2f x x=有两个不等实根，即122b x f x a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，02b f f a ⎛⎫⎛⎫∴-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，必要性得证， 若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于0a >，因此()f x 有两个零点， 设为12,x x ，不妨设122b x f x a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，由()()0f f x =得()1f x x =或()2f x x =，显然()1f x x =无解，()2f x x =有两个不等实根，即()()f f x 有两个零点，充分性得证，故题中是充分必要条件，故选C.【方法点睛】本题通过充分条件与必要条件考查二次函数的图象与性质，属于难题题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.本题中，不但要理解充分条件与必要条件的基本含义，更要熟练掌握二次函数的图象与性质，以及二次函数与一元二次方程的关系. 8．已知0x >，则92535x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( ) A ．1215 B ．48C ．79316D ．60【答案】B【解析】转化条件得29251535148x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⋅++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，根据函数单调性确定15x x -的取值范围后即可得解. 【详解】 由题意229252253035219x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅++=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22151515249148x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()15f x x x=-，0x >，由函数单调性可知()(),f x ∈-∞+∞， 所以当151x x -=-时，92535x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最小值48.故选：B.【点睛】本题考查了函数单调性的应用，考查了整体意识，属于中档题. 9．如图所示，在顶角为3π圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1,4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于EF ，则截面所表示的椭圆的离心率为( ) （注：在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点,BC ，由相切的几何性质可知，AE AC =，AF AB =，于是AE AF AB AC BC +=+=，为椭圆的几何意义）A ．12B ．815C ．1127D ．1563【答案】C【解析】设两球的球心分别为1O ，2O ，圆锥顶点为S ，取两球与圆锥同一母线上的切点G ，H ，连接1O G ，2O H ，1O F ，2O E ，连接2O S 交EF 于K ，由题意可得33AE AF +=，再利用平面几何知识即可得11FE =，即可得解. 【详解】设两球的球心分别为1O ，2O ，圆锥顶点为S ，取两球与圆锥同一母线上的切点G ，H ， 连接1O G ，2O H ，1O F ，2O E ，连接2O S 交EF 于K ， 由顶角为3π，两个球的半径分别为1，4， 可知13tan6O G SG π==，243tan6O H SH π==，112sin6O G SO π==，228sin6O H SO π==，所以33GH =即33AE AF AB AC GH +=+==，126O O =，由12O FK O EK △△∽可得112214O K O F FK O K EK O E ===， 所以2245O K =，所以2224411455EK ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，5114FE EK ==， 所以该椭圆离心率11112733EF e AE AF ===+. 故选：C.【点睛】本题考查了圆锥和球的几何特征，考查了椭圆的性质，属于中档题.二、多选题10．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln aa b a b -≥-恒成立 D ．2ln aab b e e-<恒成立 【答案】AD【解析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x 恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a ab b e的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误.【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确C. ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a ba ab a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a bb a，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =；min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误.故选：AD 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.三、填空题 11．已知奇函数()f x 的定义域为R 且在R 上连续.若0x >时不等式()1f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为()2,3，则x ∈R时()1f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______.