柱体与椎体习题

圆柱圆锥练习题和答案一、选择题1. 圆柱的体积公式是（）A. V = πr²hB. V = πr² + hC. V = πr² - hD. V = πrh2. 圆锥的体积公式是（）A. V = 1/3πr²hB. V = 3πr²hC. V = πr²h/3D. V = πr²h3. 圆柱的表面积公式是（）A. S = 2πrh + 2πr²B. S = πrh + πr²C. S = 2πrhD. S = πr²4. 圆锥的侧面展开图是（）A. 圆形B. 长方形C. 扇形D. 三角形5. 圆柱和圆锥的底面都是（）A. 圆形B. 长方形C. 扇形D. 三角形二、填空题6. 一个圆柱的底面半径为3厘米，高为5厘米，其体积是_________立方厘米。

7. 一个圆锥的底面半径为4厘米，高为9厘米，其体积是_________立方厘米。

8. 一个圆柱的底面周长为12.56厘米，高为4厘米，其表面积是_________平方厘米。

9. 一个圆锥的底面半径为2厘米，高为6厘米，其表面积是_________平方厘米。

三、计算题10. 一个圆柱形容器的底面直径为20厘米，高为30厘米，求其容积。

11. 一个圆锥形沙堆，底面半径为5米，高为3米，如果将沙堆铺在长10米，宽6米的长方形地面上，求铺成的沙堆高度。

四、解答题12. 一个圆柱形油桶，底面半径为0.8米，高为1.5米，求油桶的表面积和体积。

13. 一个圆锥形漏斗，底面半径为0.6米，高为0.9米，求漏斗的体积。

答案：1. A2. A3. A4. C5. A6. 141.37. 75.368. 150.729. 37.6810. 圆柱形容器的容积为3.14 × (20/2)² × 30 = 3000π 立方厘米。

