湖南省邵东县第一中学2021届高三数学第五次月考试题
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项符合题目要求） 1. 复数
1
13i
-的虚部是（ ） A.
310
i B. 110
-
C.
110
D.
310
2．“3x >且3y >”是“6x y +>”成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
3．函数y ＝x 2ln|x |
|x |
的图象大致是( )
4．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a +++++
+=-，则k =（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5．已知非负数,x y 满足2
1xy y +=，则2x y +的最小值为 （ ）
A 32
B ．2
C ．
12
D ．1
6． 已知平面向量,,a b c 是单位向量,且0a b =.则a b c +-的取值范围是（ ） A ．2-12+1⎡⎤⎣⎦， B ．21,1⎡⎤⎣⎦， C ．12+1⎡⎤⎣⎦， D ．23⎡⎤⎣⎦
，
7. 在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒
AB AC SA BAC 则该四面体的外
接球的表面积为（ ）
π310.
A π3
40
.B π11.C π7.D
8. 函数()4ln 3f x x ax =-+存在两个不同的零点12,x x ，函数2
()2g x x ax =-+存在两个不
同的零
点34,x x ，且满足3124x x x x <<<，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
()0,3 B ．()
C ．144e -⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．143,4e -⎛
⎫ ⎪⎝⎭
二、多择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每题有多项符合题目要求，全部选
对的
得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9. 已知正项等比数列{}n a 满足14232,2a a a a ==+，若设其公比为q ，前项和为n S ，则（ ）
A ．2q =
B ．2n
n a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<
10. 1()(sin cos )cos 2f x a x x x =+-的图像的一条对称轴为6
x π
=，则下列结论中正确的是（ ）
A ．()f x 是最小正周期为π的奇函数
B ．点7,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是()f x 图像的一个对称中心 C ．()f x 在,33ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 D ．先将函数2sin 2y x =图像上各点的纵坐标缩短为原来的1
2
，然后把所得函数图像再向左平
移
12
π
个单位长度，即可得到函数()f x 的图像 11. 点M 是正方体1111ABCD A B C D -中侧面11ADD A 上的一个动点，则下面结论正确的是（ ）
A ．满足1CM AD ⊥的点M 的轨迹为直线
B ．若正方体的棱长为1，三棱锥1B
C M
D -的体积的最大值为 13
C ．点M 存在无数个位置满足到直线A
D 和直线11C D 的距离相等 D ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30o 12．关于函数()sin x
f x e a x =+，(),x π∈-+∞下列说法正确的是（ ）
A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+=
B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x 且01()0f x -<<
C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点
D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞上有且只有一个零点 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，()2
3 f x x = ，则f (－8)的值是____.
14.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段1DC 上的动点，则M 点到直线
1AD 距离的最小值为
15. 若函数f (x )＝13x 3＋x 2
－2
3在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是 16.定义函数[]()f x x x ⎡⎤=⎣⎦，
其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]1.31=，[]1.52-=-，[]22=，当[)0,x n ∈*n N ∈时，()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，
则
2342021111
1111
1
a a a a ++++
----的值为 .
四、解答题：（本大题共6小题，共70分。要求有演算步骤）
17.（10分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +
-=. （1）已知_______________，计算ABC 的面积； 请在①a =
2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充
完整，并作答，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.
（2）求cos cos B C +的最大值.
18.（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意的*n N ∈，它的前n 项和n S 满足
2111623
n n n S a a =++，并且249,,a a a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设1
1(1)n n n n b a a ++=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .
19. （12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ， AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点，2SA AB BC ===，1AD =. （1）若M 为棱SB 的中点，求证：AM //平面SCD ；
（2）当2SM MB =时，求平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值；
