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八种求数列通项的方法 已知递推公式 求通项公式

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求数列通项公式方法归纳一、公式法例1已知数列｛a n ｝满足a n ^2a n - 3 2n , a^ 2，求数列｛a n ｝的通项公式。

二、累加法解：由 a n1 =a n • 2n - 1 得 a n —a^ 2n - 1 贝Ua n =(a n —a n 」)(a n 」—a n/)(a 3 -a 2) (a ? —aj a 1工[2( n -1)1] [2( n - 2)1]亠——(22 1) (2 1 1) 1(n 「1)n =2 (n 「1) 12 二(n 「1)( n 1)12二 n所以数列｛a n ｝的通项公式为a n 二n 2。

1 111a 2=比•- ,a3 =a2'— 则 122 31 1 1 1a4 - a 3•— —— aann -13 4.... ..n —1 na n解：a n 1 "a n 3 2n 两边除以2n 1，得•二更 3，则斗n-Tn^n +n7^n +2 2 2 2 2a 2 3 以巴邛为首项，以3为公差的等差数列, 2122由等差数列的通项公式,-，故数列｛冷｝是 2 2n得* =1 (n -1)3， 2 2所以数列｛a n ｝的通项公式为3 1= (_n _ _)2 2 2例2 已知数列｛ a n ｝满足a1二a n • 2n T, a 1 =1，求数列｛a n ｝的通项公式。

= 2[( n -1) (n -2) … 2 1] (n -1)1例3、在数列｛ an ｝ 中, a i = 3an 1 -a nn(nT )，求通项公式a n解：原递推式可化为: 1an 1 =a n •—n1 n T2 1贝y an 1 —亚=2 3n ・1n3 33■ 2n - 1a n，求通项 nn —112n —3 2 A ------------------------- *=(n —1 )2 13nX 「因此2( n —1)1 (- n31 + 一n3 n _233n J2(n -1) n -1-3 )2n-3逐项相加得:1an "11-ann•故例4已知数列｛a n ｝满足 a n q =a n • 2 3 1, a^ 3，求数列｛a n ｝的通项公式。

解：由 a n 1 二a n 2 3n 1 得 a n _a n =2 3n - 1 则所以 a n =3n ■ n -1.例5、已知数列｛a n ｝满足a n1. =3a n ・23—1, a^3 ，求数列｛a n ｝的通项公式。

解：a n3a n 2 3n-1两边除以3n 1a nn n3a n n3an L-(- an 丄 a n_2 ) . Jn 2n _2 ) (n _2 3 3an 3 n_33a 2 a 1 a 1厂…C -333例6.21已知｛入｝满足印"an -1 _ a nn(n7)求｛an ｝的通项公式。

小练:累乘法类型a n1=f（n）a n型a n an 丄a3 a2日1an」a n 工a2 a1工[2 (n-1 1)5n丄][2 (n- 2 1)5心]•[2(2 1) 52][2(1 1) 51] 3 n _1 (n _D ：：(n _2) (2)二 2 [n(n -1) ： 3 2] 5 3n(n①n _L 2=3 2 5 2n!n (n _J)所以数列｛a n｝的通项公式为a = 3 2n A 5 2n!.例8 已知数列｛ a n｝满足a i =1, a^ = a i ' 2 a2 ' 3a3 ''公式。

解：因为a n =a t 亠2a2亠3a3亠'亠（n —1）a n」（n - 2）所以a n 1. =a1 - 2a2 - 3a^ '亠(n -"a.」na n用②式一①式得a n 1 - a n = na n则a n 1 =(n - 1)a n(n 一2)故■^丄二n - 1(n _2) an所以a an日心a3nan an -2a2 = [n(n -1)八 4 3] a2a2n !a2-2已知｛a n｝的首项a1 = 1 a n：｝1 = a n 2 n）求通项公式。

