高数(同济第六版)下册重积分习题精选

习题10-1 二重积分的概念与性质1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+⎰⎰与2[ln()]Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++⎰⎰，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解(),f x y =，积分区域的面积等于2，在D 上(),fx y的最大值()104M x y ===，最小值()11,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤习题10-2 二重积分的计算法1.计算下列二重积分： （1）22()Dx y d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域。

2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1）x y De d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。

3.化二重积分(,)DI f x y d σ=⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-2 1. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数. 解 x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 2. 求由参数表示式⎰=t udu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t , t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+x y ttdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 解 方程两对x 求导得0cos =+'x y e y ,于是 ye x dx dy cos-=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=x t dt te x I 02)(有极值？ 解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0,所以x =0是函数I (x )的极小值点.5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π. 解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt tdx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ)cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-=)sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-=)sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-=)sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分:(1)⎰+-adx x x 02)13(; 解 a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(. (2)⎰+2142)1(dx xx ; 解 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ; 解 94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰ 6145)421432()921932(223223=+-+=. (4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解 3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+a x a dx 3022; 解 a a a a xa x a dx aa 30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰. (7)⎰-1024x dx ; 解 60arcsin 21arcsin 2arcsin 410102π=-==-⎰x x dx . (8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 013012201224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=. (9)⎰---+211e x dx ; 解 1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x x dx e e . (10)⎰402tan πθθd ; 解 4144tan )(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d . (11)dx x ⎰π20|sin |; 解 ⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x πππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4.(12)⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 211 1)(2x x x x x f . 解 38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin . 证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k k k k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k k k k x k k kxdx 0cos 1cos 1=+-=ππk kk k . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题:(1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx . 证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 9. 求下列极限:(1)x dt t x x ⎰→020cos lim;(2)⎰⎰→x t x t x dt te dt e 0220022)(lim .解 (1)11cos lim cos lim 20020==→→⎰x x dt t x x x . (2)22222200002200)(2lim )(lim x xt x t x xt x t x xe dt e dt e dtte dt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→ 22222002002lim 2lim x x t x x x xt x xe dt e xe edt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx ===⎰⎰ϕ; 当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xx ϕ. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时,00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ; 当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x x xx ϕ; 当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x -=+==⎰⎰⎰ 10cos 21cos 21=+-=π. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(. 12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x adt t f a x x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f x a -=⎰ξ. 于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=. 由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内 0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F .。

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解 因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解 因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解 因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解 因为1]1111[21][21ch 20)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt ept ptωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx . (7)dx xx ⎰-121;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x .(8)⎰-22)1(x dx;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102x x x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散.(9)⎰-211x xdx ;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x .(10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解 这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解 当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k kk x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令kk k x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点, 同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解 因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx x x x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.。

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案9-2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 习题9-21. 计算下列二重积分:(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1};解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是⎰⎰+D d y x σ)(22y d y x dx ⎰⎰--+=111122)(x d y y x ⎰--+=111132]31[ x d x ⎰-+=112)312(113]3232[-+=x x 38=. (2)⎰⎰+Dd y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域: 解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2-x . 于是⎰⎰+D d y x σ)23(y d y x dx x ⎰⎰-+=2020)23(dx y xy x ⎰-+=20022]3[ dx x x ⎰-+=202)224(0232]324[x x x -+=320=. (3)⎰⎰++Dd y y x x σ)3(223, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解 ⎰⎰++D d y y x x σ)3(323⎰⎰++=1032310)3(dx y y x x dy ⎰++=1001334]4[dy x y y x x ⎰++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=1412141=++=. (4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是,⎰⎰+D d y x x σ)cos(⎰⎰+=x dy y x xdx 00)cos(π⎰+=π0)][sin(dx y x x x ⎰-=π0)sin 2(sin dx x x x ⎰--=π0)cos 2cos 21(x x xd仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13+--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ⎰-π0)cos 2cos 21(π23-=. . 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (1)⎰⎰Dd y x σ, 其中D 是由两条抛物线x y =, 2x y =所围成的闭区域;解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤x ≤1, x y x ≤≤2}. 于是 ⎰⎰D d y x σ⎰⎰=102dy y x dx x x ⎰=10223]32[dx y x x x 556)3232(10447=-=⎰dx x x . (2)⎰⎰Dd xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域;解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| -2≤y ≤2, 240y x -≤≤}. 