11. 圆锥形沙堆的体积为1/3 × 3.14 × 5² × 3 = 78.5π 立方米。

柱体锥体练习题柱体和锥体是几何学中常见的立体形状，掌握它们的计算方法对于解题和应用都有很大的帮助。

下面将给出柱体和锥体的一些练习题，帮助读者更好地理解和应用柱体和锥体的相关知识。

练习题一：柱体的计算题目：一个圆柱体的底面半径为5cm，高度为8cm，求其体积和表面积。

解答：首先计算体积，圆柱体体积的计算公式为V = πr²h，其中π取3.14近似值，r为底面半径，h为高度。

代入所给数据，得到V = 3.14 * 5² * 8 = 628.0cm³。

接下来计算表面积，圆柱体的表面积由两个圆的面积和一个矩形的面积组成。

底面圆的面积为πr²，侧面的矩形面积为2πrh。

代入所给数据，得到底面圆的面积为3.14 * 5² = 78.5cm²，侧面的矩形面积为2 * 3.14 * 5 * 8 = 251.2cm²。

总的表面积为2 * 78.5 + 251.2 = 408.2cm²。

因此，该圆柱体的体积为628.0cm³，表面积为408.2cm²。

练习题二：锥体的计算题目：一个圆锥的底面半径为3cm，高度为6cm，求其体积和表面积。

解答：首先计算体积，圆锥的体积计算公式为V = (1/3)πr²h，其中π取3.14近似值，r为底面半径，h为高度。

代入所给数据，得到V = (1/3) * 3.14 * 3² * 6 = 56.52cm³。

接下来计算表面积，圆锥的表面积由底面圆的面积和侧面三角形的面积组成。

底面圆的面积为πr²，侧面三角形的面积为πrl，其中l为侧斜高。

由勾股定理可知侧斜高l = √(r² + h²)。

代入所给数据，得到底面圆的面积为3.14 * 3² = 28.26cm²，侧面三角形的面积为3.14 * 3 * √(3² + 6²) = 81.78cm²。

课时作业5 柱体、锥体、台体的表面积与体积 |基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若圆柱的底面面积为S ，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )A ．4πSB ．2πSC ．πS D.233πS解析：设圆柱的底面半径为r ，则πr 2＝S ，r ＝S π.又侧面展开图是正方形，所以圆柱的侧面积S 侧＝⎝⎛⎭⎪⎫2πS π2＝4πS . 答案：A2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 、C 、B 1、D 1为顶点的正三棱锥的全面积为43，则该正方体的棱长为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2解析：设正方体棱长为a ，侧面的对角线长为2a ，所以正三棱锥A －CB 1D 1的棱长为2a ，其表面积为4×34×(2a )2＝43，可得a 2＝2，即a ＝ 2.答案：A 3.如图是一个几何体的三视图，其中主视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.433πB.36πC.12πD.33π解析：由三视图，可知该几何体是一个圆锥的一半，其中高为22－12＝3，故所求的体积为V ＝12×13×π×12×3＝36π. 答案：B4．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( )A ．26B ．28C ．30D ．32解析：所求棱台的体积V ＝13×(4＋16＋4×16)×3＝28. 答案：B5．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，由三视图可得该几何体的体积V ＝V 圆锥＋V 圆柱＝13×π×32×52－32＋π×32×5＝57π.故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm ，则该棱柱的侧面积为________ cm 2.解析：棱柱的侧面积S 侧＝3×6×4＝72(cm 2)． 答案：727．已知正三棱锥的高为1，底面边长为26，则该三棱锥的表面积为________．解析：易知底面正三角形的中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正三棱锥侧面的斜高为12＋(2)2＝3，所以S 侧＝3×12×26×3＝92，所以S 表＝S 侧＋S 底＝92＋34×(26)2＝92＋6 3.答案：92＋6 38．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是________．解析：由题意知r ：R ＝1：3，r 、R 分别为上、下底面的半径，故(V －52)：V ＝1：27，解出V ＝54.答案：54三、解答题(每小题10分，共20分) 9．已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S －ABC 如图所示，求它的表面积．解析：因为四面体S －ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．不妨求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示．因为BC ＝SB ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝32a ， 所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.故四面体S －ABC 的表面积S ＝4×34a 2＝3a 2. 10.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的体积．解析：如图，过C 作CE 垂直于AD ，交AD 延长线于E ，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE 绕AE 旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π×(52＋5×2＋22)×4－13π×22×2＝1483π. |能力提升|(20分钟，40分)11．(2016·烟台检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π解析：设轴截面正方形的边长为a ， 由题意知S 侧＝πa ·a ＝πa 2. 又因为S 侧＝4π，所以a ＝2.所以V 圆柱＝π×2＝2π. 答案：B12．已知圆锥的母线长为5 cm ，侧面积为15π cm 2，则此圆锥的体积为________ cm 3.解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则有πrl ＝15π，知r ＝3， ∴h ＝52－32＝4.∴其体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13×π×32×4＝12π. 答案：12π13．如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg ，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)解析：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m ，母线长为5 m ，正四棱柱的高为4 m ，底面是边长为3 m 的正方形，圆锥的表面积为πr 2＋πrl ＝9π＋15π＝24π (m 2)；四棱柱的一个底面积为9 m 2，正四棱柱的侧面积为4×4×3＝48 (m 2)，所以外壁面积为24π－9＋48＝(24π＋39) (m 2)．所以需要油漆(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8) (kg)．14．如图，已知某几何体的三视图如图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．12×(2)2×2＝10(cm3).V＝23＋。

柱体、椎体、台体的表面积和体积练习一、 知识回顾（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积 = 侧面积 + ______________；（2）圆柱：r 为底面半径，l 为母线长则侧面积为_______________；表面积为_______________. 圆锥：r 为底面半径，l 为母线长则侧面积为_______________；表面积为_______________.圆台：r ’、r 分别为上、下底面半径，l 为母线长则侧面积为____________；表面积为_____________.（3）柱体体积公式：________________________；（S 为底面积，h 为高）锥体体积公式：________________________；（S 为底面积，h 为高）台体体积公式：________________________；（S ’、S 分别为上、下底面面积，h 为高）二、 典型练习1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）.（A ）122ππ+ （B ）144ππ+ （C ）12ππ+ （D ）142ππ+2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.（A ）32 （B ）43 （C ）54 （D ）653. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程01892=+-x x的两根，其侧面积等于两底面积的和，则其斜高与高分别为 A ．25与2 B.2与23C.5与4D.2与34.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是A ．21 B.31 C.32 D.435.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ）Ａ．Ｂ．2:22:Ｄ．26、若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．7、一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__________．8. 若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_______9、若一个圆锥的轴截面是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是_______10.已知四棱椎P ABCD-的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且8PA=，则该四棱椎的体积是_________11、若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 .13. 三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P—ABC的体积等于______.14、如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝__________.15、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为__________cm16、如图，正三棱锥O－ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．17、由8个面围成的几何体，每一个面都是正三角形，并且有四个顶点A、B、C、D在同一个平面内，ABCD 是边长为30cm的正方形，求出此几何体的表面积和体积.。