【答案】()()()3,20,23,--+∞【解析】当0x >时，易得()1f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为()()0,23,+∞；利用奇函数的性质可得当0x >时，()1f x f x ⎛⎫-->-- ⎪⎝⎭的解集为()2,3，令0t x =-<即可得解.【详解】由题意可得当0x >时，()1f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为()()0,23,+∞，由奇函数的性质可得当0x >时，()1f x f x ⎛⎫-->--⎪⎝⎭的解集为()2,3， 令0tx =-<，则()1f t f t ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为()3,2--，即当0x <时，()1f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为()3,2--， 所以()1f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为()()()3,20,23,--+∞.故答案为：()()()3,20,23,--+∞.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算能力和推理能力，属于中档题.12．已知在五位车牌中，字母最多有两个，且为防止混淆1和l ，0和O ，车牌中不设置字母l 和O ，则“浙A ”的五位车牌最多有______块. 【答案】67.0610⨯【解析】按车牌中没有字母、有一个字母和有两个个字母分类讨论，求和即可得解. 【详解】若车牌中没有字母则共有510100000=块车牌；若车牌中含有一个字母则共有14524101200000C ⋅⋅=块车牌； 若车牌中含有两个个字母则共有223524105760000C ⋅⋅=块车牌；则“浙A ”的五位车牌最多有6100000120000057600007.0610++=⨯块. 故答案为：67.0610⨯. 【点睛】本题考查了分步相乘和分类相加计数原理的应用，属于中档题. 13．已知函数()ln x xf x ae x=1+-恰有一个零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【解析】问题转化为函数ln ()1x g xx =+和()xh x ae =的只有一个公共点，利用导数得出()g x 的单调性，极值，可作出函数图象，由图象易知0a ≤时，两函数图象只有一个公共点，在0a >时，先求出两图象在同一点00(,)x y 处有共同切线时a 的值，而且利用图象知a 取其它值时交点情况，从而得出结论． 【详解】 函数()ln x xf x ae x =1+-恰有一个零点，即方程ln 10x x ae x +-=只有一根，ln 1x x ae x+=只有一根， 设ln ()1x g x x =+，()xh x ae =，0x >， 21ln ()xg x x-'=，当0x e <<时，()0g x '>，()g x 递增，x e >时，()0g x '<，()g x 递减，max 1()()1g x g e e==+，0x →时，()g x →-∞，x →+∞，()1g x →，∴0a ≤时，()xh x ae =是减函数，且()0≤h x ，函数ln ()1x g xx =+与()xh x ae =的图象只有一个交点，满足题意，0a >时，()x h x ae =是增函数，设()y g x =与()y h x =在00(,)x y 处有共同的切线，显然0(0,)x e ∈，()x h x ae '=，则000200001ln ln 1x x x ae x x y ae x -⎧=⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩，∴002001ln ln 1x x x x -=+，整理得2000(1)ln 10x x x ++-=， 设2()(1)ln 1p x x x x =++-，则1()2ln 1p x x x x '=+++，设1()2ln 1q x x x x=+++，则2211(21)(1)()2x x q x x x x-+'=+-=， 102x <<时，()0q x '<，()q x 递减，12x >时，()0q x '>，()q x 递增，min 11()4ln 4ln 2022q x q ⎛⎫==+=-> ⎪⎝⎭，∴0x >时，1()02q x q ⎛⎫≥> ⎪⎝⎭，即()0p x '>，∴()p x 是(0,)+∞上的增函数，又(1)0p =，∴2000(1)ln 10x x x ++-=只有唯一解01x =，∴1ae =，1a e=， 当1ae >时，()y g x =与()y h x =的图象没有公共点，当10a e<<时()y g x =与()y h x =的图象有两个在公共点，综上所述，函数()ln x xf x ae x=1+-恰有一个零点时，1(,0]a e ⎧⎫∈-∞⎨⎬⎩⎭．故答案为：1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题时首先把零点个数转化为函数图象交点个数，然后利用导数研究函数的性质，结合函数图象得出结论．本题考查学生的分析问题处理问题的能力，考查运算求解能力，属于难题．四、双空题14．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.【答案】1031165 【解析】设该女子每天的织布数量为n a ，转化条件得数列{}n a 为公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式和前n 项和公式求得1531a =后即可得解. 【详解】设该女子每天的织布数量为n a ，由题可知数列{}n a 为公比为2的等比数列，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()51512512a S -==-，解得1531a =， 所以2110231a a ==，()10105123116512S -==-. 故答案为：1031，165.【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.15．