最新苏教版八年级下册数学第十二章二次根式知识点

第十二章二次根式
一、二次根式的概念
一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，
即“2
”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如
2
5 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数
时不能写成带分数，例如8
3
2 可写成
8 2
3
，但不能写成2
2
3
2 。

二、二次根式的性质：
★（ a ）2（a≥0）与a2的区别与联系：
三、代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起
来的式子叫代数式。

例：3，x，x+y，3x （x≥0），-ab，s
t
（t≠0，x3都是代数式
注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。

如2x+3＞3x-5是关系式。

列代数式的常用方法：
（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。

（2）公式法：根据公式列出代数式。

（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。

四、二次根式的乘除
1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单
项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被
除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

五、二次根式的乘法法则
a ．
b =ab （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。

（2）推广① a ． b ． c =abc （a≥0，b≥0，c≥0）②a b ．c d =ac bd ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。

练习：（1）28 ．7 ；（2）1
4
．256 ；（3）4xy ．
1
y
(4)627 ．（-2 3 ）
六、二次根式乘法法则的逆用
ab = a ． b （a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积
利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。

注：（1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如（-4）×（-9）≠-4 ．-9 。

（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。

推广：abcd = a ． b ． c ． d （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）
三、二次根式的除法法则
a b =
a
b
（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。

若a，b都是负数，虽然a
b
＞0，
a
b
有意义，但 a ， b 在实数范围内无意义；若b=0，则a
b
无意义。

（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如41
4
必须先化成
17
4
，以免出
现41
4
= 4 ×
1
4
这样的错误。

（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。

推广：（m a ）÷（n b ）=（m÷n）×（ a ÷ b ），其中a≥0，b＞0，n≠0。

七、二次根式除法法则的逆用
a b =
a
b
（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方
根。

注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。

公式中的a，b是
限制公式右边的，对公式的左边，只要a
b
≥0即可。

例如计算
-3
-4
，不能写为
-3
-4
=
-3
-4
，
而应写为-3
-4
=
3
4
=
3
4
=
3
2。

利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的
二次根式时，先将其化为a
b
（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分
母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。

当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。

八、最简二次根式的概念
★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：
（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；
（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。

拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。

分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都
乘上分母的有理化因式
．．．．．
（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。

分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。

常用的有理化因式有：a与a；a+b与a+b；a-b与a-b；a+b与a-b；
a b+c d 与a b-c d 等。

九、二次根式的加减
1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab 与-4ab
2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。

3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

4、平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2完全平方公式（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2
5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 十、可以合并的二次根式
★将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。

合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m a+n a=（m+n ） a
练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。

（1）27；（2）-15
27a
；（3）13
；（4）2a 3
b
（a ＞0，b ＞0）；（5）b 127a 3
； （6）2243； （7）32
9ab （a ＞0，b ＞0）； （8）332
ab
（a ＞0，b ＞0）； 十一、二次根式的加减
★二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

★二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：
（1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记
为：化简→判断→合并。

★二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：
注：（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式。

练习：计算：（1）2
3
9x+6
x
4
- 2x
1
x
；（2）（24-0.5+2
2
3
）-（
1
8
- 6）
十二、二次根式的混合运算
★二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。

★在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。

注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。