第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积A 级 基础巩固一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：设轴截面正三角形的边长为2a ，所以S 底＝πa 2，S 侧＝πa ·2a ＝2πa 2，因此S 侧＝2S 底． 答案：D2.如图所示，ABC ­A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：因为V C ­A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，所以V C ­AA ′B ′B ＝1－13＝23.答案：C3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π解析：设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ·2r ＝4πr2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2·2r ＝2πr 3＝2π.答案：B4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：由l ＝14×2πr ＝8得圆锥底面的半径r ＝16π≈163，所以米堆的体积V ＝14×13πr 2h ＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放的米有3209÷1.62≈22(斛)． 答案：B5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．2∶ 2D ．3∶ 6解析：棱锥B ′ ­ACD ′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为1，则B ′C ＝2，S △B ′AC ＝32. 三棱锥的表面积S 锥＝4×32＝23， 又正方体的表面积S 正＝6. 因此S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶ 3. 答案：B 二、填空题6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm ，4 cm ，则该棱柱的侧面积为________cm 2.解析：棱柱的侧面积S 侧＝3×6×4＝72(cm 2)． 答案：727．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13π×22×3＝8π.答案：8π8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋2.则S 侧＝8＋22，S 底＝2×（1＋2）2×1＝3.故S 表＝S 侧＋S 底＝11＋2 2. 答案：11＋22 三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 解：设圆锥的底面半径为r ，母线l ， 则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157， 圆锥的高h ＝l 2－r 2＝36r 2－r 2＝35·r ＝35×157＝53， 体积V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA ′＝2 cm ，底面高B ′D ′＝23cm ，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4(cm)． 一个底面的面积为12×23×4＝43(cm 2)．所以表面积S ＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm 2)， V ＝43×2＝83(cm 3)．所以表面积为(24＋83)cm 2，体积为83(cm 3)．B 级 能力提升1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：设圆台较小底面半径为r ，较大底面半径为r 2，圆台的母线为l . 依题意r 2＝3r 1，且l ＝3，又S 侧＝π(r 1＋r 2)l ＝12πr 1. 所以12πr 1＝84π，则r 1＝7. 答案：A2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3. 设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2×4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.答案：73．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． V 四棱柱＝23＝8，V 四棱锥＝13×22×2＝83.故几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 四棱锥＝8＋83 ＝323(cm 3)．。

《柱体、椎体，台体的表面积与体积》习题一、选择题：1．过正三棱柱底面一边的截面是( )A ．三角形B ．三角形或梯形C ．不是梯形的四边形D ．梯形2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥3．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于( )A ．21B ．1C ．2D ．34．将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．26aB ．12a 2C ．18a 2D ．24a 25．直三棱柱各侧棱与底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点，连结A ′B ，BD ，A ′D ，AD ，则三棱锥A —A ′BD 的体积( )A ．361a B ．363a C ．3123a D ．3121a6．两个球体积之与为12π，且这两个球大圆周长之与为6π，那么这两球半径之差是( )A ．21 B ．1 C ．2 D ．37．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥的轴截面为正三角形)的体积之比( )A ．2：3：5B ．2：3：4C ．3：5：8D ．4：6：98．直径为10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2c m 的削球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为( )A ．5B ．15C ．25D ．1259．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为 ( )A ．2πB 6πC ．4π D ．3π 10．中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，则A ：B 为( )A ．11：8B ．3：8C ．8：3D ．13：8二、填空题：11．直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q Q，，12直平行六面体的侧面积为_____________．12．正六棱锥的高为4cm，最长的对角线为34cm ，则它的侧面积为_________．13．球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的__ _________倍．14．已知正三棱锥的侧面积为183cm2，高为3cm. 求它的体积____________．三、解答题：15．①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱．已知：等边圆柱的底面半径为r，求：全面积；②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥.已知：等边圆锥底面半径为r，求：全面积．16．四边形ABCD A B C D00102103，绕y轴旋转一周，，，，，(,)(,)(,)(,)求所得旋转体的体积．17．如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为h h h，=,113若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为h h，求.2218．如图，三棱柱ABC A B C P AA-''''中，为上一点，求:．V VP BB C C ABC A B C-''-'''参考答案一、B D D B C B D D B A二、11．22212Q Q +； 12．330 cm 2； 13．8； 14．39cm 3.三、15．①解： 母线l r =2②解： 母线l r =216．解：V r h 圆锥=132πππ3822312=⨯⨯= 17．分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比. 解：278)32(3==--h h V V CD S ABS。