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰----=22402240222222]21[dy y x dx xy dy d xy y y D σ 1564]10132[)212(22225342=-=-=--⎰y y dy y y . (3)⎰⎰+Dy x d e σ, 其中D ={(x , y )| |x |+|y |≤1};解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| -1≤x ≤0, -x -1≤y ≤x +1}⋃{(x , y )| 0≤x ≤1, x -1≤y ≤-x +1}.于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+---++=11101101x x y x x x y x D y x dy e dx e dy e dx e d eσ ⎰⎰+---+--+=10110111][][dy e e dx e e x x y x x x y x ⎰⎰---+-+-=101201112)()(dx e e dx e e x x 101201112]21[]21[---+-+-=x x e ex x e e =e -e -1. (4)⎰⎰-+Dd x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤y ≤2, y x y ≤≤21}. 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-+2022232222022]2131[)()(dy x x y x dx x y x dy d x y x y y y y D σ 613)832419(2023=-=⎰dy y y . 3. 如果二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘积,即f (x , y )= f 1(x )⋅f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dc b a D ⎰⎰⎰⎰⋅=⋅证明 dx dy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f d c b a d c b a D⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅])()([)()()()(212121,而 ⎰⎰=⋅dc d c dy y f x f dy y f x f )()()()(2121, 故 dx dy y f x f dxdy y f x f b a dc D ⎰⎰⎰⎰=⋅])()([)()(2121.由于⎰dc dy y f )(2的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dc b a D ⎰⎰⎰⎰⋅=⋅4. 化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤}, 或D ={(x , y )| y x y y ≤≤≤≤241 ,40}, 所以 ⎰⎰=x x dy y x f dx I 240),(或⎰⎰=yy dx y x f dy I 4402),(. (2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|220 ,x r y r x r -≤≤≤≤-},或D ={(x , y )| 2222 ,0y r x y r r y -≤≤--≤≤},所以 ⎰⎰--=220),(x r r r dy y x f dx I , 或⎰⎰---=2222),(0y r y r r dx y x f dy I .(3)由直线y =x , x =2及双曲线xy 1=(x >0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|x y xx ≤≤≤≤1 ,21}, 或D ={(x , y )| 21 ,121≤≤-≤≤x yy }⋃{(x , y )|2 ,21≤≤≤≤x y y }, 所以 ⎰⎰=x x dy y x f dx I 1),(21, 或⎰⎰⎰⎰+=22121121),(),(y ydx y x f dy dx y x f dy I .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 (4)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.解 如图所示, 用直线x =-1和x =1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ ⎰⎰⎰⎰--------+=222244411112),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰--------++222214442111),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx用直线y =1, 和y =-1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4, 如图所示. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ ⎰⎰⎰⎰--------+=222244141121),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy ⎰⎰⎰⎰--------++222241441211),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy5. 设f (x , y )在D 上连续, 其中D 是由直线y =x 、y =a 及x =b (b >a )围成的闭区域, 证明:⎰⎰⎰⎰=byb a x a b a dx y x f dy dy y x f dx ),(),(.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤x ≤b , a ≤y ≤x }, 或D ={(x , y )|a ≤y ≤b , y ≤x ≤b }.于是 ⎰⎰D d y x f σ),(⎰⎰=x a b a dy y x f dx ),(, 或⎰⎰D d y x f σ),(⎰⎰=b yb a dx y x f dy ),(.因此 ⎰⎰⎰⎰=by b a x a b a dx y x f dy dy y x f dx ),(),(. 6. 改换下列二次积分的积分次序:(1)⎰⎰ydx y x f dy 010),(; 解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以⎰⎰⎰⎰=110010),(),(x y dy y x f dx dx y x f dy . (2)⎰⎰yy dx y x f dy 2202),(; 解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤4, x y x ≤≤2}, 所以 ⎰⎰y y dx y x f dy 2202),(⎰⎰=402),(xx dy y x f dx . (3)⎰⎰---221110),(y y dx y x f dy ;解 由根据积分限可得积分区域}11 ,10|),{(22y x y y y x D -≤≤--≤≤=, 如图. 因为积分区域还可以表示为}10 ,11|),{(2x y x y x D -≤≤≤≤-=, 所以仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 ⎰⎰⎰⎰-----=22210111110),(),(x y y dy y x f dx dx y x f dy (4)⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx ;解 由根据积分限可得积分区域}22 ,21|),{(2x x y x x y x D -≤≤-≤≤=, 如图. 因为积分区域还可以表示为}112 ,10|),{(2y x y y y x D -+≤≤-≤≤=, 所以 ⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx ⎰⎰-+-=101122),(y y dx y x f dy . (5)⎰⎰e x dy y x f dx 1ln 0),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y ≤x ≤ e }, 所以⎰⎰e x dy y x f dx 1ln 0),(⎰⎰=10),(ee y dx y xf dy (6)⎰⎰-x xdy y x f dx sin 2sin 0),(π(其中a ≥0)．解 由根据积分限可得积分区域}sin 2sin ,0|),{(x y x x y x D ≤≤-≤≤=π, 如图. 因为积分区域还可以表示为}arcsin 2 ,01|),{(π≤≤-≤≤-=x y y y x D}arcsin arcsin ,10|),{(y x y y y x -≤≤≤≤⋃π,所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰----+=y y y x xdx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx arcsin arcsin 10arcsin 201sin 2sin 0),(),(),(πππ.7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13解 如图, 该薄片的质量为⎰⎰=D d y x M σμ),(⎰⎰+=D d y x σ)(22⎰⎰-+=10222)(y y dx y x dy ⎰-+-=10323]372)2(31[dy y y y 34=. 8. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为⎰⎰--=D dxdy y x V )326(⎰⎰--=1010)326(dy y x dx ⎰--=10102]2326[dx y xy y ⎰=-=1027)229(dx x .9. 求由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及抛物面x 2+y 2=6-z 截得的立体的体积.解 立体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x }, 所求立体的体积为以曲面z =6-x 2-y 2为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积, 即⎰⎰--=D d y x V σ)6(22⎰⎰---=101022)6(x dy y x dx 617=. 10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积.解 由⎩⎨⎧--=+=2222262yx z y x z 消去z , 得x 2+2y 2=6-2x 2-y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 ⎰⎰+---=D d y x y x V σ)]2()26[(2222⎰⎰--=Dd y x σ)336(22⎰⎰---=2202220)2(12x dy y x dx π6)2(82032=-=⎰dx x . 11. 画出积分区域, 把积分⎰⎰D dxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0);解积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ200)sin ,cos (d f d a. (2){(x , y )|x 2+y 2≤2x };解 积分区域D 如图. 因为}cos 20 ,22|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤-=D , 所以⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰-=22cos 20)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d .(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (ba d f d . (4){(x , y )| 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}.解 积分区域D 如图. 因为}sin cos 10 ,20|),{(θθρπθθρ+≤≤≤≤=D , 所以 ⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰+=θθρρθρθρθπsin cos 1020)sin ,cos (d f d .12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1)⎰⎰101),(dy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示. 因为}csc 0 ,24|),{(}sec 0 ,40|),{(θρπθπθρθρπθθρ≤≤≤≤⋃≤≤≤≤=D ,所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ)sin ,cos (),(),(101⎰⎰=40sec 0)sin ,cos (πθρρθρθρθd f d ⎰⎰+24csc 0)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d .(2)⎰⎰+xxdy y x f dx 3222)(;解 积分区域D 如图所示, 并且 }sec 20 ,34|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤=D , 所示 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+xxDDd d f d y x f dy y x f dx 3222220)()()(θρρρσ⎰⎰=34sec 20)(ππθρρρθd f d .(3)⎰⎰--21110),(x xdy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示, 并且}1sin cos 1 ,20|),{(≤≤+≤≤=ρθθπθθρD ,所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==10112)sin ,cos (),(),(x xDDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ⎰⎰+=2sin cos 101)sin ,cos (πθθρρθρθρθd f d(4)⎰⎰21),(x dy y x f dx .