已知n｛an｝中=3 a n —a n+2求an。

解:已知数列｛ a n｝满足a n$ = 2( n T)5 " a nn，a1=3，求数列｛a n｝的通项公式。

因为a n 1 =2( n - 1)5 n a..a^3，所以a. =0，则a亠1= 2( n • 1)5n，故ana n• ( n - 1)a n」(n _ 2),求｛ a.｝的通项a , =1，则a 2 =1，代入③得2n _1a n .1 二 ca n - d (c =o,c =1)型 a n ｝满足 a n 2a n 3 5n , a^6，求数列解：设 a n 1 x 5n 1 =2(a n • x 5n ) ④将a . 1 “a . • 3 5n 代入④式，得 2a . • 3 5n x 5n 2a^ 2< 51，等式两边消去2a n ,得3 • 5n • x • 5n" = 2c • 5 ,两边除以5“ ,得3 5^ = 2x 则x = - 1代入④式得an 1 • ~'5= 2 ((3^ — 5 )⑤n-1a 彳 (5)由a . -5 =6 -5 =1=0及⑤式得a n -5-0，贝亠 —=2，则数列｛a n- 5 ｝是以an -5a 1 一51 =1为首项，以2为公比的等比数列，则 a n -5n =2n 」，故a n =2n 」5n 。

例11已知数列｛a n ｝满足a n ^3a n 5 2n - 4, a^1，求数列｛a .｝的通项公式。

解：设 a n 1 x 2n 1 • y =3(a n ■ x 2n y) ⑥将a n .1. =3a n • 5 2—4代入⑥式，得由 a n = a t - 2 a 2 • 3a 3 亠■亠(n 一 1)a n 丄(n _ 2),取 n = 2得 a 2=at 亠 2 a 2，贝U a 2=31， 又知所以，｛a n ｝的通项公式为 3n31 =13n求通项an3n 13na n丄 32 解：由条件等式3n得,3n _2a 1n _1a n练习：1、已知:31nan 12n 十1—-2) 求数列｛a n｝的通项。

2、已知2"中,* _n +2 %且a 1 =2求数列通项公式。

四、待定系数法例10已知数列｛3a n+5x：2n+4 +x x2n屮+ y=3(a n+x x2n+ y)整理得(5 - 2x) 2n• 4 • y =3x 2n - 3y。

5 2 x = 3x | x = 5令，则，代入⑥式得4 U y =3 y J y = 2a n-「5 2 ■ -.-2 =3(a n 5 2 2) ⑦由a t 5 21 -2=1 12 =1^ 0 及⑦式，n... a n 5 2“ 1• 2得a n - 5 2n• 2 = 0，则亠- 3 ,a n - 5 2n 2故数列｛a n■ 52n - 2｝是以a1 - 5 21■ 2 =1 ■ 12 = 13为首项，以3为公比的等比数列,因此a n - 5 2n• 2 =13 3n」，贝a n =13 3n」' -5 2n-2。

例12已知数列｛ a n｝满足a n1 =2a n亠3 n2亠4 n亠5, a1 =1，求数列｛ a n｝的通项公式。

解：设a n 1■ x(n T) y(n • 1) • z = 2(a n• xn • yn • z) ⑧将a n彳=2 a n• 3 n2• 4 n • 5代入⑧式，得2a n• 3n2• 4n 5 • x( n - 1)2 y(n -1) • z = 2( a n• xn 2• yn - z)，贝2 22a n - (3 - x)n ■ (2 x ■ y ■ 4) n ■ (x - y - z ■ 5) = 2a n 2xn - 2 yn ■ 2z等式两边消去2a n，得(3 • x) n2(2 x y • 4) n (x - y - z 5^ 2 x n 2 2y n 2 z ,|3 x = 2x x = 3解方程组2x y ^2y ，贝U y =d O，代入⑧式，得,, Ix y z 5=2z z =18a n 1• 3(n • 1)2 - 10( n 1) • 18 =2(a n• 3n2• 10 n -18) ⑨由a, - 3 1210 1 • 18 =1 • 31 =32 = 0 及⑨式，得a n• 3n2• 10n • 18 = 0a n 1 -12 d .故由an 1 =2an -1,得an 1 -1 =2(a n -1)，即a n -1，得新数列如J是以31一1 =2一1二1为首项，以2为公比的等比数列。

n 1 n 1 (n=1,2,3 …),二an-1 =2，即通项an=2+1练习：1、已知｛ a n｝满足a i = 3, a n 1 = 2a n T求通项公式。

2、已知｛%｝中，a1=1, a n = 3a n A 2 ( “一2 )求a n。

分析：构造辅助数列，an T "(a2 1)，则an二3" -1［同类变式］1、已知数列｛a n｝满足儿1 =2儿(2n一1)，且3I = 2，求通项％分析：(待定系数)，构造数列｛an kn b｝使其为等比数列,即an + +k( n +1)+b =2(a n +k n +b)，解得k = 2, b =1na“ — 5 2 ■ ■2n - 1求得n2、已知：a1 =1, n -2时, n4 2n -1，求2"的通项公式。

a 1 a m 3(n 1)2 10(n 1) 18 .2，故数列2a n川-3n • 10 n T8■3 1210 1 18 =1 31 =32 为首项，以2｛a n - 3n • 10 n • 18｝为以2为公比的等比数列，因此a n2 n 二• 3n T0 n • 18 =32 2 -，n・4a n = 2 •・3n • .10 n - 18。

n -413.数列'a n'满足an 1 = 2an a n解：设％「X =2(a n x)即a n * = 2a n x,对照原递推式，便有x二-1.3、{% -4n 6}是以3为首项,1 n 1a n —4n 6 =3 •(—)-2‘A = -4B =6 . a ’ 一4 +6 =3J■ ■12为公比的等比数列 3 an 7T ■ 4n -'62 _an [ ：1a n 2 1J- 解: an 1 =3an 21两边除以 3n 1，得 3nn33 3na n 1a n 2n *n —-贝 y 3333、已知数列｛a n｝满足绻1二3"-1,比=3，求数列｛a n｝的通项公式。

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递推公式求数列通项公式

递推公式求数列通项公式

递推公式求数列通项公式求解数列的通项公式是数学中常见的问题。

在进行数列的通项公式推导时，有几种常见的方法可以使用，包括递归法、差分法、代数法、矩阵法等。

以下将针对这些方法进行详细阐述。

一、递归法递归法是数列求解中最常见的方法之一、利用递归关系式，可以将数列的第n项表示成前n-1项的表达式。

常见的递归方法有等差、等比数列等。

1.1等差数列的通项公式等差数列是指数列中每个相邻项之间的差值都相等的数列。

设数列的首项为 a1，公差为 d，则递推关系式为 an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示项数。

首先求取数列的第一项和第二项的值，然后利用递推公式即可求得数列的通项公式。

1.2等比数列的通项公式等比数列是指数列中每个相邻项之间的比值都相等的数列。

设数列的首项为 a1，公比为 q，则递推关系式为 an = a1 * q^(n-1)。

首先求取数列的第一项和公比的值，然后利用递推公式即可求得数列的通项公式。

二、差分法差分法是通过找到数列的差分递推关系，进而进行推导。

通过一次差、二次差等操作，可以将数列的通项公式转化为关于n的多项式。

2.1一次差的差分法对于一个数列 {an}，定义一次差数列 {bn} = {an+1 - an}，即 b1 = a2 - a1，b2 = a3 - a2，以此类推。

如果一次差数列 {bn} 满足等差数列的递推关系，即 bn = c，则原数列的通项公式为 an = c*n +d。

其中 d 为首项的值。

2.2二次差的差分法对于一个数列 {an}，定义二次差数列 {cn} = {bn+1 - bn}，即 c1 = b2 - b1，c2 = b3 - b2，以此类推。

如果二次差数列 {cn} 满足等差数列的递推关系，即 cn = c，则原数列的通项公式为 bn = c*n^2 +d*n + e。

其中 d 为二次差数列首项的值，e 为数列首项的值。

三、代数法代数法以解线性方程组的形式求解数列的通项公式。

例说递推数列通项公式的8种求法

例说递推数列通项公式的8种求法

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；’ １ 已 知 数 列 ｛ 满 足 ａ １ ａ ■ ，例 ｒ． ａ｝ 一 ， 一
（号一ｌ一 ） ，ａ ２ １一１ 一 ）Ｌ一 （ ～故 一 ）Ｌ ＝ ．
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求 递推 数列 的通项 公 式 是历 年 高考 考 查 的热 点 ， 也 是高 中教 学 的重 点和难 点 ， 类 问题 的 求解 方 法 灵 此 活多样 ， 巧 性 较 强 ， 考 查 学 生 逻 辑 推 理 与 化 归 转 技 是 化能 力 的 良好 载体 ， 本文结 合 实 例介 绍 递 推数 列 通 项
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公式 的八 种求 法 ， 供参 考．
１ 三 角 代 换 法
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求数列的通项公式的八种方法(强烈推荐)