1.3 空间几何体的表面积与体积1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1．3.2 球的体积和表面积一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．如图L1­3­1所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为( )图L1­3­1A ．πB ．2πC ．3πD ．4π2．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( ) A.π3 B.π4 C.π2D ．π 3．一个几何体的三视图如图L1­3­2所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )图L1­3­2A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π4．图L1­3­3是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( ' ) A ．1 B ．3 C.12 D.32图L1­3­3图L1­3­45．图L1­3­4是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9π，则该几何体的正视图中实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对7．一个空间几何体的三视图如图L1­3­5所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为( )图L1­3­5A ．64，48＋16 2B ．32，48＋16 2 C.643，32＋16 2 D.323，48＋16 2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．一个几何体的三视图及其尺寸如图L1­3­6所示，则该几何体的体积为 ________．图L1­3­6图L1­3­79．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为________．10．如图L1­3­7所示，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，则该正六棱锥的体积为________．11．已知正四棱锥V-ABCD的底面的面积为16 m2，侧棱长为 2 11 m，则它的侧面积为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)某个几何体的三视图如图L1­3­8所示(单位：m)．求：(1)该几何体的表面积(结果保留π)；(2)该几何体的体积(结果保留π)．图L1­3­813．(13分)图L1­3­9是某几何体的三视图，它的正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形(长度单位：cm)．(1)该几何体是什么图形？(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图L1­3­10所示)，并求它的表面积．(只需作出图形，不要求写作法)图L1­3­9图L1­3­1014．(5分)一个几何体的三视图如图L1­3­11所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )图L1­3­11A ．36πB ．9π C.92π D.278π 15．(15分)如图L1­3­12所示，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝2 2，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所成的几何体的表面积及体积．图L1­3­121．3 空间几何体的表面积与体积1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1．3.2 球的体积和表面积1．C [解析] 设圆锥的母线长为l ，则l ＝3＋1＝2，所以圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π.2．C [解析] 设内接正方体的棱长为a ，则球的直径为3a ，所以球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是4π⎝⎛⎭⎫3a 22∶6a 2＝π2. 3．B [解析] 结合三视图可知该几何体是一个圆台，其上，下底面的半径分别为2，1，则该几何的侧面积S ＝π(2×4＋1×4)＝12π.4．B [解析] 该几何体是直三棱柱，其底面三角形的面积为12×1×2＝1，高为3，所以该几何体的体积为3.5．C [解析] 该几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积S ＝2π×1×a ＋π×1×（3）2＋12＋π×12＝2πa ＋3π＝9π，所以a ＝3.6．B [解析] 由题意知球为长方体的外接球．设球的半径为R ，则(2R )2＝32＋42＋52，∴R 2＝252，∴S 球＝4πR 2＝4π×252＝50π.7．B [解析] 由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其直观图如图所示．体积V ＝12×4×4×4＝32，表面积S ＝2×12×42＋4×(4＋4＋4 2)＝48＋16 2.8．54π [解析] 由几何体的三视图知该几何体是一个底面半径为3，高为6的圆柱，则该几何体的体积V ＝π×32×6＝54π.9．50π [解析] 因为圆锥的侧面展开图半圆的面积即为该圆锥的侧面积，且该半圆的半径即为圆锥的母线长10，所以圆锥的侧面积为12π×102＝50π.10．4 3 [解析] 由题意得正六棱锥的底面边长和高都为2，故该六棱锥的体积为13×34×22×6×2＝4 3.11．16 10 m 2 [解析] 如图所示，取AD 的中点E ，连接VE .∵正四棱锥V -ABCD 的底面的面积为16 m 2，∴AE ＝12AD ＝2 m ．在Rt △VAE 中，VE ＝VA 2－AE 2＝（2 11）2－22＝2 10(m)，∴正四棱锥V -ABCD 的侧面积为12×4×2 10×4＝16 10(m 2)．12．解：由三视图可知，该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m 的半球．(1)几何体的表面积S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝(24＋π)m 2.(2)几何体的体积V ＝23＋12×43π×13＝⎝⎛⎭⎫8＋23πm 3. 13．解：(1)由三视图可知该几何体是三棱柱．(2)直观图如图所示．因为该几何体的底面是边长为4 cm 的等边三角形，高为2 cm ，所以它的表面积S 三棱柱＝2S 底＋S侧＝2×34×42＋3×4×2＝(24＋8 3)cm 2. 14．C [解析] ∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，∴底面外接圆半径r ＝ 2.由正视图中棱锥的高h ＝1，得棱锥的外接球半径R ＝⎝⎛⎭⎫122＋（2）2＝32， 故该几何体外接球的体积V ＝43πR 3＝92π.15．解：易知所得的几何体是由一个圆台截去一个圆锥所得的组合体，且CE ＝DE ＝AD ＝2，BC ＝5，则S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2＝60π＋4 2π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(22＋2×5＋52)×4－13π×22×2＝1483π.。