()91ax +的二项展开式中系数最大的是第三项，且a N +∈，则a =______，展开式中二项式系数最大的是第______项.【答案】3或4 5和6【解析】写出()91ax +的二项展开式的通项公式，由题意2923939929219199C a C a C a C a----⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解不等式组即可得解；由二项式系数的定义可得展开式中二项式系数最大为第3和4项；即可得解. 【详解】由题意()91ax +的二项展开式的通项公式为()9991991rr r r r r r T C ax C a x ---+=⋅=⋅⋅，由第三项的系数最大可得2923939929219199C a C a C a C a----⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩即3684369a a ≥⎧⎨≥⎩， 解得2149a ≤≤，又a N +∈，所以3a =或4； 展开式中二项式系数最大的是49C 和59C ，即为第5项和第6项. 故答案为：3或4；5和6 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题. 16．设实数x 、y 满足条件30x y -≥、2x y +≤，则可行域面积为______，xy 最大值为______.【答案】3 1【解析】本题首先可以将30x y -≥、2x y +≤转化为0302y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩或0302y x y x y <⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，然后绘出可行域，求出可行域面积，再然后结合图像得出当xy 最大时点在线段AC 上，最后根据配方法求出xy 的最大值.【详解】因为实数x 、y 满足条件30x y -≥、2x y +≤，所以实数x 、y 满足0302y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩或0302y x y x y <⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，绘出可行域，如图：易知13,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,0C ， 故可行域面积13222322AOCSS △， 结合图象可知，当xy 最大时点在线段AC 上，直线AC 的方程为2y x =-，则()()2222111xy x x x x x =-=-+=--+≤， 故当1x =时，xy 取最大值，xy 的最大值为1， 故答案为：3、1. 【点睛】本题考查可行域的画法以及配方法求最值，考查去绝对值，考查配方法的灵活应用，考查数形结合思想，考查计算能力，是中档题.17．已知三角形ABC 的外接圆半径为1，外接圆圆心为O ，且O 点满足2340OA OB OC++=，则cos ACB ∠=______，AB OA ⋅=______.【答案】10434-【解析】由题意()423OC OA OB =-+，两边同时平方可得1cos 4AOB ∠=，利用二倍角余弦公式即可得cos ACB ∠；转化条件为()AB OA OB OA OA ⋅=-⋅即可得AB OA ⋅；即可得解.【详解】 由题意可知ABC 为锐角三角形，点O 在ABC 内部，由2340OA OB OC++=可得()423OC OA OB =-+，两边同时平方可得222164912cos OC OA OB OA OB AOB =++⋅⋅∠，由1OC OA OB ===可得1cos 4AOB ∠=， 由2AOB ACB ∠=∠可得2cos 2cos 1AOB ACB ∠=∠-得10cos 4ACB ∠=； 由()213144AB OA OB OA OA OB OA OA ⋅=-⋅=⋅-=-=-.故答案为：104，34-.【点睛】本题考查了平面向量数量积与二倍角余弦公式的综合应用，考查了转化化归思想，属于中档题.五、解答题18．三角形ABC 的内角ABC 所对的边分别是a ，b ，c ，且24cos 2cos cos 25C A B += （1）若三角形是锐角三角形，且A B ∠>∠，求tan B 的取值范围； （2）若4a =，3b =，求三角形ABC 的面积． 【答案】（1）1724,317⎛⎫⎪⎝⎭；（2）6. 【解析】（1）先利用24cos 2cos cos 25C A B +=得出()cos A B -，再解出()tan A B -，将tan B 用含tan A 的式子表示，然后根据角A 的范围，求tanB 的取值范围；（2）利用余弦定理将24cos 2cos cos 25C A B +=化为关于三边的关系式，代入4a =，3b =，解出c ，然后再设法求其面积. 【详解】()cos 2cos cos cos 2cos cos cos cos sin sin C A B A B A B A B A B +=-++=+()24cos 25A B =-=又A B >，且,A B 都为锐角，故()7sin 25A B -=，()7tan 24A B -=， 又()tan tan tan 1tan tan A BA B A B--=+，所以()()246257tan +2424tan 72462577tan 7tan 247tan 24777tan 24A A B A A A --===-+++ 又2Cπ<，所以22A B A π<+<，得4A π>，tan 1A >，所以()()24625246252477724777tan 247A -<-<⨯++， 故1724tan 317B <<. （2）由余弦定理得22222222224cos 2cos cos 222225a b c b c a a c b C A B ab bc ac +-+-+-+=+⋅=， 代入4a =，3b =整理得：242254924242425c c c --+=， 解得：5c =则△ABC 为直角三角形，面积为13462S =⨯⨯=. 【点睛】本题考查解三角形中的综合问题，考查学生的计算能力，最值、取值范围问题的分析与处理能力，难度较大. 解答时，要注意利用余弦定理进行边角互化，取值范围问题要设法表示出所求量满足的关系式，然后利用函数的性质或不等式等求解.19．