求数列的通项公式的八种方法(强烈推荐)

怎样由递推关系式求通项公式一、基本型：（1）a n =pa n-1+q （其中pq ≠0 ，p ≠1，p 、q 为常数）型:——运用代数方法变形，转化为基本数列求解.利用待定系数法，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x ⇒a 1+n + x = p(a n +p x q +)， 令x =px q + ∴x =1-p q时，有a 1+n + x = p(a n + x )，从而转化为等比数列 {a n +1-p q} 求解． 例1. 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.-1练1．已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1，n ∈ N +，求通项a n ．a n = 2 －2n-1 ，n ∈N + 练2.已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.21nn a ∴=- 二、可化为基本型的数列通项求法： （一）指数型：a n=ca n-1+f(n)型 1、a 1=2,a n =4a n-1+2n (n ≥2),求a n .2、a 1=-1,a n =2a n-1+4〃3n-1(n ≥2),求a n .3、已知数列{}n a 中，1a =92，113232+-+=n n n a a （n ≥2），求n a .∴ n a =13)21(2+--n n（二）指数（倒数）型 1、a 1=1,2a n -3a n-1=(n ≥2),求a n .2、a 1=,a n+1=a n +()n+1,求a n . （三）可取倒数型：将递推数列1nn n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠,1、（2008陕西卷理22）（本小题满分14分）已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； 332nn n a ∴=+2、已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.∴121n a n =-. 3、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． a n =4、 若数列{n a }中，1a =1，n S 是数列{n a }的前n 项之和，且nnn S S S 431+=+（n 1≥），求数列{n a }的通项公式是n a . 131-=n n S ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n 三、叠加法：a n=a n-1+f(n)型：1.已知数列{a n }中, 11a =,1n-13n n a a -=+(2)n ≥。

已知递推公式求通项公式

已知递推公式求通项公式

`式已知递推公式求通项公].p)i (a [p a p)i (p a pa p)(pa pa p 1p 2n )i (a a 1p .)()(pa a p p1q a }p1q a {p1q a p p1q a p 1q 1p q a 1p q pa a 11n 1i i11n n 1n 1i 1i 1nn 1n nn 1n 1n 1n 1n 1i 1n n 1n 1n n 1n 1n 1n ∑∑∑-=--=+++++-=++++=+=+=≠≥+==+=-+-+-+=-+-≠=+=f f n f f n f n f ，从而利用叠加法易得，，变形为，则两边同时除以若；，，则显然若不是常数，其中为公比的等差数列为首项，是以显然）（，变为，则两边同加上若为公差的等差数列；为首项，，则显然是以若）常见形式：（p x a x a qx a x a x x p p x a 1x a 1x x x x 0b x a -d cx dcx b ax x dca b aa a )2(2n 1n 21n 11n 211n 11n 21212n n 1n 通项公式求解，然后再利用等比数列可以用待定系数法求解，其中则有若通项公式求解，然后再利用等差数列可以用待定系数法求解，其中则有若，，令此方程的两个根为）（，即，令典型例子：不动点法--=--≠+-=-==-+++=++=++++用待定系数法求得、，，则其通项公式为若用待定系数法求得、，）（则其通项公式若，，令此方程两根为，特征方程为性递推式的好方法特征根法是专用来求线特征根法B A Bx Axa x x B A x Bn A a ,x x x x q px x qa pa a .)3(n2n1n 21n1n 21212n 1n 2n +=≠+==+=+=++.4然后用数学归纳法去证的规律猜出一个结果，简单说就是根据前几项）数学归纳法（公式，马上迎刃而解！，只需联系正切二倍角看起来似乎摸不着头脑：东西，看看下面的例子三角函数是个很奇妙的）联系三角函数（2nn 1n a1a 2a 5-=+递推新值的过程。