解 积分区域D 如图所示, 并且}sec tan sec ,40|),{(θρθθπθθρ≤≤≤≤=D ,所以 ⎰⎰210),(x dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f θρρθρθρσ)sin ,cos (),(⎰⎰=40sec tan sec )sin ,cos (πθθθρρθρθρθd f d13. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1)⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ;解 积分区域D 如图所示. 因为}cos 20 ,20|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤=, 所以⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ⎰⎰⋅=Dd d θρρρ2⎰⎰⋅=20cos 202πθρρρθa d d ⎰=2044cos 4πθθd a 443a π=. (2)⎰⎰+xa dy y x dx 0220;解 积分区域D 如图所示. 因为}sec 0 ,40|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤=, 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+Dxa d d dy y x dx θρρρ0220⎰⎰⋅=40sec 0πθρρρθa d d ⎰=4033sec 3πθθd a )]12ln(2[63++=a . (3)⎰⎰-+xxdy y xdx 221221)(;解 积分区域D 如图所示. 因为}tan sec 0 ,40|),{(θθρπθθρ≤≤≤≤=D , 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+--Dxx d d dy y xdx θρρρ21212212)(12tan sec 40tan sec 02140-==⋅=⎰⎰⎰-πθθπθθθρρρθd d d .(4)⎰⎰-+220220)(y a a dx y x dy .解 积分区域D 如图所示. 因为}0 ,20|),{(a D ≤≤≤≤=ρπθθρ, 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+-Dy a ad d dx y x dy θρρρ2022022)(420028a d d aπρρρθπ=⋅=⎰⎰.14. 利用极坐标计算下列各题: (1)⎰⎰+Dy xd e σ22，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以 ⎰⎰⎰⎰=+DDy xd de d e θρρσρ222)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπρ.(2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰+=++DDd d d y x θρρρσ)1ln()1ln(222)12ln 2(41)12ln 2(212)1ln(20102-=-⋅=+=⎰⎰πρρρθπd d .(3)σd xyDarctan⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域.解 在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=DDDd d d d d xyθρρθθρρθσ)arctan(tan arctan⎰⎰⋅=4021πρρθθd d ⎰⎰==40321643ππρρθθd d .15. 选用适当的坐标计算下列各题: (1)dxdy y x D22⎰⎰，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域. 解 因为积分区域可表示为}1 ,21|),{(x y x x y x D ≤≤≤≤=, 所以dxdy y x D22⎰⎰dy y dx x x x ⎰⎰=211221⎰-=213)(dx x x 49=. (2)⎰⎰++--Dd yx y x σ222211, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⋅+-=++--DDd d d y x y x θρρρρσ2222221111)2(811102220-=+-=⎰⎰ππρρρρθπd d .(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解 因为积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤y ≤3a , y -a ≤x ≤y }, 所以⎰⎰+Dd y x σ)(22⎰⎰-+=aaya y dx y x dy 322)(4332214)312(a dy a y a ay aa =+-=⎰. (4)σd y x D22+⎰⎰, 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}.解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以 σd y x D22+⎰⎰)(3233202a b dr r d ba -==⎰⎰πθπ. 16. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线ρ=2θ上一段弧(20πθ≤≤)与直线2πθ=所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量.解 区域如图所示. 在极坐标下}20 ,20|),{(θρπθθρ≤≤≤≤=D , 所以所求质量⎰⎰⎰⎰⋅==Dd d d y x M 20202),(πθρρρθσμ⎰==254404ππθθd .17. 求由平面y =0, y =kx (k >0), z =0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.解 此立体在xOy 面上的投影区域D ={(x , y )|0≤θ≤arctan k , 0≤ρ≤R }. ⎰⎰--=Ddxdy y x R V 222k R d R d kRarctan 313arctan 022=-=⎰⎰ρρρθ.18. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤ax }. 在极坐标下}cos 0 ,22|),{(θρπθπθρa D ≤≤≤≤-=, 所以⎰⎰≤++=axy x dxdy y xV 22)(22πθθρρρθππθππ422cos 022442323cos 4a d a d d a ==⋅=⎰⎰⎰--.。

习题9-21. 计算下列二重积分:(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1};解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是⎰⎰+Dd y x σ)23(y d y x dx x⎰⎰-+=2020)23(dx y xy x ⎰-+=222]3[⎰⎰+Dd y x x σ)cos(⎰⎰+=x dy y x xdx 00)cos(π⎰+=π)][sin(dx y x x x(2)⎰⎰Dd xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域;⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+---++=111111x x y xx x yxDyx dy e dx e dy e dx e d eσ⎰⎰+---+--+=1110111][][dy e e dx e e x x y x x x y x ⎰⎰---+-+-=11201112)()(dx e e dx e ex x3. 如果二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘积,即f (x , y )= f 1(x )⋅f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dcb aD⎰⎰⎰⎰⋅=⋅证明dx dy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f dcb a dcbaD⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅])()([)()()()(212121,而 ⎰⎰=⋅dcdcdy y f x f dy y f x f )()()()(2121,故dx dy y f x f dxdy y f x f b adcD⎰⎰⎰⎰=⋅])()([)()(2121.由于⎰dcdy y f )(2的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dcb aD⎰⎰⎰⎰⋅=⋅4. 化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤}, 或D ={(x , y )| y x y y ≤≤≤≤241 ,40},所以 ⎰⎰=xxdy y x f dx I 240),(或⎰⎰=yy dx y x f dy I 4402),(.(2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|220 ,x r y r x r -≤≤≤≤-}, 或D ={(x , y )| 2222 ,0y r x y r r y -≤≤--≤≤},所以 ⎰⎰--=220),(x r r rdy y x f dx I , 或⎰⎰---=2222),(0y r y r r dx y x f dy I .(3)由直线y =x , x =2及双曲线x y 1=(x >0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示, 并且 D ={(x , y )|x y xx ≤≤≤≤1 ,21},或D ={(x , y )| 21 ,121≤≤-≤≤x y y }⋃{(x , y )|2 ,21≤≤≤≤x y y },所以 ⎰⎰=x xdy y x f dx I 1),(21, 或⎰⎰⎰⎰+=22121121),(),(yydx y x f dy dx y x f dy I .(4)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.解 如图所示, 用直线x =-1和x =1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1,D 2, D 3, D 4. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ⎰⎰⎰⎰--------+=222244411112),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx⎰⎰⎰⎰--------++222214442111),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx用直线y =1, 和y =-1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4,如图所示. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ5. 设f (x , y )在D 上连续, 其中D 是由直线y =x 、y =a 及x =b (b >a )围成的闭区域, 证明:⎰⎰⎰⎰=bybaxabadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D ={(x , y )|a ≤x ≤b , a ≤y ≤x }, 或D ={(x , y )|a ≤y ≤b , y ≤x ≤b }. 于是⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰=x ab ady y x f dx ),(, 或⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰=byb a dx y x f dy ),(.因此⎰⎰⎰⎰=byb ax abadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.6. 改换下列二次积分的积分次序: (1)⎰⎰ydx y x f dy 01),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以⎰⎰⎰⎰=1101),(),(xy dy y x f dx dx y x f dy .(2)⎰⎰y ydx y x f dy 2202),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图.(5)⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y ≤x ≤ e }, 所以⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(⎰⎰=10),(eey dx y x f dy}arcsin 2 ,01|),{(π≤≤-≤≤-=x y y y x D}arcsin arcsin ,10|),{(y x y y y x -≤≤≤≤⋃π,7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为⎰⎰=Dd y x M σμ),(⎰⎰+=Dd y x σ)(22⎰⎰-+=10222)(yydx y x dy⎰⎰--=Ddxdy y x V )326(⎰⎰--=110)326(dy y x dx10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积.解 由⎩⎨⎧--=+=2222262y x z y x z 消去z , 得x 2+2y 2=6-2x 2-y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以⎰⎰+---=Dd y x y x V σ)]2()26[(2222⎰⎰--=Dd y x σ)336(22⎰⎰---=2202220)2(12x dy y x dx π6)2(8232=-=⎰dx x .11. 画出积分区域, 把积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0);解积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (d f d a.