等差数列

等差数列——等差、等比数列是重要的、基本的数列，许多其它数列要转化成这种数列来处理，要站好这块地盘一、明确复习目标1．理解等差数列的概念和性质；2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能用公式解决简单问题二．建构知识网络1．定义：)()(1∙+∈=-N n d a a n n 常数2．通项公式：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+=d =11--n a a n ，d =m n a a m n --是点列（n ，a n ）所在直线的斜率. 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=21()22d d n a n =+- 变式：21n a a +=n S n 4．等差中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c5．性质:设{a n }是等差数列，公差为d,则(1)m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q(2) a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公差为md 的等差数列.(3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ……组成公差为n 2d 的等差数列.(4)当n=2k-1为奇数时，S n =na k ；S 奇=ka k ，S 偶=(k-1)a k (a k =a 中)6．等差数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1-a n =d 是常数 (2)等差中项法:212+++=n n n a a a(3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=27．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,三数:d a a d a +-,,, 四数d a d a d a d a 3,,,3-+--8.会从函数角度理解和处理数列问题.三、双基题目练练手1.（2006全国Ⅱ）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613s s =，则612s s = ( ) （A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）192. (2006广东) 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 ( )A 5B 4C 3D 23.等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0且a 11＞|a 10|，S n 为其前n 项和，则 ( )A. S 10小于0，S 11大于0B. S 19小于0，S 20大于0C. S 5小于0，S 6大于0D. S 20小于0，S 21大于04.(2006天津)已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，1a 、*1b N ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于 A ．55 B ．70 C ．85 D ．100 （ ）5.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15=p 是一常数，则S 13=6.在等差数列{}n a 中,已知499,6,63n a a S ==-=,则n= .四、经典例题做一做【例1】(1)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.(2)等差数列{}n a 的前10项的和,10010=S 前100项的和10100=S ,求前110项的和.110S【例2】数列{a n }的前n 项和为S n =npa n （n ∈N *）且a 1≠a 2，（1）求常数p 的值；（2）证明：数列{a n }是等差数列.例3．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所相同项的和。