在四面体ABCD 中，已知2AC BC DC DA DB =====，AB x =. （1）当四面体体积最大时，求x 的值；（2）当3x =时，设四面体ABCD 的外接球球心为O ，求AO 和平面BCD 所成夹角的正弦值.【答案】（1）6；（2）71326. 【解析】（1）取DC 中点E ，连接AE ，BE ，过点A 作AH BE ⊥，由题意可知当AE ⊥平面BCD 时，四面体的面积最大，求出此时的x 的值即可得解； （2）在线段BE 上取O '，使22333BO BE '==，O '为BCD 的内心，过O '作'⊥O O 平面BCD ，则球心在直线O O '上，设O O m '=，球的半径为r ，由勾股定理求得m 后，由sin cos OAP θ=∠即可得解.【详解】（1）取DC 中点E ，连接AE ，BE ，过点A 作AH BE ⊥,由2AC BC DC DA DB =====可得AE CD ⊥，BE CD ⊥，3AE BE ==，由AEBE E =可得CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面BCD ，所以平面ABE ⊥平面BCD ，所以AH ⊥平面BCD ，即AH 即为四面体的高，由AH AE ≤，可知当AE ⊥平面BCD 四面体面积最大，此时226AB x AE BE ==+=即x 的值为6；（2）当3x =时，3AB AE BE ===，则H 为BE 的中点，所以32BH=，32AH =， 在线段BE 上取O '，使22333BO BE '==，易知O '为BCD 的内心，36O H '=， 过O '作'⊥O O 平面BCD ，则球心在直线O O '上， 球心为O ，过点O 作OP AH ⊥，连接OB ，OA ，则36OP O H '==， 设O O m '=，球的半径为r ，则HP O O m '==，则2222223362r OA OP AP m ⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222222233r OB O O O B m ⎛⎫''==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22223323623m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得13m =， 所以133OA =，76AP =，713cos 26AP OAP AO ∠==，设AO 和平面BCD 所成夹角为θ， 由AH ⊥平面BCD 可知713sin cos 26OAP θ=∠=，所以AO 和平面BCD 所成夹角的正弦值为71326.【点睛】本题考查了三棱锥的特征及其外接球的相关问题，考查了线面角的求解，属于中档题. 20．已知数列11(1)n n na ab +=+，n *∈N ，且11a =． （1）若{}n b 的前n 项和为22n，求{}n a 和{}n b 的通项公式（2）若2n b n =，求证：92n a <【答案】（1）21n a n =-;12n b n =-（2）证明见解析 【解析】（1）n b 的前n 项和为22n，知求{}n b 是等差数列，求出n b 代入11(1)n n n a a b +=+化简，利用累积法可求n a 通项公式（2）2n b n =代入11(1)n n n a a b +=+化简得121(1)n n a a n+=+,用数学归纳法可证明. 【详解】 （1）n b 的前n 项和为22n ，∴ {}n b 是等差数列， 设n b an b =+，则12112()22n b a b b b n n ⎧=+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，112a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩12n b n ∴=- 1121(1)1212n n n n a a a n n ++∴=+=--，12121n na n a n ++∴=- ， 122123121232532325231n n n n n n a a a a n n n a a a a n n n --------∴⨯⨯⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯---21n a n =-21n a n ∴=-满足11a =21n a n ∴=-（n *∈N ）（2）2n b n =代入11(1)n n n a a b +=+得121(1)n n a a n+=+， 1211n n a a n+=+ 用数学归纳法证明：1n =时，1912a =<显然成立， 设n k =时，92k a <成立，则1n k =+时，1222191999(1)(1)2222k k a a k k k +=+<+=+< 所以92n a <成立 【点睛】本题考查数列的通项公式及运用数学归纳法证明不等式.属于中档题. 21．已知抛物线21:4C y x =和x 轴上的定点()4,0M，过抛物线焦点作一条直线交1C 于A 、B 两点，连接,AM BM 并延长，交1C 于C 、D 两点.（1）求证：直线CD 过定点；（2）求直线AB 与直线CD 最大夹角为θ，求tan θ. 【答案】（1）证明见解析；（2）3tan 4θ=. 【解析】（1）当直线AB 、AM 斜率不存在时，可直接求解；当直线AB 、AM 斜率存在时，设直线():1AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，不妨设10y >，联立方程组得114y y =-，221212144y y x x =⋅=，111616,C x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，221616,D x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合2114y x =可得直线()12116:4x y CD y y -=-，即可得证； （2）当直线AB 斜率存在时，易证14CD k k =，利用tan 1CD CD k kk kα求出最大值即可得解.【详解】（1）证明：由题意知抛物线焦点()1,0F ，当直线AB 斜率不存在时，直线:1AB x =，易得()1,2A ，()1,2B -，则直线()2:43AM y x =--，()2:43BM y x =-， 所以点()16,8C -，()16,8D ，此时直线:16CD x =； 当线AB 斜率存在时，设直线():1AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，不妨设10y >，则()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，化简得2440y y k--=，>0∆， 则114y y =-，221212144y y x x =⋅=，①当14x =时，则()4,4A ，所以2141y y -==-，21114x x ==，点1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以直线:4AM x =，点()4,4C -，直线()4:415BM y x =-，则()244154y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得点()64,16D ， 所以直线116:33CD y x =-； ②当14x ≠时，此时直线()11:44y AM y x x =--， 则()112444y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩，结合2114y x =化简得()2211116160x x x x x -++=， 此方程有一根为1x ，所以3116x x =，所以3116y y =-，所以111616,C x y ⎛⎫-⎪⎝⎭， 同理可得221616,D x y ⎛⎫-⎪⎝⎭， 由114y y =-，121=x x ，2114y x =可得2116416,C y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2114,4D y y ，所以1112211211646444CDy y yk y y y +==--，所以直线()211121:444y CD y y x y y -=--，化简得()12116:4x y CD y y -=-， 可得直线CD 过点()16,0；综上，直线CD 恒过点()16,0；（2）由（1）知，当直线AB 斜率不存在时，//AB CD ；当直线斜率AB 存在时，1212211221121616116164CDy y x x y y k k y y x x x x -+-==-⋅=--， 设直线AB 与直线CD 的夹角为α， 2333tan 4144CD CD k k k k kk kkα，当且仅当2k =±时，等号成立， 所以对于直线AB 与直线CD 最大夹角θ，3tan 4θ=. 【点睛】本题考查了抛物线与直线的综合运用，考查了运算能力，属于中档题. 22．已知函数()()()21ln f x x a x a R =--∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，且关于x 的方程()()f x b b R =∈恰有三个实数根3x ，4x ，5x ()345x x x <<，求证：()21532x x x x ->-.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）求导后按照12a ≤-、0a ≥、102a -<<分类讨论，求出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解；（2）构造新函数()()(){}11121,0min ,gx f x x f x x x x x x =+--≤<-，求导后可得()()00g x g >=即可得3412x x x --<-；同理可得5422x x x +<，即可得证.【详解】（1）由题意得()()22221a x x af x x x x--'=--=，令()0f x '=即2220x x a --=，48a ∆=+，①当12a ≤-时，0∆≤，()0f x '≥，函数()f x 在()0,∞+上单调递增； ②当12a >-时，>0∆，2220x x a --=的两根为11212a x -+=，21212a x ++=，（i ）当1210a -+≤即0a ≥时，112102a x -+=≤，所以当1210,2a x ⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当121,2a x ⎛⎫++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>； 所以()f x 在1210,2a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，121,2a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增； （ii ）当1210a -+>即102a -<<时，1212102a x x -+<=<， 所以当1211210,,22a a x ⎛⎫⎛⎫-+++∈+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>； 当121121,22a a x ⎛⎫-+++∈ ⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<； 则()f x 在121121,22a a ⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1210,2a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，121,2a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增. 综上，当12a ≤-时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a ≥时，()f x 在1210,2a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，121,2a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增；当102a -<<时，()f x 在121121,22a a ⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，1210,2a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，121,2a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增；（2）证明：由题意得102a -<<，314250x x x x x <<<<<，1201x x ， 令()()(){}11121,0min ,gx f x x f x x x x x x =+--≤<-，则()()()()11111+41'''=+-=---+-a ag x f x x f x x x x x x x()()()()()()()()22221111111111114124142x x x ax x x x x x ax x x x x x x x x -----+--==+-+-，由（1）知211220x x a --=，则()()()()()()()22111111114122410x x ax ax x x g x x x x x x x x x --+---'==>+-+- 又()00g =，可知对于{}1210min ,x x x x <<-均有()()00g x g >=，所以()()11f x x f x x +>-，所以()()141142f x x x f x x +->-，由()()43f x f x =可得()()3142f x f x x >-，结合函数()f x 在()10,x 上单调递增，可得3142x x x >-即3412x x x --<-，令()()()2221,0hx f x x f x x x x x =+--≤<-，同理可得()()()()2222410x x h x x x x x --'=>+-， 由()00h=可得当210x x x <<-时，()()00h x h >=，所以()()22f x x f x x +>-，所以()()224224f x x x f x x x +->-+，由()()54f x f x =可得()()2452f x x f x ->，结合函数()f x 在()2,x +∞上单调递增，可得5242x x x <-即5422x x x +<，所以21543422x x x x x x ->+--即()21532x x x x ->-，得证.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算能力与推理能力，属于难题.。

高三数学本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求.在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效.参考公式：若事件,A B 互斥，则 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =若事件,A B 相互独立，则 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=L 球的表面积公式台体的体积公式 24S R π=()1213V h S S =+ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 343V R π=h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第 Ⅰ 卷 (选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合[]0,4A =，{}R |1B x x =∈≤，则()R A B =I ðA ．[)1,0- B.[]1,0- C ．[]0,1 D. (]1,42.椭圆的离心率是C.3. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体 的体积（单位：cm 3）是A ．323 B ． 163C ． 4D ．8 4.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

2020届浙江省杭州市建人高复高三下学期4月模拟考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.参考公式：如果事件,A B 互斥,那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+；V Sh =如果事件,A B 相互独立,那么椎体的体积公式()()()P A B P A P B ⋅=⋅；13V Sh = 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么球的表面积公式n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率24S R π=()(1)k k n k n n P k C P P -=-（k =0,1,…,n ）.球的体积公式 台体的体积公式343V R π= 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,U =2,3,4,5,6},集合{}1,4P =,{}3,5Q =,则()(U P Q ⋃= ) A. {}2,6B. {2,3,5,6}C. {1,3,4,5}D. {1,2,3,4,5,6}【答案】A【解析】进行并集、补集的运算即可．【详解】P∪Q={1,3,4,5}；∴∁U （P∪Q）={2,6}．故选A ．2.已知a ,b ∈R ,21i =-则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据复数的基本运算,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：因为2222()a abi b a bi =+-+,若1a b ==,则等式成立,即充分性成立,若2(i)2i a b +=成立,即2222a abi b i -=+,所以22022a b ab ⎧-=⎨=⎩解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩ 即必要性不成立,则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分不必要条件,故选：A ．3.某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为( )A. 16+8πB. 8+8πC. 16+16πD. 8+16π 【答案】A。