(2){(x , y )|x 2+y 2≤2x };解 积分区域D 如图. 因为}cos 20 ,22|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤-=D , 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰-=22cos 20)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d .(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (bad f d .(4){(x , y )| 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}.解 积分区域D 如图. 因为}sin cos 10 ,20|),{(θθρπθθρ+≤≤≤≤=D , 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰+=θθρρθρθρθπsin cos 1020)sin ,cos (d f d .12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1)⎰⎰11),(dy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示. 因为所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ)sin ,cos (),(),(101所以⎰⎰210),(x dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f θρρθρθρσ)sin ,cos (),(15.选用适当的坐标计算下列各题:(3)⎰⎰+Dd yxσ)(22,其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)所围成的闭区域;解因为积分区域可表示为D={(x,y)|a≤y≤3a,y-a≤x≤y},所以17.求由平面y=0,y=kx(k>0),z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.解此立体在xOy面上的投影区域D={(x,y)|0≤θ≤arctan k, 0≤ρ≤R}.。

第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念一、填空题1．开，有，221x y +=及224x y += 2.{}(,)01x y x y x y +>+≠且 3.224xyx y +4．2(ln )ln x y y - 5.0 6.连续，间断二、单项选择题1.D2.C ，提示：沿着y kx =趋于(0,0)时，222220lim (,)lim 1y kx x x kx kf x y x k x k =→→==++，当k 取不同值时，极限取不同值，所以极限不存在，从而在(0,0)不连续 3.D三、解答题解：1．2201sin()cos lim x y xy xy x x y x →→+-221sin()cos lim x y xy xy x x y y xy →→+-=⋅1sin()lim cos 112x y xy x xy y xy →→⎛⎫=+-⋅=+= ⎪⎝⎭． 2．((0000002lim lim 24x x x y y y xy xy →→→→→→⋅==-=--．3t =，则 原式23220001sin 1cos 12lim lim lim 336t t t tt t t t t t →→→--====． 4．证明：22222424240lim lim 1x x y xy k x k x y x k x k →===+++，因为随着k 的变化，241k k +随之变化，所以2240lim x y xy x y →→+不存在．第二节 偏导数 第三节 全微分一、填空题1．0(0,1)(0,1)limx f x f x∆→+∆-∆，0(0,1)(0,1)lim y f y f y ∆→+∆-∆ 2.二阶偏导数(,),(,)xy yx f x y f x y 连续 3.d d x y f x f y + 4. 25．2222d d y x x y x y x y ⎛⎫+⎪⎪++⎭二、单项选择题1．D 2.B ，提示：用(0,1)x f 定义求0(0,1)(0,1(0,1lim))x x f x f f x∆→+∆-∆=220sin()lim 1()x x x ∆→∆==∆ 3．D 4. A三、计算题解：1．12z x x ∂==∂，12z y y∂==∂. 2．2(,1)(1)x z z x x +==+，ln (2)ln(1)z x x ∴=++，在等式两边对x 求偏导，得12ln(1)1z x x z x x ∂+=++∂+，22ln(1)(11)x z x x x x x +∂+⎡⎤∴=++++⎢⎥∂⎣⎦， 31132ln 28ln 2122x y zx==∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭． 3．()222e d e xy tx y x f t y x--∂==∂⎰， ()22222222222e e (2)e (12)e xyxyxyx y xy f y y x y x y y----∂==+-=-∂．4．22z u x y =+，22222222()()xz xzu x x y x y --∴=⋅=++，从而(1,1,2)1x u =-，22222222()()y z yzu y x y x y --=⋅=++，从而(1,1,2)1yu =-，221z u x y=+，从而(1,1,2)12zu =， (1,1,2)1d d d d 2u x y z ∴=--+ 第四节 多元复合函数的求导法则一、填空题1．x u f f xϕ∂+∂，u f y ϕ∂∂ 2.222e xy x y x y ++，222e xyy x x y ++ 3.222222()()xyf x y f x y '---4．1(1ln )y xy x -+二、单项选择题1．B ，提示：()(),()(),z zx y x y x y x y x yφψφψ∂∂''''=++-=+--∂∂ 22()()zx y x y x φψ∂''''∴=++-∂，22()()z x y x y y φψ∂''''=++-∂，2()()zx y x y x yφψ∂''''=+--∂∂，∴选B 2. C ，提示：122zf x yf y∂''=-∂，21112221222(2)22(2)z x f x yf f y f x yf y ∂'''''''''=----∂ 221112222442x f xyf y f f '''''''=-+- 三、计算题解：1．令(,)arctan()z f x y xy ==,则222222d d e e d d 111x xz f f y y x y x x x y x x y x y x y∂∂+=+⋅=+⋅=∂∂+++. 2．1234z f f u ∂''=+∂，1222zf f v∂''=-∂. 3.12e yz f u f f f x u x x∂∂∂∂''=⋅+=+∂∂∂∂， ()212121e e e y y y f f z f f f x y y y y ''∂∂∂∂'''=+=++∂∂∂∂∂ 111132123111132123e e e e e e e y y y y y y y u u f f f f f f x f f x f f y y ⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''''''''''=++++=+⋅+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()2113112123e e e y y y f f x f x f f '''''''''=++++. 4．令2t x y =-，,u x v xy ==，则d d 2(2)d d z f t g u g vf x y x t x u x v x∂∂∂∂∂'=⋅+⋅+⋅=-∂∂∂∂∂ 12g yg ''++，21222()g g z t f t g y x y y y y''∂∂∂∂'''=+++∂∂∂∂∂122222(2)f x y xg g xyg '''''''=--+++. 第五节 隐函数的求导公式一、填空题 1．zx- 2．1±二、单项选择题1．D ，提示：方程两边同时对x 求导：1210z z ab x x φφ∂∂⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，同时对y 求导：1210z z ab y y φφ⎛⎫⎛⎫∂∂-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭；所以121212,z z x a b y a b φφφφφφ∂∂==∂+∂+，代入所求表达式化简，得D 2．D 3．A ，提示：方程组()(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩两边同时对x 求导，得d d ()()1d d d d 0d d x y z z y f x y xf x y x x y z F F F x x ⎧⎛⎫'=++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪++=⎪⎩，解之得：d d z x =()y x y zxf f F xf F F xf F ''+-'+三、计算题解：1．令(,,)F x y z=xyz则x F yz =+y z F xz F xy =+=x zF zx F ∂=-=∂ 从而(1,0,1)1zx-∂=∂；y z F zy F ∂=-=∂从而(1,0,1)z y -∂=∂；所以(1,0,1)d d zx y -=．2．令33(,,)3F x y z z xyz a =--，则3x F yz =-，3y F xz =-，233z F z xy =-；2x z F z yz x F z xy ∂∴=-=∂-，2y z F z xzy F z xy∂=-=∂-； ()()222222z z z y z xy yz z x y y z yz x y y z xy z xy ⎛⎫⎛⎫∂∂+--- ⎪ ⎪∂∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭== ⎪∂∂∂--⎝⎭()()222222xz xz z y z xy yz z x z xy z xy z xy ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=-()5322322z xyz x y z z xy --=-． 3．由题意知，222x y u +=，对方程两边对x 求偏导，得22u x ux ∂=∂，u xx u∂∴=∂． 第六节 多元函数微分学的几何应用一、填空题1．(4,2,1)-- 2. (1,2,1)-或(1,2,1)-- 3. 240x y +-=二、单项选择题1．C 2.B 3.B ，提示：由题意知,曲线的切向量2(1,2,3)T t t =-，与平面的法向量(1,2,1)n =垂直，则21430t t -+=，此方程只有两个根.从而对应切线只有两条，故选B4.C ，提示：（A ）:由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数，此时，不能确定(,)f x y 在(0,0)可微，故不一定成立；（B ）:曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的切平面法向量应为(3,1,1)-或(3,1,1)--；(C):曲面方程可以写为:0(,0)x ty z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩在(0,0,(0,0))f 的切向量为(1,0,(0,0))(1,0,3)x T f '==三、计算题解：1.d d d e (cos sin ),e (sin cos ),e d d d t t t x y z t t t t t t t =-=+=，则0d 1,d t x t==0d 1,d t yt==0d 1d t zt==，所以切向量(1,1,1)T =；而当0t =对应的点为(1,0,1)，所以切线的方程为：101111x y z ---==，法平面方程为：1010x y z -+-+-=，即20x y z ++-=. 2.令(,,)ln ln ,F x y z z y x z =--+则11,1,1,x y z F F F x z =-=-=+所以切向量11(,,),1,1x y z T F F F xz ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，在(1,1,1)M 处的切向量(1,1,2)T =--，所以在点(1,1,1)M 处的切平面方程：(1)(1)2(1)0x y z ----+-=，即20x y z --+=， 法线方程为：111112x y z ---==--. 3.2,2,x y z x z y ==则(2,2,1)T x y =-，设曲面上一点000(,,)x y z 处的切平面为所求，则00(2,2,1)T x y =-.又所求切平面与平面240x y z +-=平行，即 (2,4,1)∥T -，从而00221241x y -==-，012x y =⎧∴⎨=⎩，05z ∴=从而切平面方程为： 2(1)4(2)(5)0x y z -+---=，即2450x y z +--=.第七节 方向导数与梯度一、填空题1．12 2.244999i j k +-二、计算题解：1．函数22(,)2f x y x xy y =-+在点(2,3)处沿着梯度方向的方向导数最大，且其最大值为梯度的模.而(2,3)(2,3)(2,3)(,)(22,22)(2,2)x y ff f x y x y ==--+=-grad∴f l∂∂=． 2．3()1,()4,()8x t y t t z t t '''===-，M 点对应1t =，(1,4,8)T ∴=-，148e ,,999T ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭. 而332222222222,,()()x y y z xy u u x y z x y z +==-++++32222()z xz u x y z =-++，822,,,272727x M y M z M u u u -∴===81242816279279279243Mu l∂⎛⎫∴=⨯-⨯+⨯-=- ⎪∂⎝⎭． 3.22,2,x y z u y z u xyz u xy ===，则2,4,1xPyPzPu u u ==-=，24P u i j k ∴=-+grad ，∴沿着梯度方向的方向导数最大，最大值是Pu=grad ．第八节 多元函数的极值及其求法一、填空题1．0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==2.(,,,,,)(,,,)(,,,)(,,,)L x y u v f x y u v x y u v x y u v λμλϕμψ=++二、单项选择题1．B 2. A三、解答题解：1．3341,41,x y f x f y =-=-令33410410x yx f x f y y ⎧=⎪⎧=-=⎪⎪∴⎨⎨=-=⎪⎪⎩=⎪⎩∴是可能的极值点.又2212,12,0xx yy xy f x f y f ===，0,A B C ∴=== 20,0AC B A ∴->>，∴是极小值点，且极小值为．2．（法一） 设所求点(,,)P x y z ，则222221x y z ++=，又e l ⎫=⎪⎝⎭，2x f x =，2yf y =，2z fz =.)Pfx y l∂⎛∴=+=- ∂⎝ 再令(,)),u x y x y =-则设222(,,))(221)L x y z x y x y z λ=-+++-222404020221x yz L x L y L z x y z λλλ⎧==⎪==⎪∴⎨==⎪⎪++=⎩， 解得，12120x y z λ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩或12120x y z λ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩11,,02211,,022fu l ⎛⎫- ⎪⎝⎭∂⎛⎫∴-== ⎪∂⎝⎭11,,02211,,022fu l⎛⎫- ⎪⎝⎭∂⎛⎫-== ⎪∂⎝⎭∴所求的点为11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭． （法二）设所求点(,,)P x y z ，则222221x y z ++=，又e 2l ⎫=⎪⎝⎭，2x f x =，2y f y=，2z fz =.)Pf x y l∂⎛∴=+=- ∂⎝ 再令(,)),u x y x y =-则设222(,,))(221)L x y z xy x y z λ=-+++-222404020221x yz L x L y L z x y z λλλ⎧==⎪==⎪∴⎨==⎪⎪++=⎩，解得，12120x y z λ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩或12120x y z λ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ 而11,,022f i j l ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭grad ，(,,)f x y z ∴沿l 在11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭的方向导数取最小 值（舍去）.又11,,022f i j l ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭grad ，Pf l ∂∴∂沿l 方向取最大值.∴所求的点为11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭．3．设长方体的长、宽、高为,,x y z ，则xyz k =，它的表面积为：22s xy yz xz =++，(,,0)x y z >，问题就转化为求s 在条件xyz k =下的最小值问题.构造辅助函数(,,)L x y z =22()xy yz xz xyz k λ+++-，解得2020220x yzL z y yz L z x xz L x y xy xyz kλλλ=++=⎧⎪=++=⎪∴⎨=++=⎪⎪=⎩，解得，2x y z z ⎧===⎪⎨=⎪⎩，由实际问题的意义知，一定存在满足条件的表面积最小的长方体水池，上面的,,x y z 就为所求.第八章 自测题一、填空题（每小题3分，共27分）1．1 2．2d d 2ln 2d x y z -++， 提示：1ln (ln ln )u x y z=-，两边同时对x 求导，得 11u u x xz ∂=∂ 3．1，提示：2(,,)e 2e x x x zf x y z yz yz x∂=+∂，又方程0x y z xyz +++=两边同时对x 求偏导得：10z z yz xy x x ∂∂+++=∂∂，所以11z yz x xy ∂+=-∂+，则(0,1,1)0zx-∂=∂，∴(0,1,1)1x f -= 4. 1221y y yf f g y x x ⎛⎫'''+- ⎪⎝⎭5．1，提示：方程()x mz y nz ϕ-=-两边分别对,x y 求偏导得：10z z m n x x ϕ∂∂⎛⎫'-=⋅- ⎪∂∂⎝⎭则1z x m n ϕ∂='∂-；01z z m n y y ϕ⎛⎫∂∂'-=⋅- ⎪∂∂⎝⎭，则z y m n ϕϕ'∂-='∂-，代入所求的式子化简得，1z z mn x y ∂∂+=∂∂ 6．(4,2) 8．9270x y z +--= 9．111342111y x z +--==-或8423421y x z +--==- 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．C 2. C 3. A 4. D 5. B三、解答题(共58分)解：1．121z f y f y g x y∂'''=⋅+⋅+⋅∂，则 2111122212222211zx x f y f x f f f x f g yg x y y y y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂'''''''''''''=+⋅⋅+-+⋅-+⋅⋅+-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1111222122231x x xf xyf f f f fg yg y yy y ⎛⎫'''''''''''''=++--+-++ ⎪⎝⎭ 111222231xf xyf f fg yg y y '''''''''=+--++. 2.方程两边对x 分别求导，得1122220z z zz xyz xy x x x z x∂∂∂+--++=∂∂∂ 112222z x xy yz z x z x ∂⎛⎫∴-+=-- ⎪∂⎝⎭，z xx z∂∴=-∂， 同理，112220z z z xxz xy y y y z y ∂∂∂--++=∂∂∂12122xz z yy x xy z-∂∴=∂-+，12d d d 122xz x yz x y z x xy z-∴=-+-+.3.方程组两边对x 求偏导：00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，解方程组得，22u ux vy x x y ∂+=-∂+. 4.令222(,,)1F x y z x y z =++-，则000()0,()0,()2x y z F P F P F P ===，(0,0,2),n ∴=e (0,0,1)n =， 又21,2,3,x y z u u y u z === 000()1,()0,()3x y z u P u P u P ===，000()0()0()13x y z P uu P u P u P n ∂=⋅+⋅+⋅=∂ ∴函数u 在0P 点沿方向n 的方向导数为3.5.（法一）在每个方程两边对x 求导，得d d 2220d d d 222d y z x y z x xy x y x ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：d 1d d 1d y x x y z xz -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，将P 代入d d y x ，d d z x得曲线的切向量)1,0,T ⎛== ⎝， ∴101y z -==，法平面方程为：1)0x z -+-=，即0z +-=（法二）令222(,,)4F x y z x y z =++-，则2,2,2,x y z F x F y F z ===从而()2,()2,()x y z F P F P F P ===2224x y z ++=的法向量为12(1,1n =；再令22(,,)2G x y z x y x =+-，则()0,()2,()0x y z G P G P G P ===，从而曲面222x y x +=的法向量为2(0,2,0)2(0,1,0)n ==；∴切线的方向向量为：(0,1,0)(T =⨯=101y z -==，法平面方程为：1)0,x z -+=即0z +-=. 6.令：(,,)F x y zx y z F F F ===设曲面上的任一点为000(,,)x y z，在此点处的法向量为,n ⎛⎫= ∴000)))0x x y y z z ---=，即y =，∴， ∴a ==.7.{}(,)06,06D x y x y x =≤≤≤≤-，①当06x ≤≤，0y =时，(,0)0z f x ==；②当06y ≤≤，0x =时，(0,)0z f y ==；③当6x y +=，06x ≤≤时，223(,6)(6)(2)122z f x x x x x x =-=--=-+；令22460x z x x =-+=，则04、x =， 当0x =时，0z =；当4x =时，64z =-；当6x =时，0z =；∴二元函数在()()0,6,6,0点处取得最大值0，在()4,2处取得最小值64-.第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质一、填空题1.有界闭、有界、()01lim,niiii f λξησ→=∆∑、闭、连续 2.(,)d Df x y σ⎰⎰ 3.π4.36a π 5.221()d 2Dx y σ+⎰⎰ 二、单项选择题1． D三、解答题解：1.01x y ≤+≤，∴2221x y xy ++≤，即2212x y xy +≤-，∴2222323x y xy ≤++≤-≤，22422d 3d 36DDI σσ∴==≤≤==⎰⎰⎰⎰，即 46I ≤≤. 2.22(2)(1)2x y -+-≤，即22(1)22()x y x y -++≤+，∴22(1)11()2x y x y -+≤+≤+，23()()x y x y +≤+，故23()d ()d D Dx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰.第二节 二重积分的计算法（一）一、填空题1.201,0x y x ≤≤≤≤，011y x ≤≤≤ 2.40d (,)d xx f x y y ⎰⎰3.655，提示：D：201,x x y ≤≤≤≤()411e 2-- 5.221d ,:1Dx y D xy σ--+≤⎰⎰ 6．242222d (,)d d (,)d y y y y f x y x y f x y x +⎰⎰⎰⎰二、单项选择题1.B2. A 3．C 4. B三、计算题解：1.26:24,12y D y x y --≤≤≤≤+，原式d d Dxy x y ==⎰⎰241232d d y y y y x x +--⎰⎰ 214256443243222322112d 428d 4362242324y y x y y y y y y y y y y y +----⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+--=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰2.如图9-1：:01,D y x ≤≤≤≤1220d d d d Dx y x y y y x =⎰⎰⎰13353111222222200002112d (1)d (1)d(1)(1)33335x y y y y y y y y ⎡⎤⎡==+=++=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰21)15=. 3.如图9-2：:2;:;:32xOA y x OB y AB y x ===-+，12D D D ∴=，1:01D x ≤≤，2;2x y x ≤≤2:12,32xD x y x ≤≤≤≤-，121202d d d d d d d d x x D D D x x y x x y x x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 1223122323101201331313d d d 3d 222222xxx x y x x x x x x x x -⎛⎫⎡⎤⎡⎤+=+-=+-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.图9-1xy221x y -=11-图9-2xOOB (2,1)A (1,2)y11D2D D第二节 二重积分的计算法(二)一、填空题1.0,02cos 2πθρθ≤≤≤≤ 2.()221d cos ,sin d d f πθρθρθρρθ⎰⎰3.2sec 34d ()d f πθπθρρρ⎰⎰二、单项选择题1.A2.D3.C三、计算题解：1.如图9-3，:0,02cos 4D πθρθ≤≤≤≤，原式2cos 2240d d d d Dπθρρθθρρ==⎰⎰⎰⎰2cos 334400018d cos d 33θππρθθθ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰2.如图9-4，:0,2cos 22D πθθρ≤≤≤≤，原式=223202cos d d d d Dπθρρρθθρρ=⎰⎰⎰⎰2444222220002cos 11d 2(1cos )d 4(1cos )sin d 44πππθρθθθθθθ⎡⎤==-=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 20515sin 2sin 4284ππθθθ⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦.3．法一：如图9-5， :0,02sin D θπρθ≤≤≤≤，原式=cos (sin 1)d d Dρθρθρρθ+⎰⎰=2sin 220cos (sin 1)d d d cos (sin 1)d Dπθρθρθρθθρθρθρ+=+⎰⎰⎰⎰图9-3 xyy x = O2 D图9-42cos ρθ=2ρ=yxD2 O2sin 4353000118cos sin d cos 4sin sin d 433θππθρθρθθθθθ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰()536400824sin sin dsin sin sin 033ππθθθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰.法二：被积函数(1)x y +对x 是奇函数，区域D 关于y 轴对称，所以(1)d d 0Dx y x y +=⎰⎰.4．如图9-6，12D D D =，221:4D x y +≤，222:49D x y ≤+≤，原式()()()121222224d d 4d d 4d d D D D xy x y x y x y ρρρθ=--++-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰222232330241(4)d d d (4)d d (4)d 2D πππρρρθθρρρθρρρ+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 第三节 三重积分一、填空题1.43π2.163π3.2cos 22002d d d a h z πθπθρρ-⎰⎰⎰4.2120d d (sin cos )sin d f r r r ππθϕϕθϕ⎰⎰⎰二、单项选择题1.C三、计算题解：1.1:01,0,0122xx y z x y -Ω≤≤≤≤≤≤--，原式11122000d d d xx y x y x z ---=⎰⎰⎰ 图9-5xyO 11－1 22sin ρθ=图9-6xyO2 3 D1D2D112111222000(1)1d (12)d (1)d d 448x xx x x x y y x x y y x x x ---⎡⎤=--=--==⎣⎦⎰⎰⎰⎰.2.如图9-7，2π110d d d d πV V z ρθρΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，或者 π2π2cos 240d d d sin d πV V r r ϕθϕϕΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3.如图9-8，用柱面坐标表示2:02,01,0z θπρρΩ≤≤≤≤≤≤，原式222π1133201d d d 2πd 2z z z ρρθρρρρ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰1701π2πd 28ρρ==⎰. 4.如图9-9，用球面坐标表示:02,0,0sec 4r πθπϕϕΩ≤≤≤≤≤≤，原式sec ππ2πsec 344401d sin d d 2sin d 4r r r ϕϕθϕϕπϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰π44012sec sin d 1)46ππϕϕϕ==⎰. 5.222(222)d I x y z xy yz xz V Ω=+++++⎰⎰⎰，由对称性定理知：(222)d 0xy yz xz V Ω++=⎰⎰⎰，故 22222()d sin d d d I x y z V r r r ϕϕθΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ []2πππ455000014d sin d d 2πcos π55R r r R R θϕϕϕ==⋅⋅-=⎰⎰⎰. 第四节 重积分的应用一、填空题d x y2.d xy D x y ⎰⎰3.2222:4(822)d d xy Dx y x y x y +≤--⎰⎰，图9-7xyzO11Ω222z x y =+222(1)1x y z ++-=图9-8xyz1 22z x y =+1OΩ 图9-9 xy zO1zΩ2π220d (82)d θρρρ-⎰⎰，16π 4.28a 5.22()d x y V ρΩ+⎰⎰⎰二、单项选择题1. B2. B.三、计算题解：1.22:2xy D x y x +≤，x Z =，y Z =，故所求面积d d d d xyxyxyD D D x y x y x y ====. 2.xoy面之上的球面为：z =x Z =，y Z =222d ,(:)xyxy D x y D x y ax =+≤⎰⎰2d 2d xyxyD D x y x y ==⎰⎰⎰⎰cos 22220222d d 2(1sin )d 2a a a ππθππθρρθθπ--==-=⎰⎰⎰.3.设扇形的均匀密度为μ，其质心坐标为(,)x y ，由对称性知，质心在x 轴上，故0y =，2202d d d d cos d d 2cos d d 1d d d d 2L R DDDR L RDDx x yx x y x RL x yx yRL μρθρρθθθρρμ-⋅====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3212sin 23L R RL R =⋅24sin 32R L L R =，故质心坐标为24sin ,032R L LR ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 第九章 自测题一、填空题（每小题4分，共24分）1.2(e 1)- 2.2sin 20d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰3.2120d (,)d xxx f x y y ⎰⎰4.53245a提示：31I d d 3aaa a x y y y x --⎡==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2225232()d 345a a a x x a -=-=⎰ 5.()111e 2-- 6.22218a b c 二、单项选择题（每小题3分，共24分） 1.A 2.C 3．D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D三、计算题(共52分)解：1.原式222211111222221111111d d d (1)(1)d 022x x x x x y y y x x x x -------⎡⎤⎡⎤===---=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 2.原式1100sin d d sin d 1cos1x xx y x x x===-⎰⎰⎰.3.薄片质量(,)d d DM x y x y μ=⎰⎰，其中()1,12,D x y x y x x⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，故上式=222222223122111111119d d d d d d ()d 4xx x Dxx x y x x y x x x x x x x x y y y x ⎡⎤⎛⎫==-=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.原式[]2π2π2π2π2ππ0πππd sin d 2πdcos 2πcos 2πcos d θρρρρρρρρρ==-=-+⎰⎰⎰⎰[]2π22π6π2πsin 6πρ=-+=-.5.原式2cos 42π2cos 2220cos 0cos d d cos sin d 2πsin cos d 4r r r r ϕππϕϕϕθϕϕϕϕϕϕ⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ππ6252001515cos 5πsin cos d ππ2264ϕϕϕϕ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 6.如图9-10，由于:02π,24,28z θρΩ≤≤≤≤≤≤，故22I ()d z x y V Ω=+⎰⎰⎰22282483310222d d d d d d z zππρθρρθρρ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰48π288π336π=+=.图9-10xyzO284 222z x y =+第十章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分一、填空题1．(,,)d x y z s ρΓ⎰，22()(,,)d y z x y z s ρΓ+⎰，22()(,,)d x z x y z s ρΓ+⎰，22()(,,)d x y x y z s ρΓ+⎰，(,,)d (,,)d (,,)d ,,(,,)d (,,)d (,,)d x x y z s y x y z s z x y z s x y z s x y z s x y z s ρρρρρρΓΓΓΓΓΓ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2．π 二、单项选择题1．D 2．B ，提示：:0,01;:1,01;OA y x AB y x x =≤≤=-≤≤:0,01;BO x y =≤≤10I ()d (0)d OA AB BOx y s x x ++=+=+⎰⎰11(1d 1x x x y y ++-+=+⎰⎰3．B，提示：42π443I (cos sin R t t t =+⎰777π2π445333203(cos sin )|cos sin |d 24sin cos d 4R t t t t t Rt t t R =+==⎰⎰，故选B三、计算题解：1．如图10-1，L 的参数方程： cos 22sin 2a a x a y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(02π)θ≤≤，22I d Lx y s=+⎰222π0cos d 22a θθθ==⎰⎰π2ππ222π0022cos d cos d cos d 2令t a t t a t t t t θ=⎡⎤⋅=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰[][]ππ222π02sin sin 2a t t a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．2．Γ的参数方程：1222x ty tz t =+⎧⎪=⎨⎪=-⎩(01)t ≤≤，1220d (12)2(2x yz s t t t t Γ=+-⎰⎰ 图10-1x22x y ax +=yθO a14320(24244212)d t t t t t =-+++⎰15432024106614655t t t t -⎡⎤=+++=⎢⎥⎣⎦． 3、Γ的参数方程：x y z θθ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ (02π)θ≤≤2π00s θθΓ===⎰⎰⎰第二节 对坐标的曲线积分一、填空题1．(,)d +(,)d ABP x y x Q x y y ⎰，d ABF r ⋅⎰ 2．[][]{}(),()()(),()()P t t t Q t t t ϕψϕϕψψ''+ 3．280d 2d x x x x -⎛⎫+- ⎪⎝⎰⎰，2243d 2y y -⎰ 4提示：(1,2),cos x ταβ===，原积分[](,)cos (,)cos d LP x y Q x y s αβ=+⎰二、单项选择题1．C ，提示:12L L L =+，12:,:01;:2,:12;L y x x L y x x =→=-→1222222201142d ((2))d [(2)](1)d 3I x x x x x x x x =++-+---=⎰⎰⎰ 三、计算题解：1．Γ的参数方程：112:1013x t y t t z t =+⎧⎪=+→⎨⎪=+⎩，2d d (31)d x x y y z y z Γ++--⎰22111(12)2(39121)3d (8306)d t t t t t t t t ⎡⎤=+++⋅++---⋅=++⎣⎦⎰⎰ 032187115633t t t ⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦.2．2:,:02L y x x =→,2222224240()d ()d ()2d L x y x x y y x x x x x x ⎡⎤-++=-++⋅⎣⎦⎰⎰2354603523x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦1285=.3．令cos ,sin x R y R θθ==，π:0,2θ→ 22022π2()d d (sin cos cos )(sin )cos cos d 22L x R xy x x y R R R R θθθθθθθ⎡⎤++=+-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 303222π2sin sin (1sin )dsin 2R R R θθθθ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦⎰33233223π2111=sin sin sin sin 322232R R R R R θθθθ⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦． 第三节 格林公式及其应用一、填空题1．闭区域D ，一阶连续偏导数，d d d d LD Q P x y P x Q y x y ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰，D 的取正向的边界曲线 2．沿G 内任意闭曲线积分为零，Q Px y∂∂=∂∂，(,)d (,)d P x y x Q x y y +为某一二元函数的全微分 3．(1,2)12(0,0)(,)d (,)d (,0)d (1,)d P x y x Q x y y P x x Q y y +=+⎰⎰⎰4．2222x y xy C +++ 二、单项选择题1．B ，提示：由格林公式，d (01)d d LDy x x y σ-=--=⎰⎰⎰，②③积分均为σ-，故选B2．D ，提示：由格林公式，(22)d d 4d d 0DDI xy xy x y xy x y =--=-=⎰⎰⎰⎰，因为被积函数关于x 是奇函数，D 关于y 轴对称三、计算题解：1．令2222,2()2()yxP Q x y x y-==++，则当220x y +≠，有222222()P x y Qy x y x∂-∂==∂+∂如图10-2，记L 所围区域D ,当(0,0)D ∉时,由格林公式得22d d 02()L y x x yx y -=+⎰；当(0,0)D ∈时选取适当小的0r >，作位于D 内的圆周2221:l x y r +=.记L 与1l 所围的闭区域为1D ，对复连通区域1D ，用格林公式得112222d d d d 0d d 02()2()L l D y x x y y x x yx y x y x y --+=-=++⎰⎰⎰⎰，其中1l 取逆时针方向，于是122222220d d d d d 2()2()2L l y x x y y x x yr x y x y rπθπ---=-=-=++⎰⎰⎰． 2．如图10-3，作辅助线段:0,:0OA y x a =→，与L 构成封闭曲线，记所围成的闭区域为D .令e sin ,e cos ,x x Q P P y my Q y my m x y∂∂=-=--=∂∂，由格林公式得(e sin )d (e cos )d xxL OA y my x y my y +-+-⎰2πd d d d 8D DQ P m a x y m x y x y ⎛⎫∂∂=-== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰，所以22ππI (e sin )d (e cos )d 88x xOA m a m a y my x y my y =--+-=⎰. 3．如图10-4，法一：作辅助线段:1,:10AB x y =→，:0,:10BO y x =→与L 构成封闭曲线，记所围成的闭区域为D .令22,sin ,1Q PP x y Q x y x y∂∂=-=--=-=∂∂，由格林公式得22()d (sin )d d d 0L AB BO D Q P x y x x y y x y x y ++⎛⎫∂∂--+=--= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰， 所以2222()d (sin )d ()d (sin )d L ABxy x x y y x y x x y y --+=---+-⎰⎰1122220sin 27()d (sin )d (1sin )d d 46BOx y x x y y y y x x --+=--+=-⎰⎰⎰. 法二： 由22,sin ,1Q PP x y Q x y x y∂∂=-=--=-=∂∂，所以曲线积分在xoy 面内与路径图10-2xy1lOL图10-3xyO(,0)A a 22:L x y ax +=图10-4xyO(1,1)A (1,0)B L无关，取折线：:0,:01,:1,:01OB y x BA x y =→=→， 则原积分1122220sin 27()d (sin )d d (1sin )d 46OB BAI x y x x y y x x y y +=--+=+--=-⎰⎰⎰. 第四节 对面积的曲面积分一、填空题1．(,,)dS x y z μ∑⎰⎰，22()(,,)dS y z x y z μ∑+⎰⎰，22()(,,)dS x z x y z μ∑+⎰⎰， 22()(,,)dS xy x y z μ∑+⎰⎰ 2．S，yzD d y z ⎰⎰ 3．222(d ,(d ,(d f R x y f R y z f R z x二、单项选择题1．C ，提示：22224()d d 4x y z S R S R π∑∑++==⎰⎰⎰⎰2．C ，提示：被积函数(,,)f x y z z =在曲面上为正，积分曲面关于xoy 面及yoz 面对称，故11d 4d 4d SS S z S z S x S ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（轮换对称性），其它类似可得三、计算题解：1．如图10-5， 4:42,:1,323xy y x y z x D ∑=--+≤d d S x y =，42d d 3xyD x y z S x y ∑⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰14322=⋅⋅=2．如图10-6，∑由1:1z z ∑=≤≤ 与222:1,1z x y ∑=+≤ 围成，图10-5yxzO234∑图10-6xyzO2:1z ∑=1:z ∑=1222222222222()d ()d ()d 2(d xyD x y z S x y z S x y z S x y x y ∑∑∑++=+++++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2π12π122320000(d d d d (+1)d xyD x y x y θρρθρρρ+++=+⎰⎰⎰⎰⎰32⎫=⎪⎭．3．如图10-7，::02,11yz x D z y ∑=≤≤-≤≤，如图10-8，2(,,)f x y z x =为x 的偶函数，积分曲面关于yoz 面对称，22d 2(1d yzD x S y y z ∑=-⎰⎰⎰⎰212d 2d 2πyzD y z z y -===⎰⎰⎰⎰．第五节 对坐标的曲面积分一、填空题1．(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰2．(22,d d ,:1xyxy D R x y x y D x y -+≤⎰⎰，)(),,d d ,:01,yzyz D P y z P y z y z D z z y z ⎡⎤-≤≤-≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，()(),d d ,:01,xzxz DQ x z Q x z z x D z z x z ⎡⎤-≤≤-≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰二、单项选择题1．C ，提示：如图10-9，12341,:0x ∑=∑+∑+∑+∑∑=后侧，2:0y ∑=左侧，3:0z ∑=下侧，4:1x y z ∑++=上侧，11(1)d d d d d d d d 002yzD x y z y z x x y y z ∑+++=-++=-⎰⎰⎰⎰, 图10-7xyzO 1∑图10-8O yzyz D12图10-9x yzO 1:0x ∑=2:0y ∑=3:0z ∑=4∑2(1)d d d d d d 00d d +00zxD x y z y z x x y z x ∑+++=-=⎰⎰⎰⎰,31(1)d d d d d d 00d d 2xyD x y z y z x x y x y ∑+++=+-=-⎰⎰⎰⎰, 4(1)d d d d d d (2)d d (1)d d yzzxD D x y z y z x x y y z y z x z z x ∑+++=--+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰d dy xyD x +⎰⎰11111102114d (2)d d (1)d d d 3623y x x y y z z x x z z x y ---=--+--+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰， ∴原积分为13三、计算题解：1．如图10-10，∑分为1:x ∑=2:x ∑=的后侧，∑在yoz 面的投影为22:4(0)yz D y z z +≤≥，如图10-11，则12222d dz d dz d dz x y x y x y ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2222(4)d dz (4)d dz 0yzyzD D y z y y z y =-----=⎰⎰⎰⎰．2．如图10-12，设∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤，又()d d y z y z ∑-⎰⎰()d d ()d d 0,yzyzD D y z y z y z y z =---=⎰⎰⎰⎰()d d ()d d ()d d xzxzD D z x z x z x z x z x z x ∑-=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰0=，故原式=2π1()d d ()d d d (cos sin )d 0xyD x y x y x y x y θρθθρρ∑-=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．3．如图10-13，∑在xoy 面的投影为22:4xy D x y +≤, 设n 是∑下侧上一点处法向量， 则(2,2,1)n x y =-，d d 2d d y z x x y =-，d d 2d d z x y x y =-， 所以22322d d d d d d (22)d d x y z xy z x y x y xxy y x y ∑∑++=--+⎰⎰⎰⎰图10-10xyzO2∑图10-11yzOyz D图10-12xyz1O∑()2π232232220(22)d d d cos (1sin )sin d xyD x xy y x y θρθθρθρρ=---+=+-⎰⎰⎰⎰π2π2220sin d sin d 4πθθθθ==-⎰⎰=-4-16．第六节 高斯公式 通量与散度一、填空题1．(,,)(,,)(,,)d d d P x y z Q x y z R x y z x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰， [](,,)cos (,,)cos (,,)cos d P x y z Q x y z R x y z S αβγ∑++⎰⎰(,,)(,,)(,,)d d d P x y z Q x y z R x y z x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰．2．(,,)(,,)(,,)P x y z Q x y z R x y z x y z ∂∂∂++∂∂∂,,1)x y -3．通量 4．2221x y z++ 二、计算题解：1．令,,P x Q y R z ===，∑所围闭域22:03,9z x y Ω≤≤+≤,如图10-14，由高斯公式得d d d d d d 3d d d 339π381πx y z y z x z x y x y z V ∑Ω++===⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰．2．如图10-15，添加辅助曲面2221:0,z x y a ∑=+≤的下侧与∑上侧一起构成封闭曲面图10-13xyzO∑4图10-14xyzO3图10-15xyzO:z ∑=1:0z ∑=图10-16xyzO11 ∑的外侧，令323232,,P x az Q y ax R z ay =+=+=+，则2223()P Q Rx y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂，由高斯公式得1323232()d d (+)d d ()d d x az y z y ax z x z ay x y ∑+∑++++⎰⎰π52π22242006π3()d d d 3d sin d d 5aa x y z x y z r r θϕϕΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 其中:222:,0x y a z Ω+≤≤≤ 即π:02π,0,02r a θϕΩ≤≤≤≤≤≤. 又1132323222()d d (+)d d ()d d d d d d xyD x az y z y ax z x z ay x y ay x y ay x y ∑∑++++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 52π22πd sin d 4a a a θρθρρ=-=-⎰⎰，所以原式=5556ππ29π5420a a a +=．3．如图10-16，令22,,P xz Q x y R y z ===，则22P Q Rz x y x y z∂∂∂++=++∂∂∂，∑所围闭域Ω：22221,0,0,0x y x y z x y +≤≥≥≤≤+，即Ω：2π0,01,02z θρρ≤≤≤≤≤≤，由高斯公式得2222d d d d d d ()d d d xz y z x y z x y z x y z x y x y z ∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰21220d d ()d z z πρθρρρ=+⎰⎰⎰π8=． 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度一、填空题1．0 2．d d d P x Q y R z Γ++⎰3．∑的侧，d d d d d d R Q P R Q P y z z x x y y z z x x y ∑⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 二、计算题解：1．如图10-17，取∑为平面2az =22234x y a ⎛⎫+≤⎪⎝⎭的上侧被Γ所围成的部分，∑的单位法向量(0,0,1)n =，由斯托克斯公式得20013πd d d d (1)d 4a y x z y x z S S x y z yzxΓ∑∑∂∂∂++==-=-∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰． 2．如图10-18，取∑为平面2z =的上侧被Γ所围成的部分(224x y +≤)，∑的单位法向量(0,0,1)n =，由斯托克斯公式得220013d d d d (3)d 3y x xz y yz z S z S x y z yxzyzΓ∑∑∂∂∂-+==--∂∂∂-⎰⎰⎰⎰⎰ 2(5)d 5π220πS ∑=-=-⋅⋅=-⎰⎰．3．环流量22()d ()d 3d x z x x yz y xy z ΓΦ=-++-⎰，取∑为平面0z =的上侧(224x y +≤)被Γ所围成的部分，∑的单位法向量(0,0,1)n =，22:4xy D x y +≤,由斯托克斯公式得：2201d 2d 3S x S x y z x zx yz xy ∑∑∂∂∂Φ==∂∂∂-+-⎰⎰⎰⎰2π222d d 2cos d 0xyD x y θρθρ===⎰⎰⎰⎰．第十章 自测题一、填空题（每小题3分，共15分）12328π2π3b R ⎫+⎪⎭ ，提示：222()d m x y z s Γ=++⎰=232π22228π(2π3b R b t t R ⎫+=+⎪⎭⎰2．0 3．P Q y x ∂∂=∂∂ 4．32π3R ，提示：由轮换对称性，222d d d y s z s x s ΓΓΓ==⎰⎰⎰2221(+)d 3x y z s Γ=+⎰图10-17xyzO:2a z ∑=Γ 图10-18xyzOΓ2∑。

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案6-2习题6-21 求图6-21 中各画斜线部分的面积 (1)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[01] 所求的面积为61]2132[)(102310=-=-=?x x dx x x A . (2)解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为1|)()(1010=-=-=?x x e ex dx e e A解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1e ] 所求的面积为1)1(|ln ln 111=--=-==??e e dy y y ydy A ee e(3)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3 1] 所求的面积为332]2)3[(132=--=?-dx x x A(4)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1 3] 所求的面积为332|)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 221x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算);解:388282)218(220220220220221--=--=--=dx x dx x dx x dx x x A34238cos 16402+=-=?ππtdt .346)22(122-=-=ππS A .(2)x y 1=与直线y =x 及x =2;解:所求的面积为-=-=212ln 23)1(dx x x A .(3) y =e x , y =e -x 与直线x =1;解:所求的面积为-+=-=-1021)(ee dx e e A x x .(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为a b e dy e A ba y ba y -===?ln ln ln ln3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:y '=-2 x +4.过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x -3). 过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y =-2x +6. 两切线的交点为)3 ,23(, 所求的面积为49]34(62[)]34(34[23023232=-+--+-+-+---=?dx x x x x x x A .4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p处的法线所围成的图形的面积.解2y ?y '=2p在点),2(p p处1),2(=='p p y p y 法线的斜率k =-1法线的方程为)2(px p y --=- 即y p x -=23求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)3,29(p p -法线与抛物线所围成的图形的面积为233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A pppp=--=--=--?5. 求由下列各曲线所围成的图形的面积;(1)=2a cos θ 解:所求的面积为==-2022222cos 4)cos 2(21πππθθθθd a d a A =πa 2. (2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ; 解所求的面积为 ?===2042202330sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t a t a d t a ydx A a2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=?(3)=2a (2+cos θ ) 解所求的面积为2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(2[21a d a d a A πθθθθθππ=++=+=??6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0t 2π)与横轴所围成的图形的面积.解:所求的面积为 -=--==aa a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a=++-=?.7. 求对数螺线=ae θ(-π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积解所求的面积为)(421)(21222222ππππθππθθθ----===??e e a d e a d ae A8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.(1)=3cos θ 及=1+cos θ 解曲线=3cos θ 与=1+cos θ 交点的极坐标为)3,23(πA , )3,23(π-B . 由对称性, 所求的面积为πθθθθπππ45])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=??d d A .(2)θρsin 2=及θρ2cos 2=解曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6,22(π 所求的面积为2316]2c o s 21)sin 2(21[246602-+=+=??πθθθθπππd d A9. 求位于曲线y =e x 下方, 该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积.解设直线y =kx 与曲线y =e x 相切于A (x 0 y 0)点则有=='==ke x y e y kx y x x 00)(0000 求得x 0=1 y 0=e k =e所求面积为21ln 21)ln 1(00020edy y y y y y e dy y y e e e ee=?+-=-?10. 求由抛物线y 2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解设弦的倾角为α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 10A A A +=.显然当2πα=时, A 1=0; 当2πα<时, A 1>0.因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 2030383822a x a dx ax A a a===?.11. 把抛物线y 2=4ax 及直线x =x 0(x 0>0)所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积.解所得旋转体的体积为2020222400x a x a axdx dx y V xx x ππππ====??12. 由y =x 3x =2y =0所围成的图形分别绕x轴及y 轴旋转计算所得两个旋转体的体积解绕x 轴旋转所得旋转体的体积为ππππ712871207206202====??x dx x dx y V x绕y 轴旋转所得旋转体的体积为 ??-=-??=8 328223282dy y dy x V y ππππππ56453328035=-=y13. 把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形绕x 轴旋转计算所得旋转体的体积解由对称性所求旋转体的体积为dx x a dx y V aa-==03202)(22ππ30234323234210532)33(2a dx x x a x a a aππ=-+-=?14. 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2H R H V -=π证明 ?---==RHR R HR dy y R dy y x V )()(222ππ)3()31(232H R H y y R RH R -=-=-ππ15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:(1)2x y =, 2y x =, 绕y 轴;解ππππ103)5121()(1052102210=-=-=??y y dy y ydy V . (2)ax a y ch = x =0 x =ay =0 绕x 轴解 ===102302202ch ch )(udu a au x dx ax a dx x y V aaπππ令1022310223)21221(4)2(4u u uu e u e a du e e a ---+=++=?ππ)2sh 2(43+=a π(3)16)5(22=-+y x , 绕x 轴.解 ??------+=44224422)165()165(dx x dx x V ππ2421601640π?=-=dx x .(4)摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, y =0, 绕直线y =2a .解 ??--=ππππa a dx y a dx a V 202202)2()2( ?----=πππ20223)sin ()]cos 1(2[8t t da t a a a232023237sin )cos 1(8ππππa tdt t a a =+-=?. 16求圆盘222a y x ≤+绕x =-b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积.解 ??------+=aaaa dy y ab dy y a b V 222222)()(ππ222228ππb a dy y a b a=-=?.17设有一截锥体其高为h上、下底均为椭圆椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B求这截锥体的体积解建立坐标系如图过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面则平面与截锥体的截面为椭圆易得其长短半轴分别为yha A A -- yhb B B --截面的面积为π)()(y h b B B y h a A A --?--于是截锥体的体积为])(2[61)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h+++=--?--=?ππ18 计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.解设过点x 且垂直于x 轴的截面面积为A (x ), 由已知条件知, 它是边长为x R -2的等边三角形的面积, 其值为)(3)(22x R x A -=, 所以 322334)(3R dx x R V RR=-=?-.19. 证明由平面图形0≤a ≤x ≤b 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为=ba dxx xf V )(2π证明如图在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2x ?f (x )dx这就是体积元素即dV =2x ?f (x )dx于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为==bab adxx xf dx x xf V )(2)(2ππ20. 利用题19和结论计算曲线y =sin x (0≤x ≤)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积解 2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==??x x x x xd xdx x V21. 计算曲线y =ln x 上相应于83≤≤x 的一段弧的长度. 解 ??+=+='+=8328328321)1(1)(1dx xx dx x dx x y s ,令t x =+21, 即12-=t x , 则 23ln 211111113223232222322+=-+=-=-?-=dt t dt dt t t dt t tt t s . 22. 计算曲线)3(3x x y -=上相应于1≤x ≤3的一段弧的长度解 xx x y 31-= xx y 2121-='xx y 4121412+-=' )1(2112xx y +='+所求弧长为3432)232(21)1(213131-=+=+=?x x x dx xx s23. 计算半立方抛物线32)1(32-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度解由??=-=3)1(32232x y x y 得两曲线的交点的坐标为)36 ,2( )36 ,2(-所求弧长为?'+=21212dxys因为 2)1(22-='x y y yx y 2)1(-=' )1(23)1(32)1()1(34242-=--=-='x x x y xy所以 ]1)25[(98)13(13232)1(2312232121-=--=-+=??x d x dx xs24. 计算抛物线y 2=2px 从顶点到这曲线上的一点M (x , y )的弧长. 解 ??+=+='+=y yy dy y p p dy p y dy y x s 02202021)(1)(1y y p y p y p y p 022222])ln(22[1++++=py p y py p p y 2222ln 22++++=. 25. 计算星形线t a x 3cos =, t a y 3sin =的全长. 解用参数方程的弧长公式. dt t y t x s ?'+'=2022)()(4π+-?=202222]cos sin 3[)]sin (cos 3[4πdt t t a t t aa tdt t 6cos sin 1220==?π.26. 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直使细线与圆周始终相切细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线它的方程为)sin (cos t t t a x +=)cos (sin t t t a y -=计算这曲线上相应于t 从0变到的一段弧的长度解由参数方程弧长公式 ?+='+'=ππ22022)sin ()cos ()]([)]([dt t at t at dt t y t x s202ππa tdt a ==?27. 在摆线x =a (t -sin t ) y =a (1-cos t )上求分摆线第一拱成1 3的点的坐标解设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0) 则 ?+-='+'=0220220]sin [)]cos 1([)]([)]([)(t t dt t a t a dt t y t x t s)2cos 1(42sin 2000ta dt t a t -==? 当t 0=2时得第一拱弧长s (2)=8a为求分摆线第一拱为1 3的点为A (x y ) 令ata 2)2cos 1(40=-解得320π=t 因而分点的坐标为横坐标aa x )2332()32sin 32(-=-=πππ纵坐标aa y 23)32cos 1(=-=π故所求分点的坐标为)23 ,)2332((a a -π28. 求对数螺线θρa e =相应于自θ=0到θ=?的一段弧长. 解用极坐标的弧长公式. θθθρθρ?θθ?d ae e d s a a ?+='+=022022)()()()()1(1122-+=+=?θ?θθa a e aa d e a .29. 求曲线=1相应于自43=θ至34=θ的一段弧长解按极坐标公式可得所求的弧长 ??-+='+=3443222344322)1()1()()(θθθθθρθρd d s23ln 12511344322+=+=?θθθd30. 求心形线=a (1+cos θ )的全长. 解用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρππd a a d s ??-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2 a d a 82cos 40==?πθθ.。