分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。

例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。

【研讨.欣赏】 已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.[解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a .（2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ， 当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞.（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列.解题回顾：方法是基本的——转化为基本量,利用通项公式.题(3)考查类比的能力.五．提炼总结以为师1.等差数列的概念和性质，证明数列{a n }是等差数列的方法：2.等差数列的通项公式与前n 项和公式的求法与应用;五个元素a 1，a n ，n ，d ，S n 中知三，可求另两个.3.思想.方法 :转化为基本量,利用性质,方程的思想,同步练习 3．3 等差数列 【选择题】1.在等差数列{a n }中,a m =n,a n =m,则a m+n 的值为 （ ）（A ）m+n （B ）)(21n m + （C ）)(21n m - （D ）0 2. (2006全国Ⅰ)设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= ( ) A 120 B 105 C 90 D 753.如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则 （ ）（A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a4.（2004重庆）若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是： （ ）A 4005B 4006C 4007D 40084．【填空题】5.（2005天津）在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n 则S 100=__6.（2003全国）已知方程（x 2－2x +m ）（x 2－2x +n ）=0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n |=【解答题】 7.如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差；分析：等差数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通项公式和前n 项和公式中五个量n n a S n d a ,,,,1，只要知道其中三个，就可以求其它两个，而d a ,1是基本量解：设等差数列首项为1a ，公差为d ，则{111111112121135421266354216()652325205212766522a d a d a a d d a d d a d ⎧+⨯⨯=⎪⎪+==⎪⎧⇒⇒++⨯⨯⋅⎨⎨-==⎩⎪=⎪+⨯⨯⋅⎪⎩ 8.项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数解：设数列共2m+1 （m ∈N *）把该数列记为｛a n ｝依题意a 1+a 3+……+a 2m+1=44 且a 2+a 4+……+a 2m =33即2m (a 2+a 2m )=33 （1） 21+m (a 1+a 2m )=44 （2） （1）÷（2）得431=+m m ∴m = 3代入（1）得a 2+a 2m = 22∴a m+1=222m a a +=11 即该数列有7项，中间项为119.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n ，b n =na a a n 242+⋅⋅⋅++， 证明:数列{b n }是等差数列.证明:S n =n 2－2n ，a 1=S 1=－1.当n ≥2时，a n =S n －S n －1=n 2－2n －（n －1）2+2（n －1）=2n －3，a 1满足上式即a n =2n －3. ∵a n +1－a n =2（n +1）－3－2n +3=2，∴数列{a n }是首项为－1，公差为2的等差数列.∴a 2+a 4+…+a 2n =2)(22n a a n + =2)341(-+n n =n （2n －1）， 即b n =n n n )12(-=2n －1. ∴b n +1－b n =2（n +1）－1－2n +1=2.又b 2=12a =1， ∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列.10．数列{}n a 的首项31=a ,通项n a 与前n 项和n S 之间满足)2(21≥=-n S S a n n n(1)求证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列,并求公差; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)数列{}n a 中是否存在正整数k,使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,请说明理由.解:(1)当111111112,22,22n n n n n n n n n n n n a S S n S S S S a S S S S -----=-⎧≥⇒-=⇒-=-⎨=⎩时 111,3S =而.21,311的等差数列是首项为-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴d S n (2)1111536(1)(),2653n n n n S S S n-=+-⨯-=∴=- 11182,2(35)(38)n n n n a S S n n -∴≥==--当时 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--==∴)2()183)(53(18),1(3n n n n a n (3)11080(32)(35)(38)k k a a k k k +-=>---1258,3,333k k k k k a a +⇒<<>∴≥>或当时有所求最小k=3.【探索题】已知数列{a n }的各项均为正整数，且满足a n +1=a n 2－2na n +2（n ∈N *），又a 5=11.（1）求a 1，a 2，a 3，a 4的值，并由此推测出{a n }的通项公式（不要求证明）； （2）设b n =11－a n ，S n =b 1+b 2+…+b n ，S n ′=|b 1|+|b 2|+…+|b n |，求∞→n lim 'nn S S 的值. 解：（1）由a 5=11，得11=a 42－8a 4+2，即a 42－8a 4－9=0.解得a 4=9或a 4=－1（舍）. 由a 4=9，得a 32－6a 3－7=0.解得a 3=7或a 3=－1（舍）.同理可求出a 2=5，a 1=3.由此推测a n 的一个通项公式a n =2n +1（n ∈N *）.（2）b n =11－a n =10－2n （n ∈N *），可知数列{b n }是等差数列.S n =2)(1n b b n +=2)2108(n n -+=－n 2+9n . 当n ≤5时，S n ′=S n =－n 2+9n ；当n ＞5时，S n ′=－S n +2S 5=－S n +40=n 2－9n +40.当n ≤5时，'n n S S =1；备选题6.在等差数列{a n }中，公差为21，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 2+a 4+a 6+…+a 100=_________. 解析：由等差数列的定义知a 2+a 4+a 6+…+a 100=a 1+a 3+a 5+…+a 99+50d =60+25=85. 答案：853.（2004年春季上海，7）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ，点（n a ，1-n a ）在直线x －y －3=0上，则a n =___________________. 解析：将点代入直线方程得n a －1-n a =3，由定义知{n a }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故n a =3n ，即a n =3n 2.答案：3n 27.（2003年春季上海，12）设f （x ）=221+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f （－5）+f （－4）+…+f （0）+…+f （5）+f （6）的值为________.解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f （x ）+f （1－x ）=22，即f （－5）+ f（6）=22，f （－4）+f （5）=22，f （－3）+f （4）=22，f （－2）+f （3）=22，f （－1）+ f （2）=22，f （0）+f （1）=22，故所求的值为32. 答案：32 8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n 已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0 (Ⅰ)求公差d 的取值范围；(Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由解： (Ⅰ)依题意,有 02)112(1212112>⋅-⨯+=d a S 02)113(1313113<⋅-⨯+=d a S ，即⎩⎨⎧<+>+)2(06)1(011211d a d a 由a 3=12,得 a 1=12－2d(3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ⎩⎨⎧<+>+030724d d ，∴3724-<<-d (Ⅱ)由d ＜0可知 a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13 因此,若在1≤n ≤12中存在自然数n,使得a n ＞0,a n+1＜0,则S n 就是S 1,S 2,…,S 12中的最大值 由于 S 12=6(a 6+a 7)＞0, S 13=13a 7＜0，即 a 6+a 7＞0, a 7＜0由此得 a 6＞－a 7＞0因为a 6＞0, a 7＜0,故在S 1,S 2,…,S 12中S 6的值最大9.已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数 解：设三个数为a ，公差为d ，则这5个数依次为a-2d ，a-d ,a ,a+d ,a+2d 依题意： (a-2d)2 +(a-d)2 + a 2 + (a+d)2 + (a+2d)2 =985 且(a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 5即 a 2+2d 2 =917且 a=1 ∴a=1且d=32± 当d=32时，这5个数分别是－31、31、1、35、37； 当d=－32时，这5个数分别是37、35、1、3131。