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积时间:30分钟，总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1、轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A．4倍B．3倍C.2倍D．2倍2、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A. B.π+ C.+ D.+3.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.14.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积( )A.与点E，F的位置有关B.与点Q的位置有关C.与点E，F，Q的位置都有关D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值5、将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4πB．3πC．2πD．π6、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7、一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.8．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.9、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是。

10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为。

三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11、一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图所示，AA1＝3.(1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的表面积和体积．12．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.。

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（练习）(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( ) A ．22 B ．20 C ．10 D ．11【答案】A [所求长方体的表面积S ＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.]2．已知高为3的直棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1-ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36 D.34【答案】D [由题意，锥体的高为BB 1，底面为S △ABC ＝34，所以V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.] 3．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( ) A ．54 B ．54π C ．58 D ．58π【答案】A [设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.]4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A ．3π B ．33π C ．6π D ．9π【答案】A [根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S ＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π.]5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )A ．1∶2∶ 3B ．6∶23∶ 3C ．6∶23∶3D ．3∶23∶6【答案】C [设Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，求得斜边上的高CD ＝32，基础篇旋转所得几何体的体积分别为V 1＝13π(3)2×1＝π，V 2＝13π×12×3＝33π，V 3＝13π⎝⎛⎭⎫322×2＝12π.V 1∶V 2∶V 3＝1∶33∶12＝6∶23∶3.] 二、填空题6．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，则该三棱锥的表面积为__________． 【答案】3＋34a 2 [∵底面边长为a ，则斜高为a 2，故S 侧＝3×12a ×a 2＝34a 2，而S 底＝34a 2，故S 表＝3＋34a 2.] 7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小的底面半径为________．【答案】7 [设圆台较小的底面半径为r ，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长l ＝3，圆台的侧面积为84π，所以S 侧面积＝π(r ＋3r )l ＝84π，解得r ＝7.]8．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为________．【答案】1∶3∶5 [如图，由题意知O 1A 1∶O 2A 2∶OA ＝1∶2∶3，以O 1A 1，O 2A 2，OA 为底面半径的圆锥的侧面积之比为1∶4∶9.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1∶(4－1)∶(9－4)＝1∶3∶5.] 三、解答题9．将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4，再将它们卷成两个圆锥侧面，求这两个圆锥的体积之比．【答案】设圆的半径为r ，则两个圆锥的母线长为r .由已知可得两个圆锥的底面半径分别为2πr ×372π＝37r ，2πr ×472π＝47r ，所以两圆锥的体积之比为 13π×⎝⎛⎭⎫37r 2×r 2－⎝⎛⎭⎫37r 213π×⎝⎛⎭⎫47r 2×r 2－⎝⎛⎭⎫47r 2＝333088.10．若E ，F 是三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A -BEFC 的体积.【答案】如图所示，连接AB 1，AC 1.因为B 1E ＝CF ，所以梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积． 又四棱锥A -BEFC 的高与四棱锥A -B 1EFC 1的高相等， 所以V A -BEFC ＝VA -B 1EFC 1＝12VA -BB 1C 1C . 又VA -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，VABC -A 1B 1C 1＝S △A 1B 1C 1·h ＝m ， 所以VA -A 1B 1C 1＝m 3，所以VA -BB 1C 1C ＝VABC -A 1B 1C 1－VA -A 1B 1C 1＝23m ，所以V A -BEFC ＝12×23m ＝m3， 即四棱锥A -BEFC 的体积是m3.1．圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πSB ．2πSC ．πSD.233πS【答案】A [底面半径是Sπ，所以正方形的边长是2πSπ＝2πS ，故圆柱的侧面积是(2πS )2＝4πS .] 2．如图1-3-5，三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，则三棱锥A 1-ABC ，B -A 1B 1C ，C -A 1B 1C 1的体积之比为( )图1-3-5提升篇A ．1∶1∶1B ．1∶1∶2C ．1∶2∶4D ．1∶4∶4【答案】C [设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ， 则S △A 1B 1C 1＝4S ，∴VA 1-ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB -A 1B 1C ＝V 台－VA 1-ABC －VC -A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ，∴体积比为1∶2∶4.]3．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图1-3-6所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________.图1-3-6【答案】32a [设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h ， 圆柱形容器内的液体体积为π⎝⎛⎭⎫a 22h . 根据题意，有13πR 2h ＝π⎝⎛⎭⎫a 22h ，解得R ＝32a . 再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝ha ，所以h ＝32a .] 4．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________.【答案】8 [如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方体，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.]5．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．【答案】如图所示，在三棱台ABC -A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，连接OO ′，A ′D ′，AD ，DD ′，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，记为h 0，所以S 侧＝3×12×(20＋30)h 0＝75h 0.上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)． 由S 侧＝S 上＋S 下，得75h 0＝3253， 所以h 0＝1333(cm)．又O ′D ′＝13×32×20＝1033(cm)，OD ＝13×32×30＝53(cm)，记棱台的高为h ，则h ＝O ′O＝h 20－(OD －O ′D ′)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积 V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×(3253＋34×20×30) ＝1 900(cm 3)．。

柱体、椎体、台体结构特征1．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长均为1,棱BB 1所在直线上的动点M 满足1BB BM λ=,AM 与侧面BB 1C 1C 所成的角为θ,若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,22λ,则θ的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,12ππB ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,3ππ2．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小等于a 的概率为（ ） A ．22 B ．π22 C ．61 D ．π61 3．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B =（ ） A ．+-a b c B ．-+a b c C ．-++a b c D ．-+-a b c4．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A 、B 、C 对面的字母依次分别为（ ）A.D 、E 、FB.F 、D 、EC.E 、F 、DD.E 、D 、F5．如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K所形成轨迹的长度为（ ） A ．23B ．332C ．2πD ． 3π6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）7．如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为圆S 和圆环S ，那么A ．圆S >圆环SB ．圆S =圆环SC ．圆S <圆环SD ．不确定8．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足a PC PA 21=+的点P 的个数为A. 3个B.4个C.5 个D.6个9．三棱锥的四个面中，直角三角形最多的个数是A. 1 B .2 C .3 D .4 10．下列命题正确的是A ．三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两条相交直线确定一个平面 11．三个平面将空间最多能分成A ．6部分B ．7部分C ．8部分D ．9部分 12．图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的13．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是 A ． B ． C ． D ．14．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或1115． 如图正三棱柱C B A ABC '''-的底面边长为3，高为2， 一只蚂蚁要从顶点A 沿三棱柱的表面爬到顶点C '，若侧面C C A A ''紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（ ）A ．13B ．32+C ． 4D ．73+16．已知正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球半径的比值为（ ） （A ）3 （B ）33 （C ）23 （D ）332 17．已知一个高度不限的直三棱柱111ABC A B C -，4AB =，5BC =，6CA =，点P 是侧棱1AA 上一点，过A 作平面截三棱柱得截面ADE ，给出下列结论：①ADE ∆是直角三角形；②ADE ∆是等边三角形；③四面体APDE 为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体，其中有可能成立的结论的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.318．一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中A B C ，，三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字是（ ）A ．6B ．3C ．1D ．219．以下几何体是由哪个平面图形旋转得到的 （ ）20．如图，用一平面去截球所得截面的面积为π2，已知球心到该截面的距离为1 ，则该球的体积是（ ） A.π34 π32.B π3.C π334.D 21．正方体1111D C B A ABCD -的面11B BCC 内有一点M ，满足D BD D MD 11∠=∠，则点M 的轨迹是（ ） A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分22．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是 ( )A.4B.3C.2D.523．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.12224．我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥。